第一篇：配方法與換元法

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題：配方法與換元法

一、配方法與換元法的特點(diǎn)：

把代數(shù)式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達(dá)到增加問題的條件的目的，這種解題方法叫配方法．

配方法與換元法是初中數(shù)學(xué)中的重要方法，近幾年的中考題中常常涉及。有時(shí)題中指定用配方法或換元法求解，而更多的則是隱含在題目當(dāng)中，在分析題意的基礎(chǔ)上，由考生自己確定選用配方法或換元法，把代數(shù)式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以達(dá)到快速解題的目的，這是種快捷也是很有效的方法，在初中代數(shù)中，占有很重要的地位和份量。

換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。

二、配方法與換元法的方法：

配方法與換元法主要依據(jù)完全平方公式，由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知，如果一個(gè)多項(xiàng)式能夠表達(dá)成“兩個(gè)數(shù)的平方和，加上或減去這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，則這個(gè)多項(xiàng)式就可以寫成這兩個(gè)數(shù)的和或差的平方?！庇赏耆椒绞降男再|(zhì)可知，任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，即(a-b)≥0，當(dāng)a=b時(shí)，(a-b)=0。利用這條性質(zhì)，并可以解決很多與之有聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題。

配方法解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)摹皽惻洹?，?yīng)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項(xiàng)拆開又重新分配組合，得到完全平方式．而配方法一般有兩種形式，一是根據(jù)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)，確定第三項(xiàng)系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)。如二次三項(xiàng)式4 x2+6x+k是完全平方式，試確定k值。這一類的問題只有一解。而更多的是由第一項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)，確定第二項(xiàng)的系數(shù)。如二次三項(xiàng)式4x2+kxy+25 y2是完全平方式，試確定k值。這一類問題一定要考慮正、負(fù)值兩種情況，結(jié)果應(yīng)為兩解才為正確，這一點(diǎn)為不少考生所忽視，一定要考慮周到方可取得好成績(jī)。

三、例題精講：

熱身： 填空題：

1．將二次三項(xiàng)式x2+2x－2進(jìn)行配方，其結(jié)果為。

222．方程x+y+4x－2y+5=0的解是。

3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，則M、N的大小關(guān)系為。

4．用配方法把二次函數(shù)y=2x+3x+1寫成y=a(x+m)+k的形式。

5．設(shè)方程x2+2x－1=0的兩實(shí)根為x1，x2，則（x1－x2）2=。

6．已知方程x2－kx+k=0的兩根平方和為3，則k的值為。

7．若x、y為實(shí)數(shù)，且x?22222y?3??3(2x?3),則y?

1x?1的值等于。

【例1】 分解因式：（1）a2b2-a2+4ab-b2+1 ；（2）（x2+2x＋4）（x2+2x+6）-8

【例2】已知a，b∈R，則不等式①a+3>2a，②a+b≥2(a－b－1)，③a+b>ab中一定成立的有_______． 2222

2【例3】已知：a、b為實(shí)數(shù)，且a2+4b2－2a+4b+2=0，求4a2－b的值。

【例4】求證：不論m、n為任何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程mx2＋(m＋2n)x+2n=0總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

【例5】（技巧題）甲、乙兩人同時(shí)從A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半時(shí)間用速度a，后一半時(shí)間用速度b，問哪個(gè)先到？

【例6】⑴已知M為△ABC的邊AB上的點(diǎn)，且AM+BM+CM=2AM+2BM+2CM－3，則

AC2+BC2=。⑵已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，則△ABC的形狀為。

x?2x?

6x?2x

?

1【例7】、解方程：

【例8】已知：△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程

x?(2k?3)x?k

?3k?2?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5．

（1）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？（2）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長(zhǎng)．

【例9】已知二次函數(shù)y =(k－1)x 2－2kx +k +2，（1）當(dāng)k為何值時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上？（2）當(dāng)k為何值時(shí)，圖象與x軸的兩交點(diǎn)間的距離為2 ？

【例10】某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高出售價(jià)格，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)一元，其銷售量將減少10件，問他將出售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使每天所獲利潤(rùn)最大?并且求出最大利潤(rùn)是多少?

