第一篇：向量 不等式(高考題型與方法)

向量（高考題型與方法）

1.已知向量a=

1），b=（0，-1），c=（k

。若a-2b與c共線，則k=___________________。

????????2.已知向量a，b滿足a?1，b?2，a與b的夾角為60°，則a?b?

3.已知平面向量?,?,??1,??2,??(??2?),則2a??的值是?????????4.如圖，在?ABC中，AD?

AB,BC?,AD?1,????????則AC?AD?.????????5.在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB?3,BD?1，則AB?AD?

6.2011年高考山東卷理科12)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若????????????????????11且??2,則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2 ,A1A3??A1A2(λ∈R)，A1A4??A1A2(μ∈R)，??

已知點(diǎn)C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0，0)，B(1，0)，則下面說(shuō)法正確的是

(A)C可能是線段AB的中點(diǎn)(B)D可能是線段AB的中點(diǎn)

(C)C，D可能同時(shí)在線段AB上(D)C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上

b，(a?c)?(b?c)?0，7.(2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科10)若a，且a?b?0，c均為單位向量，則|a?b?c|的最大值為

（A）2?1（B）1（C）2（D）2

????????????8.(2011年高考四川卷理科4)如圖，正六邊形ABCDEF中，BA?CD?EF=_____

9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,?ADC?90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則?

????????|PA?3PB|的最小值為.9.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)為23，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足?A.23B.?2 C.2D.?2 11?，則?等于 33

???????????????????????????10.?ABC和點(diǎn)M滿足MA?MB?MC?0.若存在實(shí)n使得AM?AC?nAM成立，則n

=

A.2B.3C.4D.5

????????11.（2010年高考全國(guó)卷Ⅱ理科7）△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , ????a= 1，b= 2, 則CD=

12213443a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b 33335555（A）

????212.（2010年高考四川卷理科6）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，BC?16，?????????????????????AB?AC?AB?AC，則AM?

（A）8（B）4（C）2（D）1

不等式與推理證明（高考題型與方法）

?y?x?1.設(shè)m?1,在約束條件?y?mx下，目標(biāo)函數(shù)z?x?5y的最大值為4，則m的值為．

?x?y?1?

2.若變量x,y滿足約束條件??3?2x?y?9,則z?x?2y的最小值為.?6?x?y?9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知a?log23.6,b?log43.2,c?log43.6,則

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.c?a?b

4.(2011年高考廣東卷文科4)函數(shù)f(x)?1?lg(x?1)的定義域是（）1?x

A．(??,?1)B．(1,??)C．(?1,1)?(1,??)D．(??,??)

5.（2011年高考陜西卷文科3)設(shè)0?a?b，則下列不等式中正確的是

aba?b?b（B）a??22

a?ba?b?b（C）a??b?

a?22（A）

a?b??

6.（2010山東文數(shù)）（14）已知x,y?R?，且滿足xy??1，則xy的最大值為.34

第二篇：壓軸題型訓(xùn)練6-構(gòu)造向量證明不等式

構(gòu)造向量證明不等式

教材中有關(guān)向量的內(nèi)容，其中兩個(gè)向量的數(shù)量積有一個(gè)性質(zhì)：a?b?|a||?b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|a?b|?||a||?b|cos?|，又?1?cos??1，則易得到以下推論：

（1）a?b?|a||?b|；（2）|a?b|?|a||?b|；

（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b?|a||?b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b??|a||?b|；（4）當(dāng)a與b共線時(shí)，|a?b|?|a||?b|。以上推論在證明不等式問(wèn)題中有重要應(yīng)用。

一、證明不等式

例

1已知a、b?R，a?b?1，求證：2a?1?2b?1?22。證明：設(shè)m=（1，1），n?(2a?1，2b?1)，則

?m?n?2a?1?2b?1，|m|?2，|n|?2a?1?2b?1?2

由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得2a?1?2b?1?22

練習(xí)1.若a，b?R，a?b?2，求證：2a?1?2b?1?23 例2 已知x?y?z?1，求證：x?y?z?證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則

222*1。3m?n?x?y?z?1|m|?3，|n|?2x?y?z22222

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得x?y?z??2221 3a2b2c2a?b?c???例3 已知a，b，c?R，求證：。b?cc?aa?b2證明：設(shè)m?(abc，)，n?(b?c，a?c，a?b)，b?cc?aa?ba2b2c2??，|n|?2(a?b?c)b?ca?ca?b則m?n?a?b?c，|m|?222a2b2c2a?b?c???由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 b?cc?aa?b2 1

a2b2c2練習(xí)2.設(shè)a，b，c?R，且a?b?c?2，求證：???1

b?cc?aa?b*???abc??，提示：構(gòu)造m???，n??b?cc?aa?b?4422?b?c,c?a,a?b

332?例4 已知a,b為正數(shù)，求證：(a?b)(a?b)?(a?b)。證明：設(shè)m?(a，b)，n?(a，b)，則22244222m?n?a3?b3|m|?a?b，|n|?a?b23322244

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得(a?b)(a?b)?(a?b)例5 設(shè)a,b,c,d?R，求證：ad?bc?a2?b2?c2?d2。

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則m?n?ad?bc

|m|?a2?b2，|n|?c2?d2

由性質(zhì)a?b?|a||?b|，得ad?bc?

