第一篇：不等式證明四(換元法)
Xupeisen110高中數(shù)學(xué)
教材：不等式證明四（換元法）
目的：增強學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。
過程：
一、提出課題：（換元法）
二、三角換元：
證一：證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x?
則2sin?,2y?cos2? 1121????2(1?cot2?)?(1?tan2?)22xysin?cos?
?3?(2cot2??tan2?)?3?2
2例三：若x2?y2?1，求證：|x2?2xy?y2|?2
證：設(shè)x?rsin?,y?rcos?,(0?r?1)，1則|x2?2xy?y2|?|r2cos2??2r2cos?sin??r2sin2?|
????r2|cos2??sin2?|?2r2cos?2????2r2?2 4??
例四：若x > 1，y > 1，求證：xy?1?(x?1)(y?1)
證：設(shè)x?sec2?,?y?sec2?,(0??,??)2?)2
小結(jié) 若x2?y2?1，則可令x = sec?, y = tan?(0???2?)。
?)。2
??若x?R，則可令x = tan?(????)。22若x≥1，則可令x = sec?(0???
三、代數(shù)換元：
例六：證明：若a > 0，則a2?11?2?a??2 2aa
1證：設(shè)x?a?,ay?a2?
21,(a?0,x?2,y?2)2a21??21?則x2?y2??a?a?2??2 ??????a??a??
x?y?a?11?a2?2?2?2（當(dāng)a = 1時取“=”）
aa
四、小結(jié)：
五、作業(yè)：
1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3
第二篇：怎樣用換元法證明不等式
怎樣用換元法證明不等式
陸世永
我們知道,無論在中學(xué),還是在大學(xué),不等式的證明都是一個難點。人們在證明不等式時創(chuàng)造了許多方法,其中有換元法。下面我們探索怎樣用換元法證明不等式。
所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,從而化繁為簡,或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化,以便證題。其換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。
一、利用對稱性換元,化繁為簡
例1設(shè)a,b,c?R?,求證:abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.分析:經(jīng)過觀察,我們發(fā)現(xiàn),把a,b,c中的兩個互換,不等式不變,說明這是一個對稱不等式,如果我們令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則原不等式可化為:
?x?y???y?z???z?x??8xyz.這是一個較簡單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式,因而可以按上述換元證明不等式。
證明:令x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c,則
a?
?12?y?z?,b?12?x?z?,c?12?x?y?.?a,b,c?R,?當(dāng)xyz?0時,有
?x?y???y?z???z?x??8xyz；
當(dāng)xyz?0時,有x,y,z?R?(否則x,y,z中必有兩個不為正值,不妨設(shè)x?0, y?0,則c?0,這與c?0矛盾), 因此
yz?0,z?x?2zx?0, x?y?2xy?0,y?z?
2?x?y???y?z???z?x??8xyz,綜上所述,恒有
?x?y???y?z???z?x??8xyz,把x,y,z代入上式得:
abc??b?c?a???c?a?b???a?b?c?.例2設(shè)a,b,c?R,求證:
?a
?b?c
?a??
?b?c
?
??ab?bc?ca?
??
?a?b?c?2?a2
?b?c??ab?bc?ca?.?
分析:類似于例1,我們不難發(fā)現(xiàn),這也是一個對稱不等式,因此可考慮令
x?a?b?c,y?a?b?c,z?ab?bc?ca,則原不等式可化為2?y?z?z2?0.這是一個簡單的不等式,由已知條件可證該不等式,因此我們可按上述換元證明原不等式。
證明:令x?a?b?c,y?a2?b2?c2,z?ab?bc?ca,則
x
?y?2z,y?z?
??a?b?
??b?c???c?a?
??0,原不等式可化為:
yy?z
?
??
x
?y?z?2,將x2?y?2z,代入上式得:
yy?z
?
???y?2z???y?z?,?y?z??y2
?yz??y?2z??y?z??0,?
