第一篇：淺談?chuàng)Q元法在幼兒園語(yǔ)言教育中的妙用

淺談?chuàng)Q元法在幼兒園語(yǔ)言教育中的妙用

開封市實(shí)驗(yàn)幼兒園 茅開榮

【內(nèi)容摘要】

換元法能夠有效地促進(jìn)幼兒語(yǔ)言學(xué)習(xí)和運(yùn)用，巧妙運(yùn)用換元法于詩(shī)歌、故事和游戲中，一方面使幼兒提高了對(duì)語(yǔ)言學(xué)習(xí)的興趣，更進(jìn)一步的理解詞語(yǔ)和句式的含義及其用法，將詞組和句式在創(chuàng)編的過程中得以鞏固、加深印象，繼而達(dá)到融匯貫通的目的；另一方面，也增強(qiáng)了幼兒學(xué)習(xí)語(yǔ)言的靈活性、變通性，使孩子們的語(yǔ)言學(xué)習(xí)活而不僵、靈而不亂。正所謂是“老方法新途徑”！

【關(guān)鍵詞】換元法 語(yǔ)言教育 創(chuàng)新能力 學(xué)習(xí)環(huán)境

【參考文獻(xiàn)】

1、《幼兒園教育指導(dǎo)綱要》（試行）中華人民共和國(guó)教育部 北京師范大學(xué)出版社2001年版

2、《幼兒語(yǔ)言教學(xué)法》 作者 楊文 中國(guó)書籍出版社2006-10-1版

3、《“現(xiàn)代幼兒語(yǔ)言”教學(xué)中的活動(dòng)設(shè)計(jì)》 作者 盧君 科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社2004年版

4、《幼兒心理學(xué)》 作者 李紅 人民教育出版社2007-3-1版

5、《柯達(dá)伊音樂教育》 作者 楊立梅 中國(guó)人民大學(xué)出版社 1994年10月第一版

淺談?chuàng)Q元法在幼兒園語(yǔ)言教育中的妙用

換元法原來(lái)自于數(shù)學(xué)領(lǐng)域解題時(shí)用的，用一個(gè)變量去代替一個(gè)構(gòu)造元，從而使問題得到簡(jiǎn)化，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究運(yùn)用。換元法是語(yǔ)言詩(shī)歌教學(xué)中一種常用的教學(xué)方法，即把詩(shī)歌中的某一個(gè)元素替換成另一個(gè)同類或相近的元素，從而達(dá)到讓幼兒進(jìn)一步鞏固練習(xí)詩(shī)歌，體會(huì)詩(shī)歌的整體韻律，學(xué)會(huì)仿編詩(shī)歌，達(dá)到知識(shí)遷移的一種行之有效的學(xué)習(xí)方法。根據(jù)多年的語(yǔ)言教學(xué)實(shí)踐，換元法還可以滲透在幼兒的語(yǔ)言學(xué)習(xí)中。《綱要》中指出：“語(yǔ)言能力是在運(yùn)用的過程中發(fā)展起來(lái)的，發(fā)展幼兒語(yǔ)言的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)一個(gè)能使他們想說、敢說、喜歡說、有機(jī)會(huì)說并能得到積極應(yīng)答的環(huán)境！”因此我們應(yīng)該為幼兒創(chuàng)設(shè)更多更好的語(yǔ)言環(huán)境，激發(fā)幼兒主動(dòng)運(yùn)用語(yǔ)言表達(dá)自己的想法。經(jīng)實(shí)踐我們可以將“換元法”滲透到了以下幾種語(yǔ)言活動(dòng)環(huán)境進(jìn)行：