二、比較大小

例6 已知m,n,a,b,c,d?R，且p?p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?q

B.p?q

C.p

D.p,q大小不能確定

?a2?b2?c2?d2

ab?cd，q?ma?nc?bd?，那么mn解：設(shè)h?(ma，nc)，k?(bd，)，則 mnh?k?ab?cd|h|?ma?nc，|k|?bd

?mn由性質(zhì)|h?k|?|h||?k|得ab?cd?即p?q，故選（A）

三、求最值

ma?nc?bd? mn例7 已知m,n,x,y?R，且m?n?a，x?y?b，那么mx+ny的最大值為（）

A.2222ab a?bB.C.2a2?bD.2a2?b2 2 2 解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則 由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得p?q?mx?ny 而|p|?m2?n2，|q|?x2?y2

從而有mx?ny?m2?n2?x2?y2

ab，故選（A）。

2222當(dāng)p與q同向時(shí)，mx+ny取最大值m?n?x?y?例8

求函數(shù)y?152x?1?5?2x(?x?)的最大值。

22解：設(shè)m?(2x?1，5?2x)，n?(1，1)，則

m?n?2x?1?5?2x|m|?2，|n|?2

由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得y?當(dāng)

2x?1?5?2x?22

12x?1?15?2x時(shí)，即x?3時(shí)，ymax?2 2

四、求參數(shù)的取值范圍

例9 設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x?y?ax?y恒成立，求a的取值范圍。

解：設(shè)m?(x，y)，n?（1，1），則

m?n?x?y，|m|?x?y，|n|?2

y?2?x?y 由性質(zhì)m?n?|m||?n|，得x?又不等式x?y?ax?y恒成立，故有a?2

第三篇：向量與向量方法 教師

研究考綱，回歸課本，平面向量與向量方法

上海南匯中學(xué) 李志

一、考試大綱

1理解平面向量的分解定理，會(huì)計(jì)算向量的模和夾角，初步何問(wèn)題。

2掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)，掌握向量的坐標(biāo)表示和，會(huì)利用坐標(biāo)討論兩個(gè)向量平行或垂直。

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解向量的相關(guān)概念和運(yùn)算，掌握數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)，能把向量作為工具解決相關(guān)平行、垂直等問(wèn)題。

2、能應(yīng)用向量模的運(yùn)算性質(zhì)把幾何問(wèn)題和代數(shù)問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，深刻領(lǐng)悟坐標(biāo)法、基向量法和向量分解定理把幾何問(wèn)題代數(shù)化的解析思想。

三、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)，平面向量的分解定理。

難點(diǎn)：領(lǐng)悟坐標(biāo)法、基向量法和向量分解定理把幾何問(wèn)題代數(shù)化的解析思想。背景：我們現(xiàn)在使用的是二期課改教材，二期課改一個(gè)最成功之處就是把向量不再僅僅作為知識(shí)，而且還作為一種研究問(wèn)題的重要工具和方法，應(yīng)用于數(shù)學(xué)研究的很多分支，2010年數(shù)學(xué)高考有三道題考查向量（13,21,23），分值高達(dá)24分，因此我們應(yīng)該予以高度重視。

經(jīng)過(guò)前面的復(fù)習(xí)，我們請(qǐng)一位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你認(rèn)為向量的什么知識(shí)最重要？（對(duì)知識(shí)，方法的體會(huì)，重要知識(shí)方法系統(tǒng)化）

???a?b1．?dāng)?shù)量積：

a?y

1y2，投影： bcos??.a

?????????2?22．模的性質(zhì)：a?a；柯西不等式：a?b?ab，同向：a?b?ab；

??????????三角形不等式：a?b?a?b?a?b，同向: a?b?a?b

??????3.應(yīng)用：a?b?a?b?0?x1x2?y1y2；a//b?x1y2?x2y1；

??????一維表示定理：a?0，則b//a?b.可證明三點(diǎn)共線.??a?,?R

????????????????????4．平面向量的分解定理：OA,OB不平行，則任意OC??OA??OB,?,??R，并

且表示唯一；當(dāng)且僅當(dāng)C,A,B三點(diǎn)共線時(shí)，????1.分解方法：平行四邊形法；待定系數(shù)法.定理內(nèi)涵：基向量的思想；可證明三點(diǎn)共線.四、典型例題

平面向量的分解定理

????

例1.?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A?2,0?,B?5,5?,C??1,4?，?ABC的重心是G，則向量AG可????????

用AB和AC表示為.（課本P593；P673）

????????????

例2．O是?ABC的外心，AB?3,AC?4，x?2y?1，若AO?xAB?yAC?xy?0?，則cos?BAC?.解析思想（模與坐標(biāo)法）

例3.復(fù)數(shù)z1?cos??isin?,z2?2?cos??isin??，其中?,??R.z1,z2在復(fù)平面上對(duì)

??????????

應(yīng)的點(diǎn)分別是Z1,Z2，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則OZ1?OZ2的取值范圍是．

例4．用向量方法證明兩角和的余弦公式（課本P68，例4）

x2y

2考題模擬：M是橢圓2?2?1內(nèi)任意一點(diǎn)，A,B分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，ab

?????????????

且OM?pOA?qOB?p,q?R?，則在直角坐標(biāo)系poq中，動(dòng)點(diǎn)N?p,q?所構(gòu)成的區(qū)域的面積是

???????

研究拓展：a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若對(duì)于3a?c?4b?c的向量c均

????

