第一篇：2021最新高中數(shù)學知識點

數(shù)學是解決生活問題的鑰匙，學數(shù)學就是為了學會應用，學會生活。只要我們細細感悟，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學就在我們的身邊。2021最新高中數(shù)學知識點有哪些你知道嗎?一起來看看2021最新高中數(shù)學知識點，歡迎查閱!

高中數(shù)學知識點

向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為的向量.單位向量：長度等于個單位的向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量

&向量的運算

加法運算

AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發(fā)的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數(shù)乘運算

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。

設λ、μ是實數(shù)，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

向量的加法運算、減法運算、數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。

向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。

a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。

高考理科數(shù)學高頻必考考點一、三角函數(shù)題

三角題一般在解答題的前兩道題的位置上,主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像與性質、解三角形等有關內容.三角函數(shù)、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交匯,是高考中考查的熱點.二、數(shù)列題

數(shù)列題重點考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列的綜合應用,常與不等式、函數(shù)、導數(shù)等知識綜合交匯,既考查分類、轉化、化歸、歸納、遞推等數(shù)學思想方法,又考查綜合運用知識進行運算、推理論證及解決問題的能力.近幾年這類試題的位置有所前移,難度明顯降低.三、立體幾何題

常以柱體、錐體、組合體為載體全方位地考查立體幾何中的重要內容,如線線、線面與面面的位置關系,線面角、二面角問題,距離問題等,既有計算又有證明,一題多問,遞進排列,此類試題既可用傳統(tǒng)方法解答,又可用空間向量法處理,有的題是兩法兼用,可謂珠聯(lián)璧合,相得益彰.究竟選用哪種方法,要由自己的長處和圖形特點來確定.便于建立空間直角坐標系的,往往選用向量法,反之,選用傳統(tǒng)方法.另外,“動態(tài)”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點,三視圖的巧妙參與也是立體幾何命題的新手法,要注意把握.四、概率問題

概率題一般在解答題的前三道題的位置上,主要考查數(shù)據(jù)處理能力、應用意識、必然與或然思想,因此近幾年概率題常以概率與統(tǒng)計的交匯形式呈現(xiàn),并用實際生活中的背景來“包裝”.概率重點考查離散型隨機變量的分布列與期望、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、獨立重復試驗與二項分布等;統(tǒng)計重點考查抽樣方法(特別是分層抽樣)、樣本的頻率分布、樣本的特征數(shù)、莖葉圖、線性回歸、列聯(lián)表等,穿插考查合情推理能力和優(yōu)化決策能力.同時,關注幾何概型與定積分的交匯考查,此類試題在近幾年的高考中難度有所提升,考生應有心理準備.五、圓錐曲線問題

解析幾何題一般在解答題的后三道題的位置上,有時是“把關題”或“壓軸題”,說明了解析幾何題依然是重頭戲,在新課標高考中依然占有較突出的地位.考查重點:第一,解析幾何自身模塊的小交匯,是指以圓、圓錐曲線為載體呈現(xiàn)的`,將兩種或兩種以上的知識結合起來綜合考查.如不同曲線(含直線)之間的結合,直線是各類曲線和相關試題最常用的“調味品”,顯示了直線與方程的各知識點的基礎性和應用性.第二,圓錐曲線與不同模塊知識的大交匯,以解析幾何與函數(shù)、向量、代數(shù)知識的結合最為常見.有關解析幾何的最值、定值、定點問題應給予重視.一般來說,解析幾何題計算量大且有一定的技巧性(要求品出“幾何味”來),需要“精打細算”,對考生的意志品質和數(shù)學機智都是一種考驗和檢測.六、導數(shù)、極值、最值、不等式恒成立(或逆用求參)問題

導數(shù)題考查的重點是用導數(shù)研究函數(shù)性質或解決與函數(shù)有關的問題.往往將函數(shù)、不等式、方程、導數(shù)等有機地綜合,構成一道超大型綜合題,體現(xiàn)了在“知識網(wǎng)絡交匯點處設計試題”的高考命題指導思想.鑒于該類試題的難度大,有些題還有高等數(shù)學的背景和競賽題的味道,標準答案提供的解法往往如同“神來之筆”,確實想不到,加之“搏殺”到此時的考生的精力和考試時間基本耗盡,建議考生一定要當機立斷,視時間和自身實力,先看第(1)問可否拿下,再確定放棄、分段得分或強攻.近幾年該類試題與解析幾何題輪流“坐莊”,經(jīng)常充當“把關題”或“壓軸題”的重要角色.高中數(shù)學知識點大全

