第一篇：高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)與題型歸納

河南省高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如 ：集合A?x|y?lgx，B?y|y?lgx，C?(x,y)|y?lgx，A、B、C??????中元素各表示什么？

.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集?的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如 ：集合A?x|x?2x?3?0，B?x|ax?1??2?1?3??

若B?Aa，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合為

（答：?1，0，）??

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合a，a，??，a的所有子集的個數(shù)是2；12n????n2）若A?B?A?B?A，A?B?B；

（

（3）德摩根定律：

CA?B?CA?CB，CA?B?CA?CB????????????UUUUUU

4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如 ：已知關(guān)于x的不等式?0的解集為M，若3?M且5?M，求實(shí)數(shù)a2的取值范圍。

ax?5x?aa·3?5（∵3?M，∴2?03?a

a·5?5∵5?M，∴2?05?a?5??a?1，?9，25）?????3?.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(?)，“且”(?)和“非”(?).p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若

若p?q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

?p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

若

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)y?x4?x??的定義域是2lgx?3??

（答：0，2??2，33，4）

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ ??????

如 ：函數(shù)f(x)的定義域是a，b，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。

（答：a，?a）

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f?????x?1?ex?x，求f(x).?t?x?1，則t?0

令

x?t?

1∴

∴ ft()?e?t?12t?122f(xe)???x1x?0

∴ ??2x?1

212.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

1?xx0?????：求函數(shù)f(x)?的反函數(shù)

如 ?2?x?x?0???x?1?x?1???答：f()x?）

（???x?x?0????

113.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y?f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，a?A，b?C，則f(a)=b?f(b)?a

? ff(a)??f(b)a，ff(b)(?fa)?b???1?1?1?1??

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

（取值、作差、判正負(fù)）

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

（yf?(u)，u??(x)，則yf??(x)??（外層）（內(nèi)層）

當(dāng) 內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f?(x)為增函數(shù)，否則f?(x)為減函數(shù)。）????：求y?log?x?2x的單調(diào)區(qū)間

如 12?2?

2（設(shè)u??xxu?2，由?0則0?x?22logu?，u??x??1，如圖：

且 ??112 u O 1 2 x

x?(0，1]時，u?，又logu?，∴y?

當(dāng) 12x?[1，2)時，u?，又logu?，∴y?

當(dāng) 12

∴??）

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

區(qū)間a，b內(nèi)，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數(shù)。（在個別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

在 零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f'(x)?0呢？

3??：已知a?0，函數(shù)f(x)?x?ax在1，??上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

如

值是（）

A.0 B.1 2?? C.2 D.3

????aa令fx'()?3x?a?3x??x???0

（??33????x??

則aa或x? 33a3已知f(x)[在1，??)上為增函數(shù)，則?1，即a? 由

∴a的最大值為3）

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）

若 f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

若 f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)?0。xa·2?a?2

如 ：若f(x)?x為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a?2?

1（∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?00a·2?a?2?0，∴）a?1

即02?1x2如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數(shù)，當(dāng)x?()0，1時，f(x)?，又 x4?1求f(x)在?1，1上的解析式。???x2

（令x??1，0，則?x?0，1，fx()???????x41??xx22f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)????x

又 ?x4?11?4xx?(?1，0)?2??x?01x?4?f()0?0，∴fx()?）

又 ?x?2x?0，1??x?4?1?

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

若存在實(shí)數(shù)T（T?0），在定義域內(nèi)總有fx?T?f(x)，則f(x)為周期

（??函數(shù)，T是一個周期。）

如：若fx?a??f(x)，則 ??

（答：f(x)是周期函數(shù)，T?2a為f(x)的一個周期）

又 如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x?a，x?b???

即 f(a?x)(?fa?x)(，fb?x)(?fb?x)

則 f(x)是周期函數(shù)，2a?b為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

(x)與f(?x)的圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)與?f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與?f(?x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

f

f(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線y?x對稱?1(x)與f(2a?x)的圖象關(guān)于直線x?a對稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱

f

y?f(x)圖象??????????

將yf?(xa??)b上移b(b?0)個單位?????????

?

yf?(xa??)b下移b(b?0)個單位

注意如下“翻折”變換：

y?f(x?a)左移a(a?0)個單位

y?f(x?a)右移a(a?0)個單位

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如 ：f(x)l?ogx?1??2出及y??logx1yx?log?1的圖象

作 ??22 y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

1）一次函數(shù)：y?kx?bk?0

（??

（2）反比例函數(shù)：y?k?0推廣為y?b?k?0是中心O'()a，b????的雙曲線。

24ac?b?b?2

（3）二次函數(shù)y?ax?bx?ca?0?ax??圖象為拋物線??????42aa2kxkx?a2?b4?acb?b點(diǎn)坐標(biāo)為?，對稱軸x??

頂 ??a4a?2a?224ac?b口方向：a?0，向上，函數(shù)y?

開 min4a24ac?b?0，向下，y

a max?4a

應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程 ax?bx?c?0，??0時，兩根x、x為二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖象與x軸122 的兩個交點(diǎn)，也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端點(diǎn)值。

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

??0???b 如 ：二次方程ax?bx??c0的兩根都大于k???k?a?2fk()?0?? y(a>0)O k x1 x2 x

一 根大于k，一根小于k?f(k)?04）指數(shù)函數(shù)：，y?aa?01a?

（5）對數(shù)函數(shù)y?logxa?01，a?

（a

由圖象記性質(zhì)！

（注意底數(shù)的限定！）

x???? y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

6）“對勾函數(shù)”y?x?k?0

（??

