第一篇：初中八年級奧林匹克數(shù)學競賽(決賽)模擬試題附答案

初中八年級奧林匹克數(shù)學競賽

（決賽）試題附答案

（競賽時間：2010年3月21日上午9:30-11:30）

一、選擇題（每小題5分，共30分）

1．計算(1?2?5???2011)?(2?4?6???2010)的結(jié)果是（）

A． 1004B． 1006C． 1008D．1010

2．如圖1是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為圖上三點，則在正方體盒子中，∠ABC的度數(shù)為（）

A． 120°B．90°C． 60°D．45°

3．九年級的數(shù)學老師平均每月上6節(jié)輔導(dǎo)課，如果由女教師完成，則

每人每月應(yīng)上15節(jié)；如果只由男教師完成，則每人應(yīng)上輔導(dǎo)課（）節(jié)

A．9B． 10C． 12D．1

44．如果有四個不同的正整數(shù)m、n、p、q滿足（7－m）（7－n）（7－p）（7－q）=4，那么m+n+p+q

等于（）

A．21B． 24C． 26D．28

5．如圖2，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分

B

∠BAC，AD的延長線交BF于E，且E為垂足，則結(jié)論

E

D

①AD=BF，②CF=CD，③AC+CD=AB，④BE=CF，⑤BF=2BE，其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）

F

CA

(圖2）

A．4B．3C．2D．1 6．如果實數(shù)m?n，且

8m?nm?

18n?m?n?1，則m?n?（）

A． 7B． 8C． 9D．10

二、填空題（每小題5分，共30分）

7．若Q(a?201

1，41?a

49）是第三象限內(nèi)的點，且a為整數(shù)，則a.8．若實數(shù)x，滿足 y2x2?3y2?1，S?3x2-2y2，則S的取值范圍是 9．在△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且∠A<∠B<∠C，5∠C=9∠A，則∠B的度數(shù)是.10．已知30x?2010，67y

?2010，則2x?

2y

?

.11．如圖3所示的長方形中，甲、乙、丙、丁四塊面積相等，甲的長是寬的2倍，設(shè)乙的長和寬分別是

a和b，則a:b?.12．已知平面直角坐標系內(nèi)A、B兩點的坐標分別是

A(2，?3），B（4，?1），P（x, 0）是x軸上的一個動

點，則當x?時，△PAB的周長最短．以下三、四、五題要求寫出解題過程。

三、（本題滿分20分）

13．某公司用1400元向廠家訂了22張辦公椅，辦公椅有甲、乙、丙三種，它們的單價

分別是80元，50元，30元，問有哪些不同的訂購方案．

八年級數(shù)學競賽（決賽）試題答案

一、選擇題：1．B2．B3．B4．D5．A6．A

二、填空題：7． 20108． 0?S?

9． 5410． 211． 9:212． 3.5 6

四、（本題滿分20分）

14．如圖4，在△ABC中，AD交邊BC于點D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD． ⑴求∠B的度數(shù)； ⑵求證：∠CAD=∠B.A

C

D

B

(圖4）

13、解：設(shè)80元x張，50元y張，則30元（22－x－y）張.由題意得 ?

?80x?50y?30(22?x?y)=1400

?x?0，y?0，x?y?2

2?

?

解得 ?5?y=37?2x

?5?37?2

x?0?10?x?14.8??

?x?y?22

???x?37?52

x?22

因為 x、y和

x都為整數(shù)，所以x 的值可取10、12、1414、解：⑴∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，A

∴∠ADC=60°，∴∠B=60°－15°=45°，⑵ 過C作CEAD于E，連接EB.∵∠ECD=90°－60°=30° ∴DC=2ED，∵DC=2BD，∴ED=BD

∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，∴∠EBA=45°－30°=15°=∠BAD D∴AE=EC=EB

(圖4）

∴∠CAD=∠B=45°15、解：由

aba?b?4?a?bab?14?1a?1

1b?4① 同理得：11111a?c?5②，b?c?1

6③

將①②③式相加得： 1a?1b?137c?120

④ ④－①得 17c?120?c?120

7④－②得 113b?120?b?120

3④－③得 117a?120?a?120

∴17a?13b?7c?120?120?120?120

五、（本題滿分20分）15．已知

abacbc

a?b?4 a?c?5 b?c

?6.求17a?13b?7c的值．

第二篇：初中數(shù)學奧林匹克競賽教程

初中數(shù)學奧林匹克競賽教程

（初稿）

2004年5月8日

初中數(shù)學競賽大綱（修訂稿）

數(shù)學競賽對于開發(fā)學生智力，開拓視野，促進教學改革，提高教學水平，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學人才都有著積極的作用。目前我國中學生數(shù)學競賽日趨規(guī)范化和正規(guī)化，為了使全國數(shù)學競賽活動健康、持久地開展，應(yīng)廣大中學師生和各級數(shù)學奧林匹克教練員的要求，特制定《初中數(shù)學競賽大綱（修訂稿）》以適應(yīng)當前形勢的需要。

本大綱是在國家教委制定的九年義務(wù)教育制“初中數(shù)學教學大綱”精神的基礎(chǔ)上制定的?！督虒W大綱》在教學目的一欄中指出：“要培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣，激勵學生為實現(xiàn)四個現(xiàn)代化學好數(shù)學的積極性?！本唧w作法是：“對學有余力的學生，要通過課外活動或開設(shè)選修課等多種方式，充分發(fā)展他們的數(shù)學才能”，“要重視能力的培養(yǎng)??，著重培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時，要重視培養(yǎng)學生的獨立思考和自學的能力”。

《教學大綱》中所列出的內(nèi)容，是教學的要求，也是競賽的要求。除教學大綱所列內(nèi)容外，本大綱補充列出以下內(nèi)容。這些課外講授的內(nèi)容必須充分考慮學生的實際情況，分階段、分層次讓學生逐步地去掌握，并且要貫徹“少而精”的原則，處理好普及與提高的關(guān)系，這樣才能加強基礎(chǔ)，不斷提高。

1、實數(shù)

十進制整數(shù)及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等數(shù)整除的判定。

素數(shù)和合數(shù)，最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

奇數(shù)和偶數(shù)，奇偶性分析。

帶余除法和利用余數(shù)分類。

完全平方數(shù)。

因數(shù)分解的表示法，約數(shù)個數(shù)的計算。

有理數(shù)的表示法，有理數(shù)四則運算的封閉性。

2、代數(shù)式

綜合除法、余式定理。

拆項、添項、配方、待定系數(shù)法。

部分分式。

對稱式和輪換對稱式。

3、恒等式與恒等變形

恒等式，恒等變形。

整式、分式、根式的恒等變形。

恒等式的證明。

4、方程和不等式

含字母系數(shù)的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

含絕對值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系數(shù)的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

