第一篇：1112高等數學B(二)答案

濟南大學2011~2012學年第二學期

課程考試試卷評分標準（含參考答案）A卷

課程名稱：高等數學B

（二）任課教師：

一、填空題（每小題2分，共10分）

1、2dx?dy，2、?5，3、1，4、?10dy?1yf(x,y)dx5、1

二、選擇題（每小題2分，共10分）

1、A2、B3、C4、C5、D

三、計算題（每小題8分，共40分）

1、解：令F?x2?y2?z2?2z，則Fx?2x,Fz?2z?2.....2分

??zFx

?x??xF?z

.....4分

z1??2z?x(1?z)2?x2

??x2??x(1?z)?

(1?z)3

.....8分

2、解：??(x?6y)dxdy??1dx5x76

D

0?x(x?6y)dy?3.....8分

?

3、解：

??

?x2?y2

dxdy?D

?2

d??1

?r2rdr?

?

(22?1).....8分

4、解：ux(2,1,3)?4,uy(2,1,3)?5,uz(2,1,3)?3

方向l??(3,4,12)cos??313,cos??413,cos??12

.....6分?z?l?uu68

xcos??ycos??uzcos??13

.....8分

5、解：收斂域為(0,2).....2分

?

?

令S(x)?

?(n?1)(x?1)

n

?(1)n?1)?.....6分

n?0

?(x?n?0

S(x)?（x?12?x)??1

(2?x)2

x?(0,2).....8分

四、解答題（每小11分，共33分）

?

1、解：交線的方向向量為n?

i?jk

??

1?4?(?4,?3,?1).....8分

2?1?5

所求直線方程為

x?3y?2z?5

4?3?1

.....11分

2、解：令f(x)?

xx?1,則f?(x)??1?x2x(x?1)

?0x?1 所以un單調遞減且limn??

un?0

?

所以級數?(?1)nn

n?2

n?1.....6分

n

?

由于limn???1,且?1發(fā)散

n?2n

n??

(?1)n所以級數n

.....11分

n?2

n?

13、解：旋轉曲面方程為z?x2?y2.....3分

投影區(qū)域D：x2?y2

?1.....5分

V?

??(1?x2

?y2)dxdy??2?

d??

1?

(1?r)rdr?D

.....11分

五、證明題（每小題7分，共7分）

ff(x,0)?f(0,0)

x(0,0)?lim證：x?0x

?0

f(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)

xx?0x

?0

所以函數f(x,y)在(0,0)處可導.....3分lim?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??0??limf(?x,?y)?x?y

??0?x2??y

2?lim??0?x2

??y2取?y?k?x,得極限為k

1?k,說明極限不存在所以函數f(x,y),在(0,0)點不可微.....7分

第二篇：0910高等數學A(二)答案

濟南大學2009~2010學年第二學期

課程考試試卷評分標準（含參考答案）A卷

課程名稱：高等數學A

（二）任課教師：張?zhí)K梅等

一、填空題（每小題3分，共18分）1.yzez?xy

；2.y?

2x3?x2

；3.2xdx?2ydy；

?

?(?1)n(2x)2n4.0；5.2；6..1

2(1-n??0

(2n)!)，(??,??)

二、選擇題（每小題3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、計算題（每小題8分，共32分）

1.解：

?z?x?1ycosx

y

；.....4分?2z1xxx

?x?y??y

2cosy?y3siny.....8分

2.解：??xyd???2

dx?x

xydy.....4分

D

0?

12?20

x3

dx?2.....8分 3.解：dS??x2x2

?y

?

y2x2

?y

dxdy?2dxdy.....2分

??zdS???

x2?y22dxdy.....5分

?

Dxy

=?

2?

d??

2r2dr?

?.....8分 4.解：??(x2?y2?z2)dxdy?

dxdy??a4...........8分

?

D??a

xy

四、應用題（每小題8分，共16分）

1.解：由橢球的對稱性，不妨設(x,y,z)是該橢球面上位于第Ⅰ卦限的任一點，內接長方體的相鄰邊長為2x,2y,2z(x,y,z?0)，其體積為：V?8xyz

構造拉格朗日函數F(x,y,z,?)?8xyz??（x2y2a

?

b

?

z2c

?1)......4分

?F?x?8yz??2x

a

2?0令 ?F

2y?y?8xz??b2?0........6分

?F?z?8xy??2z

c

2?0求得（x，y，z）=???a,b,c?

?,V?8xyz=8abc......8分 ?33?

?

332.解：Iz????(x2

?y2)dv.........3分

?

??2?24

30d??0dr?r2rdz.........6分

?2??2

r3(4?r2)dr?