??

滿足c?b?k，則k的最小值是.向量的應(yīng)用

例5．已知A0(0,……,An0)，A1(2,1)，A2是線段A0A1的中點(diǎn)，A3是線段A1A2的中點(diǎn)，n??

????????????

milOA是線段An?2An?1的中點(diǎn)(n?2,3,4,?)．（1）求向量An?1An坐標(biāo)的通項(xiàng)公式；（2）求n．

x2y2

??1，若C,D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足例6．已知橢圓42MD?CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P.?????????

（1）證明：OM?OP為定值

（2）試問(wèn)x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP和

MQ的交點(diǎn).若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.五、小結(jié)提升

向量最重要的知識(shí)就是點(diǎn)乘積，最重要的方法就是坐標(biāo)法，最主要的應(yīng)用就是用于證明平行和垂直，這種解析的思想，希望同學(xué)們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)真體會(huì)，用心感悟。

六、課后反饋

??????

1.已知向量an??x1,x2,?,x，當(dāng)n?2時(shí)，我們有柯西不等式，yn?,bn??y1,y2?n?

?x

?x

2??

??????

y?y???x1y1?x2y?成立，當(dāng)且僅當(dāng)a2//b2時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)n?k時(shí)，成立

122

22的柯西不等式應(yīng)該是.????

H?ABC的垂心是，2.已知?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A?2,1?,B?6,4?,C?5,5?，則向量AH可

????????

用AB和AC表示為.（課本P68，例2）.?????????????

3.?ABC內(nèi)接于單位圓O，且3OA?4OB?5OC?0，則S?ABC?.??????,?2,c4.向量 a,b,c兩兩夾角都是120，且a?

3的值分別為_(kāi)_____.5.過(guò)P?2,3?的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，則PAPB的最小值是.???，如果a?mb?nc，則實(shí)數(shù)m,n

????????

6.圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么PA?PB的最小值

為()

A.?4?B.?

3C.?4?

D.?3?

????1????

7.AD是?ABC的中線，點(diǎn)G在AD上，并且AG?AD，直線l過(guò)G且依次交AB,AC

????????????????1

1于點(diǎn)E和F，若AE?aAB,AF?bAC，則??

ab

七、教學(xué)反思

第四篇：專題4平面向量與不等式結(jié)合

專題4平面向量與不等式結(jié)合考點(diǎn)動(dòng)向：向量與不等式的交匯是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).自從新教材實(shí)施以來(lái)，在高考中，不時(shí)考查平面向量與不等式有關(guān)知識(shí)的結(jié)合。這些題實(shí)際上是以向量為載體考查不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化時(shí)不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆，一般來(lái)說(shuō)向量與不等式結(jié)合的題目難度不大。

向量與不等式結(jié)合，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加強(qiáng)了對(duì)雙基的考查。這類題目常常包括向量與不等式的性質(zhì)、均值不等式、解不等式、求值包括（求最大值、最小值）的交匯等幾個(gè)方面.可以預(yù)測(cè)到，明年仍至今后的高考中，還會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)向量與不等式結(jié)合的題目。

方法范例

例

1、（2005年，上海卷）已知函數(shù)f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點(diǎn)A、B，函數(shù)g(x)?x2?x?6。?2?2（,分別是與x,y軸正半軸同方向的單位向量）

（1）求k,b的值；（2）當(dāng)x滿足f(x)?g(x)時(shí)，求函數(shù)g(x)?1的最小值。f(x)

[解析]（1）通過(guò)交點(diǎn)坐標(biāo)求出向量的坐標(biāo)表示，列方程組，求k,b的值；（2）先由f(x)?g(x), 得 ?2?x?4,再對(duì)1g(x)?1?5，然后利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，得x?2?x?2f(x)

不等式a?b?2ab求函數(shù)的最值.?bbb??2[答案]（1）由已知得A(?,0),B(0,b),則?{,b}，于是 ?k,kk??b?2?k?1??.?b?

2（2）由f(x)?g(x),得x?2?x2?x?6, 即(x?2)(x?4)?0,得?2?x?4,g(x)?1g(x)?1x2?x?51??3，??x?2??5, 由于x?2?0,則f(x)f(x)x?2x?2

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1，即x=－1時(shí)成立，∴g(x)?1時(shí)的最小值是－3.f(x)

例

2、（2005年·黃崗模擬）已知二次函數(shù)f(x)對(duì)任意x?R，都有f(1?x)?f(1?x)成立，設(shè)向量a?(sinx,2)，b?(2sinx,)，c?(cos2x,1)，d?(1,2)，當(dāng)x?[0,?]時(shí)，求不等式f(a?b)?f(c?d)的解集.[解析] 二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向不確定，要分類討論.由f(1?x)?f(1?x)，知二次函1

2數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.先求出向量數(shù)量積a?b與c?d，[答案]二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向不確定，要分類討論.由f(1?x)?f(1?x)，知二次函數(shù)

f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)A＞0時(shí)，f(x)在?[1,??)上遞增，當(dāng)A＜0時(shí)，f(x)在?[1,??)上遞減.因?yàn)閍?b?(sinx,2)?(2sinx,)＝2sin2x?1≥1，c?d?(cos2x,1)?(1,2)＝

cos2x?2≥1，所以

當(dāng)A＞0時(shí)，由f(a?b)?f(c?d)，得2sinx?1＞cos2x?2，即cos2x?0，又因?yàn)?≤x≤?，所以

?