一、詩(shī)歌童謠中的換元法能夠有效促進(jìn)幼兒語(yǔ)言和創(chuàng)新思維的發(fā)展 詩(shī)歌童謠是幼兒學(xué)習(xí)語(yǔ)言時(shí)最喜歡的一種體裁，它格式整齊，韻律感強(qiáng)，押韻上口，幼兒仿編起來(lái)也比較容易。如：在詩(shī)歌《祖國(guó)、祖國(guó),幸福的搖籃》中，“遼闊的大地是花朵的搖籃，無(wú)邊的天空是星星的搖籃，偉大的祖國(guó)是我們的搖籃??”，我們利用詩(shī)歌中的一些有關(guān)聯(lián)的事物為單元進(jìn)行換元，提高幼兒對(duì)詩(shī)歌的理解和以往知識(shí)的遷移運(yùn)用。啟發(fā)幼兒思考：詩(shī)歌中是“遼闊的大地”，想想還有什么地方也可以用“遼闊的”來(lái)形容呢？“這些地方是誰(shuí)的搖籃呢？”幼兒漸漸仿編出了新的詩(shī)歌“遼闊的大海是魚兒的搖籃，無(wú)邊的沙漠是駱駝的搖籃??”幼兒用換元仿編詩(shī)歌的時(shí)候，不但要在腦子里尋找哪些事物間有聯(lián)系，而且同時(shí)還要兼顧到語(yǔ)言押韻，這樣思維篩選的過程又是對(duì)知識(shí)遷移能力的一種鍛煉。當(dāng)幼兒用換元法自己仿編出新的童謠和小伙伴們一起朗誦時(shí)，興奮和喜悅溢于言表，成功的體驗(yàn)讓幼兒心理上得到滿足，幫助幼兒建立自信心。

二、在故事中的換元法能夠幫助幼兒仿編故事，提高語(yǔ)言表達(dá)能力 仿編故事對(duì)于促進(jìn)幼兒想象力、創(chuàng)造力的發(fā)展以及提高幼兒的語(yǔ)言表達(dá)能力有很重要的作用。換元法就可以幫助幼兒拓寬思路以換元的形式仿編出許多新故事。

1、故事中典型句式的換元 每個(gè)故事中都包含有許多優(yōu)美的詞語(yǔ)和典型的句式，如故事《逃家小兔》中，如果兔寶寶變成小魚，兔媽媽就變成捕魚的人；如果兔寶寶變成小花藏到花園里，兔媽媽就變成園丁陪在小兔身邊來(lái)照顧它。老師就可以針對(duì)故事中“如果??就??”這個(gè)句式，引發(fā)幼兒思考，“如果你是那只小兔子，你會(huì)變成什么藏起來(lái)呢？”或是轉(zhuǎn)換角色“如果你是兔媽媽，你的寶寶變成帆船，你就會(huì)變成什么陪在它身邊？”這樣句式中的換元，既啟發(fā)幼兒進(jìn)行了創(chuàng)造性的思考又讓幼兒一遍遍的復(fù)習(xí)鞏固了句式練習(xí)。為以后同種情景下的句式運(yùn)用做好了語(yǔ)言儲(chǔ)備。

2、故事中主角和配角的換元 大班上期有一個(gè)故事《老奶奶的新房子》，故事中的主角是老奶奶，配角是鄰居成員，我們就啟發(fā)幼兒將此故事利用換元法仿編成森林里小動(dòng)物身上發(fā)生的故事，老師還出示許多動(dòng)物圖片供幼兒參考，結(jié)果孩子們就編出了《老山羊的新房子》、《老兔子的新房子》等等情節(jié)相同的新故事來(lái)。在分享環(huán)節(jié)中，孩子們一邊為自己的創(chuàng)新而興奮一邊為“老奶奶”變成了“老山羊”而可笑不已。

3、故事中關(guān)鍵情節(jié)的換元 故事《小馬過河》中“過河”是故事發(fā)展的關(guān)鍵情節(jié)，我們讓孩子想象小馬在運(yùn)糧的過程中還會(huì)遇上什么困難呢？幼兒結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)，想出了“爬山”、“過山洞”、“跨小橋”等體育游戲中經(jīng)常遇到的障礙，在老師的引導(dǎo)下編出了小馬如何通過自己的智慧和嘗試爬過高山的，故事的名字就叫《小馬運(yùn)糧》、《小馬鉆山洞》等，因?yàn)楣适虑楣?jié)的變化會(huì)引起相關(guān)事物的一些變化，比如小馬在運(yùn)糧過程中要爬山，遇到老牛會(huì)怎么說？遇到松鼠會(huì)怎么說？這將在仿編過程中語(yǔ)言組織的難度更大，而且幼兒的