2?y?z?z?0,又由已知條件可知,2?y?z?z2?0成立,而上述過程可逆,因此原不等式成立。對于類似于例1與例2的對稱不等式，可以結(jié)合不等式的具體形式換元，簡化不等式的結(jié)構(gòu)，使得不等式容易證明。
二、借助幾何圖形換元
例3已知a,b,c是?ABC三邊的長，求證：
ab?bc?ca?ab?bc?ca
.分析:(如圖)作?ABC的內(nèi)切圓,設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,(其中x,y,z?R?
則原不等式可轉(zhuǎn)化為:
?y2????z?z????
?z2?
???x?x????
?x2?
??
?y?y??2x?2y?2z.??
利用重要不等式:a?b?2ab可證該不等式,因此可以通過上述換元證明原不等式。
證明:設(shè)D,E,F為切點,令x?BD,y?CD,z?AE,則原不等式可轉(zhuǎn)化為:
?y2?
????z?z???
?z2?
????x?x???
?x2?
???2x?2y?2z.???1? ?y?y???
又因為x,y,z?R?,則有
y
z
?z?2y,z
x
?x?2z,x
y
?y?2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。
從例3可以看出，在證明不等式時，我們可以根據(jù)題意結(jié)合幾何圖形進(jìn)行分析、換元，從而借助幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式。
三、借助三角函數(shù)的性質(zhì)換元
例4已知:a?1,b?0,a?b?1,求證:0?
1???a?
a?
1??1???b??????1.a??b?
分析:由于a?1,b?0,a?b?1,并且不等式中有a,b,因此我們聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系:sec2??tan2??1.經(jīng)過對比,發(fā)現(xiàn)a相當(dāng)于sec2?，b相當(dāng)于
tan?，因而可令：a?sec2?,b?tan2??0???
?
??
?
??
?.2?
證明:令a?sec2?,b?tan2??0???
1???a?
1??????a??
??
?, 則 2?
a?b?
1??? b?
sec??1tan??
1???
2sec?tan?sec?
?sin??1，可見原不等式成立。
例5若x2?y2?1,求證:x2?2xy?y2?
.分析:由x2?y2?1,知點?x,y?在圓x2?y2?1的內(nèi)部或邊界上,因此可以考慮變換:x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??.證明:設(shè)x?rsin?,y?rcos? ?0?r?1,0???2??, 則
x?2xy?y
?rcos2??sin2?
?
???2
2rcos?2???
4??2r?
?
2.從例4，例5可以看出，證明不等式時，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式。
四、借助均值不等式換元
例6n個正數(shù)x1,x2,?xn,它們的和是1,求證:
xn?1xn?1?xn
x1
x1?x2
?
x2
x2?x3
???
?
xn
xn?x1
?
.分析:就這個不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不?/p>
式卻難以證明這個不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?，可令x1?
x2?x3
xn?x1
n
x1?x2
?m1,x2?
?m2,?,xn?
?mn（其中?mi?0）.i?1
證明:令x1?
n
x1?x2
?m1,x2?
x2?x3
?m2,?,xn?
xn?x1
?mn,則
?m
i?1
i
?0.x1
x1?x2
?
x2
x2?x3
???
xn?1xn?1?xn
?
xn
xn?x1
?1?
??x?x?m1n??2n??
xn?x1
?
?1?
??x?x?m21??21??
x1?x2
?
?1?
??x?x?m32??22??
x2?x3
???
?
x1?x2
?
x2?x3
4mn
???
xn?x1
??m1?m2???mn??
m1
x1?x2
?
m2
x2?x3
???
xn?x1
?
2?x1?x2???xn?
