第一篇：推理與證明 復(fù)習(xí)

山東省xx一中20xx級(jí)

高二數(shù)學(xué)課時(shí)學(xué)案（文）

班級(jí)小組姓名________使用時(shí)間______年______月______日編號(hào)05

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第二篇：高三推理與證明專題復(fù)習(xí)

推理與證明專題復(fù)習(xí)

中心發(fā)言人：王 鑫

時(shí)間：2013年04月22日

教學(xué)目標(biāo)

推理與證明

重點(diǎn)與難點(diǎn)

合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

教學(xué)過程

知識(shí)要點(diǎn)

1．推理

(1)歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征(或性質(zhì))，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征(或性質(zhì))的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，叫做歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)．歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理．

(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡(jiǎn)稱類比)．類比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)演繹推理：根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導(dǎo)出特殊性命題為真的推理．常用模式“三段論”：大前提、小前提、結(jié)論．

2．?dāng)?shù)學(xué)證明

(1)直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法．

①分析法：從欲證結(jié)論出發(fā)，對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形，建立未知結(jié)論和已知的“條件，結(jié)論”因果關(guān)系；

②綜合法：從已知條件和結(jié)論出發(fā)，以演繹推理中的“三段論”規(guī)則為工具，推出未知結(jié)論；

說明：分析法是倒溯，綜合法是順推．分析法側(cè)重于結(jié)論提供的信息，綜合法則側(cè)重于條件提供的信息，把兩者結(jié)合起來，全方位地收集、儲(chǔ)存、加工和運(yùn)用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路．沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎(chǔ)，它們相輔相成是對(duì)立統(tǒng)一的．

(2)間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結(jié)論．證明欲證命題的等價(jià)命題—逆否命題.典例解析

f(x)?

例

1設(shè)，先分別求f(0)?f(1),f(?1)?f(2),f(?2)?f(3),，然后歸納猜想

一般性結(jié)論，并給出證明。

分析：由f(x)?計(jì)算各和式?得出結(jié)論?歸納猜想?證明

f(0)?f(1)?

?

?

?，同理可得

：

解

：

f(?1)?

f(2)?

f(?2)?f(3)?

證明：設(shè)x1?x2?

1,f(x1?x2)?

?

?

?

?

?

?

???,1?上是增函數(shù)；

例2（1）證明函數(shù)f(x)??x?2x在（2）當(dāng)x?[?5,?2]時(shí)，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

分析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù)f(x)滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值

x1,x

2且

x1?x2，f(x1)?f(x2)，小前提是函數(shù)

f(x)??x?2x，x∈

???,1?，結(jié)論滿足增函數(shù)定義。（2）關(guān)鍵是看[?5,?2]與f(x)的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系.證明：（1）

方法一：

任取

x1,x2

∈

???,1?，x1?x2

則

f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x2?x1?2),?x1?x2?1,?x2?x1?2?0,?f(x1)?f(x2)?0,f(x1)?f(x2)

于是，根據(jù)“三段論”可知，方法二：

'

f(x)??x?2x

在???,1?上是增函數(shù).'

?f(x)??2x?2??2(x?1),當(dāng)x?(??,1)時(shí)，x?1?0,??2(x?1)?0,?f(x)?0在x?(??,1)上恒成立.故f(x)在(??,1]上是增函數(shù)。

???,1?的子區(qū)間，∴f(x)在解（2）∵f(x)在(??,1]上是增函數(shù)，而[?5,?2]是區(qū)間

[?5,?2]

上是增函數(shù).例3設(shè)P為?ABC內(nèi)一點(diǎn)，?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有

lAhA

?lBhB

?lChC

?

類比到空間中，設(shè)P是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離

分別為hA,hB,hC,hD，P到四個(gè)面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：解析：面積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?1；體積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?lDhD

?1

??a?b

?????

例 4（分析法）已知非零向量a,b，且a?b，求證：|a?b|.?2?2

????a?a

b?0。同意注意，分析：a?b?a?，將要證式子變形平方即可獲證。

??a?b

????