3＜x＜?； 4

4當(dāng)A＜0時(shí)，由f(a?b)?f(c?d)，得2sinx?1＜cos2x?2，即cos2x?0，又因?yàn)?≤x≤?，所以0≤x＜

?3

或?＜x≤?.44

?3＜x＜?｝；44?3

當(dāng)二次函數(shù)f(x)二次項(xiàng)系數(shù)A＜0時(shí)，不等式的解集｛x∣0≤x＜或?＜x≤?｝.44

??????

例

3、（2005年，浙江卷）已知向量a≠e，|e|＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－

綜上所述，當(dāng)二次函數(shù)f(x)二次項(xiàng)系數(shù)A＞0時(shí)，不等式的解集｛x∣

?

e|，則（）.????????????(A)a⊥e，(B)a⊥(a－e)，(C)e⊥(a－e)，(D)(a＋e)⊥(a－e).????

[解析] 對(duì)|a－te|≥|a－e|進(jìn)行平方，化成關(guān)于t的二次不等式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，??

得??0恒成立，從而得a?c?1.????

[答案]解：對(duì)任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，故兩邊平方得

?2??2?2??a?2t?a?c?t?a?2?a?c?1,????

即：t?2t?a?c?2t?a?c?1?0.又上式對(duì)任意t∈R，恒成立，即有：??0恒成立.??2????

2?即?=4（a?c）?（42a?c?1）?（4a?c?1）?0.??

故當(dāng)a?c?1時(shí)，上式成立，本題應(yīng)選（C）.[規(guī)律小結(jié)]

（1）平面向量與不等式結(jié)合的問(wèn)題，經(jīng)常以向量為載體考查不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的問(wèn)題：解不等式，求最大值（最小值），轉(zhuǎn)化時(shí)不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆。

（2）向量與不等式的結(jié)合，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加強(qiáng)了對(duì)雙基的考查，特別是向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，這類問(wèn)題的解決思路通常是將向量的數(shù)量積的運(yùn)算與模用坐標(biāo)運(yùn)算后，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，然后用三角函數(shù)基本公式求解，基中涉及到的有關(guān)向量的知識(shí)有：①向量的坐標(biāo)表示及加法、減法、數(shù)乘向量；②向量的數(shù)量積；③向量平行、垂直

??????的充要條件；④向量的模、夾角；⑤a?b?a?b；若a?(x1,y1),b ?(x2,y2)，有

??????(x1x2?y1y2)2?(x12?x22)(y12?y22)；⑥向量不等式：a??a?b?a?b|，??????

||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.（3）可能涉及不等式的內(nèi)容有：

①解分式不等式f?x??a?a?0?的一般解題思路：移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，x的gx系數(shù)變?yōu)檎担瑯?biāo)根及奇穿過(guò)偶彈回.②含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式：一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化

③解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.④利用重要不等式a?b?2ab 以及變式ab?()等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注

意a，b?R（或a，b非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值(一正二定三等).??(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選?22

2用)a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)，取等號(hào)）

?

⑥比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法.⑦含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

a、b同號(hào)或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

a、b異號(hào)或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.⑧不等式的恒成立,能成立等問(wèn)題

1).恒成立問(wèn)題：若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上

f?x?min?A；若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?max?B.2).能成立問(wèn)題：若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f?x??A成立,即f?x??A在區(qū)間

D上能成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?max?A；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式

f?x??B成立,即f?x??B在區(qū)間D上能成立 ,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f?x?min?B.考點(diǎn)誤區(qū)分析：

??????

（1）對(duì)于||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，要注意：

??????????? b同向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ①a、??????????? b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ②a、????????

b不共線?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.(這些和實(shí)數(shù)集中類似)③a、（2）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.（3）有些取值范圍、最值問(wèn)題，雖然沒(méi)有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識(shí)來(lái)解決，也會(huì)顯得自然、簡(jiǎn)便，而且易入手?？忌?jīng)常沒(méi)想到而陷入困境.（4）注意對(duì)“整式、分式、絕對(duì)值不等式”的放縮途徑，“配方、函數(shù)單調(diào)性等”對(duì)放縮的影響.同步訓(xùn)練：

x2y

2??1的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

1、（2000年，全國(guó)卷）橢圓9

4∠F1P F2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

2、（2005年，江蘇卷）在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則

????????????

OA?（OB?OC）的最小值是.3、已知向量a＝（2，2），向量b與a的夾角為?，且a?b＝－2.osA，2cos2（1）求向量b；（2）若t＝（1，0）且b?t，c＝（c

C），其中A、C是?ABC

2的內(nèi)角，若三角形的三個(gè)內(nèi)角依次成等差數(shù)列，試求b?c的取值范圍.224、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)+(y-4)=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求PA?PB的2

2最大值和最小值.??

5、若a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，且k???(k?0,k?R)

（1）試用k表示?；

??

（2）求?的最小值，并求出此時(shí)a與b的夾角?的大小.[參考答案]

1、[解析]解決與角有關(guān)的一類問(wèn)題，總可以從平面向量數(shù)量積入手，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式。F1（－,0）F2（,0）,設(shè)P（3cos?,2sin?），??F1PF2為鈍角

?????????

2?－5＋∴

PF =9cos?PF?（3cos?,?2sin?)?3cos?,?2sin?)12

4sin?=5 cos?－1<0，解得：?