03

?.........8分

五、（8分）解：因為lim

ana?limn

?1，所以收斂半徑為1.n??n?1n??n?1

又x??1時，級數均發(fā)散，故級數的收斂域為（-1，1）.....3分

n?1?nx?n?x?nxn?1?n?1?x(?xn)?......6分 n?1?

xx?x()??,x?(?1,1).........8分 21?x(1?x)

六、（8分）解：① 設u?x2?y2，則

?zx?f?(u);?xu?2zx21x2

?()f??(u)?f?(u)?3f?(u)........2分 2uu?xu

y21y2

同理，2?()f??(u)?f?(u)?3f?(u)uu?yu

由?2z?2z

?x2??2z

?y2?0?f??(u)?1f?(u)?0.....4分 u

② 設f?(u)?p,f??(u)?dp，du

則原方程化為：dp1dpdu?p?0???duupu

積分得：p?CC，即f?(u)?,........6分 uu

由f?(1)?1,得C=1.于是f(u)?ln|u|?C1

代入f(1)?0得：C1=0.函數f(u)的表達式為：f(u)?ln|u|.......8分

第三篇：高等數學B形成性考核答案

高等數學（B）（1）作業(yè)1 初等數學知識

一、名詞解釋：

鄰域——設 是兩個實數，且，滿足不等式 的實數 的全體，稱為點 的 鄰域。絕對值——數軸上表示數 的點到原點之間的距離稱為數 的絕對值。記為。區(qū)間——數軸上的一段實數。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間。數軸——規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線。實數——有理數和無理數統(tǒng)稱為實數。

二、填空題

1．絕對值的性質有、、、、、。2．開區(qū)間的表示有、。3．閉區(qū)間的表示有、。4．無窮大的記號為。5． 表示全體實數，或記為。6． 表示小于 的實數，或記為。7． 表示大于 的實數，或記為。

8．去心鄰域是指 的全體。用數軸表示即為9.MANZU 9．滿足不等式 的數 用區(qū)間可表示為。

三、回答題

1．答：（1）發(fā)展符號意識，實現從具體數學的運算到抽象符號運算的轉變。（2）培養(yǎng)嚴密的思維能力，實現從具體描述到嚴格證明的轉變。

（3）培養(yǎng)抽象思維能力，實現從具體數學到概念化數學的轉變。（4）樹立發(fā)展變化意識，實現從常量數學到變量數學的轉變。2．答：包括整數與分數。3．答：不對，可能有無理數。4．答：等價于。5．答：。

四、計算題

1．解：。2．解：。

3．解： 為方程的解。

函 數（P3）

一、名詞解釋

函數——設x與y是兩個變量，若當x在可以取值的范圍D內任意取一個數值時，變量y通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應，則稱變量y是變量x的函數。其中D叫做函數的定義域，f稱為對應法則，集合G={y|y=f(x),x }叫做函數的值域。奇函數——若函數 的定義域關于原點對稱，若對于任意的，恒有 為奇函數。

偶函數——若函數 的定義域關于原點對稱，若對于任意的，恒有，則稱函數 為偶函數。

定義域——自變量的取值范圍，記作。

值域——所有函數值組成的集合，記作G={y|y=f(x),x }。初等數學——包括幾何與代數，基本上是常量的數學。三角函數：稱 為三角函數。指數函數——稱函數 為指數函數。

復合函數——設 若 的值域包含在 的定義域中，則 通過 構成 的函數，記作，稱其為復合函數，稱為中間變量。對數函數——稱函數 為對數函數。

反函數——若函數 的值域為，若，都有一個確定的且滿足 的 值與之對應。則由此得到一個定義在 上的以 為自變量、為因變量的新函數，稱它為 的反函數，記作。冪函數——稱函數（為實數）為冪函數。常函數——稱函數 為常函數。

常量——在某一變化過程中，始終保持不變的量。變量——在某一變化過程中，可以取不同數值的量。

二、填空題

1．函數概念最早是由萊布尼茲引進的。有了函數概念，人們就可以從數量上描述運動。2．在歷史上第一個給出函數一般定義的是狄里克雷，并給出了一個不能畫出圖形的函數。這就是著名的狄里克雷函數，其表達式是。3．函數的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。4．函數表達了因變量與自變量之間的一種對應規(guī)則。

5．單值函數是當自變量在定義域中取定了一數值時，與之對應的函數值是唯一的函數。6．奇函數的圖像特點是關于原點對稱，偶函數的圖像特點是關于y軸對稱。7．單調函數的圖像特點是總是上升或總是下降。8．反函數的圖像特點是關于直線y=x對稱。