?????a?b?a?b||a?b|a?ba?

b?0證明：∵∴，要證，只需證，只需證 ?2???2?2???2?2???2?2?2

a?2ab?b?2(a?2a?b?b),只需證a?2ab?b?2a?2b，?2?2????

只需證a?b?2ab?0，即（a?b）?0，上式顯然成立，故原不等式得證。

13.例5（綜合法）已知x+y+z=1，求證

x?y?z?

222

分析：利用a2?b2?2ab，同時(shí)變形利用x+y+z=1，從而(x?y?z)2=1可證。證明：

?x?y?2xy,x?z?2xz,y?z?2yz,222222

?2x?2y?z?2xy?2xz?2yz.?3x?3y?3z?x?y?z?2xy?2xz?2yz?3(x?y?z)?(x?y?z)?1?x?y?z?

31??

?x?R,x??ax?1?a?x?1

.例6（反證法）給定實(shí)數(shù)a,a?0且a?1，設(shè)函數(shù)y?

求證：經(jīng)過該函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸.證明：假設(shè)y1?

y2(x1?x2)，即：

x1?1ax1?1

?x2?1ax2?1

?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)

?(a?1)(x1?x2)?0

.因?yàn)閤1?x2，所以x1?x2?0，則a?1?0，即a?1這與已知條件相矛盾，故原命題成立.綜合訓(xùn)練

1.下列表述正確的是（D）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2．分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的（A）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價(jià)條件 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??

平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，?

這是因?yàn)椋ˋ）

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤 4．實(shí)數(shù)a、b、c不全為0的條件是（A）

A．a(chǎn)、b、c均不為0；B．a(chǎn)、b、c中至少有一個(gè)為0； C．a(chǎn)、b、c至多有一個(gè)為0； D．a(chǎn)、b、c至少有一個(gè)不為0.5．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列

1251017

|||| 4 — 361118||| 9 — 8 — 71219|| 16—15— 14 —1320| 25—24— 23 — 22 — 21

則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為(D)

A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007D．2 007×2 008 6．對(duì)大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，則5＝1＋3＋5＋7＋9；若m(m∈N)的分解中最小的數(shù)是21，則m的值為5.7．在?ABC中，?A,?B,?C成等差數(shù)列，其對(duì)邊分別為a,b,c.求證：（提示：變形為

ca?b

?

aa?c

?1?a?c?ac?b

23*

1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.；?B?600，用余弦定理即可）.?lg

b?c2

?lg

c?a2

?lga?lgb?lgc

8.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

a?b2

.14

9.若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于.

第三篇：推理與證明復(fù)習(xí)(基礎(chǔ))

寧陜中學(xué)導(dǎo)學(xué)案（數(shù)學(xué)）

高二級(jí)班姓名年月日

《推理與證明》復(fù)習(xí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、能對(duì)推理與證明的各種方法進(jìn)行梳理，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，把握整體結(jié)構(gòu)。

2、能比較數(shù)學(xué)證明的幾種基本方法的思維過程和特點(diǎn)，靈活運(yùn)用各種方法進(jìn)行一些數(shù)

學(xué)證明。

3、了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系、差異和各自所起的作用。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：

一、數(shù)學(xué)推理

（一）基礎(chǔ)知識(shí)填空：

1．合情推理

合情推理是根據(jù)__________________的結(jié)果，個(gè)人的__________________、已有的_________和正確的_________(定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式．歸納推理和類比推理是最常見的_____________．

①歸納推理的含義

根據(jù)一類事物中_______________具有某種屬性，推斷這類事物____________________，我們將這種推理方式稱為歸納推理．歸納推理是由_________到_________，由_________到_________的推理．

②類比推理的含義

兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)_____________的其他特征，推斷_____________也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為_____________．

2．演繹推理

（1）從___________出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由___________到___________的推理.