5?cos??∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是5

5（?

335,）

2圖

[答案]（?

353）,55

?????????

2、[解析]如圖設(shè)|OA|?x,則|OM|?2?x，（0?x?2）?????????????M為BC的中點(diǎn)，?OB?OC?2OM，??????????????????????OA?（OB?OC）?OA?2OM?2（x2?x）?cos180?

2?2x2?4x?（2x?1）?2（?0?x?2）, ?當(dāng)x?1時(shí)，取最小值?2.[答案]-2.3、[解析]（1）設(shè)b＝（x,y），由a?b＝－2，得2x?2y＝－2，即x?y＝－1① 因?yàn)橄蛄縝與a的夾角為?，a＝22?22＝22，所以b＝

?2a?b

＝＝1，因此x2?y2＝1.② ?2?a?cos???22????

4?2?

?x??1,?x?0,或?.所以b＝（－1，0）或b＝（0，－1）.?y??1?y?0

聯(lián)立①、②，解得?

（2）根據(jù)題意，得B＝

?2?，A+C＝，由于t＝（1，0）且b?t，故b＝（0，－1），3

2b+c＝（cosA，cosC），b?c＝cosA+cosC

＝1+

11?1??2??

(cos2A?cos2C)+1+?cos2A?cos2???A??＝1+cos(2A?)，2232??3??

因?yàn)?＜A＜

2???5??

1，所以＜2A+＜，－1≤cos(2A?)＜，333233

?.,因此，b?c??,?，b?c????24??22?

[答案]（1）b＝（－1，0）或b＝（0，－1）；

?15?

?25?

?25?? ,（2）??

?22?

????

4、[分析]利用向量把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量OP的最

值。設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得

：

????????????????????????

OA?{?1,0},OB?{1,0}，?OA?OB?0, OA?OB??1，由中點(diǎn)公式得????????????????2????2????????2????????PA?PB?2PO，所以PA?PB?(PA?PB)?2PA?PB

????2???????????????? =(2PO)?2(OA?OP)?(OB?OP)

????2????????????2????????????????2????

=4PO?2OA?OB?2OP?2OP?(OA?OB)=2OP?2，又因?yàn)镺C?{3,4} 點(diǎn)P????????????????????

在圓(x-3)+(y-4)=4上, 所以O(shè)C?5,CP?2,且OP?OC?CP，所以

????????????????????????????????

OC?CP?OP?OC?CP?OC?CP，即3?OP?7

????2????2????22

2故20?PA?PB?2OP?2?100，所以PA?PB的最大值為100，最小值為20.[答案] 最大值為100，最小值為20.??

5、[解析]（1）∵a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)，∴??1，??2??2

又∵k???(ka?b)?3(a?kb)

整理，得??

(k?)(k?0).4k

11111

(k?)(k?0)，∴??(k?)?，取“=”當(dāng)且僅當(dāng)k=14k4k211，∴cos???22

（2）由（1）知??

時(shí)，當(dāng)k=1時(shí)，??

???1

∵又0????，∴??，因此當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，?取最小值，此時(shí)，a與b的夾

角為

? 3

11?（2）.(k?)(k?0)；4k3

[答案]（1）??

第五篇：第 3講 不等式問(wèn)題的題型與方法

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)第3講

不等式問(wèn)題的題型與方法

一、考試內(nèi)容

不等式，不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明，不等式的解法，含絕對(duì)值不等式

二、考試要求

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明。

2．掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式。4．掌握簡(jiǎn)單不等式的解法。

5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡(jiǎn)單不等式的解法．通過(guò)不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力；

2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對(duì)值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會(huì)用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；

3．通過(guò)復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問(wèn)題；

4．通過(guò)證明不等式的過(guò)程，培養(yǎng)自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；

5．能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、基本方法，解決有關(guān)不等式的問(wèn)題．

6．通過(guò)不等式的基本知識(shí)、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識(shí)中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識(shí)間的融匯貫通，從而提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識(shí)．

四、雙基透視

1．解不等式的核心問(wèn)題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對(duì)值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對(duì)含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．通過(guò)復(fù)習(xí)，感 悟到不等式的核心問(wèn)題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．

4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(hào)(值)．

5．證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)，這對(duì)發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等，將會(huì)起到很好的促進(jìn)作用．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．

6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語(yǔ)言特點(diǎn)．

7．不等式這部分知識(shí)，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對(duì)同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)融會(huì)貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問(wèn)題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。8．不等式應(yīng)用問(wèn)題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問(wèn)題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學(xué)問(wèn)題，40作答。

五、注意事項(xiàng)

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來(lái)求解。

2.解含參數(shù)不等式時(shí)，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運(yùn)用。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。

4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

六、范例分析

b)∈M，且對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問(wèn)題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問(wèn)題的突破口．怎樣理解“對(duì)M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？ 解：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)當(dāng)1≤y≤3時(shí)，所以當(dāng)y=1時(shí)，xmin=4．

說(shuō)明：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

2a2?a?0? 例2．解關(guān)于x的不等式： xx?a?9分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。

?x?a?x?a解：當(dāng)x?a時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為 即?2?22?9x?x?a??2a?9x?9ax?2a?03?17?a?x?a

b?x?a?x?a 當(dāng)x?a時(shí)不等式可化為即?2?22?ax(a?x)?2a?9x?9ax?2a?0a2a?x?或?x?a33?2a3?17?a故不等式的解集為(??,???,a?。

336??例3． 己知三個(gè)不等式：①2x?4?5?x ②

x?2?