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

kx y ?k O k x

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

指 數(shù)運(yùn)算：a?1(a?0)，a?(a?0)p

a?a(a?0)，a?mnnmm?n0?p1a1nma(a?0)數(shù)運(yùn)算：logM·N?logM?logNM?0，N?0

對 aaa

loga??M1?logaM?logaN，loganM?logaM Nnlogx

對 數(shù)恒等式：aa?xc數(shù)換底公式：logb??logb?logb

對 maaalogblogacnnm

21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。

先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（

2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。

（

先令x?y??t?f(?t)(?tf)?(t·t)

（??ft()??ft()??f(t)?f(t)

∴ f()?t?f(t)??）

∴

3）證明單調(diào)性：f(x)?fx?x?x???

（??221

222.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

??

如求下列函數(shù)的最值：

（1）y?2x?3?13?4x

（）2y?2x?4 x?322x

（3）x?3，y?x?（4）y?x?4?9?x設(shè)x?3cos?，???0，（5）y?4x?，x?(01，]

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

（l??·R，S扇?2????9x11l·R??·R2）22 R 1弧度 O R

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

in??MP，cos??OM，tan??AT

s

y T B S P α O M A x

：若????0，則sin?，cos?，tan?的大小順序是

如

又如：求函數(shù)y??8???1?2cos??x?的定義域和值域。

?2?∵1?2cosx）?1?2sinx?0

（???????2?

∴sinx?2，如圖：2

∴ 2k???x?2k????kZ，0y?1?2??

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎？ 5?4?

4inx?1，cosx? s

y y?tgx x ? ? ? O ? 22

稱點(diǎn)為k，0，k?Z

對 ???sinx的增區(qū)間為2k??，2k??k?Z

y ???????2??2????2??

減 區(qū)間為2k??，2k???kZ????2

2圖 象的對稱點(diǎn)為k?，0，對稱軸為x?k??k?Z??

yx ?cos的增區(qū)間為2k?，2k???k?Z??

減 區(qū)間為2k???，22k???k?Z??

圖 象的對稱點(diǎn)為k??，0，對稱軸為x?k?k?Z???????3??????2????????2?

y ?tanx的增區(qū)間為k??，k??k?Z?????2???26.正弦型函數(shù)y=Asin?x+?的圖象和性質(zhì)要熟記?；騳?Acos?x??????

（1）振幅|A|，周期T?

??2?|?|

若 fx??A，則x?x為對稱軸。??00fx?0，則x，0為對稱點(diǎn)，反之也對。

若 ??00

（2）五點(diǎn)作圖：令?x??依次為0，?，2?，求出x與y，依點(diǎn)（x，y）作圖象。???3?223）根據(jù)圖象求解析式。（求A、?、?值）

（

?(x)???0??1圖列出

如? ??(x)???2?2?條件組求?、?值

解

?正切型函數(shù)y?Atan?x??，T? ???|?|

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍。

如 ：cosx???，x??，求x值。????

（∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??）

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？

如：函數(shù)y?sinx?sin|x|的值域是 ????6?22??3??2?3?7??5??5?1326636412x?0時，y?2sinx??2，2，x?0時，y?0，∴y??2，2）

（

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

?????x'?x?h?a?(h，k)

（1）點(diǎn)P（x，y）??????P'（x'，y'），則?y'?y?k平移至?

（2）曲線f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程為f(x?h，y?k)?0?：函數(shù)y?2sin2x??1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)?sinx的 如 ??圖象？

????4?1?????橫??坐標(biāo)伸長到原來的2倍?y?2sin2x??1???????????y?2sin2x??（???????4????24?????上平移1個單位4 ?2sinx??1????????y?2sinx?1????????y?2sinx???4?左平移個單位12 ???????????y?sinx）縱坐標(biāo)縮短到原來的倍

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

：1?sin??cos??sec??tan??tan?·cot??cos?·sec??tan

如 2222?4??sin?cos0???稱為1的代換。

2?k·??”化為?的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號看象限”，“

2“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

如：cos?tan??sin21??????

又如：函數(shù)y?

A.正值或負(fù)值 9??7???4?6

sin??tan?，則y的值為

cos??cot?B.負(fù)值

C.非負(fù)值

D.正值

sin?sin??2sin?cos??1??cos?

（y??2?0，∵??0）cos?cos?sin??1??cos??sin?

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系：

s in????sin?cos??cos?sin??????sins2??2in?cos???令???令???22cos?cos??sin?sin??????cos2??cos??sin? ??????costan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?tan2??

2tan? 21?tan? 1?cos2?2 1?cos2?2sin??22cos??

sin??bcos??ab?sin???，tan??

a ??22bain??cos??2sin???

s ??????3?????4in??3cos??2sin???

s ?

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）

具體方法：

1）角的變換：如???????，????????

（??????

（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

????????????2?22：已知，?1tan?????，求tan??2?的值。

如 ????sin?cos?1?cos2?23sin?cos?cos?1 ?1，∴tan??2sin?22sin?

2又tan??????（由已知得：?221?tan????tan?3??

1∴ tan??2??tan???????2?）??????2181?tan???·tan???1?·32

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

222b?c?a

余 弦定理：a?b?c?2bccosAA?cos?2bc22

2（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a?2RAsin?abc?

正 弦定理：???2R?b?2RsinB?sinAsinBsinC?c?2RCsin? S ?a·bsinC?2

∵ A?B?C??，∴A?B???C

∴sinA?B?sinC，sin??

如?ABC中，2sin

（1）求角C；2c

（2）若ab??，求cos2A?cos2B的值。2222A?BC?cos 22A?B?cos2C?1 2

（（1）由已知式得：1?cosA?B?21cosC??1??2A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0

又

2cosC?或cosC??1（舍）

∴ 120?C??，∴C?

又?322122?32222sinA?2sinB?sinC?sin?

343?cos2A??1cos2B?

142）由正弦定理及a?b?c得：

（∴ cos2A?cos2B??）

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反 正弦：arcsinx??，，x??11??34????22????余弦：arccosx?0，?，x??1，1

反

反 正切：arctanx??，xR?????

