第一篇：不等式證明的方法與技巧

不等式證明的方法與技巧

陳怡

不等式證明是不等式中的基本內(nèi)容之一，也是其重難點(diǎn)所在。許多學(xué)生遇到不等式證明題不知所措，無(wú)從下手。因此，有必要從解題思路入手，總結(jié)一些不等式證明的方法、技巧以及在某些方法技巧中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生們?cè)诮忸}時(shí)有的放矢。除常見(jiàn)的綜合法、分析法、反證法、放縮法及利用公式證明不等式外，本文另總結(jié)、歸納常見(jiàn)不等式證明方法技巧如下：

一、利用數(shù)列的單調(diào)性證不等式法：

我們常常用數(shù)學(xué)歸納證明含自然數(shù)n的不等式（這里不舉例說(shuō)明），然而，換一種角度，用數(shù)列的單調(diào)證性證此類不等式，更是簡(jiǎn)單明晰。例1．求證明：1＋證明：令：an ＝1＋則an－1＝11＋∴an－an－1＝＝

∴an＞an－

1即數(shù)列｛an｝遞增

∴ 1＋例2．求證：1＋證明：令an＝1＋＋＋＋＋?＋＋?＋＋?＋

＋?＋＋－＞（n＞1）＋＋＋＋＋?＋＋?＋＋?＋－ ＞０ ＞－（n＞1）－ ＜2－（n≥2）－2＋ ＋ ＜0 －2＋(n≥)則an－1＝1＋＋∴an－an－1 ＝

＝－

∴an＜an－１＋＜?＜a2＝－＜0

∴1＋＋＋?＋＜2－

仔細(xì)分析上面兩個(gè)例題，我們發(fā)現(xiàn)這里運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，其實(shí)是把難解的關(guān) 1

于自然數(shù)n的不等式證明問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成了熟悉易解的求某數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題。將未知?dú)w為已知，從而最終求得原問(wèn)題的解決。下再舉一例說(shuō)明不等式證明中的轉(zhuǎn)化思想。

例3．a(chǎn)、b、c∈R+，求證：＋＋≥（a＋b＋c）(分析：由左邊的形式聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模，引入復(fù)數(shù)，不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題。)

證明：令Z1=a＋bi，Z2=b＋ci，Z3=c＋ai

則 Z1＋Z2＋Z3=（a＋b＋c）＋(a＋b＋c)I

｜Z1｜＋｜Z2｜＋｜Z3｜≥｜Z1＋Z2＋Z3=｜ ∴＋＋≥（a＋b＋c）

二、不等量代換法

此法雖是“代換”，但不同于換元法。一般用于證明條件不等式，如能先求出一個(gè)適當(dāng)?shù)牟坏仁竭M(jìn)行代換，往往能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。但在代換時(shí)，必須注意保持非嚴(yán)格不等式等號(hào)成立的條件的一致性。下面舉例說(shuō)明：

例12.若x＞0，y＞0，x+y =xy，試證：x4+y4≥

32證明：由x+y = xy，可得：

1=

+ ≥2

∴xy≥

4∴x4+y4≥2(xy)2≥2×42=32

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，等號(hào)成立。

例13.證明：

+

+≥2(+1)，其中0＜x＜ 證明：∵2sinxcosx≤sin22x+cos22x =

1∴sinxcosx≤

由0＜x＜

∴

≥

+

+ 知：

+

=2 + 2≥

+

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx時(shí)，即

x =時(shí)，等號(hào)成立。

三、函數(shù)法

比法主要利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式。解題關(guān)鍵就是構(gòu)造出函數(shù)式，有些證明題中的函數(shù)式就是不等式中的一部分，有些則需根據(jù)待證不等式的特征，構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)。下面分別舉例說(shuō)明：

例14.設(shè)x為實(shí)數(shù)，求證： ≤

證明：選取不等式中

= y≤

整理得：（1-y）x2 +3x+5-y = 0

∵ x 為實(shí)數(shù)

∴△= 9-4(1-y)(5-y)≥0

解之得：

即：≤

≤ y ≤

≤

+≥

例15.設(shè)a∈R+，求證：

a +

證：由不等式左邊特征得

a+

構(gòu)造函數(shù)：

f(x)= x +≥2（a∈R+）（x≥2）(1)

易證：f(x)在區(qū)間[2，+∝]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x = 2時(shí)，f(x)有最小值

2+

即

a ++≥

=。

四、配對(duì)法

在證明不等式時(shí)，我們根據(jù)其中某個(gè)式子的特征，給它配上一個(gè)合適的式子，使得由它們之間的某種運(yùn)算，能產(chǎn)生一此特殊的結(jié)論，從而使證明問(wèn)題得以解決。

例16.試下面不等基成立，··??