（2）三段論是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前

提——________________；③結(jié)論——________________________________.

（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練

1．下列說法中，正確的是（）

A.類比推理是由特殊到一般的推理

B.演繹推理是特殊到一般的推理

C.歸納推理是個(gè)別到一般的推理

D.合情推理可以作為證明的步驟

2．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ┆?/p>

A．“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0,則a=b”

B．“若(a+b)c=ac+bc”類推出“(a·b)c=ac·bc”

a?b

cc（c≠0）C．“若(a+b)c=ac+bc” 類推出 c”

D．“（ab）n=anbn” 類推出“（a+b）n=an+bn”

3．觀察一下各式：1=12;2+3+4=32；3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;?，你得到的?a?b

1一般性結(jié)論是____________.4．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123 456×9＋7等于()

1×9＋2＝11

12×9＋3＝111

123×9＋4＝1 111234×9＋5＝11 111345×9＋6＝111 111

??

A．1 111 110B．1 111 111

C．1 111 112D．1 111 11

35.（2011年高考陜西卷文科)觀察下列等式

照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為__________________.二、數(shù)學(xué)證明

（一）基礎(chǔ)知識(shí)填空：

1.綜合法

從命題的_________出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，通過_________推理，一步一步地接近要證明的_________，直到完成命題的證明的思維方法，稱為綜合法． 綜合法的基本思路是_________．

2.分析法

從求證的_________出發(fā)，一步一步地探索保證前一個(gè)結(jié)論成立的___________，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的_________，或者歸結(jié)為__________________等．這種證明問題的思維方法稱為分析法．分析法的基本思路是___________．

3.反證法（間接證明法）

在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先__________________成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與_________、_________、_________ 相矛盾，或與命題中的_________相矛盾，或與

_________ 相矛盾，從而說明_________不可能成立，由此斷定_________成立，這種證明方法叫作反證法．

（二）典型例題：

例1.已知a,b為正數(shù)，且a+b=1,求證：?a11b?4.例2.求證3?6?4?5

例3.若a,b，c均為實(shí)數(shù)，且a?x2?2y?

中至少有一個(gè)大于零.（三）基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1.在△ABC中，AC?cosB,證明：B=C.ABcosC?2，b?y2?2z??32，c?z?2x??6，求證:a,b,c

2．已知點(diǎn)P是直角三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，O是斜邊AB的中點(diǎn)，并且PA＝PB＝PC.求證：PO⊥平面ABC.3.設(shè)a,b是實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?2

2(a?b).4.如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F，求證：AF⊥SC.5.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證：????1??1??1???1???1??8.?a??b??c?1

6.設(shè)a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.（四）鞏固練習(xí)：

ab1.若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，證明：2＋2≥4.2.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，記A,B,C的對(duì)邊為a,b,c.求證：

a?b?1

b?c?3

a?b?c.3.設(shè)x,y為正實(shí)數(shù)，且

4.用反證法證明命題“x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)應(yīng)假設(shè)為________．

5.在不等邊△ABC中，A是最小角，求證：A＜60°.6.已知x,y>0,且x+y>2.求證：1?x1?y中至少有一個(gè)小于2.,yx1??1????1?1??????9x??y?x+y=1，求證：?

第四篇：推理與證明總復(fù)習(xí)

推理與證明總復(fù)習(xí)

編寫人：楊素華審核：高二數(shù)學(xué)組（1）

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

二、考綱分解解讀

1合情推理與演繹推理

（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.

（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理.（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.

2直接證明與間接證明

（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn).

（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn). 3數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.三、基礎(chǔ)知識(shí)

（一）合情推理與演繹推理

1推理的概念

根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知事實(shí)（或假設(shè)）得出一個(gè)判斷，這種___________叫做推理.從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)（或假設(shè)）叫做___________，一部分是由已知推出的判斷，叫做___________.

2合情推理

根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過___________、___________、___________、___________，再進(jìn)行___________、___________，然后提出___________的推理稱為合情推理.合情推理又具體分為歸納推理和類比推理兩類.