1③2x2?mx?1?0 2x?3x?2(1)若同時(shí)滿足①、②的x值也滿足③，求m的取值范圍；

(2)若滿足的③x值至少滿足①和②中的一個(gè)，求m的取值范圍。

分析：本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對(duì)值不等的解法，以及數(shù)形結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時(shí)滿足①、②的x值的滿足③的充要條件是：③對(duì)應(yīng)的方程的兩根分別在???,0?和?3,??)內(nèi)。不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。解①得A=（-1，3）；解②得B=?0,1)?(2,4?,?A?B??0,1)?(2,3)

（1）因同時(shí)滿足①、②的x值也滿足③，A?B?C

設(shè)f(x)?2x2?mx?1，由f(x)的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時(shí)，?f(0)?0??1?017即??m??

3?f(3)?0?3m?17?0（2）因滿足③的x值至少滿足①和②中的一個(gè)，?C?A?B,而A?B?(?1,4?因 此C?(?1,4??方程2x2?mx?1?0小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 即可滿足A?B?????f(?1)?1?m?0?31?f(4)?4m?31?0,解之得??m?1? 4?m??1???4?4?說(shuō)明：同時(shí)滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對(duì)應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內(nèi)，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對(duì)A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對(duì)應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系．

例4.已知對(duì)于自然數(shù)a，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a≥5．

分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式．設(shè)f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①

頂點(diǎn)式．f(x)=a(x-x0)+f(x0)(a≠0)．這里(x0，f(x0))是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，x0=?))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函數(shù)圖象上的不同三點(diǎn)，則系數(shù)a，b，c可由 222

證明：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N． 依題意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f(0)＞0，f(1)＞0．

又f(x)=ax-a(x1+x2)x+ax1x2為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)為正整數(shù)．故f(0)≥1，f(1)≥1． 2從而

f(0)·f(1)≥1．

① 另一方面，且由x1≠x2知等號(hào)不同時(shí)成立，所以

由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．

說(shuō)明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問(wèn)題，往往比較靈活．根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達(dá)形式，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．

例5.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問(wèn)：它的前多少項(xiàng)的和最大？ 分析:要求前n項(xiàng)和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列． 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1＜0．

(k∈N)．

說(shuō)明：諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題可歸結(jié)為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問(wèn)題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵．

例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫(xiě)出來(lái)．即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以

3≤3f(-1)≤6．

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

說(shuō)明：(1)在解不等式時(shí)，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解：

2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對(duì)這類問(wèn)題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問(wèn)題．若長(zhǎng)期這樣思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會(huì)迅速提高．

例7．(2002 江蘇)己知a?0,函數(shù)f(x)?ax?bx2，（1）當(dāng)b?0時(shí)，若對(duì)任意x?R都有f?x??1,證明：a?2b;

時(shí)，證明：對(duì)任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件是b?1?a?2b；（2）當(dāng)b?1時(shí)，（3）當(dāng)0?b?1討論：對(duì)任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件。

a2a2)?證明：（1）依題意，對(duì)任意x?R，都有f(x)?1.?f(x)??b(x? 2b4baa2?f()??1,?a?0,b?0?a?2b.2b4b（2）充分性：?b?1,a?b?1,對(duì)任意x??0,1?,可推出:ax?bx2?b(x?x2)?x

??x??1,即ax?bx2??1;又?b?1,a?2b,對(duì)任意x??0,1?,可知

11ax?bx2?2bx?bx2?(2bx?bx2)max?2b??b?()2?1,即ax?bx2?1bb??1?f(x)?1

必要性：對(duì)任意x??0,1?,f(x)?1,?f(x)??1,?f(1)??1

1?1?即a?b??1?a?b?1;又?b?1?0??1,由f?x??1知f???1b?b?即a?1?1,?a?2b,故b?1?a?2b b2綜上,對(duì)任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是b?1?a?2b

（3）?a?0,0?b?1時(shí),對(duì)任意x??0,1?,f(x)?ax?bx即f(x)??1;又由f(x)?1知f(1)?1,即a?b?1,即a?b?1

??b??1

b?12(b?1)2)? 而當(dāng)a?b?1時(shí),f(x)?ax?bx?(b?1)x?bx??b(x? 2b4bb?1?0?b?1,??12b?在?0,1?上,y?(b?1)x?bx2是增函數(shù),故在x?1時(shí)取得最大值1?f(x)?1

22?當(dāng)a?0,0?b?1時(shí),對(duì)任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是a?b?1

例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

分析：由條件a3+b3=2及待證的結(jié)論a+b≤2的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”． 證法一

(作差比較法)因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，即

(a+b)3≤23．

證法二

(平均值不等式—綜合法)因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1．

說(shuō)明：充分發(fā)揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡(jiǎn)捷、漂亮． 證法三

(構(gòu)造方程)設(shè)a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則

因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①

因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

所以a+b≤2．

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．

說(shuō)明：認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)． 證法四

(恰當(dāng)?shù)呐錅?因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，于是有6≥3ab(a+b)，從而

8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2．(以下略)

即a+b≤2．(以下略)證法六

(反證法)假設(shè)a+b＞2，則

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．

因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．

① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，所以ab＜1．

② 于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略)說(shuō)明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法．