證明：設(shè)

x = ··??

y = ··??

＜

則

xy = 又∵ 0＜x＜y∴x＜

xy =

∴x ＜

＜ 即：··??

例17.設(shè)a1,a2 ?，an∈R+，且a1+a2+?+an= 1 求證：令

F=

證明：

F = +++?+ +?

++ ≥ 構(gòu)造它的配對(duì)式：

F'-F' =

++ ?

+

+

=(a1－a2)+(a2－a3)+?+(an-1－an)+(an－a1)=0

故F = F'

又F+F' = 2F

=

≥

+

++ ?

+ +?

+

+= a1 + a2 + ? + an-1 + an =1 ∴2F≥1

即F≥

木∴原不等式成立。

第二篇：證明不等式的常用方法和技巧

證明不等式的常用方法和技巧

一、比較法

例

1、求證：對(duì)任何非負(fù)數(shù)a和b，不等式

二、分析法11(a+b)2+(a+b)≥a+ba成立 24

1?a?b?2a?b1?a?b?2

??ab?例

2、設(shè)0?b?a,求證: 8a28b

三、綜合法

例

3、對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,z，有sinxcosy+sinycosz+sinzcosx≤

例

4、若m、n∈N*，求證：

例

5、求證：對(duì)任意正整數(shù)n，有(1+3 2m?nm?nm?mn 21n+11n+2)＞(1+)＞2 nn?

1例

6、已知a1,a2,…,an都是正數(shù)，且a1+a2+…+an=1，求證：

121212(n2?1)2

(a1+)+(a2+)+…+(an+)≥ na2ana

1例

7、設(shè)3x2+2y2≤6，求p=2x+y的最大值。

例

8、在△ABC中，A、B、C是三內(nèi)角，a、b、c為其對(duì)應(yīng)邊。

a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3

例

9、a,b,c＞0，求證：a+b+c≤++≤++

2c2a2bbccaab

aA?bB?cC?

?

a?b?c

3幾個(gè)古典不等式

1、(切比雪夫不等式)若a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn為實(shí)數(shù)，且a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn(或a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn)，則(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)取等號(hào)。

2、(琴生不等式)設(shè)f(x)為區(qū)間[a，b]上的嚴(yán)格下凸函數(shù)，即對(duì)x1,x2∈[a,b], x1≠x2，總有f（x1?x21)＜[f(x1)+f(x2)]，則對(duì)于[a，b]中任意一組不全相同的值x1,x2,…,xn，22

1n1n1n

?aibi?ai)(?bi)≤

ni?1ni?1ni?1

必有f（x1?x2???xn1)＜[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]

nn

11xpyq

?

3、(Young不等式)設(shè)p,q＞1,??1，則對(duì)任何x,y≥0，有xy≤。當(dāng)且僅

pqpq

當(dāng)xp=yq時(shí)等號(hào)成立。

4、(赫德勒不等式)若ak≥0，bk≥0，k=1，2，…，n，且p＞1，n

?akbkk?

1npp≤(?ak)

k?1

nqq(?bk)k?1

??1，則 pq

四、判別式法

例

10、已知A、B、C是△ABC的內(nèi)角，x,y,z∈R，求證：

x2+y2+z2≥2xycosC+2yzcosA+2zxcosB

例

11、若x+y+z=0，且a,b,c為三角形的三條邊長(zhǎng)。求證：a2yz+b2zx+c2xy≤0

五、放縮法

1171

例

12、求證：1++2+…+2＜

4n22

3例

13、已知a,b,c∈[0,1]，求證：

例

14、設(shè)x0=5，xn+1=xn+

六、代換法

例

15、設(shè)a＞1,n∈N,n≥2，求證：a?1＜

例

16、設(shè)x1,x2,…,xn＞0,求證：1?x1)(1?x2)?(1?xn)－x1x2?xn≥

1abc

+++(1－a)(1－b)(1－c)≤1

b?c?1c?a?1a?b?1,求證：45＜x1000＜45.1 xn

a?1

n

例17、設(shè)a≥4，求證：

lga?lg3lg(a?2)