含絕對值的一元一次不等式。簡單的一次不定方程。

列方程（組）解應(yīng)用題。

5、函數(shù)

y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)。

二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值。簡單分式函數(shù)的最值，含字母系數(shù)的二次函數(shù)。

6、邏輯推理問題

抽屜原則（概念），分割圖形造抽屜、按同余類造抽屜、利用染色造抽屜。

簡單的組合問題。

邏輯推理問題，反證法。

簡單的極端原理。

簡單的枚舉法。

7、幾何

四種命題及其關(guān)系。

三角形的不等關(guān)系。同一個三角形中的邊角不等關(guān)系，不同三角形中的邊角不等關(guān)系。

面積及等積變換。

三角形的心（內(nèi)心、外心、垂心、重心）及其性質(zhì)。第一講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之一

A1－001 求一個四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字及后兩位數(shù)字分別相同，而該數(shù)本身等于一個整數(shù)的平方．

【題說】 1956年～1957年波蘭數(shù)學奧林匹克一試題1．

x＝1000a＋100a＋10b＋b ＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可見平方數(shù)x被11整除，從而x被11整除．因此，數(shù)100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某個自然數(shù)的平方．對a＝1，2，?，9逐一檢驗，易知僅a＝7時，9a＋1為平方數(shù)，故所求的四位數(shù)是7744＝882． A1－002 假設(shè)n是自然數(shù)，d是2n2的正約數(shù)．證明：n2＋d不是完全平方．

【題說】 1953年匈牙利數(shù)學奧林匹克題2．

【證】 設(shè)2n2＝kd，k是正整數(shù)，如果 n2＋d是整數(shù) x的平方，那么

k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但這是不可能的，因為k2x2與n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方數(shù)． A1－003 試證四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1的算術(shù)平方根仍為自然數(shù)．

【題說】 1962年上海市賽高三決賽題 1． 【證】 四個連續(xù)自然數(shù)的乘積可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1 因此，四個連續(xù)自然數(shù)乘積加上1，是一完全平方數(shù)，故知本題結(jié)論成立．

A1－004 已知各項均為正整數(shù)的算術(shù)級數(shù)，其中一項是完全平方數(shù)，證明：此級數(shù)一定含有無窮多個完全平方數(shù)．

【題說】 1963年全俄數(shù)學奧林匹克十年級題2．算術(shù)級數(shù)有無窮多項． 【證】 設(shè)此算術(shù)級數(shù)公差是 d，且其中一項 a＝m2（m∈N）．于是

a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

對于任何k∈N，都是該算術(shù)級數(shù)中的項，且又是完全平方數(shù)．

A1－005 求一個最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個完全平方數(shù)（假定劃掉的兩個數(shù)字中的一個非零）．

【題說】 1964年全俄數(shù)學奧林匹克十一年級題 1．

【解】 設(shè) n滿足條件，令n＝100a＋b，其中 0＜b＜100．于是 n＞10a，即 n?10a＋1．因此

b＝n100a?20a＋1 由此得 20a＋1＜100，所以a?4．

經(jīng)驗算，僅當a＝4時，n＝41滿足條件．若n＞41則n2－402?422－402＞100．因此，滿足本題條件的最大的完全平方數(shù)為412＝1681．

A1－006 求所有的素數(shù)p，使4p2＋1和6p2＋1也是素數(shù)．

222

2【題說】 1964年～1965年波蘭數(shù)學奧林匹克二試題 1．

【解】 當p≡±1（mod 5）時，5|4p＋1．當p≡±2（mod 5）時，5|6p＋1．所以本題只有一個解p＝5． A1－007 證明存在無限多個自然數(shù)a有下列性質(zhì)：對任何自然數(shù)n，z＝n＋a都不是素數(shù)． 【題說】 第十一屆（1969年）國際數(shù)學奧林匹克題1，本題由原民主德國提供． 【證】 對任意整數(shù)m＞1及自然數(shù)n，有 n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2 ＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2 ＝（n－m）2＋m2?m2＞1 故 n4＋4m4不是素數(shù)．取 a＝4224，4234，?就得到無限多個符合要求的 a．

第二講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之二

A1－008 將某個17位數(shù)的數(shù)字的順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加．證明：得到的和中至少有一個數(shù)字是偶數(shù)．

【題說】 第四屆（1970年）全蘇數(shù)學奧林匹克八年級題 4． 【證】 假設(shè)和的數(shù)字都是奇數(shù)．在加法算式

中，末一列數(shù)字的和d＋a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b＋c?9．于是將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a、b與末兩位數(shù)字c、d去掉，所得的13位數(shù)仍具有性質(zhì)：將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)．照此進行，每次去掉首末各兩位數(shù)字．最后得到一位數(shù)，它與自身相加顯然是偶數(shù)．矛盾！

因此，和的數(shù)字中必有偶數(shù)．

A1－009 證明：如果p和p＋2都是大于3的素數(shù)，那么6是p＋1的因數(shù)．

【題說】 第五屆（1973年）加拿大數(shù)學奧林匹克題 3． 【證】 因為p是奇數(shù)，所以2是p＋1的因數(shù)．

因為p、p＋

1、p＋2除以 3余數(shù)不同，p、p＋2都不被 3整除，所以p＋1被 3整除． 于是6是p＋1的因數(shù)．

A1－010 證明：三個不同素數(shù)的立方根不可能是一個等差數(shù)列中的三項（不一定是連續(xù)的）．

【題說】 美國第二屆（1973年）數(shù)學奧林匹克題5．

【證】 設(shè)p、q、r是不同素數(shù)．假如有自然數(shù)l、m、n和實數(shù)a、d，消去a，d，得

化簡得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m

原命題成立．

A1－011 設(shè)n為大于2的已知整數(shù)，并設(shè)Vn為整數(shù)1＋kn的集合，k＝1，2，?．數(shù)m∈Vn稱為在 Vn中不可分解，如果不存在數(shù)p，q∈Vn使得 pq＝m．證明：存在一個數(shù)r∈Vn可用多于一種方法表達成Vn中不可分解的元素的乘積．

【題說】 第十九屆（1977年）國際數(shù)學奧林匹克題3．本題由荷蘭提供．

【證】 設(shè)a＝n－1，b＝2n－1，則a2、b2、a2b2都屬于Vn．因為a2＜（n＋1）2，所以a2在Vn中不可分解．

式中不會出現(xiàn)a2．

r＝a2b2有兩種不同的分解方式：r＝a22b2＝a2?（直至b2分成不可分解的元素之積）與r＝ab2ab＝?（直至ab分成不可2分解的元素之積），前者有因數(shù)a，后者沒有． A1－012 證明在無限整數(shù)序列

10001，100010001，1000100010001，?