例9．設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相

分析：因?yàn)閤∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則又二次方程ax2+bx+c=±x無(wú)實(shí)根，故

Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．

所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即

b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．

說(shuō)明：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題時(shí)，如果針對(duì)題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例10．（2002理）某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3....，每年新增汽車x萬(wàn)輛。

由題意得an?1?0.94an?x即an?1?

xx?0.94(an?)0.060.06xx)0.94n?1?0.060.0630令an?60,解得x?(30?)?0.06n?11?0.94上式右端是關(guān)于n的減函數(shù),且當(dāng)n??時(shí),上式趨于3.6an?(30?故要對(duì)一切自然數(shù)n滿足an?60,應(yīng)有x?3.6,即每年新增汽車不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛

例11．已知奇函數(shù)f(x)在（??，0）?（0，??）上有定義，在（0，??）上是增函數(shù)，?f(1)?0,又知函數(shù)g(?)?sin2??mcos??2m,??[0,],集合

2M?m恒有g(shù)(?)?0,N?m恒有f(g(?))?0,求M?N ????分析：這是一道比較綜合的問(wèn)題，考查很多函數(shù)知識(shí)，通過(guò)恰當(dāng)換元，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題。

解?奇數(shù)函數(shù)f(x)在（0，??）上是增函數(shù)，?f（x)在（??，0）上也是增函數(shù)。?g(?)?0?g(?)?0又由f(1)?0得f(?1)??f(1)?0?滿足?的條件是??f(g(?)?0?f(?1)?g(?)??1 即g(?)??（1??（0，]），即sin2??mcos??2m??1,2也即?cos2??mcor??2m?2?0? 令t?cos?,則t?[0,1],又設(shè)?（t)??t2?mt?2m?2,0?t?1

1]內(nèi)的最大值小于零

要使?(t)?0,必須使?(t)在[0，?m?0m01 當(dāng)?0即m?0時(shí)，?(t)max??(0)??2m?2,解不等式組知m?? ??2m?2?02?mm2?8m?802當(dāng)0??1即0?m?2時(shí),?(t)max?,24 ?0?m?2?2解不等式組?m?8m?8?0得4?22?m?2?4??m?2m03當(dāng)?1即m?2時(shí)，?(t)max??m?1,解不等式組?

2??m?1?0得m?2綜上：M ??N?mm?4?22??

例12．如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程最??？

?lh,柱體體積為：底面積乘4以高，2?1.414，7?2.646本題結(jié)果均精確到0.1（半個(gè)橢圓的面積公式為s=米）

分析：本題為2003年上海高考題，考查運(yùn)用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力及運(yùn)算能力。解：1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則P（11，4.5）

x2y2橢圓方程為：2?2?1

ab將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得

447887,此時(shí)l?2a??33.3故隧道拱寬約為33.3米 77x2y21124.522)由橢圓方程2?2?1得2?2?1

abab1124.522?11?4.5?2?2?,?ab?99abab??ab99?1124.521?s?lh??,當(dāng)s最小時(shí)有2?2?

422ab292?a?112,b?此時(shí)l?2a?31.1,h?b?6.42a?故當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.例13．已知n∈N，n＞1．求證

分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進(jìn)行解．

則

說(shuō)明：因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想解決．

x2?2x?2例14．已知函數(shù)f(x)?

x?1?f?x?1??n?fxn?1?2n?2.(2)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：??

分析：本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，絕對(duì)值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧。基本思路先將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明（1）再利用二項(xiàng)展開(kāi)式及基本不等式的證明（2）。(1)設(shè)〈0x?1,0?t?1,求證：t?x?t?x?f?tx?1?(x?1)2?11?f(tx?1)?tx? 證明：（1）?f(x)?x?1tx111?f(tx?1)?tx??tx??2tx??2,當(dāng)且僅當(dāng)tx?1時(shí)，上式取等號(hào)。

txtxtx?0?x?1,0?t?1?tx?1,?f(tx?1)?2

s?(t?x?t?x?2(t2?x2)?2t2?x2?(t?x?t?x)2?2(t2?x2)?2t2?x2 2當(dāng)t?x時(shí),s?4t2?4;當(dāng)t?x時(shí)s?4x2?4

?t?x?t?x?2?f(tx?1)即t?x?t?x?f(tx?1)

（2）n?1時(shí)，結(jié)論顯然成立

當(dāng)n?2時(shí)，?f(x?1)?n?f(xn?1)?(x?1)n?(xn?x

111n?112n?2)?Cx??Cx??.....nnxnxx212

xn?41?1111?2n?1??Cn(xn?2?n?2)?Cn(xn?4?n?4)?....?Cn(xn?2?n?2)? 2?xxx?n?1112n?112?2?(Cn?Cn?...?Cn)?Cn?Cn?...?Cn?2n?2 2?Cnn?2x2?1xn?2?Cnn?1x?1xn?1?Cnxn?2?Cnxn?4?......?Cn12n?2?1?Cnn?1?1xn?2

??