1、含n個元素的有限集合其子集共有2n個，非空子集有2n—1個，非空真子集有2n—2個。

2、集合中，Cu(A∩B)=(CuA)U(CuB),交之補等于補之并。

Cu(AUB)=(CuA)∩(CuB)，并之補等于補之交。

3、ax2+bx+c<0的解集為x(0

+c>0的解集為x，cx2+bx+a>0的解集為>x或x<;ax2—bx+

4、c<0的解集為x，cx2—bx+a>0的解集為->x或x<-。

5、原命題與其逆否命題是等價命題。

原命題的逆命題與原命題的否命題也是等價命題。

6、函數(shù)是一種特殊的映射，函數(shù)與映射都可用：f:A→B表示。

A表示原像，B表示像。當f:A→B表示函數(shù)時，A表示定義域，B大于或等于其值域范圍。只有一一映射的函數(shù)才具有反函數(shù)。

7、原函數(shù)與反函數(shù)的單調性一致，且都為奇函數(shù)。

偶函數(shù)和周期函數(shù)沒有反函數(shù)。若f(x)與g(x)關于點(a,b)對稱，則g(x)=2b-f(2a-x).8、若f(-x)=f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，若f(-x)=f(x)，則f(x)為奇函數(shù);

偶函數(shù)關于y軸對稱，且對稱軸兩邊的單調性相反;奇函數(shù)關于原點對稱，且在整個定義域上的單調性一致。反之亦然。若奇函數(shù)在x=0處有意義，則f(0)=0。函數(shù)的單調性可用定義法和導數(shù)法求出。偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)。對于任意常數(shù)T(T≠0)，在定義域范圍內，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是周期為T的周期函數(shù)，且f(x+kT)=f(x),k≠0.9、周期函數(shù)的特征性：①f(x+a)=-f(x),是T=2a的函數(shù)，②若f(x+a)+f(x+b)=0,即f(x+a)=-f(x+b),T=2(b-a)的函數(shù),③若f(x)既x=a關對稱,又關于x=b對稱,則f(x)是T=2(b-a)的函數(shù)④若f(x

+a)?f(x+b)=±1,即f(x+a)=±，則f(x)是T=2(b-a)的函數(shù)⑤f(x+a)=±,則f(x)

是T=4(b-a)的函數(shù)

10、復合函數(shù)的單調性滿足“同增異減”原理。

定義域都是指函數(shù)中自變量的取值范圍。

11、抽象函數(shù)主要有f(xy)=f(x)+f(y)(對數(shù)型)，f(x+y)=f(x)?f(y)(指數(shù)型)，f(x+y)=f(x)+f(y)(直線型)。

解此類抽象函數(shù)比較實用的方法是特殊值法和周期法。

12、指數(shù)函數(shù)圖像的規(guī)律是：底數(shù)按逆時針增大。

對數(shù)函數(shù)與之相反.13、ar?as=ar+s,ar÷as=ar—s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr。

在解可化為a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C≥0(≤0)的指數(shù)方程或不等式時，常借助于換元法，應特別注意換元后新變元的取值范圍。

14、log10N=lgN;logeN=lnN(e=2.718???);對數(shù)的性質：如果a>0,a≠0,M>0N>0,那么loga(MN)=logaM+logaN,;loga()=logaM—logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N.換底公式：logaN=;logamlogbnlogck=logbmlogcnlogak=logcmloganlogbk.15、函數(shù)圖像的變換：

(1)水平平移：y=f(x±a)(a>0)的圖像可由y=f(x)向左或向右平移a個單位得到;

(2)豎直平移：y=f(x)±b(b>0)圖像，可由y=f(x)向上或向下平移b個單位得到;

(3)對稱：若對于定義域內的一切x均有f(x+m)=f(x—m),則y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱;y=f(x)關于(a,b)對稱的函數(shù)為y!=2b—f(2a—x).(4),學習計劃;翻折：①y=|f(x)|是將y=f(x)位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸將期翻折到x軸上方的圖像。②y=f(|x|)是將y=f(x)位于y軸左方的圖像翻折到y(tǒng)軸的右方而成的圖像。

(5)有關結論：①若f(a+x)=f(b—x),在x為一切實數(shù)上成立，則y=f(x)的圖像關于

x=對稱。②函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(b—x)的圖像有關于直線x=對稱。

15、等差數(shù)列中，an=a1+(n—1)d=am+(n—m)d;sn=n=na1+

16、若n+m=p+q,則am+an=ap+aq;

sk,s2k—k,s3k—2k成以k2d為公差的等差數(shù)列。an是等差數(shù)列，若ap=q,aq=p,則ap+q=0;若sp=q,sq=p,則sp+q=—(p+q);若已知sk,sn,sn—k,sn=(sk+sn+sn—k)/2k;若an是等差數(shù)列，則可設前n項和為sn=an2+bn(注：沒有常數(shù)項),用方程的思想求解a,b。在等差數(shù)列中，若將其腳碼成等差數(shù)列的項取出組成數(shù)列，則新的數(shù)列仍舊是等差數(shù)列。