中沒有素數(shù)．

注意第一數(shù)（一萬零一）后每一整數(shù)是由前一整數(shù)的數(shù)字連接0001而成． 【題說】 1979年英國數(shù)學奧林匹克題 6． 【證】 序列 1，10001，100010001，?，可寫成

1，1＋104，1＋104＋108，?

一個合數(shù)．

即對n＞2，an均可分解為兩個大于1的整數(shù)的乘積，而a2＝10001＝137273．故對一切n?2，an均為合數(shù)．

A1－013 如果一個自然數(shù)是素數(shù)，并且任意地交換它的數(shù)字，所得的數(shù)仍然是素數(shù)，那么這樣的數(shù)叫絕對素數(shù)．求證：絕對素數(shù)的不同數(shù)字不能多于3個．

【題說】 第十八屆（1984年）全蘇數(shù)學奧林匹克八年級題 8． 【證】 若不同數(shù)字多于 3個，則這些數(shù)字只能是1、3、7、9．不難驗證1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余數(shù)分別為0、1、2、3、4、5、6．因此對任意自然數(shù)M，1043M與上述7個四位數(shù)分別相加，所得的和中至少有一個被7整除，從而含數(shù)字1、3、7、9的數(shù)不是絕對素數(shù)．

A1－014 設(shè)正整數(shù) d不等于 2、5、13．證明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到兩個不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方數(shù)．

【題說】 第二十七屆（1986年）國際數(shù)學奧林匹克題1．本題由原聯(lián)邦德國提供．

【證】 證明2d－

1、5d－

1、13d－1這三個數(shù)中至少有一個不是完全平方數(shù)即可．用反證法，設(shè) 5d－1＝x5d－1＝y(tǒng)2

（1）（2）2 13d－1＝z2（3）其中x、y、z是正整數(shù)．

由（1）式知，x是奇數(shù)，不妨設(shè)x＝2n－1．代入有 2d－1＝（2n－1）2即 d＝2n2－2n＋1（4）（4）式說明d也是奇數(shù)．

于是由（2）、（3）知y、Z是偶數(shù)，設(shè)y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相減后除以4有

2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）

因2d是偶數(shù)，即q2－p2是偶數(shù)，所以p、q同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，從而q＋p和q－p都是偶數(shù)，即2d是4的倍數(shù)，因此d是偶數(shù)．這與d是奇數(shù)相矛盾，故命題正確．

第三講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之三

A1－015 求出五個不同的正整數(shù)，使得它們兩兩互素，而任意n（n?5）個數(shù)的和為合數(shù)．

【題說】 第二十一屆（1987年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題 1． 【解】 由n個數(shù)

ai＝i2n！＋1，i＝1，2，?，n 組成的集合滿足要求． 因為其中任意k個數(shù)之和為

m2n?。玨（m∈N，2?k?n）

由于n！＝1222?2 n是 k的倍數(shù)，所以m2n！＋k是 k的倍數(shù)，因而為合數(shù)．

對任意兩個數(shù)ai與 aj（i＞j），如果它們有公共的質(zhì)因數(shù)p，則p也是ai－aj＝（i－j）n！的質(zhì)因數(shù)，因為0＜i－j＜n，所以p也是n！的質(zhì)因數(shù)．但ai與n！互質(zhì)，所以ai與aj不可能有公共質(zhì)因數(shù)p，即ai、aj（i≠j）互素．令n＝5，便得滿足條件的一組數(shù)：121，241，361，481，601．

A1－016 已知n?2，求證：如果k2＋k＋n對于整數(shù)k

素數(shù)．

【題說】 第二十八屆（1987年）國際數(shù)學奧林匹克題6．本題由原蘇聯(lián)提供．

（1）若m?p，則p|（m－p）＋（m－p）＋n．

又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，這與m是使k2＋k＋n為合數(shù)的最小正整數(shù)矛盾．

（2）若m?p－1，則（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且

（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p 因為（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n為合數(shù)，所以

p－1－m?m，p?2m＋1 由

2得

4m2＋4m＋1?m2＋m＋n 即

3m2＋3m＋1－n?0 由此得

A1－017 正整數(shù)a與b使得ab＋1整除a＋b．求證：（a＋b）/（ab＋1）是某個正整數(shù)的平方．

2【題說】 第二十九屆（1988年）國際數(shù)學奧林匹克題6．本題由原聯(lián)邦德國提供．

a2－kab＋b2＝k（1）

顯然（1）的解（a，b）滿足ab?0（否則ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）． 又由于k不是完全平方，故ab＞0．

設(shè)（a，b）是（1）的解中適合a＞0（從而b＞0）并且使a＋b最小的那個解．不妨設(shè)a?b．固定k與b，把（1）看成a的二次方程，它有一根為a．設(shè)另一根為a′，則由韋達定理

（2），a′為整數(shù)，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0． 但由（3）

從而a′＋b＜a＋b，這與a＋b的最小性矛盾，所以k必為完全平方．

A1－018 求證：對任何正整數(shù)n，存在n個相繼的正整數(shù)，它們都不是素數(shù)的整數(shù)冪． 【題說】 第三十屆（1989年）國際數(shù)學奧林匹克題5．本題由瑞典提供．

【證】 設(shè)a＝（n＋1）！，則a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因為a2被k2整除而k不被k2整除）．如

＋＋果a2＋k是質(zhì)數(shù)的整數(shù)冪pl，則k＝pj（l、j都是正整數(shù)），但a2被p2j整除因而被pj1整除，所以a2＋k被pj整除而不被pj1整除，于是a2＋k＝pj＝k，矛盾．因此

a＋k（2?k?n＋1）

這n個連續(xù)正整數(shù)都不是素數(shù)的整數(shù)冪．

第四講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之四

A1－019 n為怎樣的自然數(shù)時，數(shù)

32n＋

1－

22n＋1

－6是合數(shù)？

n【題說】 第二十四屆（1990年）全蘇數(shù)學奧林匹克十一年級題5 【解】 32n1－22n1－6n＝（3n－2n）（3n1＋2n1）＋＋

＋

＋當 n＞l時，3n－2n＞1，3n1＋2n1＞1，所以原數(shù)是合數(shù)．當 n＝1時，原數(shù)是素數(shù)13． ＋

＋ A1－020 設(shè)n是大于6的整數(shù)，且a1、a2、?、ak是所有小于n且與n互素的自然數(shù)，如果

a2－a1＝a3－a2＝?＝ak－ak－1＞0 求證：n或是素數(shù)或是2的某個正整數(shù)次方．

【題說】 第三十二屆（1991年）國際數(shù)學奧林匹克題2．本題由羅馬尼亞提供． 【證】 顯然a1＝1．

由（n－1，n）＝1，得 ak＝n－1． 令 d＝a2－a1＞0．

當a2＝2時，d＝1，從而k＝n－1，n與所有小于n的自然數(shù)互素．由此可知n是素數(shù)． 當a2＝3時，d＝2，從而n與所有小于n的奇數(shù)互素．故n是2的某個正整數(shù)次方．