三、回答題

1．答：設函數 在集合 上有定義，如果存在一個正數，對所有的，恒有，則稱函數 為有界函數。

2．答：（1）當一個函數 在區(qū)間 有界時，正數 的取法不是唯一的。（2）有界性是依賴于區(qū)間的。

3．答：，則稱函數 在區(qū)間 單調增加。否則，稱為單調減少。

4．答：若函數 在區(qū)間 單調，其值域是，則函數 存在反函數 其定義域是，值域是。

四、作圖題

（1）解：是拋物線。（2）解：是立方拋物線。（3）解：是正弦曲線。（4）解：是余弦曲線。（5）解：是正切曲線。（6）解：是半拋物線。（7）解：是自然對數函數。（8）解：是指數函數(a>1)。（9）解：是對數函數(a>1)。（10）解：是對數函數（a<1）。(11)解：是指數函數(a<1)。(12)解：是指數函數(a>1)。

第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖

第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖

第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖

第（10）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖

五、計算題（1）解：。

（2）解：設長為，寬為，則，面積。

（3）解：，所以定義域為。（4）解：。

（5）解：由 解得，交換 和，得到 的反函數，由，故定義域為。（6）解：復合函數為

六、討論題

答：（1）復合函數是函數之間的一種運算；（2）并不是任何兩個函數都能構成一個復合函數；（3）復合函數可以是由多個（大于兩個）函數復合而成；（4）中，后者的值域正好是前者的定義域；

（5）構成復合函數的各簡單函數，除了最后一個外，都是基本初等函數。

極 限（P9）

一、名詞解釋

極 限——一個數列或函數其變化趨勢的終極狀態(tài)。無窮小量——極限為零的變量或者常數0。

連 續(xù)——設函數 在 及其一個鄰域內有定義，且等式 成立，則稱函數 在 連續(xù)。數列極限——對數列 來說，若 時，則稱數列 的極限為 記作。

函數極限——設函數 在 的附近有定義，當 時，則稱函數 在 時的極限為A，記作

無窮大量——若，則稱 為該極限過程下的無窮大量。

二、填空題

1．從極限產生的歷史背景來看，極限概念產生于解決微積分的基本問題：求面積，體積，弧長，瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。

2．極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。

3．在中國古代，極限概念已經產生，我國春秋戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，就是極限的樸素思想。4．公元3世紀，中國數學家劉徽的割圓術，就用圓內接正多邊形周長去逼近圓周長這一極限思想來近似地計算圓周率 的。

5．極限概念產生于求面積求切線兩個實際問題。

三、回答題

1．簡述連續(xù)性概念。

答：設函數 在 及其一個鄰域內有定義，且等式 成立，則稱函數 在 連續(xù)。在（a,b）內連續(xù)是指函數 在（a,b）內的每個點處均連續(xù)。2．間斷點分成幾類？ 答：

3．什么是單側連續(xù)？

答：設函數 在 及其右鄰域內有定義，且等式 成立，則稱函數 在 右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。

4．什么是連續(xù)函數？ 4．什么是連續(xù)函數？

答：若函數 在（a,b）內的每個點處均連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)，則稱函數 在[a,b]上連續(xù)。

5．簡述復合函數的連續(xù)性定理。

答：設函數 在點 處連續(xù)，函數 在點 處連續(xù)，而，并設 在點 的某一鄰域內有定義，則復合函數 在點 處連續(xù)。

四、論述題

極限思想的辯證意義是什么？

答：極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個無限逼近的過程，是一個客觀上存在但又永遠達不到的數。在解決實際問題時，“無限”的過程標志著可以得到精確的答案，他是為解決實際問題的需要而產生的，反過來又成為解決實際問題的有力工具。

五、計算題（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

六、討論 解：，函數在x=0處極限不存在。

高等數學（B）（1）作業(yè)2 導 數

一、名詞解釋

導數——設函數 在 及其鄰域內有定義，若 存在，則稱此極限值為函數 在 點處的導數值。記為，等。平均變化率——稱 為平均變化率。瞬時變化率——稱 為瞬時變化率。

導函數——對于區(qū)間（a,b）內的每一點x都有導數值，這樣由這些導數值構成的函數稱為 的導函數。

高階導數——二階及二階以上的導數。駐點——使得 的點。

極值——設函數 在 及其鄰域內有定義，且在 的鄰域內 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。同理可定義極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數的極值。