?，因而原不等式成立。
例6說明，在證明不等式時，可以從不等式的形式出發(fā)，借助均值不等式進(jìn)行換元。
第三篇：換元法證明不等式
換元法證明不等式
已知a,b,c,d都是實數(shù),且滿足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求證:|ac+bd|≤
2a=cosA,b=sinA
c=2cosB,d=2sinB
|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|
<=2
得證
若x+y+z=1，試用換元法證明x2+y2+z2≥1/
3解法一：(換元法)
證明：因為
(x-1/3)^2+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0
展開，得
x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0
x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0
x^2+y^2+z^2≥1/3。
其中等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1/3時成立
解法二：
因為:x+y+z=
1所以:(x+y+z)2=1
化解為:x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1
又因為：
x2+y2≥2xy;
x2+z2≥2xz;
y2+z2≥2yz;
所以x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=1<=3(x2+y2+z2)
固x2+y2+z2≥1/3
例1：已知a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3
證明：令a=m+1/3，b=n+1/3，c=t+1/3，則m+n+t=0
∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2
=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3
=m2+n2+t2+1/3
∵m2+n2+t2≥0，∴a2+b2+c2≥1/3得證。
換元的目的：轉(zhuǎn)化、化簡已知條件，使已知條件更易于使用。
例2：已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)
證明：令x=a-b，y=b-c，則a-c=x+y且x>0，y>0
∴原不等式轉(zhuǎn)化為：1/x+1/y≥4/(x+y)
因此，只要證明：(x+y)/x+(x+y)/y≥
4只要證：1+y/x+1+x/y≥4
只要證：y/x+x/y≥2，而y/x+x/y≥2恒成立。
∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)得證。
換元的目的：
化簡、化熟命題，把復(fù)雜的、不熟悉的命題化為簡單的、熟悉的命題。
例3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求證：(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/
2證明：令x2+y2=t
由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0整理得：
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
∴(x2+y2)2-3(x2+y2)+1≤0
∴t2-3t+1≤0，解之得：(3-√5)/2≤t≤(3+√5)/2
∴(3-√5)/2≤x2+y2≤(3+√5)/2得證。
換元的目的：轉(zhuǎn)化條件，建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系。
例4：已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3，求證：x2+y2+z2≥59/1
4證明：設(shè)x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k，則x=k+1，y=2k-1，z=3k+2
∴x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2
=14k2+10k+6
=14(k2+5k/7)+6
=14(k+5/14)2+59/14≥59/14
∴x2+y2+z2≥59/14得證。
換元的目的：減少未知數(shù)的個數(shù)，直接利用已知條件。
例5：已知a>0，求證：(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5
證明：設(shè)t1=a0.5，t2=(a+a0.5)0.5，……，tn=(a+(a+(a+(a+…+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5tn=(a+tn-1)0.5
tn2=a+tn-1，且tn>0，而tn>tn-
1∴tn20
∴tn
換元的目的：轉(zhuǎn)換、化簡命題
例6：已知a≥c>0，b≥c，求證：√c(a-c)+√c(b-c)≤√ab
證明：要證明原不等式，只要證明：
√c(a-c)/ab+√c(b-c)/ab≤
1只要證明：√(c/b)(1-c/a)+√c/a(1-c/b)≤1
令sinα=√c/b，sinβ=√c/a，且α、β∈(0，π]
只要證明：sinαcosβ+cosαsinβ≤
1只要證明：sin(α+β)≤1，而sin(α+β)≤1顯然成立
∴原不等式得證。
換元的目的：利用兩個正數(shù)的和等于1進(jìn)行三角換元，可以將原問題得到極大
程度的化簡，在各種命題的解題中有著廣泛的應(yīng)用。
例7：已知a2+b2=c2，且a、b、c均為正數(shù)，求證：an+bn2且n∈N
證明：設(shè)a=csinα，b=ccosα。α∈(0，π/2)
則：an+bn=cnsinnα+cncosnα=cn(sinnα+cosnα)
∵0
第四篇：換元法證明不等式09
換元法證明不等式
教學(xué)目標(biāo)：
增強學(xué)生“換元”思想，能較熟練地利用換元手段解決某些不等式證明問題。教學(xué)重點：三角換元 教學(xué)過程：
一、提出課題：（換元法）
對所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作、適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的，這種方法叫換元法。
二、三角換元：
例
一、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：
1x?1y
?3?
22證一：?
?
?1?x
?
1?2xy?(2x?y)?3???3?2?y?yx
?
即：
1x
?
1y
?3?22
證二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可設(shè)x則
1x?1y?