設(shè)a2＞3．a(chǎn)2是不能整除n的最小素數(shù)，所以2|n，3|n．由于n－1＝ak＝1＋（k－1）d，所以3 d．又1＋d＝a2，于是3

1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，則a3＝1＋2d，這時3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，則小于n且與n互素自然數(shù)的個數(shù)為2． 設(shè)n＝2m（＞6）．若m為偶數(shù)，則m＋1與n互質(zhì)，若m為奇數(shù)，則m＋2與m互質(zhì)．即除去n－1與1外、還有小于n且與n互質(zhì)的數(shù)．矛盾．

綜上所述，可知n或是素數(shù)或是2的某個正整數(shù)次方．

A1－021 試確定具有下述性質(zhì)的最大正整數(shù)A：把從1001至2000所有正整數(shù)任作一個排列，都可從其中找出連續(xù)的10項，使這10項之和大于或等于A．

【題說】 第一屆（1992年）中國臺北數(shù)學奧林匹克題6．

【解】 設(shè)任一排列，總和都是1001＋1002＋?＋2000＝1500500，將它分為100段，每段10項，至少有一段的和?15005，所以

A?15005 另一方面，將1001～2000排列如下：

2000 1001 1900 1101 1800 1201 1700 1301 1600 1401 1999 1002 1899 1102 1799 1202 1699 1302 1599 1402

? ? ? ? ? ? 1901 1100 1801 1200 1701 1300 1601 1400 1501 1300 并記上述排列為

a1，a2，?，a2000

（表中第i行第j列的數(shù)是這個數(shù)列的第10（i－1）＋j項，1?i?20，1?j?10）令 Si＝ai＋ai＋1＋?＋ai＋9（i＝1，2，?，1901）

則S1＝15005，S2＝15004．易知若i為奇數(shù)，則Si＝15005；若i為偶數(shù)，則Si＝15004． 綜上所述A＝15005．

第五講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之五

A1－022 相繼10個整數(shù)的平方和能否成為完全平方數(shù)？

【題說】 1992年友誼杯國際數(shù)學競賽七年級題2． 【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋?＋（n＋10）2 ＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）

不難驗證n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）時，均有

2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）

所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋?＋（n＋10）2不是平方數(shù)，A1－023 是否存在完全平方數(shù)，其數(shù)字和為1993？

0（mod 5）【題說】 第三屆（1993年）澳門數(shù)學奧林匹克第二輪題2． 【解】 存在，事實上，取n＝221即可．

A1－024 能夠表示成連續(xù)9個自然數(shù)之和，連續(xù)10個自然數(shù)之和，連續(xù)11個自然數(shù)之和的最小自然數(shù)是多少？

【題說】 第十一屆（1993年）美國數(shù)學邀請賽題6． 【解】 答495．

連續(xù)9個整數(shù)的和是第5個數(shù)的9倍；連續(xù)10個整數(shù)的和是第5項與第6項之和的5倍；連續(xù)11個整數(shù)的和是第6項的11倍，所以滿足題目要求的自然數(shù)必能被9、5、11整除，這數(shù)至少是495．

又495＝51＋52＋?＋59＝45＋46＋?＋54＝40＋41＋?＋50 A1－025 如果自然數(shù)n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方數(shù)，試問5n＋3能否是一個素數(shù)？ 【題說】 第十九屆（1993年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級一試題1．

【解】 如果2n＋1＝k，3n＋1＝m，則5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k－m＝（2k＋m）（2k－m）．

因為5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否則5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．從而5n＋3＝（2k＋m）（2k－m）是合數(shù)．

222

2第六講 整數(shù)問題：特殊的自然數(shù)之六

A1－026 設(shè)n是正整數(shù)．證明：2n＋1和3n＋1都是平方數(shù)的充要條件是n＋1為兩個相鄰的平方數(shù)之和，并且為一平方數(shù)與相鄰平方數(shù)2倍之和．

【題說】 1994年澳大利亞數(shù)學奧林匹克二試題2． 【證】 若2n＋1及3n＋1是平方數(shù)，因為2

由此可得

（2n＋1），3

（3n＋1），可設(shè)2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2

反之，若n＋1＝k＋（k＋1）＝（t±1）＋2t，則

2n＋1＝（2k＋1），3n＋1＝（3t±1）

從而命題得證．

A1－027 設(shè) a、b、c、d為自然數(shù)，并且ab＝cd．試問 a＋b＋c＋d能否為素數(shù)． 【題說】 第五十八屆（1995年）莫斯科數(shù)學奧林匹克九年級題 10． 【解】 由題意知

222

正整數(shù)，將它們分別記作k與l．由

a＋c＞c?c1，b＋c＞c?c2

所以，k＞1且l＞1．

從而，a＋b＋c＋d＝kl為合數(shù)．

A1－028 設(shè)k1＜k2＜k3＜?是正整數(shù)，且沒有兩個是相鄰的，又對于m＝1，2，3，?，Sm＝k1＋k2＋?＋km．求證：對每一個正整數(shù)n，區(qū)間（Sn，Sn＋1）中至少含有一個完全平方數(shù)．

【題說】 1996年愛朋思杯——上海市高中數(shù)學競賽題2． 【證】 Sn＝kn＋kn－1＋?＋k1

所以

從而

第七講 整數(shù)問題：求解問題之一

A2－001 哪些連續(xù)正整數(shù)之和為1000？試求出所有的解．

【題說】 1963年成都市賽高二二試題 3．

【解】 設(shè)這些連續(xù)正整數(shù)共n個（n＞1），最小的一個數(shù)為a，則有

a＋（a＋1）＋?＋（a＋n－1）＝1000 即

n（2a＋n－1）＝2000 若n為偶數(shù)，則2a＋n－1為奇數(shù)；若n為奇數(shù)，則2a＋n－1為偶數(shù)．因a?1，故2a＋n－1＞n．

同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三種： 若n＝5，則 a＝198； 若n＝16，則 a＝55； 若n＝25，則 a＝28． 故解有三種：

198＋199＋200＋201＋202

55＋56＋?＋70 28＋29＋?＋52 A2－002 N是整數(shù)，它的b進制表示是777，求最小的正整數(shù)b，使得N是整數(shù)的四次方． 【題說】 第九屆（1977年）加拿大數(shù)學奧林匹克題3． 【解】 設(shè)b為所求最小正整數(shù)，則