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

?????????22?c?0??acbc

（1）a?b，c?0??acbc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d

（3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

（4）a?b?0??，a?b?0??nn

（5）a?b?0?a?b，a?bnn11ab11ab6）|x|?aa?0??a?x?a，|x|?a?x??a或x?a

（??：若，??0則下列結(jié)論不正確的是（）

如

A.a?b222 B.ab?b11ab.|||||a?b?a?b|

C

答案：C

35.利用均值不等式：

abD.??2 baa?b??22?

a ?b?2aba，b?R；；a?b?2abab?求最值時，你是否注????2??2? 意到“a，b?R”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a?b)其中之一為定值？（一正、二定、三相等）

注意如下結(jié)論：

22a?bab?2ab??ab?ab，?R? 22ab???且僅當(dāng)a?b時等號成立。

當(dāng) ?b?c?ab?bc?caa，b?R

a

當(dāng) 且僅當(dāng)a?b?c時取等號。

a ?b?0，m?0，n?0，則222??bb?ma?na???1? aa?mb?nb 如：若x?0，2?3x?的最大值為

x

（設(shè)y?2?3x??2?2122??43????4??x且僅當(dāng)3x?，又x?0，∴x?時，y?2?43）

當(dāng) max

又 如：x?2y?1，則2?4的最小值為

（∵2?2?22?22，∴最小值為22）

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如 ：證明1??????222（1?x2yx?2y14x233xy11231n111111??????1?????? 2221?22?323n?n?1?n11111?1?1????????223n?1n

1?2??2）n7.解分式不等式?aa?0的一般步驟是什么？??

（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）

38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始 f(x)g(x)

：x?1x?1x?2?0

如 ??????2

339.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如 ：對數(shù)或指數(shù)的底分a?1或0?a?1討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）

例 如：解不等式|x?3|?x?1?（解集為x|x??）?1.會用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|證明較簡單的不等問題

如 ：設(shè)f(x)?x?x?13，實(shí)數(shù)a滿足|x?a|?1

求 證：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

證明：| f(x)(?fax)|?|(?x?13)?(a?a?13)|222??1?2??|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)

?|x?ax||?a?1|?|x?a?1|

?|x|?|a|?1

又 |x|?|a||?x?a|?1，∴|x||?a|?1f(x)(?fa)?2|a|?2?2|a|?1

∴ ??

（按不等號方向放縮）

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“△”問題）

：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值

如 ?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值

a ?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

a

如：對于一切實(shí)數(shù)x，若x?3?x?2?a恒成立，則a的取值范圍是

例

設(shè)u?x?3?x?2，它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)?2和3距離之和

（?3??2?5，∴5?a，即a?

5u ??min者：x?3?x?2?x?3?x?2?55，∴a?）

或 ????

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：a?a?d(d為常數(shù))，a?a?n?1d

??n?1nn1

等 差中項(xiàng)：x，A，y成等差數(shù)列?2A?x?y

前n項(xiàng)和S?naa?nnn?1???? 1n?na?d212

性 質(zhì)：a是等差數(shù)列??n1）若m?n?p?q，則a?a?a?a；

（mnpq

（2）數(shù)列a，a，ka?b仍為等差數(shù)列；??????2n?12nn

S，S?S，S?S??仍為等差數(shù)列；n2nn3n2n3）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a??d，a，ad；

（

m2m?14）若a，b是等差數(shù)列S，T為前n項(xiàng)和，則?；

（nnnnaSbTm2m?1

（5）a為等差數(shù)列?S?an?bn（a，b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為??nn20的二次函數(shù)）

2S 的最值可求二次函數(shù)S?an?bn的最值；或者求出a中的正、負(fù)分界??nnn項(xiàng)，即：

當(dāng) a??0，d0，解不等式組得S達(dá)到最大值時的n值。?可1na?0?na?0n?1?a?0?n

當(dāng) a?0，d?0，由得S達(dá)到最小值時的n值。?可1na?0n?1?

如 ：等差數(shù)列a，S?18，a?a?a?3，S?1，則n???nnnn?1n?2

3（由a?a?a?3?3a?3，∴a?1nn?1n?2n?1n?1S?

又3aa???113·3?3a?1，∴a?

22231??1n???a?ana?a·n??????3?1S?1n?2n??18

∴ n222n?27）

?

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì) n?1義：?q（q為常數(shù)，q?0），a?aq

定 n1aann? 等 比中項(xiàng)：x、G、y成等比數(shù)列?G?xy，或G??xy2na(q?1)?1?n

前 n項(xiàng)和：S?（要注意!）a?qn?11(q?1)?1?q???

性 質(zhì)：a是等比數(shù)列??n1m）若?n?p?qa，則·a?a·a

（mnpq

（2）S，S?S，S?S??仍為等比數(shù)列nn2n3n2n5.由S求a時應(yīng)注意什么？nn

（n?1時，a?S，n?2時，a?S?S）11nnn?

146.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

例如：（1）求差（商）法

1112221?1時，a?2?1?5，∴a?1 解：n 112111

n ?2時，a?a????a?2n?1?5?2?122n?1n?12221

?? 1???2得：a?2nn

2如 ：a滿足a?a????a?2n?5?1???n12n2n

∴a2 n?n?114(n?1)?a

∴ ?n?n?12(n?2)?［練習(xí)］

列a滿足S?S?a，a?4，求a

數(shù) ??nnn?1n?11n

（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：53Sn?1?4 SnnS?4，∴S是等比數(shù)列，S?4

又 ??1nn?2時，a?S?S????3·4

n nnn?1n?1

（2）疊乘法

n?1

例 如：數(shù)列a中，a?3，?，求a??n1nana?1nn

解：aa2n?1a2a3n1n1·???·??，∴?

aa3na1a2n?121n3n

又a3，∴a1?n?