例15．（2001年全國(guó)理）己知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n（1）證明：niAm?miAn（2）證明：?1?m?n??1?n? miiAmm?1m?2m?i?1證明：（1）對(duì)于1?i?m,有Am?m.(m?1)......(m?i?1),mi???......mmmmmiAnnn?1n?2n?i?1同理i???......由于m?n,對(duì)整數(shù)k?1,2,......,i?1,有

nnnnniiin?km?kAnAmi?,?i?i即miAn?niAm nmnmii（2）由二項(xiàng)式定理有(1?m)?iin?mCii?0inin,(1?n)??niCm,由(1)知miAn?niAm

miiii?0mAAiii(1?i?m?n),而Cn?n,Cm?m?micn?niCm(1?i?m?n)

i!i!因此?mCn??niCm,又moCn?noCm?1,mCn?nCm?mn,miCn?0 iiioo11ii?2i?2niimii?0i?0mm(m?i?n)??mCn??niCm即(1?m)n?(1?n)m。

七、強(qiáng)化訓(xùn)練

1．已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）

A．78

B．

C．

2D． 3 33x2．已知命題p：函數(shù)y?log0.5(x2?2x?a)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)y??(5?2a)

是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（）

A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．1

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解關(guān)于x的不等式1?a2x?a?ax(a?0且a?1)6．（2002北京文）數(shù)列xn由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?（1）證明：對(duì)于n?2,總有xn?2??1?a???? x?,n?Nn??2?xn?a,（2）證明：對(duì)于n?2,總有xn?xn?1．

7．設(shè)P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在區(qū)間[-2，2]上變動(dòng)時(shí)，P恒為正值，試求x的變化范圍．

8．已知數(shù)列?an??bn?中，的通項(xiàng)為an,前n項(xiàng)和為sn,且an是sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列b1=1，點(diǎn)P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。Ⅰ）求數(shù)列?an??、bn?的通項(xiàng)公式an,bn Ⅱ）設(shè)?bn?的前n項(xiàng)和為Bn, 試比較

111??...?與2的大小。B1B2BnⅢ）設(shè)Tn=bb1b2??...?n,若對(duì)一切正整數(shù)n,Tn?c(c?Z)恒成立,求c的最小值 a1a2an

八、參考答案

1．解：畫(huà)出圖象，由線性規(guī)劃知識(shí)可得，選D 2．解：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)x?2x?a的判別式??4?4a?0，從而a?1；命題q為真時(shí)，5?2a?1?a?2。

若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。

若p為真，q為假時(shí)，無(wú)解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1

（1）當(dāng)a??1時(shí)，由圖1知不等式的解集為xx?a或?1?x?

3（2）當(dāng)?1?a?3時(shí)，由圖2知不等式的解集為xx??1或a?x?3

2???? 14（3）當(dāng)a?3時(shí)，由圖3知不等式的解集為xx??1或3?x?a

4．分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化和相互交通．

解(1)

由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1≤0的根，所以

??

(3)由題意知，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以

4a+2b+a2-1=0．

① 又{2}是不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集，所以

(4)由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

說(shuō)明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。

5．分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過(guò)換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡(jiǎn)單的或基本不等式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對(duì)含參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。解：設(shè)t?a，原不等式化為1?t2?a?t(t?0)設(shè)y1?1?t2(t?0),y2?a?t，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象 x?y1?y2,故（1）當(dāng)0?a?1時(shí),0?t?1,即0?ax?1?x??0,??)

當(dāng)1?a?2時(shí),如右圖,解方程1?t?a?t得t1,2（2）222a?2?a2?222

? a?2?aa?2?a2?2?aa?2?a?t??x?(loga,loga)222215（3）當(dāng)a?2時(shí)，原不等式的解集為φ

綜上所述，當(dāng)a?(0,1)時(shí)，解集為?0,??）；當(dāng)a?(1,2)時(shí)，解集為

2?2?a22?2?a2(loga,loga);當(dāng)a?22

6．證明：（1）x1?a?0及xn?1?(xn??2,??)時(shí)，解集為φ。

12a1aa)知xn?0,從而xn?1?(xn?)?xn??a(n?N?)xn2xnxn?當(dāng)n?2時(shí)xn?a成立

（2）當(dāng)n?2時(shí)，xn?2a?0,xn?1?1a1a(xn?),?xn?1?xn?(?xn)2xn2xn1a?xn=??0.?n?2時(shí),xn?xn?1成立 2xn7．分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認(rèn)真思考條件中“t在區(qū)間[-2，2]上變動(dòng)時(shí)，P恒為正值．”的含義．你是怎樣理解的？如果繼續(xù)思考有困難、請(qǐng)換一個(gè)角度去思考．在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，右式含兩個(gè)字母x、t，t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？

解：設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因?yàn)?P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線，所以t在區(qū)間[-2，2]上變動(dòng)時(shí)，P恒為正值的充要條件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

說(shuō)明：改變看問(wèn)題的角度，構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想，使難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．

8．分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)、求和及不等式的有關(guān)知識(shí)。略解：Ⅰ）an?2,bn?2n?1 n Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n2

?1111111B??...??2?2?2?...?21B2Bn123n ?1?11?2?12?3?..?1(n?1).n?1?(1?12)?(12?13)?...?(11n?1?n)?2?1n?2?111B??...??21B2Bn1352n?1 Ⅲ)Tn= 2?22?22?...?2n①

12T1352n?1n?22?23?24?...?2n?1② ①-②得12T111222n?1n?2?22?23?23?...?2n?2n?1

?T?12n?1n?32n?2?2n?3

又T1347374?2?22?23?24?16?2 ?滿足條件Tn?c的最小值整數(shù)c?3。