7b2＋7b＋7＝x4

素數(shù)7應(yīng)整除x，故可設(shè)x＝7k，k為正整數(shù)．于是有

b2＋b＋1＝73k4

當k＝1時，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是滿足條件的最小正整數(shù)．

A2－003 如果比n個連續(xù)整數(shù)的和大100的數(shù)等于其次n個連續(xù)數(shù)的和，求n． 【題說】 1976年美國紐約數(shù)學競賽題 7．

s2－s1＝n2＝100 從而求得n＝10．

A2－004 設(shè)a和b為正整數(shù)，當a2＋b2被a＋b除時，商是q而余數(shù)是r，試求出所有數(shù)對（a，b），使得q2＋r＝1977． 【題說】 第十九屆（1977年）國際數(shù)學奧林匹克題 5．本題由原聯(lián)邦德國提供．

【解】 由題設(shè)a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0?r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以 q2?1977，從而q?44． 若q?43，則r＝1977－q2?1977－432＝128．

即（a＋b）?88，與（a＋b）＞r?128，矛盾． 因此，只能有q＝44，r＝41，從而得 a2＋b2＝44（a＋b）＋41（a－22）2＋（b－22）2＝1009 不妨設(shè)|a－22|?|b－22|，則1009?（a－22）2?504，從而45?a?53． 經(jīng)驗算得兩組解：a＝50，b＝37及a＝50，b＝7． 由對稱性，還有兩組解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50．

A2－005 數(shù)1978n與1978m的最后三位數(shù)相等，試求出正整數(shù)n和m，使得m＋n取最小值，這里n＞m?1． 【題說】 第二十屆（1978年）國際數(shù)學奧林匹克題 1．本題由古巴提供． 【解】 由題設(shè)

1978n－1978m＝1978m（1978n因而

1978m≡2m3989m≡0（mod 8），m?3 又

1978n而 1978n≡3n－m－m

－m－m

－1）≡0（mod 1000）

≡1（mod 125）

＝（1975＋3）n－m－1－m

＋（n－m）3n－m21975（mod 125）（1）

從而3n≡1（mod 5），于是n－m是4的倍數(shù)．

設(shè)n－m＝4k，則

代入（1）得

從而

k（20k＋3）≡0（mod 25）

因此k必須是25的倍數(shù)，n－m至少等于4325＝100，于是m＋n的最小值為 n－m＋2m＝106，m＝3，n＝103 A2－006 求方程x3＋x2y＋xy2＋y3＝8（x2＋xy＋y2＋1）的全部整數(shù)解x、y． 【題說】 1980年盧森堡等五國國際數(shù)學競賽題 6．本題由荷蘭提供．

于是 x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vu

x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v

從而原方程變?yōu)?/p>

2v（u－4）＝u3－8u2－8（2）因u≠4，故（2）即為

根據(jù)已知，u－4必整除72，所以只能有

u－4＝±23，其中α＝0，1，2，3；β＝0，1，2

進一步計算可知只有u－4＝223＝6，于是

u＝10，v＝16

α

β

第八講 整數(shù)問題：求解問題之二

A2－007 確定m2＋n2的最大值，這里 m和 n是整數(shù)，滿足 m，n∈｛1，2，?，1981｝，（n2－mn－m2）2＝1．

【題說】 第二十二屆（1981年）國際數(shù)學奧林匹克題 3．

【解】 若m＝n，由（n2－mn－m2）2＝1得（mn）2＝1，故m＝n＝1． 若m≠n，則由n2－mn－m2＝±1得 n＞m．令n＝m＋uk，于是

[（m＋uk）2－m（m＋uk）－m2]2＝1

于是有

若uk≠uk－1，則以上步驟可以繼續(xù)下去，直至

從而得到數(shù)列：

n，m，uk，uk－1，?，uk－l，uk－l－1

此數(shù)列任意相鄰三項皆滿足ui＝ui－1＋ui－2，這恰好是斐波那契型數(shù)列．

而{1，2，?，1981}中斐氏數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，可見m＝987，n＝1597時，m2＋n2＝3524578為滿足條件的最大值． A2－008 求方程w?。絰?。珁?。珃！的所有正整數(shù)解．

【題說】 第十五屆（1983年）加拿大數(shù)學奧林匹克題 1． 【解】 不妨設(shè)x?y?z．顯然w?z＋1，因此

（z＋1）！?w?。絰！＋y！＋z！?32z！

從而z?2．通過計算知x＝y(tǒng)＝z＝2，w＝3是原方程的唯一解． A2－009 求滿足下式的所有整數(shù)n，m：

n2＋（n＋1）2＝m4＋（m＋1）4

【題說】 1984年匈牙利阿拉尼2丹尼爾數(shù)學競賽（15年齡組）題 1． 【解】 由原式得

n（n＋1）＝m（m＋1）（m＋m＋2）

設(shè)m＋m＝k，我們有n（n＋1）＝k（k＋2）．顯然，只可能兩邊為零．解是（0，0），（0，－1），（－1，0），（－1，1）．

A1－010 前1000個正整數(shù)中可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的正整數(shù)有多少個？ 【題說】 第三屆（1985年）美國數(shù)學邀請賽題 10． 【解】 令f（x）＝[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]．

22個不同的正整數(shù)值．

另一方面f（x＋n）＝f（x）＋20n對任一正整數(shù)n成立．將1－1000分為50段，每20個為1段．每段中，f（x）可取12個值．故總共可取到50312＝600個值，亦即在前1000個正整數(shù)中有600個可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的形式． A2－011 使n＋100能被n＋10整除的正整數(shù)n的最大值是多少？

【題說】 第四屆（1986年）美國數(shù)學邀請賽題 5．

【解】 由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，則900也應(yīng)被n＋10整除．因此，n最大值是890．

第九講 整數(shù)問題：求解問題之三

A2－012 a、b、c、d為兩兩不同的正整數(shù)，并且

a＋b＝cd，ab＝c＋d 求出所有滿足上述要求的四元數(shù)組a、b、c、d． 【題說】 1987年匈牙利數(shù)學奧林匹克題 1．

【解】 由于a≠b，所以當且僅當a＝1或b＝1時，才有a＋b?ab． 如果a、b都不是1，那么

c＋d＝ab＞a＋b＝cd 由此知c＝1或d＝1．

因此a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1．如果a＝1，那么由消去b可以推出

從而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2． 這樣，本題的答案可以列成下表

A2－013 設(shè)[r，s]表示正整數(shù)r和s的最小公倍數(shù)，求有序三元正整數(shù)組（a，b，c）的個數(shù)，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000．