（3）等差型遞推公式

由 a?a?f(n)，a?a，求a，用迭加法nn?110n?n?2時，aa(2)2?1?f?a?a?f(3)?32

兩邊相加，得：??????aa(n)?n?n?1?f?

a ?a???f(2)f(3)???f(n)n1

∴ a?a?f(23)(?f)????f(n)n0［練習(xí)］

數(shù) 列a，a?1，a?3?an?2，求a????n1nn?1nn?1a1）

（n?3?

（4）等比型遞推公式

a ?ca?dc、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0nn?

1可 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a?x?ca?x??nn?112?n???a?ca?c?1x

? ??nn?1

令(c?1)x?d，∴x?d c?1a??是首項(xiàng)為，a?c為公比的等比數(shù)列

∴ ?n1?d??1?c?dc?1a?

∴nd?d?n?1?a?·c ??1?c?1?c?1??d?nd?1c? ??c?1c?1aa?

∴?n?1［練習(xí)］

數(shù) 列a滿足a?9，3a?a?4，求a??n1n?1nn?4?

（a?8???n?3?

（5）倒數(shù)法 n?1 ?1）如：a?1，a?

例1n?12an，求a na?2nn

由已知得：??2111a??

a2a2an?1nn

∴1an?1?11? an2為等差數(shù)列，?1，公差為

? ????1an??1a1121?n?1·??n?1

?? ???

∴an?1an11222 n?1

47.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。

：a是公差為d的等差數(shù)列，求

如??n1 ?aak?1kk?1n

解：由n??11111??d?0 ?????a?daa·a????dkkkak?1kk?1an?11?11?

∴ ?????aadaa??k?1kkk?1?1kk?1

???11??11??11?1?????????????????d?aaaaa?a?????1223nn?1??11?1????da?a1n?1?

［練習(xí)］

和：1??

求111????

1?21?2?31?2?3????n

（a??????，S?2?）nn

（2）錯位相減法：

1n?1

若 a為等差數(shù)列，b為等比數(shù)列，求數(shù)列ab（差比數(shù)列）前n項(xiàng)??????nnnn 和，可由S?qS求S，其中q為b的公比。??nnnn

如 ：Sx?1?2?3x?4x????nx?1?n

x ·S?x?2x?3x?4x????n?1x?nx?2???n234n?1n23n?1

? 1???2?：11?xS??x?x????x?nx??n2n?1n1?x?n?x

x ?1時，S??nnn21?x??1?xnn?1??

x ?1時，S?1?2?3????n?n

2（3）倒序相加法：把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

?Sa?a????a?a?n?12n?1n 相加??Sa?a????a?an?nn?121?S?a?a?a?a????a?a????????n1n2n?11n［練習(xí)］

2x111?????? 已知f(x)?，則f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f? ??????2??????2341?x221x1??x由fx()?f????1（???2222??1x?x1?x1?x1??1?????x1??????x2原式??f(1)f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f

∴ ?????????????

??1??????2??1??????3??1?????4?11?1?1?1?3）22

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r，n期后，本利和為：

?p1?r?p1?2r????p1?nr?pn?r??等差問題

S ????????nnn?1?????2?

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類）

若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x元，滿足

p()1?r?x1?r?x1?r????x1?r?x??????nnn???1?1?r1?r?1???

? xx???1?1?rr??????n?1n?

2∴x?pr?1?r?n?1?r?n?1

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（1）分類計數(shù)原理：N?m?m????m12n

（mi為各類辦法中的方法數(shù)）

分 步計數(shù)原理：N?m·m??m12n

（m為各步驟中的方法數(shù)）i

（2）排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一

m 列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A.n?nn?1n?2??n?m?1?

A??????nmn!m?n ??n?m!??定：0!?

1規(guī)

（3）組合：從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n個不

m 同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C.nmnn?1??n?m?1????An!n???

C mm!m!n?m!A??mmn定：C1

規(guī) n?04）組合數(shù)性質(zhì)：

（

?C，C?C?C，C?C????C?

2C nnnnn?1nnn

50.解排列與組合問題的規(guī)律是： mn?mmm?1m01nn

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績

x?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且滿足x?x?x?x，i123

4則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是（）

A.24 B.15 C.12 D.10

解析：可分成兩類： ??1）中間兩個分?jǐn)?shù)不相等，（有 C?5（種）

5（2）中間兩個分?jǐn)?shù)相等

x ?x?x?x1234

相同兩數(shù)分別取90，91，92，對應(yīng)的排列可以數(shù)出來，分別有3，4，3種，∴有10種。

∴共有5＋10＝15（種）情況

51.二項(xiàng)式定理

(a?b)?Ca?Cab??Cab??Cab???Cbnnnnn

二 項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：T?Cab(r?0，1??n)r?1n

C 為二項(xiàng)式系數(shù)（區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù)）n

性質(zhì)：

（1）對稱性：C??Cr0，1，2，??，nnn

（2）系數(shù)和：C?C???C?2nnn

C ?C?CC????C?C???2nnnnnn

（3）最值：n為偶數(shù)時，n＋1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第 135024n?101nnn0n1n?12n?22rn?rrnnrn?rrrrn?r??n??2?1項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為C；n為奇數(shù)時，()n?1為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式 ??n??2nn?1n?122系數(shù)最大即第項(xiàng)及第?1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為C?C nn2211n?1n?1：在二項(xiàng)式x?1的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為（用數(shù)字

如 ??表示）∵n＝11

（

∴ 共有12項(xiàng)，中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大，且為第?6或第7項(xiàng)

由 Cx(?1)，∴取r?5即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最?。?1

? C??C??4261111

又 如：1?2x?a?ax?ax????axx?R，則????***465122r11?rr a?a?a?a?a?a????a?a?（用數(shù)字作答）????????01020302004

（令x?0，得：a?10

令 x?1，得：a?a????a?1022004

∴ 原式?2003a?a?a????a?2003?1?1?2004）0012004

52.你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎？

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0??2）包含關(guān)系：A?B，“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。

（

A B

3）事件的和（并）：A?B或A?B“A與B至少有一個發(fā)生”叫做A與B

（的和（并）。

4）事件的積（交）：A·B或A?B“A與B同時發(fā)生”叫做A與B的積。

（

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

A·B??