17、等比數(shù)列中，an=a1?qn-1=am?qn-m,若n+m=p+q,則am?an=ap?aq;sn=na1(q=1),sn=,(q≠1);若q≠1，則有=q，若q≠—1，=q;

sk,s2k—k,s3k—2k也是等比數(shù)列。a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5也成等比數(shù)列。在等比數(shù)列中，若將其腳碼成等差數(shù)列的項取出組成數(shù)列，則新的數(shù)列仍舊是等比數(shù)列。裂項公式：

=—,=?(—),常用數(shù)列遞推形式：疊加，疊乘，18、弧長公式：l=|α|?r。

s扇=?lr=?|α|r2=?;當一個扇形的周長一定時(為L時)，其面積為，其圓心角為2弧度。

19、Sina(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Sina(α—β)=sinαcosβ—cosαsinβ;

Cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ;cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ

第二篇：高中數(shù)學知識點

高中數(shù)學知識點 必修1集合函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ必修2立體幾何初步平面解析幾何初步必修3算法初步統(tǒng)計概率

必修4

基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）平面向量三角恒等變形必修5

解三角形數(shù)列不等式

選修

常用邏輯用語圓錐曲線與方程空間向量與立體幾何導數(shù)及其應用推理與證明數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入計數(shù)原理概率與統(tǒng)計幾何證明選講坐標系與參數(shù)方程不等式選講

第三篇：高中數(shù)學知識點

高中數(shù)學重點知識與結論分類解析

一、集合與簡易邏輯 1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性． 2．對集合，時，必須注意到“極端”情況： 或 ；求集合的子集時是否注意到 是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集． 3．對于含有 個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為4．“交的補等于補的并，即 ”；“并的補等于補的交，即 ”． 5．判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯(lián)字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”． 6．“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”． 7．四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”． 原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．反證法分為三步：假設、推矛、得果． 注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” ． 8．充要條件

第四篇：高中數(shù)學冪函數(shù)知識點

進入到高一階段,大家的學習壓力都是呈直線上升的,因此平時的積累也顯得尤為重要,下面小編給大家分享一些高中數(shù)學冪函數(shù)知識，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數(shù)學冪函數(shù)知識1

1.函數(shù)的單調性(局部性質)

(1)增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調性是函數(shù)的局部性質;

(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3)函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

(A)定義法：

a.任取x1，x2∈D，且x1

b.作差f(x1)-f(x2);

c.變形(通常是因式分解和配方);

d.定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

e.下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數(shù)的單調性

復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8.函數(shù)的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

a.首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;

b.確定f(-x)與f(x)的關系;

c.作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數(shù)法

3)換元法

4)消參法

10.函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

a.利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)值

b.利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

c.利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);.高中數(shù)學冪函數(shù)知識2一、一次函數(shù)定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數(shù)。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx(k為常數(shù)，k≠0)

二、一次函數(shù)的性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))

2.當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數(shù)的表達式。

(1)設一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。

高中數(shù)學冪函數(shù)知識3

一、高中數(shù)學函數(shù)的有關概念

1.高中數(shù)學函數(shù)函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于函數(shù)A中的任意一個數(shù)x，在函數(shù)B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從函數(shù)A到函數(shù)B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的函數(shù){f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意：

函數(shù)定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的函數(shù)稱為函數(shù)的定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數(shù).(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.?相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關);②定義域一致(兩點必須同時具備)

2.高中數(shù)學函數(shù)值域:先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的函數(shù)C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.高中數(shù)學函數(shù)區(qū)間的概念

(1)函數(shù)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的函數(shù)，如果按某一個確定的對應法則f，使對于函數(shù)A中的任意一個元素x，在函數(shù)B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從函數(shù)A到函數(shù)B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)函數(shù)A中的每一個元素，在函數(shù)B中都有象，并且象是唯一的;

(2)函數(shù)A中不同的元素，在函數(shù)B中對應的象可以是同一個;

(3)不要求函數(shù)B中的每一個元素在函數(shù)A中都有原象。

6.高中數(shù)學函數(shù)之分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。

高中數(shù)學冪函數(shù)知識點

第五篇：高中數(shù)學知識點總結

高中數(shù)學知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點的軌跡 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。

3.注意下列性質：

要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個子集。

當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為

（3）德摩根定律：

有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。

注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調遞減，在上單調遞增，就應該馬上知道函數(shù)對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程 的2個根

5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關系是什么？（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

6、熟悉充要條件的性質（高考經(jīng)常考）滿足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件； 若 ；則是的必要非充分條件； 若 ；則是的充要條件；