二、填空題

1． 導數的物理意義是瞬時速度。

2． 導數的幾何意義是曲線在一點處切線的些率。3． 導數的第三種解釋是變化率。

4． 導數是一種特殊的極限，因而它遵循極限運算的法則。5． 可導的函數是連續(xù)的，但是連續(xù)函數不一定可導。

三、回答題

1． 什么是費馬定理？

答：設函數 在 的某鄰域 內有定義，并且在 處可導，如果對任意的，有（或），那么。2． 什么是羅爾定理？

答：設函數 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，并且滿足，那么至少存在一點，使得。

3． 什么是拉格朗日定理？它的輔助函數是怎樣構成的? 答：設函數 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內可導，那么至少存在一點，使得。輔助函數為：。4． 函數的性質有哪些？

答：函數的性質有：有界性，奇偶性，周期性，單調性。

5． 導數的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數曲線上情況又怎樣？

答：導數絕對值大小反映曲線的陡峭程度，導數的絕對值越大，則曲線越陡峭，否則，曲線越平緩。

6． 什么是極大值（或極小值）? 答：設函數 在 及其鄰域內有定義，且在 的鄰域內 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。

設函數 在 及其鄰域內有定義，且在 的鄰域內 恒成立，則稱 為極小值點，稱 為極小值。7． 請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。

答：例如：直線y=c(c為常數)，在任意一點都滿足費馬定理的條件，且導數值都是0，但是在任意一點處都不是極值點。8． 最大值與極大值是一回事嗎？

答：不是一回事。連續(xù)函數在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值，但是最大值和最小值卻各有一個。

9． 求最大值或最小值通常要經過哪幾個步驟？

答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導的點來，并計算出這些點的函數值；（2）計算出比區(qū)間端點處的函數值；

（3）將以上個函數值進行比較，可得到最大值與最小值。（4）如果是應用問題，則需先分析題意，設變量，列出函數關系，在求出唯一駐點，它就是答案。

四、計算題 1． 解：

2． 解：。3． 解：

4． 解：

5． 解：

6． 解：

7． 解：當 時，當 時，綜上所述，8． 解：

9． 解：

10． 解：

… …

五、應用題 1． 解：，當 時，，答：體積V增加的速率為400 cm/s.2.解：設一邊長為x,則另一邊長為1-x, 矩形面積S=x(1-x)= , , 令，解得。答：從中間截斷，可得到最大矩形的面積。2． 解：設寬為 米，則長為 米，圍墻長度為。，令，即，解得 x 舍掉，512/x 答：當寬為16米，長為32米時，才能使材料最省。微 分（P17）

一、名詞解釋

微分——設函數 處的微分，記作

函數的一階微分形式的不變性——無論 是自變量也好，還是中間變量也好，總是成立的。微分的線性化——

由 知，其中 為線性主部，也就是微分。

二、填空題

1．微分有雙重意義，一是表示微小的量，二是表示一種與求導密切相關的運算。2．微分學包括兩個系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。

3． 導數是逐點定義的，它研究的是函數在一點附近的性質。4．微分中值定理建立了函數的局部性質和整體性質的聯系，建立了微積分理論聯系實際的橋梁。

三、回答題

1．微分學基本問題是什么？ 答：求非均勻變化量的變化率問題。2．微分學的基本運算是什么？ 答：求導運算和求微分的運算。3．微分的線性化有什么應用？ 答：可進行近似計算等。

四、計算題 1．（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：，2． 解： cm 3． 解：設

則，五、證明題 證明：令，則，證畢。

高等數學（B）（1）作業(yè)3 不定積分

一、名詞解釋

原函數——如果函數 定義在同一區(qū)間，并且處處有：，則稱 是 的一個原函數。不定積分——若 是 的一個原函數，則稱 為 的不定積分。記作.不定積分幾何意義——表示形狀完全一樣只是位置不同的一族曲線。

二、填空題

1． 在數學中必須考慮的運算有兩類：正運算與逆運算。

2．對應于加法運算的逆運算是減法，對應于乘法運算的逆運算是除法，對應于正整數次乘方運算的逆運算是開方，對應于微分運算的逆運算是積分。

3．關于逆運算我們至少有兩條經驗：一是逆運算一般說比正運算困難，二是逆運算常常引出新結果。如減法引出負數，除法引出有理數，正數開方引出無理數，負數開方引出虛數。

三、回答題

1．什么叫函數f(x)在區(qū)間（a,b）的原函數？有多少個？它們彼此之間有什么關系？ 答：若，則稱 是 的一個原函數，有無窮多個，彼此之間相差一個常數。2． 什么叫函數f(x)在區(qū)間（a,b）的不定積分？