【題說】 第五屆（1987年）美國數(shù)學邀請賽題 7．

【解】 顯然，a、b、c都是形如2m25n的數(shù)．設(shè)a＝2m125n1，b＝2m225n2，c＝2m325n3．

由[a，b]＝1000＝23253，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．

由此，知m3應(yīng)是4，m1、m2中必有一是3．另一個可以是0、1、2或3之任一種，因此m1、m2的取法有7種．又，n1、n2、n3中必有兩個是3，另一個可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10種．故mi、ni（i＝1、2、3）不同取法共有7310＝70種，即三元組共有70個．

A2－014 設(shè)m的立方根是一個形如n＋r的數(shù)，這里n為正整數(shù)，r為小于1/1000的正實數(shù)．當m是滿足上述條件的最小正整數(shù)時，求n的值．

【題說】 第五屆（1987年）美國數(shù)學邀請賽題12．

m＝n3＋1＜（n＋1032－3－3）3

－6

－9＝n＋3n210＋3n210＋10 于是

從而n＝19（此時m＝193＋1為最小）．

【題說】 第十三屆（1987年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題 1． 【解】 144＝122，1444＝382 設(shè)n＞3，則

則k必是一個偶數(shù)．所以

也是一個自然數(shù)的完全平方，但這是不可能的．因為平方數(shù)除以4，因此，本題答案為n＝2，3．

A2－016 當n是怎樣的最小自然數(shù)時，方程[10n/x]＝1989有整數(shù)解？

【題說】 第二十三屆（1989年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題 1． 【解】 1989?10n/x＜1990 所以

10n/1990＜x?10n/1989

即

1020.000502512?＜x?1020.000502765?

所以n＝7，這時x＝5026與5027是解．

A2－017 設(shè)an＝50＋n2，n＝1，2，?．對每個n，an與an＋1的最大公約數(shù)記為dn．求dn的最大值． 【題說】 1990年日本第1輪選拔賽題 9． 【解】

dn＝（an，an＋1）

＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））＝（50＋n2，2n＋1）

n

n＝（2（n2＋50），2n＋1）（因 2n＋1是奇數(shù)）＝（2（n＋50）－n（2n＋1），2n＋1）＝（100－n，2n＋1）

＝（100－ n，2n＋1＋2（100－ n））＝（100－n，201）?201 在n＝100≠201k（k∈N）時，dn＝201． 故所求值為201．

A2－018 n是滿足下列條件的最小正整數(shù)：（1）n是75的倍數(shù)；

（2）n恰為 75個正整數(shù)因子（包括1及本身）．試求n/75． 【題說】 第八屆（1990年）美國數(shù)學邀請賽題5．

【解】 為保證 n是75的倍數(shù)而又盡可能地小，可設(shè)n＝22325，其中α?0，β?1，γ?2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75 由75＝5223，易知當α＝β＝4，γ＝2時，符合條件（1）、（2）．此時n＝24234252，n/75＝432．

α

β

γ

2第十講 整數(shù)問題;求解問題之四

A2－019 1．求出兩個自然數(shù)x、y，使得xy＋x和xy＋y分別是不同的自然數(shù)的平方．

2．能否在988至1991范圍內(nèi)求到這樣的x和y？

【題說】 第二十五屆（1991年）全蘇數(shù)學奧林匹克九年級題5． 【解】 1．例如x＝1，y＝8即滿足要求． 2．假設(shè)

988?x＜y?1991 x、y∈N，使得xy＋x與xy＋y是不同的自然數(shù)的平方，則

x2＜xy＋x＜xy＋y 這時

y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）＞（x＋1）2－x2＝2x＋1 即

y＞3x＋1 由此得

1991?y＞3x＋1?33998＋1 矛盾！故在988與1991之間不存在這樣的自然數(shù)x、y．

A2－020 求所有自然數(shù)n，使得

這里[n/k2]表示不超過n/k2的最大整數(shù)，N是自然數(shù)集． 【題說】 1991年中國數(shù)學奧林匹克題 5． 【解】 題給條件等價于，對一切k∈N，k2＋n/k2?1991（1）

且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992．（2）（1）等價于對一切k∈N，k4－1991k2＋n?0 即（k2－1991/2）2＋n－19912/4?0（3）

故（3）式左邊在k取32時最小，因此（1）等價于

n?19913322－324＝10243967 又，（2）等價于存在k∈N，使

（k－996）＋n－996＜0 上式左邊也在k＝32時最小，故（2）等價于

n＜19923322－324＝10243968 故n為滿足

10243967?n?10243967＋1023 的一切整數(shù)．

A2－021 設(shè)n是固定的正整數(shù)，求出滿足下述性質(zhì)的所有正整數(shù)的和：在二進制的數(shù)字表示中，正好是由2n個數(shù)字組成，其中有n個1和n個0，但首位數(shù)字不是0．

【題說】 第二十三屆（1991年）加拿大數(shù)學奧林匹克題2． 【解】 n＝1，易知所求和S1＝2．

n?2時，首位數(shù)字為1的2n位數(shù)，在其余2n－1位上，只要n個0的位置確定了．則n－1個1的位置也就確定了，從而這個2n位二進制數(shù)也隨之確定．

現(xiàn)考慮第k（2n＞k?1）位數(shù)字是1的數(shù)的個數(shù)．因為其中n個0的位置只可從2n－2個位置（除去首位和第k位）中選擇，故這樣的

將所有這樣的2n位二進制數(shù)相加，按數(shù)位求和，便有

A2－022 在{1000，1001，1002，?，2000}中有多少對相鄰的數(shù)滿足下列條件：每對中的兩數(shù)相加時不需要進位？ 【題說】 第十屆（1992年）美國數(shù)學邀請賽題6．

7或 8時，則當n和n＋1相加時將發(fā)生進位．再若b＝9而c≠9；a＝9而b≠9或c≠9．則當n和n＋1相加時也將發(fā)生進位．

如果不是上面描述的數(shù)，則n有如下形式

其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}．對這種形式的n，當n和n＋1相加時不會發(fā)生進位，所以共有

53＋52＋5＋1＝156 個這樣的n．

A2－023 定義一個正整數(shù)n是一個階乘的“尾”，如果存在一個正整數(shù)m，使得m！的十進位制表示中，結(jié)尾恰好有n個零，那么小于1992的正整數(shù)中有多少個不是階乘的尾？

【題說】 第十屆（1992年）美國數(shù)學邀請賽題15．

【解】 設(shè)f（m）為m！的尾．則f（m）是m的不減函數(shù)，且當m是5的倍數(shù)時，有

f（m）＝f（m＋1）＝f（m＋2）＝f（m＋3）

＝f（m＋4）＜f（m＋5）

因此，從f（0）＝0開始，f（m）依次取值為：

0，0，0，0，0；1，1，1，1，1；2，2，2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4；6，6，6，6，6；?；1991，1991，1991，1991，1991 容易看出