若 ；則是的既非充分又非必要條件；

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

注意映射個數(shù)的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數(shù)有nm個。

如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數(shù)有 個，若，則到的一一映射有 個。

函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)為 個。

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應法則、值域）

相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

函數(shù)定義域求法： * 分式中的分母不為零；

* 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零； * 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；

* 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。* 正切函數(shù) * 余切函數(shù)

* 反三角函數(shù)的定義域

函數(shù)y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1]，值域是，函數(shù)y＝arccosx的定義域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函數(shù)y＝arctgx的定義域是 R，值域是.，函數(shù)y＝arcctgx的定義域是 R，值域是(0, π).當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。

10.如何求復合函數(shù)的定義域？

義域是_____________。

復合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。

例 若函數(shù)的定義域為，則的定義域為。

分析：由函數(shù)的定義域為可知：；所以中有。

解：依題意知：

解之，得 ∴ 的定義域為

11、函數(shù)值域的求法

1、直接觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判別式法

對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面 下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。

5、函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數(shù)的單調性。例 求函數(shù)y=，的值域。

6、函數(shù)單調性法

通常和導數(shù)結合，是最近高考考的較多的一個內容 例求函數(shù)y=（2≤x≤10）的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角

函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)

揮作用。

例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結合法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這

類題目若運用數(shù)形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數(shù)y=+的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數(shù)軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函數(shù)的值域為：[10，+∞）例求函數(shù)y=+ 的值域

解：原函數(shù)可變形為：y=+

上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，y=∣AB∣==，故所求函數(shù)的值域為[，+∞）。例求函數(shù)y=-的值域 解：將函數(shù)變形為：y=-

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數(shù)的值域為：（-，-）。

注：求兩距離之和時，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：

倒數(shù)法

有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況 例 求函數(shù)y=的值域

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

12.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂

13.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：

(2004.全國理)函數(shù)的反函數(shù)是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：

原函數(shù)定義域為 x〉=1，那反函數(shù)值域也為y>=1.排除選項C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函數(shù)定義域為x>=1, 答案為B.我題目已經(jīng)做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？

14.反函數(shù)的性質有哪些？ 反函數(shù)性質：

1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（可擴展為反函數(shù)中的x對應原函數(shù)中的y）

2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴展為反函數(shù)中的y對應原函數(shù)中的x）

3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關于直線y=x對稱

①互為反函數(shù)的圖象關于直線y＝x對稱； ②保存了原來函數(shù)的單調性、奇函數(shù)性；

由反函數(shù)的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解__________.1 對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數(shù)的單調性？（取值、作差、判正負）

判斷函數(shù)單調性的方法有三種：(1)定義法：

根據(jù)定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系

可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：

①若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調性；（特例：奇函數(shù)）②若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則函數(shù)f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調函數(shù)的性質：

①函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c是常數(shù))是同向變化的

②函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。

③如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）

④如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）

⑤函數(shù)f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。

⑥若函數(shù)u＝φ(x)，x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數(shù)u＝φ(x),x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數(shù)y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函數(shù)x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數(shù)增增增增增增減減 / / 減增減 / / 減減增減減

∴......）

16.如何利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值為3）

17.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

判斷函數(shù)奇偶性的方法

一、定義域法

一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)..二、奇偶函數(shù)定義法

在給定函數(shù)的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復合函數(shù)奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù)，T是一個周期。）

我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數(shù)周期2t.推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關于直線x=a對稱。

如：

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點（x,y）,(-x,y)聯(lián)想點（x,y）,(x,-y)聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y)聯(lián)想點（x,y）,(y,x)聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y)聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0)

（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標?？袋c和原點的關系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質了嗎？

(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。

應用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關系--二次方程

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定?。?/p>

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

21.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結構變換法）

（對于這種抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求單調性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數(shù) 1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數(shù)符號.例3已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4設函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數(shù)學歸納法證明.例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數(shù)，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函數(shù)的單調性和已知關系式.例7設函數(shù)y＝ f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件： ① x1、x2是定義域中的數(shù)時，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個數(shù)）； ③ 當0＜x＜2a時，f（x）＜0.試問：

（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數(shù)；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù).對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的函數(shù)要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題.例9已知函數(shù)f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數(shù)模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y(tǒng)＝1，再令x＝y(tǒng)＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是減函數(shù).分析：（1）先令x＝y(tǒng)＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數(shù)函數(shù)單調性的啟發(fā)：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習題：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數(shù)x、y都成立，則（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不對

2.若對任意實數(shù)x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值范圍是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函數(shù)f（x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，則f（x）為（）

（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)

（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)

5.已知不恒為零的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數(shù)f（x）是（）

（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)

（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)

參考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(和三角形的面積公式很相似，可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)