答：函數f(x)的原函數的全體，稱為函數f(x)的不定積分。3． 兩個函數的不定積分相等是什么意思？ 答：這兩個函數相等。

4． 說明數學運算中存在的正運算與逆運算。

答：減法是加法的逆運算；除法是乘法的逆運算；開方是乘方的逆運算；不定積分是微分的逆運算；等等。

5．說明原函數和不定積分的關系。答：原函數的全體就是不定積分。

四、計算題

1．求下列函數的原函數

（1）解：因為，所以該函數的原函數為

（2）解：

（3）解：，（4）解：

（5）解：，（6）解：

（7）解：

（8）解：

（9）解：

（10）解：

2．求下列各不定積分（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

（5）解：

（6）解：

（7）解：

（8）解

=

定 積 分（P26）

一、名詞解釋

定積分——設函數 在區(qū)間 內插入 個分點：，把區(qū)間 分成 個小區(qū)間，其長度為，其中 0，1，2，3，…，在每個小區(qū)間 上任取一點 ：，并作乘積，再求出部分和，令，若（為常數），則稱 為函數 的定積分，記作

定積分幾何意義——若函數，則定積分 表示由曲線、直線 軸所圍的曲邊梯形的面積。定積分中值定理——設函數 則在，使得。微積分基本定理——設函數 則

=，這里 牛頓—萊布尼茲公式——即微積分基本定理中的公式。

二、填空題

1．定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊形區(qū)域的面積是定積分概念的最直接的起源。

2．積分學的基本問題是非均勻變化量的求積問題。它的數學模型是，它的物理原形是求變速運動的路程，它的幾何原形是求曲邊梯形的面積。

3．微分學的基本問題是求非均勻變化量的變化率問題，它的數學模型是，它的物理原形是求瞬時速度，它的幾何原形是求切線斜率，它的基本運算是求導運算和求微分的運算。4．微分學研究的是函數的局部性態(tài)，無論是微分概念，還是微商概念，都是逐點給出的。數學家研究函數的局部性質，其目的在于以局部定整體。

5．積分學包括不定積分和定積分兩大部分，不定積分的目的是提供積分方法。

三、回答題

1．定積分有哪些應用？

答：物理學應用，幾何學應用等。例如，路程問題，曲邊梯形面積問題等。2．定積分的性質有哪些？ 答：由以下9條：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）若在 ；（8）設 , 則： ；

（9）設函數 則在，使得。

3．簡述積分區(qū)間上限為變量時定積分定理。答：設函數 則 上可導，且。4．建立定積分步驟有哪些？ 答：分為4步：

（1）分割；（2）作積 ；（3）作和 ；（4）取極限，其中。

四、計算題

1．利用定積分性質，比較下列積分值大小。（1）解：，（2）解：，（3）解：，2．求函數 的平均值。解：平均值A=.3．設

解：。4．設，求。解： =。5．計算下列定積分（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

（5）解：

（6）解：

6．解：如下圖, 體積V=

第6題圖 第7題圖 第8題圖 第9題圖

7．解：如上圖，體積

8．解：如上圖，面積

9．解：如上圖，面積

高等數學（B）（1）作業(yè)4 微積分簡史

注意：以下六題自己從書中相應位置的內容去概括，要抓住重點，言簡意賅，寫滿所留的空地。

1．論述微分學的早期史。答：見書P216——217 2．簡述費馬對微分學的貢獻。答：見書P217——218 3．簡述巴羅對微分學的貢獻。答：見書P218——220 4．論述積分學的早期史。答：見書P206——210 5．論述微積分對人類歷史的貢獻。

答：見書“

一、前言”一開始的部分（前兩段）。6．牛頓和萊布尼茲對微積分的發(fā)現做出了什么貢獻？ 答：見書P222——225。

微分方程(P33)

一、回答題

1．微分方程的定義。

答：含有未知函數的導數或微分的方程。2．何為微分方程的通解、特解、初始條件？

答：滿足微分方程的所有函數，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一個解或者部分解，稱為微分方程的特解。微分方程最初所滿足的條件，叫做初始條件。3．何為變量可分離的微分方程？ 答：把形如 的微分方程，稱為微分方程。4．微分方程與建模有和關系。

答：拋棄具體意義，只關心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工作做熟練了，反過來又可以用它解決實際問題。5．建模思想和步驟是什么？