?

lg4?lg3lg

2七、構(gòu)造法

例

18、設(shè)a,b,c為絕對(duì)值小于1的實(shí)數(shù)，求證：ab+bc+ca+1＞0

例

19、已知v＞0,u∈[－,2]，求證：(u－v)2+(2?u2－

92)≥8 v

八、反證法

例20、已知a1，a2，…，a8＞0且a1+a2+…+a8=20，a1a2…a8＜13。求證：a1，a2，…，a8中至少有一個(gè)小于1。

例

21、設(shè)f(x)，g(x)是[0，1]上的增函數(shù)。證明：存在x0,y0∈[0，1]，使得|x0y0－f(x0)－g(y 0)|≥

4九、數(shù)學(xué)歸納法 例

22、當(dāng)0＜α＜

?，n≥2，n∈N時(shí)，求證：tan nα＞ntanα

4(n?1)

練習(xí)題：

2222x3x1x2x41、設(shè)x1,x2,x3,x4＞0，求證：+++≥x1+x2+x3+x4

x2x3x4x12、設(shè)a,b,c＞0，求證：

b?c2c?a2a?b2x+y+z≥2(xy+yz+xz)abc3、設(shè)a,b,c為正數(shù)，試證：abc≥(b+c－a)(c+a－b)(a+b－c)

4、設(shè)x,y,x,w是四個(gè)不全為零為實(shí)數(shù)，求證：

xy?2yz?zwx2?y2?z2?w2

≤

2?

15、求證：(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)

6、有一個(gè)矩形鐵片，尺寸是80×50，現(xiàn)要在四角各裁去一個(gè)同樣大小的正方形，做成無(wú)蓋盒子。求證上：不管如何裁法，所成盒子的容積不超過(guò)18000。

7、若x+y+z=1，求22x2+33y2+11z2的最小值

8、若n是不小于2的正整數(shù)，試證：

a12b12c129、已知a,b,c＞0，求證：++≥a10+b10+c10

bccaab

1112411

＜1－+－+…+－＜

23472n?12n210、設(shè)x＞0,求證：1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn11、求證：

y2y2212、證明：對(duì)任意正數(shù)x,y,z有x?xy?+z?＞z2?zx?x2

3n111

＜1+++…+＜n(n≥2)

n2232?

113、若a,b,c＞0，方程ax2+bx+c=0有實(shí)根，求證：a,b,c至少有一個(gè)數(shù)不小于

14、任給7個(gè)實(shí)數(shù)，證明其中必存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x,y，滿足0≤

x?y? 1?xy

3(a+b+c).915、已知u+u2+u3+…+u8+10u9=v+v2+v3+…+v10+10v11=8，求證：u＜v

提示：

2、作差，配方

3、討論a≥b+c；a＜b+c，則設(shè)a≥b≥c,作差≥0或當(dāng)三項(xiàng)都大于0時(shí)，由(b+c－a)+(c+a－b)+(a+b－c)= a+b+c證

6、V=x(80－2x)(50－2x)=αx·β(50

－2x)·(80－2x)≤[(αx+β(50－2x)+ 80－2x)]3。取α=2β+2且等號(hào)成立必

????3須αx=β(50－2x)=80－2x，得x=10。

7、用柯西不等式得最小值為68、等價(jià)于＜

2111

++…+＜由柯西不等式

9、排序不等式

10、排序不等式

11、n?1n?22n2

放縮法

12、構(gòu)造法

14、三角代換15、0＜u,v＜1。記f(x)=x+x2+x3+…+x8+10x9

－8，g(x)= x+x2+x3+…+x10+10x11－8 均為增函數(shù)，f(0)＜0，f(1)＞0，g(0)＜0，g(1)＞0，u,v為f(x)=0，g(x)=0在(0,1)上唯一的根。又10u10－9u9－9u+8=0，10v12－9v11－9v+8=0?？赏频胓(x)=0的唯一根v∈(u，1)