四、闖關(guān)奪冠：

1．已知x+y+4x－2y+5=0，則3x-2y 的值是。

2．已知M=x－8x+22，N=－x+6x－3，則M、N的大小關(guān)系為。

x?

1x?

3x?

2x的值為__________．

3、已知．則

4、把代數(shù)式a2+16加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它能成為一個(gè)完全平方式，則所有符合條件的單項(xiàng)式是__________．

5．用配方法把二次函數(shù)y=2x2+3x+1寫成y=a(x+m)2+k的形式。6．設(shè)方程x+2x－1=0的兩實(shí)根為x1，x2，則（x1－x2）=。

7．將二次三項(xiàng)式x2+2x－2進(jìn)行配方，其結(jié)果為最小值為

8、（08上海中考）用換元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2時(shí)，如果設(shè)2x-1/x=y，并將原方程化為關(guān)于y的整式方程，那么這個(gè)方程為_____________。

9．已知方程x2－kx+k=0的兩根平方和為3，則k的值為。10．代數(shù)式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值為——————————。

x?

y?3??3(2x?3),則

y?

1x?1的值等于。

11．若x、y為實(shí)數(shù)，且12、13、如果a、b、c為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式b?c?2a?16a?14與

bc?a?4a?5，那么a的取值范圍范圍是．

13、不論m、n為何值，代數(shù)式m2+n2-2m+4n+5的值總是（）

A 非負(fù)數(shù)B 正數(shù)C 負(fù)數(shù)D 0

2x?x214、已知關(guān)于x的方程x?2ax?a?2a?2?0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足1=2，則a的值

2為（）

A．－3B.－3，1C.3，－1D.1

15、已知一個(gè)四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，其中a、c為對(duì)邊，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則四邊形是（）

A 任意四邊形；B 梯形；C平行四邊形；D 對(duì)角線互相垂直的四邊形；

16、對(duì)于分式1/x2-2x+m，不論x 取何實(shí)數(shù)都有意義，則m的取值范圍為（）

Am≥1，Bm≤1，Cm＞1，Dm＜

117、若a、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，則代數(shù)式a2 –2ab+b2 –c2的值（）

A 大于零B 等于零C 小于零D 不能確定

18、若2x－kx+9是一個(gè)完全平方式，求k的值.19、已知：菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)之和為2，菱形的面積為2，求菱形的周長(zhǎng)。

x

?

1x

?x?

1x

?4?020、解方程：（1）2x-6x+3=0(配方法)（2）

21、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）和點(diǎn)B（－1，－8），且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，求拋物線的解析式。

22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代數(shù)式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。

23、試判斷2005×2006×2007×2008+1是否是一個(gè)完全平方數(shù)。

222224、已知：△ABC的三這分別為a、b、c，且滿足等式3(a+b+c)=(a+b+c)，試說明該三角形是等邊三角形。

25、已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2-6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.262(1)求m的取值范圍；

(2)若x12+ x22=10，求拋物線的解析式 ；

(3)設(shè)(2)中的拋物線與y軸于點(diǎn)C,在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以P、0、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

27、觀察下列各式的特點(diǎn)，并回答下列問題：

（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，（-3）+（-5）—————2×（-3）×（-5），（-6）+（-6）——————2×（-6）×（-6）（2）若a、b為實(shí)數(shù)，則a2+b2、2ab的大小關(guān)系為a2+b2_______2ab，并證明其正確性。

28、已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（-1，3）．對(duì)稱軸為x=1，拋物線與x軸兩交點(diǎn)距離為4，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式？

29．關(guān)于x的一元二次方程x+(k+1)x－k－3=0(1)求證：該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若該方程的一根為2，求另一根的值．

30、(06南通中考)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0．

(1)求證：B－A>0，并指出A與B的大小關(guān)系；(2)指出A與C哪個(gè)大，并說明理由．

31、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（2，4）和點(diǎn)B（－1，－8），且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，求拋物線的解析式。

第二篇：數(shù)學(xué)換元法

換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設(shè)2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝ ＋ 的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sin α，α∈[0, ]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。

均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝ ＋t，y＝ －t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.設(shè)f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），則f(x)的值域是_______________。

3.已知數(shù)列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，則數(shù)列通項(xiàng)a ＝___________。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x ＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。

5.方程 ＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－ , ]，則y＝ ＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y ＝ ＋ ；