答：建模思想就是將各種各樣的實際問題化為數學問題，通過建立數學模型，最終使實際問題得到解決。

步驟：（1）明確實際問題，并熟悉問題的背景；（2）形成數學模型；（3）求解數學問題；

（4）研究算法，并盡量使用計算機；（5）回到實際中去，解釋結果。

二、計算題

1．求下列微分方程的解。（1）解：，代入初始條件得，滿足初始條件的特解為

（2）解：

代入初始條件得，滿足初始條件的特解為

（3）解：，代入初始條件得，滿足初始條件的特解為

2．解：由題意：，代入初始條件得，3．解：由題意：，代入初始條件得，所求的函數關系是

4．解：由題意：，分離變量：

兩邊積分：，代入初始條件 得：，這時：，代入初始條件 得：，代入 得，化簡得：，所以鐳的量R與時間t的函數關系為

高等數學（B）（1）綜合練習

一、名詞解釋

1．函數——設x與y是兩個變量，若當x在可以取值的范圍D內任意取一個數值時，變量y通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應，則稱變量y是變量x的函數。其中D叫做函數的定義域，f稱為對應法則，集合G={y|y=f(x),x }叫做函數的值域。

2.奇函數——若函數 的定義域關于原點對稱，若對于任意的，恒有 為奇函數。3．連續(xù)——設函數 在 及其一個鄰域內有定義，且等式 成立，則稱函數 在 連續(xù)。在（a,b）內連續(xù)是指函數 在（a,b）內的每個點處均連續(xù)。

4．定積分——設函數 在區(qū)間 內插入 個分點：，把區(qū)間 分成 個小區(qū)間，其長度為，其中 0，1，2，3，…，在每個小區(qū)間 上任取一點 ：，并作乘積，再求出部分和，令，若（為常數），則稱 為函數 的定積分，記作

5． 微分方程——含有未知函數的導數或微分的方程。

二、填空題

1． 函數 的反函數是（）；

2． 若函數 內可導且單調增加，則，有 ； 3． ； 4．若，則 ；

5．若函數 的一階導數為零，則在該點取得極值且為（a+b+c）；

三、判斷題

1． 若f(x)在（a，b）內嚴格單調，則f(x)在（a，b）內存在反函數；（）2． 若f(x)與g(x)在 都是偶函數，則f(x)g(x)在實數范圍內也是偶函數。（）3． 若數列 單調增加，則數列 存在極限；（）4． 若函數f(x)在點a可導，則函數f(x)在點a連續(xù)；()5． 函數f(x)在（a，b）內的極大值必定大于它在該區(qū)間內的極小值。()

四、單選題

1． 函數 內（D）。

A．沒有極大值點； B.沒有極小值點；

C．既沒有極大值點也沒有極小值點 D.既有極大值點也有極小值點 2．設函數 連續(xù)，則 等于（A）A． ； B.； C． ； D..3．下列函數中，（C）為復合函數。A． ； B.； C． ； D..4．設函數 在點 處可導，則(B)。

A．與，h都有關； B.僅與 有關，而與h無關； C．僅與h有關，而與 無關； D.與，h都無關。

5．若在區(qū)間[a，b]上f(x)>0，在（a，b）內，根據定積分的幾何意義，則（A）。A．大于 ； B.小于 ； C．等于 ； D.大于.五、計算題

1．求函數 的定義域。

解：由題意知，函數的定義域為.2． 用導數定義求函數 在點 的導數。解：

3．求 的近似值。解：令，取，則由近似公式：，4．設函數，求其原函數。解：

所以原函數為：

5．求不定積分

解：令，則，如下圖。

六、論述題

試簡要論述微積分產生的歷史背景。答：見書P205

第四篇：高等數學B上

華南理工大學

高等數學B上（隨堂練習）5.函數A． B．的定義域是（）C．

D．

參考答案：C 6.函數A． B．

C．的定義域是()

D．

參考答案：C 7.函數A． B． C．的定義域是（）D．

參考答案：A 8.若A．C．參考答案：A 9.若A． B．，C．

D．，則

()B． D．，則

()

參考答案：D

10.設，則()A． B． C． D．

參考答案：A

11.()A． B． C． D．

參考答案：B

12.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

13.()A．不存在 B． C． D．

參考答案：C

14.()A． B．不存在 C． D．參考答案：D

15.()A． B． C． D． 參考答案：A 16.()A． B． C． 不存在 D．

參考答案：B 17.當時，下列變量是無窮小的是()A． B． C． D．

參考答案：C 18.當時，與

等價的無窮小是()A． B． C． D．

參考答案：A 19.()A．0 B． C． D．1 參考答案：B

20.()A．8 B．2 C． D．0 參考答案：D

21.()A．0 B．1 C． D．2 參考答案：D

22.下列等式成立的是()A． B．

C．參考答案：C 問題解析： 23.A． D．

()B．1 C．不存在 D．

參考答案：A

24.A．1 B．()C．不存在 D．

參考答案：D

25.A．0 B．1 C．參考答案：C

()D．

26.設函數A．2 B．4 C．1 D．0 參考答案：A

在點處極限存在，則()27.設A．0 B．-1 C．1 D．2 參考答案：C，則()