思維需要更靈活，老師一定給予幼兒適宜的引導(dǎo)和協(xié)助，共同完成故事的仿編。另外還可以啟發(fā)幼兒想象改編故事結(jié)尾，使故事發(fā)生更意想不到的結(jié)果。“故事除了現(xiàn)在的結(jié)局，還有可能發(fā)生其它新的故事結(jié)尾嗎？”比如在故事《不講衛(wèi)生的嚕嚕豬》，幼兒從多個(gè)方面來(lái)考慮嚕嚕豬不講衛(wèi)生的后果，可能是有病上醫(yī)院打針了；可能是在小動(dòng)物朋友的幫助下變得愛清潔、講衛(wèi)生了；也有可能是嚕嚕豬臟到別人都認(rèn)不出來(lái)了，沒有人愿意和它做朋友了等等。這樣一來(lái)，孩子們改編故事的積極性頓時(shí)高漲起來(lái)，紛紛表示要將自己與眾不同的故事結(jié)尾和小伙伴們分享，孩子們的語(yǔ)言表達(dá)能力因此也得到進(jìn)一步的提高。

三、換元法能夠使游戲常玩常新

語(yǔ)言游戲中的換元法也將帶給幼兒意想不到的學(xué)習(xí)效果，不僅可以增加幼兒對(duì)語(yǔ)言活動(dòng)的興趣，而且還大大提高了幼兒的語(yǔ)言運(yùn)用能力。如：手指游戲“頂鍋蓋”，“頂鍋蓋，頂鍋蓋，辣椒辣了不能怪”我們可以利用“換元法”把它改成語(yǔ)言游戲，老師啟發(fā)幼兒回憶自己吃過的飯菜，哪些比較喜歡？哪些飯菜不合胃口？然后把這些新想出來(lái)飯菜和口味都編到雙人游戲中玩，規(guī)則是不能和小伙伴說重復(fù)。你看孩子編出的五花八門的游戲詞“菠菜咸了不能怪”、“牛肉硬了不能怪”、“雞蛋臭了不能怪”，這些幽默詼諧的游戲童謠更增加了幼兒間游戲的趣味性，提高了幼兒對(duì)語(yǔ)言學(xué)習(xí)的靈活運(yùn)用能力。

幼兒學(xué)習(xí)語(yǔ)言就是在這種輕松、自然的的氛圍中，反復(fù)感知、使用的過程中而自然習(xí)得。巧用換元法，一方面使幼兒提高了對(duì)語(yǔ)言學(xué)習(xí)的興趣，更進(jìn)一步的理解詞語(yǔ)和句式的含義及其用法，將詞組和句式在創(chuàng)編的過程中得以鞏固、加深印象，繼而達(dá)到融匯貫通的目的；另一方面，詩(shī)歌、故事和游戲中的創(chuàng)編增強(qiáng)了幼兒學(xué)習(xí)語(yǔ)言的靈活性、變通性，是孩子們的語(yǔ)言學(xué)習(xí)活而不僵、靈而不亂，有效地促進(jìn)幼兒語(yǔ)言的發(fā)展。

第二篇：數(shù)學(xué)換元法

換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設(shè)2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝ ＋ 的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sin α，α∈[0, ]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。

均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝ ＋t，y＝ －t等等。

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.設(shè)f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），則f(x)的值域是_______________。

3.已知數(shù)列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，則數(shù)列通項(xiàng)a ＝___________。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x ＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。

5.方程 ＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－ , ]，則y＝ ＋t－，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝，y ＝ ＋ ；

2小題：設(shè)x ＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log 4]； 3小題：已知變形為 － ＝－1,設(shè)b ＝，則b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；

4小題：設(shè)x＋y＝k，則x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小題：設(shè)3 ＝y(tǒng)，則3y ＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小題：設(shè)log(2 －1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2