2小題：設(shè)x ＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log 4]； 3小題：已知變形為 － ＝－1,設(shè)b ＝，則b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；

4小題：設(shè)x＋y＝k，則x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小題：設(shè)3 ＝y(tǒng)，則3y ＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小題：設(shè)log(2 －1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2

第三篇：換元法及其應(yīng)用

換元法及其應(yīng)用

高一（2）班（C3）張宇

緒論：目的在于總結(jié)數(shù)學(xué)解題方法，靈活運(yùn)用換元法解題。

（一）選題引入

【例一】

其中(>1),則

【分析】

一般得求出的值域比較容易，但當(dāng)?shù)淖宰兞恳彩且粋€(gè)函數(shù)的時(shí)候求其值域相對(duì)比較困難，這時(shí)候換元法就大派用場(chǎng)了。

【解】 求的值域，首先要求出的表達(dá)式。的值域是_______。

函數(shù)一般我們習(xí)慣還是用

【例二】 解不等式：來表示，所以要把換成。

【分析】

這是包含對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，一般地對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)寫起來都比較麻煩，當(dāng)在一個(gè)等式或不等式中對(duì)數(shù)或指數(shù)出現(xiàn)次數(shù)很多的時(shí)候，一般可以考慮用換元法，把對(duì)數(shù)或指數(shù)換掉，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算的中間過程，減少因?yàn)閷戝e(cuò)寫漏而引起的錯(cuò)誤。

【解】 原不等式可以化為：

即，以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)。，以2為底的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)。

變量代換的一個(gè)共同的特點(diǎn)是：盡可能讓外表結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明白，盡可能將新鮮的問題轉(zhuǎn)化到熟悉的老問題中去。換元法關(guān)鍵的一步是變量代換，如何選擇，如何代換直接影響計(jì)算的復(fù)雜度，甚至影響到能否解決問題。

（二）選題概述

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

（三）選題分類

1、局部換元

又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設(shè)2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

2、三角換元

應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝√1-X^2值域時(shí)，若x∈[-1,1]，設(shè)x＝sin α，sinα∈[-1,1 ]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。

3、均值換元

如遇到x＋y＝2S形式時(shí)，設(shè)x＝ S＋t，y＝ S－t等等。

（四）換元法典型題歸納

1、整體換元

求函數(shù)y?sinxcosx?sinx?cosx的最大值.t2?1.? 解：設(shè)t?sinx?cosx(?2?y?2),?則sinx?cosx?

2t2?11y當(dāng)t?2?時(shí),?故y??t?(t?1)2?1.?222、三角換元 求函數(shù)y?x?5?x2的值域.解：令x?max?1?2.25sin?,???[???,],? 2

2?

4).則y??sin??|cos?|?sin??5cos??sin(??

因?yàn)?

所以??2???????2，?

4?4?3?.4所以??2??sin(??)?1，得??sin(??)? 424

所以函數(shù)的值域?yàn)閇?,].3、比值換元

y?1z?2?，試問實(shí)數(shù)x，y，z為何值時(shí)，x2+y2+z2達(dá)到最小23已知x，y，z滿足x-1=

值？

解：由比例可以設(shè)x?1y?1z?2???t，則 12

3x2?y2?z2?(t?1)2?(2t?1)2+(3t?2)2?14t2?10t?6.當(dāng)t??5時(shí)，即1

491213x?，y??，z?時(shí),?x2?y2?z2達(dá)到最小值.147144、不等量換元 ○

求證：111117.???????122233n2(n?1)2

4111111????(?).令22kk?1(k?1)(k?1)2k?1k?

11111111117k=2，3，…n，n+1，則2?2?3???2? ?1?(1???)?222n?1n?24123n(n?1)

證明：對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行變形

（五）分析結(jié)論

換元法貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，用這種方法可以讓解題更具條理性；對(duì)于學(xué)生來說，可以使思路更清晰，提高正確率；還有對(duì)于一些難題來說，換元法不失為一種捷徑。

（六）研究體會(huì)

數(shù)學(xué)雖為一門理科，但解題中的反復(fù)、歸納、積累是不可或缺的，生活中不經(jīng)意的好習(xí)慣也許會(huì)成為你將來成功的籌碼與階梯。