28.設，則A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

()29.設A．1 B．2 C．0 D．不存在 參考答案：A

在處連續(xù)，則=()C．參考答案：B 5.設直線 D．

是曲線的一條切線，則常數()A．-5 B． 1 C．-1 D．5 參考答案：D

6.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：C

7.設函數，則()A． B．

C． D．

參考答案：A 8.設函數A．C． D．，則 B．

()

參考答案：A 9.設函數A．C．參考答案：D

，則 D．

()B．

10.設函數，則()A． B．

C． D．

參考答案：B 11.設函數A．C．參考答案：C 12.設函數，則

()B． D．，在

()A． B．

C．參考答案：A D．

13.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：C 14.設函數A． B．，則 C．

()

D．

參考答案：D

15.設函數A．C． B． D．，則

()參考答案：C

16.設函數A． B．，則 C．

()D．

參考答案：A

17.設函數，則()A． B． C． D．

參考答案：B

18.設確定隱函數，則()A． B． C． D．

參考答案：B

19.設A．4 B．-4 C．1 D．-1 參考答案：C 20.設方程

函數，則()

所確定的隱函數為，則()

A．參考答案：B B． C． D．

21.設函數由方程所確定，則()A．0 B． C． D．

參考答案：B

22.設方程所確定的隱函數為，則()A． B． C． D．

參考答案：A

23.設方程所確定的隱函數為，則()A． B．0 C． D．

參考答案：D 問題解析： 24.設A．C．參考答案：A D．，則 B．

()

25.設函數，則()

A． B．

C．參考答案：B 26.設函數A．C． D．，則 B．

()

D．

參考答案：B 27.設，則

()A． B．

C． D．

參考答案：A

參考答案：A

3.()A． B．參考答案：B C． D．不存在

4.()A． B．參考答案：A C．1 D．不存在

5.()A． B．參考答案：A 6.C．1 D．不存在

()A． B．參考答案：A 7.函數A． C．1 D．0 的單調減少區(qū)間是()B．

C．

D．

參考答案：A 8.函數A． B．的單調區(qū)間是()

C．

D．

參考答案：A 9.函數A． B．的單調增加區(qū)間是()

C．

D．

參考答案：A 10.函數A． B．的單調增加區(qū)間為()． C．

D．

參考答案：C 11.函數A． B．的單調減區(qū)間為()C．

D．

參考答案：B 12.函數A． B．的單調增加區(qū)間為()

C．

D．

參考答案：D 13.函數A．1 B．0 C．參考答案：C 14.函數A． B．的極值為()C．0 D．1 的極值等于()D．

參考答案：A 15.函數A．1 B．0 C．參考答案：A 的極值為()D．

16.函數的極大值為()A．-16 B．0 C．16 D．-7 參考答案：B 問題解析： 17.函數A．3 B．1 C．-1 D．0 參考答案：A 的極大值為()18.有一張長方形不銹鋼薄板，長為，寬為長的．現在它的四個角上各裁去一個大小相同的小正方形塊，再把四邊折起來焊成一個無蓋的長方盒．問裁去小正方形的邊長為()時，才能使盒子的容積最大． A． B． C．

D．

參考答案：B

19.設有一根長為的鐵絲，分別構成圓形和正方形．為使圓形和正方形面積之和最小，則其中一段鐵絲的長為()A． B． C．

D．

參考答案：A

20.欲圍一個面積為150m2的矩形場地，圍墻高3米．四面圍墻所用材料的選價不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．試問矩形場地的長為()時，才能使材料費最?。?/p>

A．15 B．10 C．5 D．8 參考答案：A

21.設兩個正數之和為8，則其中一個數為()時，這兩個正數的立方和最小．

A．4 B．2 C．3 D．5 參考答案：A

22.要造一個體積為的圓柱形油罐，問底半徑為()時才能使表面積最?。?/p>

A． B． C． D．

參考答案：C

23.某車間靠墻壁要蓋一間方長形小屋，現有存磚只夠砌20m長的墻壁．問圍成的長方形的長為()時，才能使這間小屋的面積最大．

A．8 B．4 C．5 D．10 參考答案：D 24.曲線的下凹區(qū)間為()A． B．

C．

D．

參考答案：A 25.曲線的拐點坐標為()A． B． C．

D．不存在

參考答案：B

3.下列函數中，()是的原函數

A． B． C． D．

參考答案：D 4.()是函數的原函數．

A． B． C． D．

參考答案：D

5.下列等式中，()是正確的 A． B．

C．參考答案：D 6.若

D．，則()A． B． C． D．

參考答案：B 7.若A．滿足 B．

C．，則 D．

（）．

參考答案：B 8.()