(1)歸納推理：由某類事物的___________對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的___________對(duì)象具有這些特征的推理；或者由___________事實(shí)概括出___________的推理稱為歸納推

1理.簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，歸納推理簡(jiǎn)稱歸納.(2)類比推理：由兩類對(duì)象具有___________和其中一類對(duì)象的某些___________，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理.簡(jiǎn)言之，類比推理是由___________到___________的推理，類比推理簡(jiǎn)稱類比.

3演繹推理

（1）從___________出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由___________到___________的推理.

（2）三段論是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③結(jié)論——________________________________.（二）直接證明與間接證明

1．直接證明

（1）綜合法：從題設(shè)的____________出發(fā)，運(yùn)用一系列有關(guān)_______________作為推理的依據(jù)，逐步推演而得到要證明的結(jié)論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由____________到____________，表現(xiàn)為____________，綜合法的解題步驟用符號(hào)表示是：_____________________.

特點(diǎn):“由因?qū)Ч?，因此綜合法又叫____________法．

（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，論證中步步尋求使其成立的____________，如此逐步歸結(jié)到已知的條件和已經(jīng)成立的事實(shí)，從而使命題得證，表現(xiàn)為____________，分析法的證題步驟用符號(hào)表示為_____________________________.特點(diǎn)：“執(zhí)果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.

2．間接證明

假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法．

（1）反證法的解題步驟：____________——推演過程中引出矛盾——____________.

（2）反證法的理論依據(jù)是：原命題為真，則它的____________為真，在直接證明有困難時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為證明它的____________成立.

（3）反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：

①假定命題的結(jié)論不成立.

②進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的.

④肯定原來命題的結(jié)論是正確的.

即“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”.

（4）一般情況下，有如下幾種情況的求證題目常常采用反證法：

第一，問題共有n種情況，現(xiàn)要證明其中的一種情況成立時(shí)，可以想到用反證法把其它的 n-1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；

第二，命題是以否定命題的形式敘述的；

第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的；

第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的.（三）數(shù)學(xué)歸納法

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

對(duì)于某些與正整數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命

題也成立，這種證明方法就叫做________．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)(或自然數(shù))有關(guān)的命題的步驟

(1)(歸納奠基)當(dāng)n取第一個(gè)值________________________時(shí)，證明命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)_______________________時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)________時(shí)結(jié)論也正確． 由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確．

3．特點(diǎn)注意

用數(shù)學(xué)歸納法來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．

四、題型歸納

（一）歸納推理

例1平面內(nèi)的１條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點(diǎn)的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無三條共點(diǎn)的直線，可把平面分成多少部分？

分析：可通過畫圖當(dāng)直線條數(shù)n為3，4，5時(shí)，分別計(jì)算出它們將平面分成的區(qū)域數(shù)Sn，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再歸納出結(jié)論.

解析：設(shè)平面被n條直線分成Sn部分，則

當(dāng)n=1時(shí)，S1 =1+1=2；

當(dāng)n=2時(shí)，S2 =1+1+2=4；

當(dāng)n=3時(shí)，S3 =1+1+2+3=7；

當(dāng)n=4時(shí)，S4 =1+1+2+3+4=11．

據(jù)此猜想，得Sn=1+ n(n?1)

2n?n?222=.

點(diǎn)評(píng)：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然后尋找規(guī)律，概括出整體的情況．

（二）類比推理

例2（2009年微山模擬）在平面幾何中，對(duì)于Rt△ABC，設(shè)AB=c,AC=b,BC=a，則

（1）a2+b2=c2；

22（2）cos2A+cos2B=1； a?b

（3）Rt△ABC的外接圓半徑為r=

2.

把上面的結(jié)論類比到空間寫出相類似的結(jié)論.分析：我們?cè)诳臻g中選取3個(gè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對(duì)象，考慮面積，二面角，及外接球的半徑即可得.解析：（1）設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積

分別為S1,S2,S3，底面面積為S，則

S12+S22+S32=S2.