第四篇：高一小班三角函數(shù)與換元法

高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)與平面向量期末復(fù)習(xí)試題

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1．設(shè)P（3，?6），Q（?5，2），R的縱坐標(biāo)為?9，且P、Q、R三點(diǎn)共線，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．?9 B．?6 C．9 D．6

?2PP2, 則P點(diǎn)坐標(biāo)為（）2．己知P1(2,－1)、P2(0,5)且點(diǎn)P在P1P2的延長(zhǎng)線上,PP1A．(－2,11)

B．（24,3)

C．(,3)

33D．(2,－7)3．下面給出四個(gè)命題：

① ② ③ ④ 對(duì)于實(shí)數(shù)m和向量a、b，恒有m(a?b)?ma?mb； 對(duì)于實(shí)數(shù)m、n和向量a，恒有(m?n)a?ma?na； 若ma?mb(m?R,m?0)，則a?b；

若ma?na(a?0)，則m?n.其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

(A)(B)(C)(D)4 4．已知AB?3(e1?e2)，CB?e1?e2，CD?e1?2e2，則下列關(guān)系一定成立的是（）(A)A，B，C三點(diǎn)共線

(B)A，B，D三點(diǎn)共線

(C)A，C，D三點(diǎn)共線

(D)B，C，D三點(diǎn)共線

3且?是第三象限的角，則cos(??2?)的值是（）54443A．?

B．

C．?

D．

55555．已知sin(???)?6．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，則△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形

D．正三角形

7．設(shè)?、?、?∈R，且sin??sin??sin?，cos??cos??cos?，則???（）

????

C．或?

D．

3336

3二、填空題(每小題4分，共16分)A．??

B．8．已知a?(2,1),b?(k,3),若（∥ 則k的___________________.（2a?b），a?2b）9.函數(shù)y?cos(?x??3)的增區(qū)間________________________。

sinα－2cosα10．若α滿足＝2，則sinα·cosα的值等于______________________.sinα＋3cosα

三、解答題（第15題10分，第16,17題各11分，第18題12分,）

11．已知x?????2??,?（1）求函數(shù)y?cosx的值域； ?33?（2）求函數(shù)y??3sin2x?4cosx?4的最大值和最小值.12．已知sin(??（1）求sin?

13．已知f(x)?2sin(x??4)?772，cos2??，2510?cos?的值；（2）求tan(??)的值.3??)cos(x?)?23cos2(x?)?3

222??（1）化簡(jiǎn)f(x)的解析式；

（2）若0????，求?使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

（3）在（2）成立的條件下，求滿足f(x)?1,x????,??的x的集合.214。已知關(guān)于x的方程4x-2（m+1）x+m=0的兩個(gè)根恰好是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的余弦，求實(shí)數(shù)m的值.15.已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小

17.（本小題滿分10分）

設(shè) a???1,1?,b??4,3?,c??5,?2?（Ⅰ）若a?tb//c，求實(shí)數(shù)t的值；（Ⅱ）求c在a方向上的射影

18.（本小題滿分12分）

已知向量a??sin?,?2?與b??1,cos??互相垂直，其中???0,（Ⅰ）求sin?和cos?的值；

（Ⅱ）若5cos??????35cos?，0???

19.（本小題滿分12分）在?ABC中，?B????????.2??2，求cos?的值．

?3（Ⅰ）求sinA?sinC的取值范圍；

（Ⅱ）若?A為銳角，求f?A?=sinA?cosA?2sinAcosA的最大值并求出此時(shí)角A的大小．.20.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)?sin?x?3cos?x?cos(兩條對(duì)稱軸之間的距離為2?2??x)(??0)，且函數(shù)y?f(x)的圖象相鄰?.2（Ⅰ）求f?x?的對(duì)稱中心；

（Ⅱ）當(dāng)x??0,??時(shí)，求f?x?的單調(diào)增區(qū)間．

21.（本小題滿分12分）

3x3xxx?,sin),b?(cos,?sin),x?[0,] 22222（Ⅰ）用含x的式子表示a?b及a?b； 已知向量a?(cos（Ⅱ）求函數(shù)f?x??a?b?4a?b的值域；

（Ⅲ）設(shè)g?x??a?b?ta?b，若關(guān)于x的方程g?x??2?0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