第三篇：換元法及其應(yīng)用

換元法及其應(yīng)用

高一（2）班（C3）張宇

緒論：目的在于總結(jié)數(shù)學(xué)解題方法，靈活運(yùn)用換元法解題。

（一）選題引入

【例一】

其中(>1),則

【分析】

一般得求出的值域比較容易，但當(dāng)?shù)淖宰兞恳彩且粋€(gè)函數(shù)的時(shí)候求其值域相對(duì)比較困難，這時(shí)候換元法就大派用場(chǎng)了。

【解】 求的值域，首先要求出的表達(dá)式。的值域是_______。

函數(shù)一般我們習(xí)慣還是用

【例二】 解不等式：來(lái)表示，所以要把換成。

【分析】

這是包含對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式，一般地對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)寫起來(lái)都比較麻煩，當(dāng)在一個(gè)等式或不等式中對(duì)數(shù)或指數(shù)出現(xiàn)次數(shù)很多的時(shí)候，一般可以考慮用換元法，把對(duì)數(shù)或指數(shù)換掉，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算的中間過程，減少因?yàn)閷戝e(cuò)寫漏而引起的錯(cuò)誤。

【解】 原不等式可以化為：

即，以2為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù)。，以2為底的指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)。

變量代換的一個(gè)共同的特點(diǎn)是：盡可能讓外表結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明白，盡可能將新鮮的問題轉(zhuǎn)化到熟悉的老問題中去。換元法關(guān)鍵的一步是變量代換，如何選擇，如何代換直接影響計(jì)算的復(fù)雜度，甚至影響到能否解決問題。

（二）選題概述

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

（三）選題分類

1、局部換元

又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設(shè)2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。

2、三角換元

應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝√1-X^2值域時(shí)，若x∈[-1,1]，設(shè)x＝sin α，sinα∈[-1,1 ]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r（r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。

3、均值換元

如遇到x＋y＝2S形式時(shí)，設(shè)x＝ S＋t，y＝ S－t等等。

（四）換元法典型題歸納

1、整體換元

求函數(shù)y?sinxcosx?sinx?cosx的最大值.t2?1.? 解：設(shè)t?sinx?cosx(?2?y?2),?則sinx?cosx?

2t2?11y當(dāng)t?2?時(shí),?故y??t?(t?1)2?1.?222、三角換元 求函數(shù)y?x?5?x2的值域.解：令x?max?1?2.25sin?,???[???,],? 2

2?

4).則y??sin??|cos?|?sin??5cos??sin(??

因?yàn)?

所以??2???????2，?

4?4?3?.4所以??2??sin(??)?1，得??sin(??)? 424

所以函數(shù)的值域?yàn)閇?,].3、比值換元

y?1z?2?，試問實(shí)數(shù)x，y，z為何值時(shí)，x2+y2+z2達(dá)到最小23已知x，y，z滿足x-1=

值？

解：由比例可以設(shè)x?1y?1z?2???t，則 12

3x2?y2?z2?(t?1)2?(2t?1)2+(3t?2)2?14t2?10t?6.當(dāng)t??5時(shí)，即1

491213x?，y??，z?時(shí),?x2?y2?z2達(dá)到最小值.147144、不等量換元 ○

求證：111117.???????122233n2(n?1)2

4111111????(?).令22kk?1(k?1)(k?1)2k?1k?

11111111117k=2，3，…n，n+1，則2?2?3???2? ?1?(1???)?222n?1n?24123n(n?1)

證明：對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行變形

（五）分析結(jié)論

換元法貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，用這種方法可以讓解題更具條理性；對(duì)于學(xué)生來(lái)說，可以使思路更清晰，提高正確率；還有對(duì)于一些難題來(lái)說，換元法不失為一種捷徑。

（六）研究體會(huì)

數(shù)學(xué)雖為一門理科，但解題中的反復(fù)、歸納、積累是不可或缺的，生活中不經(jīng)意的好習(xí)慣也許會(huì)成為你將來(lái)成功的籌碼與階梯。

第四篇：怎樣用換元法證明不等式

怎樣用換元法證明不等式

陸世永

我們知道,無(wú)論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個(gè)難點(diǎn)。人們?cè)谧C明不等式時(shí)創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。

所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡(jiǎn),或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,變得容易處理。

一、利用對(duì)稱性換元,化繁為簡(jiǎn)

例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a(bǔ),b,c中的兩個(gè)互換,不等式不變,說明這是一個(gè)對(duì)稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:

?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個(gè)較簡(jiǎn)單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。

證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則

a?