(2)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角

分別為α,β,γ，則

cosα+cosβ+cosγ=1.

(3)設(shè)3個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長(zhǎng)分

別為a,b,c，則這個(gè)四面體的外接球的半徑

為R=a2222?b

32?c2.

（三）演繹推理

演繹推理是證明數(shù)學(xué)問題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實(shí)并且推理形式正確的前提下，其結(jié)論就必然真實(shí).2例3證明：函數(shù)f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是減函數(shù).（四）用綜合法證明數(shù)學(xué)命題

例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A,B的任一點(diǎn)，過A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，如右圖所示.求證：AE⊥平面PBC.（五）用分析法證明數(shù)學(xué)命題

例5若a>0，求證： a2?1?2a

（六）用反證法證明數(shù)學(xué)命題

例6已知：a3+b3=2,求證：a+b≤2.分析：本題直接證明命題較困難，宜用反證法.

證明：假設(shè)a+b>2,則b>2-a.

于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a

=6(a-1)2+2≥2.與已知相矛盾，所以 a+b≤2.（七）數(shù)學(xué)歸納法

ⅰ歸納、猜想、證明

例7在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足

(1)求a1，a2，a3.ⅱ用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式1?1??an?.Sn＝ 2 ?a ?? n??333322?a?1a?2.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

22例8用數(shù)學(xué)歸納法證明：??n(n?1)2?n(n?1)(3n1 ? 2?2?3? 12

2?11n?10)

ⅲ用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

例9用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，數(shù)11n＋2＋122n＋1是133的倍數(shù)．

ⅳ用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題

例10設(shè)函數(shù)f(x)?x?xlnx．?dāng)?shù)列?an?滿足0?a1?1，an?1?f(an)．（Ⅰ）證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：an?an?1?1；

1)，整數(shù)k≥（Ⅲ）設(shè)b?(a1，a1?ba1lnb．證明：ak?1?b．

解：

（I）當(dāng)0

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（0,1）是增函數(shù)，（II）當(dāng)0x

又由（I）有f(x)在x=1處連續(xù)知，當(dāng)0

因此，當(dāng)0

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 0

(i)由0

則由①可得0

故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式②也成立

綜合(i)(ii)證得：an

(III)由（II）知，{an}逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)m≤k,使得am≥b,則ak+1>am≥b 否則，若am

ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak

……

k

=a1-?amlnam

m?1

k

由③知?amlnam

m?1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b

第五篇：推理與證明小結(jié)復(fù)習(xí)

推理與證明復(fù)習(xí)

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1．推理：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。推理一般分為合情推理與演繹推理兩類。2．合情推理

比，然后提出猜想的推理，把它們通稱合情推理。

3．演繹推理

定義：從出發(fā)，推出某個(gè)下的結(jié)論的推理。特點(diǎn)：由到。模式：三段論——演繹推理的一般模式

“三段論”的結(jié)構(gòu)：大前提——已知的；小前提——所研究的；

結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)做出的判斷?！叭握摗钡谋硎荆捍笄疤幔?； 小前提：；結(jié)論：S是P。4．直接證明

定義：要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不直接證明，而是先去假設(shè)（即Q的反

面非Q是正確的），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)非Q是錯(cuò)誤的，從而斷定結(jié)論Q是正確的的證明方法。證明步驟： 6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

證明一個(gè)與正整數(shù)n 有關(guān)的命題，可按以下步驟：

(1)證明當(dāng)n取n0時(shí)命題成立；（歸納奠基）

(2)假設(shè)n=k(k≥n0)時(shí)命題成立，證明n=k＋1時(shí)命題也成立。（歸納遞推）

完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法。習(xí)題精講

1．已知函數(shù)f(x)=

x

21?x。

(1)分別求f(2)＋f()、f(3)＋f()、f(4)＋f()的值；

4(2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；

(3)求值：f(1)＋f(2)＋f(3)＋?＋f(2012)＋f()＋f()＋?＋f（2112012)