換元法

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.設(shè)f(x＋1)＝loga(4－x)（a>1），則f(x)的值域是_______________。3.已知數(shù)列{an}中，a1＝－1，an?1·an＝an?1－an，則數(shù)列通項(xiàng)an＝___________。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。2241?3?x5.方程＝3的解是_______________。

1?3x6.不等式log2(2－1)·log2(2xx?1－2)〈2的解集是_______________。

27.設(shè)a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

8.已知f(x)＝lgx(x>0)，則f(4)的值為_____。A.2lg2 B.1lg2 C.2lg2 D.2lg4 3339.函數(shù)y＝(x＋1)4＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。

A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-10.函數(shù)y＝2x＋x?1的值域是________________。3∞,-1]

第五篇：怎樣用換元法證明不等式

怎樣用換元法證明不等式

陸世永

我們知道,無論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個(gè)難點(diǎn)。人們?cè)谧C明不等式時(shí)創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡(jiǎn),或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。

一、利用對(duì)稱性換元,化繁為簡(jiǎn)

例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a(bǔ),b,c中的兩個(gè)互換,不等式不變,說明這是一個(gè)對(duì)稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:

?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個(gè)較簡(jiǎn)單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則

a?

?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當(dāng)xyz?0時(shí),有

?x?y???y?z???z?x??8xyz；

當(dāng)xyz?0時(shí),有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個(gè)不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此

yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?

2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有

?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:

abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:

?a

?b?c

?a??

?b?c

?

??ab?bc?ca?

??

?a?b?c?2?a2

?b?c??ab?bc?ca?.?

分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個(gè)對(duì)稱不等式,因此可考慮令

x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則

x

?y?2z,y?z?

??a?b?

??b?c???c?a?

??0,原不等式可化為:

yy?z

?

??

x

?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:

yy?z

?

???y?2z???y?z?,?y?z??y2

?yz??y?2z??y?z??0,?

2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對(duì)于類似于例1與例2的對(duì)稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡(jiǎn)化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3已知a,b,c是?ABC三邊的長(zhǎng)，求證：

ab?bc?ca?ab?bc?ca

.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?

則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2????z?z????

?z2?

???x?x????

?x2?

??

?y?y??2x?2y?2z.??

利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。

證明:設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2?

????z?z???

?z2?

????x?x???

?x2?

???2x?2y?2z.???1? ?y?y???

又因?yàn)閤,y,z?R?,則有

y

z

?z?2y,z

x

?x?2z,x

y

?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式。

三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元

例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?

1???a?

a?

1??1???b??????1.a??b?

分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對(duì)比,發(fā)現(xiàn)a相當(dāng)于sec2?，b相當(dāng)于

tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???

?

??

?

??

?.2?

證明:令a?sec2?,b?tan2??0???

1???a?

1??????a??

??

?, 則 2?

a?b?

1??? b?

sec??1tan??

1???

2sec?tan?sec?

?sin??1，可見原不等式成立。

例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?

.分析:由x2?y2?1,知點(diǎn)?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則

x?2xy?y

?rcos2??sin2?

?

???2

2rcos?2???

4??2r?

?

2.從例4，例5可以看出，證明不等式時(shí)，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6n個(gè)正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:

xn?1xn?1?xn

x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

?

xn

xn?x1

?

.分析:就這個(gè)不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不?/p>

式卻難以證明這個(gè)不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令x1?

x2?x3

xn?x1

n

x1?x2

?m1,x2?

?m2,?,xn?

?mn（其中?mi?0）.i?1

證明:令x1?

n

x1?x2

?m1,x2?

x2?x3

?m2,?,xn?

xn?x1

?mn,則

?m

i?1

i

?0.x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

xn?1xn?1?xn

?

xn

xn?x1

?1?

??x?x?m1n??2n??

xn?x1

?

?1?

??x?x?m21??21??

x1?x2

?

?1?

??x?x?m32??22??

x2?x3

???

?

x1?x2

?

x2?x3

4mn

???

xn?x1

??m1?m2???mn??

m1

x1?x2

?

m2

x2?x3

???

xn?x1

?

2?x1?x2???xn?

?，因而原不等式成立。

例6說明，在證明不等式時(shí)，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進(jìn)行換元。