如果存在m使f（m）＝1991，則

因而m＞431991＝7964．由公式（1）可計算出f（7965）＝1988，從而f（7975）＝1991． 在序列（1）中共有7980項，不同的值有7980/5＝1596個．所以在{0，1，2，?，1991}中，有1992－1596＝396個值不在（1）中出現(xiàn)．這就說明，有396個正整數(shù)不是階乘的尾．

第十一講：整數(shù)問題：求解問題之五

A2－024 數(shù)列{an}定義如下：a0＝1，a1＝2，an＋2＝an＋（an＋1）2．求a1992除以7所得的余數(shù)．

【題說】 1992年日本數(shù)學奧林匹克預(yù)選賽題1． 【解】 考慮an以7為模的同余式： a0＝1≡1（mod 7）a1＝2≡2（mod 7）

a1＝1＋22＝5≡－2（mod 7）a3≡2＋（－2）2＝6≡－1（mod 7）a4≡－2＋（－1）＝－1（mod 7）a5≡－1＋（－1）＝0（mod 7）a6≡－1＋02＝－1（mod 7）a7≡0＋（－1）2＝1（mod 7）a8≡－1＋12＝0（mod 7）a9≡1＋02＝1（mod 7）a10≡0＋12＝1（mod 7）a11≡1＋12＝2（mod 7）

所以，an除以7的余數(shù)以10為周期，故a1992≡a2≡5（mod 7）．

A2－025 求所有的正整數(shù)n，滿足等式

S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝?＝S（n2）

其中S（x）表示十進制正整數(shù)x的各位數(shù)字和．

【題說】 1992年捷克和斯洛伐克數(shù)學奧林匹克（最后一輪）題 3． 【解】 顯然，n＝1滿足要求．

由于對正整數(shù)x，有S（x）≡x（mod 9），故當n＞1時，有

n≡S（n）≡S（2n）≡2n（mod 9）

所以9|n．

若n是一位數(shù)，則n＝9，又S（9）＝S（239）＝S（339）＝?＝S（92）＝9，故9滿足要求． 22

10?n＜10

k

k＋又9 10k，故

10k＋1?n＜10k1

＋若n＜10k＋10k1＋?＋10＋1，則 －

與已知矛盾，從而

n?10k＋10k1＋?＋10＋1（1）

－令n＝9m．設(shè)m的位數(shù)為l（k?l?k＋1），m－1＝

S（n）＝S（（10k＋10k＝S（（10k＝S（10k＋1＋1

－1

＋?＋10＋1）n）

－1）m）

＋（m－1）＋（10k1－10l）＋（10l

－m））

其中9有k＋1－l個，bi＋ci＝9，i＝1，2，?，l． 所以

S（n）＝9（k＋1）（2）由于n是 k＋1位數(shù)，所以 n＝99?9＝10k1－1．

＋另一方面，當 n＝99?9＝10k1－1時，S（n）＝S（2n）＝S（3n）＝?＝S（n2）． ＋綜上所述，滿足要求的正整數(shù)為n＝1及n＝10k－1（k?1）．

A2－026 求最大正整數(shù)k，使得3k|（23m＋1），其中m為任意正整數(shù)． 【題說】 1992年友誼杯國際數(shù)學競賽十、十一年級題 2． 【解】 當m＝1時，23m＋1＝9，故k?2．又由于 2＋1＝（2）≡（－1）3＝0 所以，對任意正整數(shù)m，9|（23m＋1）．即所求k的值為2． m－13m33m－1＋1 ＋1（mod 9）

最大整數(shù)．

【題說】 1993年全國聯(lián)賽一試題2（4），原是填空題． 【解】 因為1093＋33＝（1031）3＋33 ＝（1031＋3）（（1031）2－331031＋ 32）

＝（1031）（1031－3）＋9－1 它的個位數(shù)字是8，十位數(shù)字是0．

A2－028 試求所有滿足如下性質(zhì)的四元實數(shù)組：組中的任一數(shù)都等于其余三個數(shù)中某兩個數(shù)的乘積． 【題說】 第十九屆（1993年）全俄數(shù)學奧林匹克十一年級二試題5．

【解】 設(shè)這組數(shù)的絕對值為a?b?c?d．無論a為b，c，d哪兩個數(shù)的乘積，均有a?bc，類似地，d?bc．從而，bc?a?b?c?d?bc，即a＝b＝c＝d＝a2．所以a＝0或1，不難驗證，如果組中有負數(shù)，則負數(shù)的個數(shù)為2或3．

所以，答案為{0，0，0，0}，{1，1，1，1}，{－1，－1，1，1}，{－1，－1，－1，1}．

第十二講 整數(shù)問題：求解問題之六

A2－029 對任意的實數(shù)x，函數(shù)f（x）有性質(zhì)f（x）＋f（x－1）＝x．如果f（19）＝94，那么f（94）除以1000的余數(shù)是多少？

【題說】 第十二屆（1994年）美國數(shù)學邀請賽題3． 【解】 重復(fù)使用f（x）＝x2－f（x－1），有 f（94）＝942－f（93）＝942－932＋f（92）＝942－932＋922－f（91）＝?

＝942－932＋922－?＋202－f（19）

＝（94＋93）（94－93）＋（92＋91）（92－ 91）＋?＋（22＋21）（22－21）＋202－94 ＝（94＋93＋92＋?＋21）＋306 ＝4561 因此，f（94）除以1000的余數(shù)是561．

A2－030 對實數(shù)x，[x]表示x的整數(shù)部分，求使[log21]＋[log22]＋[log23]＋?＋[log2n]＝1994成立的正整數(shù)n． 【題說】 第十二屆（1994年）美國數(shù)學邀請賽題 4．

【解】 [long21]＋[log22]＋[log23]＋?＋[log2128]＋[log2129]＋?＋[log2255]＝231＋432＋833＋1634＋3235＋6436＋12837＝1538．

A2－031 對給定的一個正整數(shù)n．設(shè)p（n）表示n的各位上的非零數(shù)字乘積（如果n只有一位數(shù)字，那么p（n）等于那個數(shù)字）．若S＝p（1）＋p（2）＋p（3）＋?＋p（999），則S的最大素因子是多少？

【題說】 第十二屆（1994年）美國數(shù)學邀請賽題5．

【解】 將每個小于1000的正整數(shù)作為三位數(shù)，（若位數(shù)小于3，則前面補0，如 25可寫成 025），所有這樣的正整數(shù)各位數(shù)字乘積的和是

（02020＋02021＋02022＋?＋92928＋92929）－02020 ＝（0＋1＋2＋?＋9）3－0 p（n）是n的非零數(shù)字的乘積，這個乘積的和可以由上面表達式將0換成1而得到． 因此，＝463－1＝3325272103 最大的素因子是103．