2．設(shè)a、b、c為一個(gè)三角形的三邊，且s2=2ab，這里s=

3．已知數(shù)列{an}滿足a1=?，an?1=

2(a＋b＋c)，試證s<2a。

an＋n－4，其中?為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)，求證：對(duì)

任意實(shí)數(shù)?，數(shù)列{an}不可能是等比數(shù)列。

4.證明：(3n?1)7n?1(n?N?)能被9整除

鞏固練習(xí)

一 選擇

1．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的軌跡為橢圓 B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x+y=r的面積πr,猜想出橢圓

xa

?

yb

?1的面積S=πab

D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇

2.下面使用類比推理正確的是()

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?b

?ac?b

c（c≠0）”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

n

n

n

n

c

（ab）?ab” 類推出“（a?b）?a?b” D.“

nn

3.在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為()A.29B.254C.602D.2004 ππ

4．“三角函數(shù)是周期函數(shù)，y＝sinx，x∈?－是三角函數(shù)，所以y＝sinx，x∈

?22?

?－π，π?是周期函數(shù)”．在以上演繹推理中，下列說法正確的是()． ?22?

A推理完全正確；B大前提不正確；C小前提不正確；D推理形式不正確．

5．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ?/p>

①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等

A．①； B．①②； C．①②③； D．③。

6．計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0~9和字母A~F共16個(gè)計(jì)數(shù)

符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

0123

A?B? A6EB72C5FDB0

201

17.觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5的末四位數(shù)字為A．3125B．5625C．0625D．812

58．用反證法證明某命題時(shí),對(duì)某結(jié)論:“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”,正確的假設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)

C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

D．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)

9．已知f?x?是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)任意的k，若f?k??k成立，則f?k?1???k?1?成立，下列命題成立的是（）A、若f?3??9成立，則對(duì)于任意k?1，均有f?k??k成立；

B、若f?4??16成立，則對(duì)于任意的k?4，均有f?k??k成立；

C、若f?7??49成立，則對(duì)于任意的k?7，均有f?k??k成立；

D、若f?4??25成立，則對(duì)于任意的k?4，均有f?k??k成立。

二 填空

1．設(shè)n?2,n?N,(2x?

12)?(3x?

n

將ak()?a0?a1x?a2x?????anx，0?k?n)的,T4?0,T5?

n2n

最小值記為Tn，則T2?0,T3?其中Tn。

?

?

13,???,Tn,???

x2

2． 我們知道：過圓x＋y＝r上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r，2＋

a

2y

＝1上一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程為________． b2

3．觀察下列幾個(gè)三角恒等式：

①tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

②tan5°tan100°＋tan100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan5°＝1； ③tan13°tan35°＋tan35°tan42°＋tan42°tan13°＝1.一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意義，你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為________．

4．已知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是△ABC外接圓的圓心，AG

若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若GD

AO

M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體ABCD

OM

則

5．觀察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為。

6．若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長(zhǎng)為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別是S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V?

7．若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè){an}是公比為q的無窮 比數(shù)列,下列{an}的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第組.(選出 所有符合要求的組號(hào))其中n為大于1的整數(shù), Sn為{an}的前n項(xiàng)和.①S1與S2;②a2與S3;③a1與an;④q與an.8.問題“求方程3?4?5的解”有如下思路：方程3?4?5可變?yōu)?)?()?1，x

x

x

x

x

x

x

x

考查函數(shù)f(x)?()x?()x,可知，f(2)=1,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以原方程有唯

一的解x=2.類比上述解法，可得到不等式：

x?(2x?3)?(2x?3)?

x的解集是

三 解答：

1通過觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假．

sin215°＋sin275°＋sin2135°＝

23222

sin30°＋sin90°＋sin150°＝

sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝

sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝2用數(shù)學(xué)歸納法證明2n?2n?1(n?N?,n?3)