A.B．

C．參考答案：D 問題解析： D．

9.()A． B． C． D．

參考答案：B 10.()A．參考答案：A 11.B． C． D．

()A． B．

C．參考答案：B D．

12.()A． B． C． D．

參考答案：B

13.()A． B．

C． 參考答案：A 14.D．

()A． B．

C．參考答案：C D．

15.()A．C．參考答案：A B． D．

16.()A． B．

C． D．

參考答案：A

問題解析： 17.()A．C． B． D．

參考答案：A 18.A．C．參考答案：D 19.()()B． D．

A． B．

C．參考答案：A 20.D．

()A． B．

C． 參考答案：B 21.()

D．

A． B．

C．參考答案：C 22.D．

()A． B．

C．參考答案：A

D．

5.()A．2 B．0 C．1 D．-1 參考答案：B 6.設函數A． B．在 C．

上連續(xù)，D．，則

()參考答案：C

7.設A． B．，則 C．

等于()D．

參考答案：D

8.()A． B． C． D．

參考答案：C 9.A．0 B． C．1 D．

參考答案：B 10.A．1 B．0 C． 參考答案：D 11.D．-1

A． B． C． D．1 參考答案：C

12.()A．4 B．9 C．6 D．5 參考答案：A

13.()

A．1 B．2 C．參考答案：B D．

14.()A．2 B．

C．參考答案：D D．

15.()A． B． C．1 D．

參考答案：A 16.()A． B． C．1 D．

參考答案：B

17.A．()B．1 C．

D．

參考答案：D

18.()

A． B．0 C．1 D．參考答案：A

19.()A．0 B． C．1 D．

參考答案：B

20.A．1 B．參考答案：B 21.A． B．

()C． D．

()C．

D．1 參考答案：A

22.()A． B．1 C． D．2 參考答案：C

23.A． B．()C．

D．1 參考答案：A 24.()

參考答案：A

25.A．C．()B． D．

參考答案：C 26.()A． B．1 C． D．

參考答案：A 27.()A． B．1 C． D．

參考答案：B 問題解析： 28.()

A．1 B． C．0 D．參考答案：A

29.()A． B．

C． D．

參考答案：B 30.()A． B．

C．1 D．參考答案：A 31.()A． B． C． D．1 參考答案：C 32.廣義積分

()A． B．不存在 C．0 D．1 參考答案：A

33.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：A

34.廣義積分()A．1 B．不存在 C．0 D．參考答案：B 35.由拋物線于()A．2 B．1 C．參考答案：A 36.由直線，D．，直線，及所圍成的平面圖形的面積等

及曲線所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．1 C． D．

參考答案：A 37.由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B． C．2 D．1 參考答案：A

38.由曲線與直線及所圍成的平面圖形的面積等于()A． B．2 C．1 D．

參考答案：A 39.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A．1 B． C．3 D．

參考答案：B 40.由，所圍成的封閉圖形的面積等于()A． B．1 C．3 D．2 參考答案：A 41.由及在點（1，0）處的切線和y軸所圍成的圖形的面積等于()A．1 B． C．2 D．3 參考答案：B 問題解析： 42.由曲線與

所圍圖形的面積等于()A． B．1 C．參考答案：A 問題解析： 43.設由拋物線 D．

；，及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：D 44.設由直線，及曲線

所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B．

C．

D．

參考答案：A

45.設由曲線與直線及所圍成的平面圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B． C．

D．

參考答案：B 46.設由拋物線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()

參考答案：D 47.設由曲線與直線，及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積等于()A． B．參考答案：C 48.設由曲線

與直線

及

所圍成的封閉圖形為D，則D繞軸旋 C．

D．

轉一周所得旋轉體的體積等于()A．C．參考答案：A

B． D．

第五篇：高等數學(B)不考內容

高等數學（B）期末考試不考的內容

第一章：第一節(jié)；第二節(jié)用極限定義證明極限

第二章：第五節(jié)之第四目

第三章：第三、六、七、八節(jié)

第四章：第四、五節(jié)

第五章： 第四節(jié)

第六章： 第三節(jié)之第二、三目

第七章： 第三、五、八節(jié)

注：以上不考內容并非不重要，而是由于考試時間有限，有些內容不適宜當考試題；有些公式（如曲率）恐怕學生記不?。挥行﹥热萃鶎脤W生考試時丟分太多（如用極限定義證明極限）……

高等數學教研室

2008-12-22