第三篇：證明不等式方法

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法

比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種?；舅枷胧前央y于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）

例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab

2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

∵（a3+b3)(a2b+ab2)

=a2(a-b)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

證明： =(a-b)2(a+b)

又∵(a-b)2≥0a+b≥0

∴(a-b)2(a+b)≥0

即a3+b3≥a2b+ab2

例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba

分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小

證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則

aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b

∵ab0，∴ab1，a-b0

∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba

練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法

利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：

（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）

例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤

1分析：通過(guò)觀察可直接套用： xy≤x2+y2

2證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

∴b1-a2+a1-b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立

練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥

33綜合法

綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252

證明：∵ a0，b0，a+b=1

∴ab≤14或1ab≥

4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2

=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252

練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+cn

3求證：2f（n）≤f（2n）

4分析法

從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。

例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。

要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab

只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab

證明：即證 ｜a-c｜＜c2-ab

即證(a-c)2＜c2-ab

即證 a2-2ac＜-ab

∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知

∴ 不等式成立

練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）

25放縮法

放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑取?/p>

例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)

求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問(wèn)題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。

證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞

ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=

1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d

∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜

b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2

綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2

練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1

6換元法

換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。

(1)三角換元：

是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問(wèn)題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。

例

7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜

1證明： ∵x，y∈R+，且x-y=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）

∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ

=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ

=sinθ

∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1

復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤

3(2)比值換元：

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。

例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥431

4證明：設(shè)x-1=y+12=z-23=k

于是x=k+1，y=zk-1，z=3k+

2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

=14(k+514)2+4314≥4314

7反證法

有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。

例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤

2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。

證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2-q

∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q

3將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0

即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤

2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.求證：a＞0，b＞0，c＞0

8數(shù)學(xué)歸納法

與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12

分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法

證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52

∵43＞52∴不等式成立

（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①

要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+12·

2k+22k+1＞2k+32②

對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1·2k+3

〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)

〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3

〈二〉4＞3③

∵③成立 ∴②成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立

由（1）（2）證明可知，對(duì)一切n≥2（n∈N），原不等式成立

練習(xí)8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞132

49構(gòu)造法

根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達(dá)到證明的目的，這種方法則叫構(gòu)造法。

1構(gòu)造函數(shù)法

例11：證明不等式：x1-2x ＜x2（x≠0）

證明：設(shè)f（x）=x1-2x-x2（x≠0）

∵f(-x)

=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x

2=x1-2x-［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2

=f（x）

∴f（x）的圖像表示y軸對(duì)稱

∵當(dāng)x＞0時(shí)，1-2x＜0，故f（x）＜0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，據(jù)圖像的對(duì)稱性知f（x）＜0

∴當(dāng)x≠0時(shí)，恒有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）

練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b-b2-ab＜a＜b+b2-ab

2構(gòu)造圖形法

例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|

分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2

|AB|=|a-b|又0A|-|0B＜|AB|∴|f(a)-f(b)|＜|a-b|

練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(a-c)+c(b-c)≤ab

10添項(xiàng)法

某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。

1倍數(shù)添項(xiàng)

若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和，可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和，然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）證明：∵a、b、c∈R+

∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a·2bc+b·2ca+c·2ac)=3abc

當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a即a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

2平方添項(xiàng)

運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

例14 ：對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，求證：

(1+13)(1+15)…(1+12n-1＞ 2n+1 2)

證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時(shí)ba＞ b+ma+m

∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n-1)］2=（43、65…2n2n-1)（43、65…2n2n-1)＞（54、76…2n+12n)（43、65…2n2n-1)=2n+13＞ 2n+14＞

∴(1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+1 2)

3平均值添項(xiàng)

例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤3

32分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin π

3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立）∵0＜x+y2＜ π，-π2＜ x-y2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosx-y