（6）對立事件（互逆事件）：

A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立（逆）事件，A

“

A ?A??，A?A??

（7）獨(dú)立事件：A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件。

與B獨(dú)立，A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立。

A

53.對某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列組合的方法，即

()A?

PA包含的等可能結(jié)果m? n一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)

（2）若A、BP互斥，則A?B?P(A)?P(B)??

（3）若A、B相互獨(dú)立，則PA·B?PA·PB????

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生

kkk次的概率：P(k)?Cp1?p?? nnn?k??

如：設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）從中任取2件都是次品；

?C22?4??

?P? 1215C10??

（2）從中任取5件恰有2件次品；

23?CC10?46??

?P? 2521C??10

（3）從中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴ m?C·46?43223C·4·64?4

∴ P??33125102213

（4）從中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽?。ㄓ许樞颍?/p>

∴ n?Am，?CAA10456223CAA10456

∴ P??4521A105223

分清（1）、（2）是組合問題，（3）是可重復(fù)排列問題，（4）是無重復(fù)排列問題。

54.抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估計總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

（1）算數(shù)據(jù)極差x?x；??maxmin

（2）決定組距和組數(shù)；

（3）決定分點(diǎn)；

（4）列頻率分布表；

（5）畫頻率直方圖。

中，頻率?小長方形的面積?組距×

其本平均值：x?xx?????x

樣 12n頻率組距1n1222 樣 本方差：S??xx?x?x????x?x??????12nn????

如：從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按性別分層隨機(jī)抽樣，則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。

42C10C5）

（6C1

556.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的?！邢蚓€段的長度，||a??

（3）單位向量|a|?1，a00????a|a|

（4）零向量0，|0|?0??長度相等?5）相等的向量?a?b

（?方向相同???

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。

（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

b ∥a(b?0)?存在唯一實(shí)數(shù)?，使ba??

（7）向量的加、減法如圖： ??????

???

O A?OBO?C???

O A?OBB?A

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e，e是平面內(nèi)的兩個不共線向量，a為該平面任一向量，則存在唯一12????????實(shí)數(shù)對?、?，使得a??e??e，e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量 12121212的一組基底。

（9）向量的坐標(biāo)表示

i，j是一對互相垂直的單位向量，則有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得????? a?xi?yj，稱(x，y)為向量a的坐標(biāo)，記作：a?x，y，即為向量的坐標(biāo)??????表示。

a?xy，b?x，y

設(shè) 1122a?b?xy?y，yx??y，x?y

則，11121122a??x，y?x，?y

?11?11 ?????????????????Ax，y，Bx，y

若 1122?AB?x?x，y?y

則 ??2121?????22AB?x?x?y?y，A、B兩點(diǎn)間距離公式

|| ????21

2157.平面向量的數(shù)量積

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）。??????為向量a與b的夾角，??0，?

?

B ????? b O ? ?a

D A

數(shù)量積的幾何意義：

·b等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos?的乘積。

a

（2）數(shù)量積的運(yùn)算法則

?????????a·b?b·a

①

(ab?)c?a·cb?·c

② ???????

③ a·b?x，y·x，yx?x?yy11221212

注 意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律(a·b)·c?a·(b·c)

（3）重要性質(zhì)：設(shè)a?x，y，b?x，y1122

① a⊥b?a·b?0?x·x?y·y?01212

② a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

? a??b（b?0，?惟一確定）

? xy?xy?01221

③ a??||axy?，|a·b|||?a·||b

④cos???［練習(xí)］ 2??22121???????????????????????????????????????xx?yya·b1212 ??2222xy·x?y|a|·|b|1?122????????

（1）已知正方形ABCD，邊長為1，AB?a，BC?b，AC?c，則|a?b?c|?

答案：22 ???

（2）若向量a?x，1，b?4，x，當(dāng)x?

答案：2 ??????時a與b共線且方向相同

????3）已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a?3b|?

（答案：158.線段的定比分點(diǎn) ??oPx，y，Px，y，分點(diǎn)Px，y，設(shè)P、P是直線l上兩點(diǎn)，P點(diǎn)在設(shè) 11122212???????? l上且不同于P、P，若存在一實(shí)數(shù)?，使PP??PP，則?叫做P分有向線段1212? PP所成的比（??0，P在線段PP內(nèi)，??0，P在PP外），且121212?xx?x?x1?21?2x?x?????1??2，P為PP中點(diǎn)時，? ?12y??yyy21?2??y?1y???1??2??：?ABC，Ax，y，Bx，y，Cx，y

如 1122331 則?ABC重心G的坐標(biāo)是???????x?x?x?y?y??3y123，??3?

3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

線∥線???線∥面???面∥面

? ???線⊥線???線⊥面???面⊥面????判定性質(zhì)線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

∥b，b?面?，a???a∥面?

a

a b ??

線面平行的性質(zhì)：

? ∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

A⊥面?，AO為PO在?內(nèi)射影，a?面?，則

P

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

線面垂直：

P ??O a

⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a

a O α b c

面面垂直：

a ⊥面?，a?面???⊥?

面 ?⊥面?，????l，a??，aa⊥l?⊥? α a l β

⊥面?，b⊥面??ab∥

a

面 ?⊥a，面?⊥a??∥? a b ??