?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當(dāng)xyz?0時(shí),有

?x?y???y?z???z?x??8xyz；

當(dāng)xyz?0時(shí),有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個(gè)不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此

yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?

2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有

?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:

abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:

?a

?b?c

?a??

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?a?b?c?2?a2

?b?c??ab?bc?ca?.?

分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個(gè)對(duì)稱不等式,因此可考慮令

x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。

證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則

x

?y?2z,y?z?

??a?b?

??b?c???c?a?

??0,原不等式可化為:

yy?z

?

??

x

?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:

yy?z

?

???y?2z???y?z?,?y?z??y2

?yz??y?2z??y?z??0,?

2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對(duì)于類似于例1與例2的對(duì)稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡(jiǎn)化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。

二、借助幾何圖形換元

例3已知a,b,c是?ABC三邊的長(zhǎng)，求證：

ab?bc?ca?ab?bc?ca

.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?

則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2????z?z????

?z2?

???x?x????

?x2?

??

?y?y??2x?2y?2z.??

利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。

證明:設(shè)D,E,F為切點(diǎn),令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:

?y2?

????z?z???

?z2?

????x?x???

?x2?

???2x?2y?2z.???1? ?y?y???

又因?yàn)閤,y,z?R?,則有

y

z

?z?2y,z

x

?x?2z,x

y

?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

從例3可以看出，在證明不等式時(shí)，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來(lái)證明不等式。

三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元

例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?

1???a?

a?

1??1???b??????1.a??b?

分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對(duì)比,發(fā)現(xiàn)a相當(dāng)于sec2?，b相當(dāng)于

tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???

?

??

?

??

?.2?

證明:令a?sec2?,b?tan2??0???

1???a?

1??????a??

??

?, 則 2?

a?b?

1??? b?

sec??1tan??

1???

2sec?tan?sec?

?sin??1，可見原不等式成立。

例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?

.分析:由x2?y2?1,知點(diǎn)?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則

x?2xy?y

?rcos2??sin2?

?

???2

2rcos?2???

4??2r?

?

2.從例4，例5可以看出，證明不等式時(shí)，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式。

四、借助均值不等式換元

例6n個(gè)正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:

xn?1xn?1?xn

x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

?

xn

xn?x1

?

.分析:就這個(gè)不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不?/p>

式卻難以證明這個(gè)不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令x1?

x2?x3

xn?x1

n

x1?x2

?m1,x2?

?m2,?,xn?

?mn（其中?mi?0）.i?1

證明:令x1?

n

x1?x2

?m1,x2?

x2?x3

?m2,?,xn?

xn?x1

?mn,則

?m

i?1

i

?0.x1

x1?x2

?

x2

x2?x3

???

xn?1xn?1?xn

?

xn

xn?x1

?1?

??x?x?m1n??2n??

xn?x1

?

?1?

??x?x?m21??21??

x1?x2

?

?1?

??x?x?m32??22??

x2?x3

???

?

x1?x2

?

x2?x3

4mn

???

xn?x1

??m1?m2???mn??

m1

x1?x2

?

m2

x2?x3

???

xn?x1

?

2?x1?x2???xn?

?，因而原不等式成立。

例6說明，在證明不等式時(shí)，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進(jìn)行換元。

第五篇：不等式證明四(換元法)

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：不等式證明四（換元法）

目的：增強(qiáng)學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。

過程：

一、提出課題：（換元法）

二、三角換元：

證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x?

則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos?

?3?(2cot2??tan2?)?3?2

2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2

證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|

????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??

例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1)

證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2

小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。

?)。2

??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0???

三、代數(shù)換元：

例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa

1證：設(shè)x?a?,ay?a2?

21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a??

x?y?a?11?a2?2?2?2（當(dāng)a = 1時(shí)取“=”）

aa

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3