2∴上式成立

反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332

∴sinA+sinB≠sinC≤332

練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18

4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18

分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時(shí)，等號(hào)成立

證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①

同理b4+3(12)4 ≥b②

∴a4+b4≥12(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

∵a≠b ∴①②中等號(hào)不成立∴③中等號(hào)不成立∴ 原不等式成立

1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯(cuò)解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說(shuō)明c存在。

正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因?yàn)閤,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。

6.2已知x,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

錯(cuò)解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz

錯(cuò)因：根據(jù)不等式的性質(zhì)：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡(jiǎn)得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:

x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz

6.3 設(shè)x+y>0，n為偶數(shù)，求證yn-1xn+xn-1yn≥

1x 1y

錯(cuò)證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

n為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xn-yn和xn-1-yn-

1同號(hào)，∴yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

錯(cuò)因：在x+y>0的條件下，n為偶數(shù)時(shí)，xn-yn和xn-1-yn-1不一定同號(hào)，應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

正解：應(yīng)用比較法：

yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

① 當(dāng)x>0,y>0時(shí)，(xn-yn)(xn-1-yn-1)≥ 0，(xy)n >0

所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí)，不妨設(shè)x>0,y<0，且x+y>0，所以x>|y|

又n為偶數(shù)時(shí),所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)>0 又(xy)n >0，所以(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn ≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y

綜合①②知原不等式成立

第四篇：不等式證明若干方法

安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級(jí)本科生

論文（設(shè)計(jì)）選題實(shí)習(xí)報(bào)告

11級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評(píng)分表

注：綜合評(píng)分?60的為“及格”； <60分的為“不及格”。

第五篇：淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧

淺談?dòng)梅趴s法證明不等式的方法與技巧

分類：學(xué)法指導(dǎo)

放縮法：為放寬或縮小不等式的范圍的方法。常用在多項(xiàng)式中“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)”而使不等式各項(xiàng)之和變小（大），或“在分式中放大或縮小分式的分子分母”，或“在乘積式中用較大（較?。┮蚴酱妗钡刃Х?，而達(dá)到其證題目的。

所謂放縮的技巧：即欲證

做“放”，由B到C叫做“縮”。

常用的放縮技巧還有：（1）若（2），欲尋找一個(gè)（或多個(gè)）中間變量C，使，由A到C叫

（3）若則（4）

（5）（6）

或

（7）

等。

用放縮法證明下列各題。

例1 求證： 等

證明：因?yàn)樗宰筮呉驗(yàn)?9＜100（放大）＜

所以

例2（2000年海南理11）若

證明：因?yàn)?求證：因?yàn)?所以

［因?yàn)?/p>

大），所以又所以是增函數(shù)］，所以（放，所以

例3（2001年云南理1）求證：

證明：（因?yàn)椋?/p>

［又因?yàn)?/p>

例4 已知證明：因?yàn)?/p>

求證：

（放大）］，所以所以

例5 求證：

證明：因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)椋ǚ糯螅?/p>

所以

例6（2000年湖南省會(huì)考）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的最大值是

證明：因?yàn)樵瘮?shù)配方得又因?yàn)?/p>

所以（縮?。?，所以函數(shù)

y的最小值是。當(dāng)所以

（放大），所以函數(shù)y的最大值是

例7 求證：

證明：因?yàn)榱ⅰ?/p>

例8（2002年貴州省理21）若證明：因?yàn)?/p>

所以

證

（當(dāng)且僅當(dāng)

（分母有理化）所以原不等式成求證：

而

所以

同理可

時(shí)，取等號(hào)）。

例9 已知a、b、c分別是一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，求證：

證明：不妨設(shè)據(jù)三角形三邊關(guān)系定理有：便得

所以原不等式成立。

例10（1999年湖南省理16）求證：

證明：因?yàn)橛?/p>

所以原不等式成立。

例11 求證：

證明：因?yàn)樽筮?/p>

證畢。

例12 求證

證明：因?yàn)?/p>

注：

1、放縮法的理論依據(jù)，是不等式的傳遞性，即若

所以左邊

則。

2、使用放

縮法時(shí)，“放”、“縮”都不要過(guò)頭。

3、放縮法是一種技巧性較強(qiáng)的不等變形，一般用于兩邊差別較大的不等式。常用的有“添舍放縮”和“分式放縮”，都是用于不等式證明中局部放縮。