60.三類角的定義及求法

（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0時，b∥?或b??

? o

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，01???80oo

（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB為所求。）

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大?。ń庵苯侨切危蛴糜嘞叶ɡ恚?。［練習(xí)］

（1）如圖，OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影，OC為α內(nèi)過O點(diǎn)任一直線。

證 明：cos??cos?·cos? A θ O β B ????????????????????????C? D α

（?為線面成角，∠AOC=B?，∠OC=?）

（2）如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求異面直線BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（①arcsin；②60；③arcsin）

（3）如圖ABCD為菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。

P F D C A E B 34o63

（∵AB∥DC，P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn)，作PF∥AB，則PF為面PCD與面PAB的交線??）

61.空間有幾種距離？如何求距離？

點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者用等積轉(zhuǎn)化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱長為a，則：

（1）點(diǎn)C到面AB1C1的距離為___________；

（2）點(diǎn)B到面ACB1的距離為____________；

（3）直線A1D1到面AB1C1的距離為____________；

（4）面AB1C與面A1DC1的距離為____________；

（5）點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_____________。

D C A B D1 C1 A1 B1

62.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

R t?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE

它們各包含哪些元素？

S ?C·h'（C——底面周長，h'為斜高）正棱錐側(cè)12?底面積×高

V 錐

63.球有哪些性質(zhì)？

（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r?13R2?d2

（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！

（3）如圖，θ為緯度角，它是線面成角；α為經(jīng)度角，它是面面成角。

（4）S球?4?R，V球?24?R3

3（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。

如：一正四面體的棱長均為2，四個頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面 積為（）

A.3?B.4?C.33?D.6?

答案：A

64.熟記下列公式了嗎？

（1）l直線的傾斜角??0，?，k?tan????y2?y1??????，x1?x2?

?x2?x1?2?

P1x1，y1，P2x2，y2是l上兩點(diǎn)，直線l的方向向量a?1，k

（2）直線方程：

點(diǎn)斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在）

斜截式：y?kx?b

截距式：??????xy??1 ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同時為零）

（3）點(diǎn)Px0，y0到直線l：Ax?By?C?0的距離d???Ax0?By0?CA?B22

（4）l1到l2的到角公式：tan??k2?k1

1?k1k l1與l2的夾角公式：tan??k2?k1

1?k1k2

65.如何判斷兩直線平行、垂直？

A1B2?A2B1???l1∥l2

A1C2?A2C1?

k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2?B1B2?0?l1⊥l2

·k??1?l⊥l

k 121

266.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組?關(guān)于x（或y）的一元二次方程?“?”??0?相交；??0?相切；??0?相離

68.分清圓錐曲線的定義

?橢圓?PFPF2a，2a?2c?FF1?2?12??

第 一定義雙曲線?PFPF2a，2a?2c?FF?1?2?12?拋物線?PF?PK??

第二定義：e?PFPK?c a

0?e?1?橢圓；e?1?雙曲線；e?1?拋物線

y

b O F1 F2 a x a2x? c

22xy

2?2?1a?b?0??

ab

a?b?c ?222?

22xy1a?0，b?0

2?2? ??ab

a?b

c??222? e>1 e=1 P 0

x2y2x2y2 69.與雙曲線2?2?1有相同焦點(diǎn)的雙曲線系為2?2?????0?

abab

70.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0的限制。（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱存在性問題都在△≥0下進(jìn)行。）

弦 長公式PP?1?kx??xxx??412121222????1??k??1?2y?y4yy

??????1212

2??

71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

如：

y P(x0,y0)K F1 O F2 x l

x2y2

2?2?1

ab2PF?a?2?e，PF?ex??ex?a

??200PKc??Fexa

P 1?0? y A P2 O F x P1 B

y? 2pxp?0??2

通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

72.有關(guān)中點(diǎn)弦問題可考慮用“代點(diǎn)法”。

如 ：橢圓mx?ny?1與直線y?1?x交于M、NM兩點(diǎn)，原點(diǎn)與N中點(diǎn)連2m線的斜率為，則的值為2n

答案：

m2? n

273.如何求解“對稱”問題？

（1）證明曲線C：F（x，y）＝0關(guān)于點(diǎn)M（a，b）成中心對稱，設(shè)A（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，設(shè)A'（x'，y'）為A關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)。

（由a?，b??x'?2a??x，y'2b?y）x?x'y?y'22要證明A'2a?x，2b?y也在曲線C上，即f(x')?y'

只 2）點(diǎn)A、A'關(guān)于直線l對稱?

（?kk?1?AA'·l?

? ?AA'中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程???AA'⊥l?AA'中點(diǎn)在l上?

?x?rcos?74.圓x?y?r的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

y?rsin??222?x?acos?x2y

2橢圓2?2?1的參數(shù)方程為?（?為參數(shù)）

ab?y?bsin?