2sin
sin?,y?cos
?
?
?
1cos
?
?2(1?cot?)?(1?tan
?)
?3?(2cot??tan
?)?3?2
例二：若x2證：設(shè)x則|
x
?y
?1，求證：|x
?2xy?y|?
?rsin?,2
y?rcos?,2
(0?r?1)
2，2
?2xy?y|?|rcos??2rcos?sin??rsin
?|
?r
|cos2??sin2?|?2r
???
cos?2????
4??
???
?2
2r
?2
小結(jié)：若0≤x≤1，則可令x = sin?(0(?
?2???
?2)或x = sin2?)。
?y
若x2若x2
?1，則可令?1，則可令
x = cos? , y = sin?(0x = sec?, y = tan?(0
????2
?2
???2?)。???2?)。
?y
若x≥1，則可令x = sec?(0若x?R，則可令x = tan?(?)。
?2
???)。
三、小結(jié)：
還有諸如“均值換元”“設(shè)差換元”的方法，有興趣的課后還可進(jìn)一步學(xué)習(xí)。
四、作業(yè)：
1．若a
2?b
?1，求證：asinx?bcosx?
1n
n
n
2． 若|x|≤1，求證：(1?x)?(1?x)?2 3． 已知a＋b=1，求證：a4?b4?
1a
1b
4． 若正數(shù)a、b滿足a＋b=1，求證：
?
?4
第五篇：比較法、分析法、綜合法、換元法證明不等式
2a ?b?? ??1?1a?b
2??a2 ?b2?2ab?? ??a2 ?b?1(a?b)2
2??2 2??a?b????整式形
式 ab??????2?? 22?a?b? ab???2? ??? ???a? b??ab???2 根式形式??22 b?a?2(a?b)??? ???b a分式形??2(a,b同號）? ab?1? ?0?a??2?a??a 倒數(shù)形式??1 ?a?0?a???2?a??
1.比較法、分析法、換元法
一.比較法（作差比較或作商比較）
1）作差比較法：要證不等式a?b?a?b?，只需證a?b?0?a?b?0?即可。其步驟為：作差、變形、判斷符號（正或負(fù)）、得出結(jié)論。
2）作商比較法：若b?0，要證不等式a?b，只需證
作商、變形、判斷與1的大小、得出結(jié)論。
222222例1.設(shè)a?b?c，求證：bc?ca?ab?bc?ca?ab aa?1，欲證a?b，需證?1。其步驟為：bb
22例2（1）證明不等式a?b?ab?a?b?
1abba（2）若a>b>0，求證：ab?ab
b?a
2??a?bb（3）若a>b>0，求證：a
二.分析法
a3?b3a?b3?()22例2已知a>0，b>0，求證：
2222證法二由(a?b)?0，得a?2ab?b?0，a?ab?b?ab，2
∵a>0，b>0∴a+b>0，∴(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)，33223322∴a?b?ab?ab，3a?3b?3ab?3ab 22
∴4a?4b?a?3ab?3ab?b?(a?b)，333223
3a3?b3(a?b)3
?28∴，a3?b3a?b3?()22∴。
2?a?b?練習(xí)．1.已知a?b?0，求證：8a?a?b? a?b??ab?28b2
2.求證
a2?b2a?a?
均值不等式
例3已知a、b、c?R，且a+b+c=1。?
111(?1)?(?1)?(?1)?8bc求證：（1）a
（2）a?b?c?
例4設(shè)a、b、c、d?R，令?s?abcd???a?d?bb?c?ac?d?bd?a?c，求證：1 114??例5已知a>b>c，求證：a?bb?ca?c 2.均值換元法： 使用均值換元法能達(dá)到減元的目的，使證明更加簡捷直觀有效。例2.已知a，b?R且a?b?1，求證：?a?2???b?2?? 2225 2 例3.設(shè)a，b，c為三角形三邊，求證： 4.增量換元法： abc???3 b?c?aa?c?ba?b?c 例4.已知a?2，b?2，求證：a?b?ab
點擊咨詢 