75.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

76.對線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

第二篇：序言2-高考知識點(diǎn)題型

高考知識點(diǎn)題型

1.集合問題

2.復(fù)數(shù)的分類、幾何意義及四則運(yùn)算

3.四種命題、充要條件、或 且 非形式的判斷、全稱及特稱命題

4.切線方程、導(dǎo)數(shù)法則及公式、導(dǎo)數(shù)的三個應(yīng)用

5.等差數(shù)列、等比數(shù)列的對比及求和的方法

6.當(dāng)型、直到循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖及語句

7.向量的加減運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積

8.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、和 差 二倍角公式

9.概率計算公式

10.線性規(guī)劃問題

11.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

12.解析幾何問題：三大圓錐曲線的性質(zhì)及應(yīng)用

13.頻率分布直方圖、眾數(shù) 中位數(shù)平均數(shù)，莖葉圖等知識

14.三角函數(shù)平移變換及求解析式、伸縮變換

15.三視圖、柱 錐 臺 球的體積和表面積公式

16.立體幾何命題的判斷

17.三角函數(shù)、數(shù)列問題（正弦、余弦定理）

18.立體幾何問題：證明、求角、距離

19.回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)原理、概率知識

20.解析幾何：三大圓錐曲線問題

21.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題

22.幾何問題

23.極坐標(biāo)與參數(shù)方程

24.不等式

第三篇：高考數(shù)學(xué)題型全歸納

2010-2016高考理科數(shù)學(xué)題型全歸納

題型

1、集合的基本概念

題型

2、集合間的基本關(guān)系

題型

3、集合的運(yùn)算

題型

4、四種命題及關(guān)系

題型

5、充分條件、必要條件、充要條件的判斷與證明

題型

6、求解充分條件、必要條件、充要條件中的參數(shù)范圍

題型

7、判斷命題的真假

題型

8、含有一個量詞的命題的否定

題型

9、結(jié)合命題真假求參數(shù)的范圍

題型

10、映射與函數(shù)的概念

題型

11、同一函數(shù)的判斷

題型

12、函數(shù)解析式的求法

題型

13、函數(shù)定義域的求解

題型

14、函數(shù)定義域的應(yīng)用

題型

15、函數(shù)值域的求解

題型

16、函數(shù)的奇偶性

題型

17、函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

題型

18、函數(shù)的周期性

題型

19、函數(shù)性質(zhì)的綜合

題型20、二次函數(shù)、一元二次方程、二次不等式的關(guān)系

題型

21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)根分布及條件

題型

22、二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題

題型

23、指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式

題型

24、指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)

題型

25、指數(shù)函數(shù)中的恒成立的問題

題型

26、對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

題型

27、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

題型

28、對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型

29、冪函數(shù)的定義及基本性質(zhì)

題型30、冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題型

31、判斷函數(shù)的圖像

題型

32、函數(shù)圖像的應(yīng)用

題型

33、求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

題型

34、利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

題型

35、方程根的個數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題

題型

36、函數(shù)與數(shù)列的綜合 題型

37、函數(shù)與不等式的綜合 題型

38、函數(shù)中的創(chuàng)新題

題型

39、導(dǎo)數(shù)的定義

題型40、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

題型

41、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

題型

42、利用原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系判斷圖像

題型

43、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題型

44、含參函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

題型

45、已知含參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間,求參數(shù)范圍

題型

46、函數(shù)的極值與最值的求解

題型

47、方程解(函數(shù)零點(diǎn))的個數(shù)問題

題型

48、不等式恒成立與存在性問題

題型

49、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

題型50、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

題型

51、終邊相同的角的集合的表示與識別

題型

52、等分角的象限問題

題型

53、弧長與扇形面積公式的計算

題型

54、三角函數(shù)定義題

題型

55、三角函數(shù)線及其應(yīng)用

題型

56、象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值

題型

57、同角求值---條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的 題型

58、誘導(dǎo)求值與變形

題型

59、已知解析式確定函數(shù)性質(zhì)

題型60、根據(jù)條件確定解析式

題型61、三角函數(shù)圖像變換

題型62、兩角和與差公式的證明

題型63、化簡求值

題型64、正弦定理的應(yīng)用

題型65、余弦定理的應(yīng)用

題型66、判斷三角形的形狀

題型67、正余弦定理與向量的綜合 題型68、解三角形的實(shí)際應(yīng)用

題型69、共線向量的基本概念

題型70、共線向量基本定理及應(yīng)用

題型71、平面向量的線性表示

題型72、平面向量基本定理及應(yīng)用

題型73、向量與三角形的四心

題型74、利用向量法解平面幾何

題型75、向量的坐標(biāo)運(yùn)算

題型76、向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標(biāo)表示

題型77、平面向量的數(shù)量積

題型78、平面向量的應(yīng)用

題型79、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解

題型80、等差、等比數(shù)列的求和

題型81、等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用

題型82、判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列

題型83、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 題型84、數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

題型85、數(shù)列的求和

題型86、數(shù)列與不等式的綜合

題型87、不等式的性質(zhì)

題型88、比較數(shù)(式)的大小與比較法證明不等式

題型89、求取值范圍

題型90、均值不等式及其應(yīng)用

題型91、利用均值不等式求函數(shù)最值

題型92、利用均值不等式證明不等式

題型93、不等式的證明

題型94、有理不等式的解法

題型95、絕對值不等式的解法

題型96、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域

題型97、平面區(qū)域的面積

題型98、求解目標(biāo)函數(shù)的最值

題型99、求解目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

題型100、簡單線性規(guī)劃問題的實(shí)際運(yùn)用

題型101、不等式恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍

題型102、函數(shù)與不等式綜合 題型103、幾何體的表面積與體積

題型104、球的表面積、體積與球面距離

題型105、幾何體的外接球與內(nèi)切球

題型106、直觀圖與斜二測畫法

題型107、直觀圖?三視圖

題型108、三視圖?直觀圖---簡單幾何體的基本量的計算

題型109、三視圖?直觀圖---簡單組合體的基本量的計算

題型

110、部分三視圖?其余三視圖

題型111、證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”

題型112、異面直線的判定

題型113、證明空間中直線、平面的平行關(guān)系

題型114、證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系

題型115、傾斜角與斜率的計算

題型116、直線的方程

題型117、兩直線位置關(guān)系的判定

題型118、有關(guān)距離的計算

題型119、對稱問題

題型120、求圓的方程

題型121、直線系方程和圓系方程

題型122、與圓有關(guān)的軌跡問題

題型123、圓的一般方程的充要條件

題型124、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

題型125、與圓有關(guān)的最值問題

題型126、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

題型127、直線與圓的相交關(guān)系

題型128、直線與圓的相切關(guān)系

題型129、直線與圓的相離關(guān)系

題型130、圓與圓的位置關(guān)系

題型131、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型132、離心率的值及取值范圍

題型133、焦點(diǎn)三角形

題型134、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型135、雙曲線的漸近線

題型136、離心率的值及取值范圍

題型137、焦點(diǎn)三角形

題型138、拋物線的定義與方程

題型139、與拋物線有關(guān)的距離和最值問題

題型140、拋物線中三角形、四邊形的面積問題

題型141、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

題型142、中點(diǎn)弦問題

題型143、弦長與面積問題

題型144、平面向量在解析幾何中的應(yīng)用

題型145、定點(diǎn)問題

題型146、定值問題

題型147、最值問題

題型148、已知流程框圖,求輸出結(jié)果

題型149、根據(jù)條件,填充不完整的流程圖

題型150、求輸入?yún)⒘?/p>

第四篇：高考知識點(diǎn)數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集 的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”，“且”和

“非.若p q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A 中元素的任意性和B 中與之對應(yīng)元素的哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對一，多對一，允許B 中有元素?zé)o原象。）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

（一一對應(yīng)函數(shù)）

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

（取值、作差、判正負(fù)）

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

16.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

17.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)與 f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

f(x)與 f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x)與f 1(x)的圖象關(guān)于直線y ? x 對稱

f(x)與f(2a x)的圖象關(guān)于直線x ? a 對稱

f(x)與 f(2a x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱)? 0

18.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)【由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定！）】

19.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

20.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法、配方法，反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法等。）

21.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

22.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎

23.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

24.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角求值，盡可能求值。）

具體方法：

（1）角的變換：

（2）名的變換：化弦或化切

（3）次數(shù)的變換：升、降冪公式

（4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

25.利用均值不等式：

（一正、二定、三相等）

26.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

27.解分式不等式的一般步驟是什么？

（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x 的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）

28.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始

29.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

30.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）

（按不等號方向放縮）

31.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎？

（1）求差（商）法

（2）疊乘法

（3）等差型遞推公式

（4）等比型遞推公式

（5）倒數(shù)法

32.你熟悉求數(shù)列前n 項(xiàng)和的常用方法嗎？

（1）裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。

（2）錯位相減法：

33.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

△零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：

若每期存入本金p 元，每期利率為r，n 期后，本利和為：

△若按復(fù)利，如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型（按揭貸款——分期等額歸還本息種類）

若貸款（向銀行借款）p 元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第款日，如此下去，第n 次還清。如果每期利率為r（按復(fù)利），那么每期應(yīng)還x 元，滿足

p——貸款數(shù)，r——利率，n——還款期數(shù)

34.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

（1）分類計數(shù)原理

（2）排列： 從n 個不同元素中，任取m（m ≤ n）個元素，按照一定的順序列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為

（3）組合： 從n 個不同元素中任取m（m ≤ n）個元素并組成一組，叫做從同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C

35.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至少問題間同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

36.抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）常常用于總體個數(shù)較少時，它的特總體中逐個抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數(shù)較多時，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個個體的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

37.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率，用樣本的期望（平均值）和方差去估的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法：

列頻率分布表；

畫頻率直方圖。

38.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的?！邢蚓€段的長度

（3）單位向量

（4）零向量

（5）相等的向量：長度相等、方向相同

在此規(guī)定下向量可以在平面（或空間）平行移動而不改變。

（6）并線向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

規(guī)定零向量與任意向量平行。

（7）向量的加、減法

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

（9）向量的坐標(biāo)表示

39.平面向量的數(shù)量積

（1）a · b 或a · b 叫做向量a 與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積）。

三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎？

40.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎？

三垂線定理（及逆定理）：?

41.三類角的定義及求法

（1）異面直線所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直線與平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（3）二面角：（三垂線定理法：A∈α作或證AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，連AO，則AO⊥棱l，∴∠AOB 求。）

三類角的求法：

①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義，并指出所求作的角。

③計算大?。ń庵苯侨切危蛴糜嘞叶ɡ恚?。

空間有幾種距離？如何求距離？

點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線，點(diǎn)與面，線與線，線與面，面與面間距離。

將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離，構(gòu)造三角形，解三角形求線段的長（如：三垂線定理法，或者轉(zhuǎn)化法）。

42.你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)？

正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐——底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：

43.球有哪些性質(zhì)？

（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面r ? R 2 d

2（2）球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此，要找球心角！

（5）球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R 與內(nèi)切球半徑r 之比為R：1。

（4）到角公式：

夾角公式

45.如何判斷兩直線平行、垂直？

46.怎樣判斷直線l 與圓C 的位置關(guān)系？

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時，注意利用圓的“垂徑定理”。

47.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置？

聯(lián)立方程組關(guān)于（或）的一元二次方程“ ”

48.分清圓錐曲線的定義

第一定義

橢圓，雙曲線，拋物線

49.與雙曲線有相同焦點(diǎn)的雙曲線系為x

50.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程，要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零？△≥0

51.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎？

通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者；以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。

52.有關(guān)中點(diǎn)弦問題可考慮用“代點(diǎn)法”。

53.求軌跡方程的常用方法有哪些？注意討論范圍。

（直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法）

54.對線性規(guī)劃問題：作出可行域，作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線，在可行域內(nèi)平移直線，求出數(shù)的最值。

第五篇：高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識點(diǎn)及題型整理

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

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分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點(diǎn)或一個最低點(diǎn)，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是越來越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設(shè)即

對應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時，解的個數(shù)是0；

當(dāng)a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當(dāng)0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；

當(dāng)a=4時，解的個數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過（外，過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

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故的最大值為，最小值為

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動點(diǎn)，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴(kuò)大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

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故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根（1）的個數(shù)：

（2）

（3）

2．無論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

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（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡，則這兩，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

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（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當(dāng)x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)

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