A2－032 求所有不相同的素數(shù)p、q、r和s，使得它們的和仍是素數(shù)，并且p2＋qs及p2＋qr都是平方數(shù)． 【題說】 第二十屆（1994年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題7．

【解】 因為四個奇素數(shù)之和是大于2的偶數(shù)，所以所求的素數(shù)中必有一個為偶數(shù)2．

若p≠2，則p2＋qs或p2＋qr中有一個形如（2k＋1）2＋2（2l＋1）＝4（k2＋k＋l）＋3，這是不可能的，因為奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1，所以p＝2．

設(shè)22＋qs＝a2，則qs＝（a＋2）（a－2）．

若a－2＝1，則qs＝5，因為q、s是奇素數(shù)，所以上式是不可能的．于是只能是

q＝a－2，s＝a＋2 或者

q＝a＋2，s＝a－2 所以s＝q－4或q＋4．同理r＝q－4或q＋4． 三個數(shù)q－

4、q、q＋4被3除，余數(shù)各不相同，因此其中必有一個被 3整除．q或q＋4為3時，都導(dǎo)致矛盾，所以只能是q－4＝3．于是

（p，q，r，s）＝（2，7，3，11）或（2，7，11，3）

A2－033 求所有這樣的素數(shù)，它既是兩個素數(shù)之和，同時又是兩個素數(shù)之差． 【題說】 第二十屆（1994年）全俄數(shù)學奧林匹克十年級題5．

【解】 設(shè)所求的素數(shù)為p，因它是兩素數(shù)之和，故p＞2，從而p是奇數(shù)．因此，和為p的兩個素數(shù)中有一個是2，同時差為p的兩個素數(shù)中，減數(shù)也是2，即p＝q＋2，p＝r－2，其中q、r為素數(shù)．于是p－

2、p、p＋2均為素數(shù)．在三個連續(xù)的奇數(shù)中必有一數(shù)被3整除，因這數(shù)為素數(shù)，故必為3．不難驗證只有p－2＝3，p＝5，p＋2＝7時，才滿足條件．所以所求的素數(shù)是5．

個整數(shù)．

【題說】 第三十五屆（1994年）國際數(shù)學奧林匹克題4．本題由澳大利亞提供．

【解】 n3＋1＝n3＋mn－（mn－1），所以mn－1|n（n2＋m）．因為（mn－1，n）＝1，所以mn－1|n2＋m．又n（m2＋n）－（n2＋m）＝m（mn－1），所以mn－1|m2＋n．因此m，n對稱，不妨設(shè)m?n．

當n＝1時，mn－1＝m－1|n3＋1＝2，從而m＝2或3，以下設(shè)n?2．

若m＝n，則n2－1|（n3＋1）＝（n3－n）＋（n＋1），從而n2－1|（n＋1），m＝n＝2． 若m＞n，則由于

2（mn－1）?n2＋mn＋n－2?n2＋2m＞n2＋m 所以mn－1＝n2＋m，即

（m－n－1）（n－1）＝2 從而

于是本題答案為

（m，n）＝（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（5，2），（1，3），（5，3），（3，5），（2，5）共九組．

第十三講 整數(shù)問題 ：求解問題之七

【題說】 第十三屆（1995年）美國數(shù)學邀請賽題7． 【解】 由已知得

即

所以

A2－036 一個正整數(shù)不是42的正整數(shù)倍與合數(shù)之和．這個數(shù)最大是多少？ 【題說】 第十三屆（1995年）美國數(shù)學邀請賽題10．

【解】 設(shè)這數(shù)為42n＋p，其中n為非負整數(shù)，p為小于42的素數(shù)或1．

由于2342＋1，42＋2，42＋3，4235＋5，42＋7，2342＋11，42＋13，4342＋17，3342＋19，42＋23，3342＋29，2342＋31，4342＋37，2342＋41，都是合數(shù)，所以在n?5時，42n＋p都可表成42的正整數(shù)倍與合數(shù)之和，只有4235＋5例外．因此，所求的數(shù)就是4235＋5＝215．

A2－038 求所有正整數(shù)x、y，使得x＋y2＋z3＝xyz，這里z是x、y的最大公約數(shù)． 【題說】 第三十六屆（1995年）IMO預(yù)選題．

【解】 由原方程及y2、z3、xyz均被z2整除得出z2|x．設(shè)x＝az2，y＝bz，則原方程化為 a＋b2＋z＝abz2（1）由b2、abz2被b整除得b|（a＋z）．于是b?a＋z． a＋z＋b2＝abz2

＝（a＋z）b＋（a＋z）b＋b（（z－2）a－2z）

?a＋z＋b＋b（（z－2）a－2z）（2）

（2）中不等式的等號只在b＝1并且b＝a＋z時成立，而這種情況不可能出現(xiàn)（a＋z＞1），所以（2）是嚴格的不等式．這表明

（z2－2）a－2Z＜0（3）從而z?2（否則（3）的左邊?z2－2－2z?z－2＞0）． 222在z＝2時，2a－2z＜0，即a＝1，代入（1）得b＝1或3，從而x＝4，y＝2或6． 在z＝1時，（1）成為

a＋b＋1＝ab（4）從而

（a－b）（b－1）＝b＋1＝（b－1）＋2 這表明（b－1）|2，b＝2或3．代入（4）得a＝5．于是x＝5，y＝2或3． 因此本題共有四組解：（x，y）＝（4，2），（4，6），（5，2），（5，3）．

A2－039 設(shè) m、n∈N，（m，n）＝1．求（5m＋7m，5n＋7n）．其中（m，n）表示 m、n的最大公約數(shù)． 【題說】 1996年日本數(shù)學奧林匹克題 2． 【解】 記H（m，n）＝（5m＋7m，5n＋7n）． 則

H（0，1）＝（2，12）＝2 H（1，1）＝（12，12）＝12 因H（m，n）＝H（n，m），故可設(shè)n?m． 當n?2m時，（5m＋7m，5n＋7n）＝（5m＋7m，（5m＋7m）（5n＋7n－2m－m2＋7n

－m）－5m7m（5n

－2m））

－2m＝（5m＋7m，5m7m（5n＝（5m＋7m，5n－2m＋7n）－2m））

＋7n－2m當m?n＜2m時，（5m＋7m，5n＋7n）＝（5m＋7m，（5m＋7m）（5n－n－m＋7n

－m）－5n

－m

7n

－m

（52m

＋72mn））－－－＝（5m＋7m，52mn＋72mn）記

則

（1）H（m′，n′）＝H（m，n）；（2）m′＋n′≡m＋n（mod 2）；（3）（m′，n′）＝（m，n）．

當（m，n）＝1時，反復(fù)進行上面的操作，最后必有（m′，n′）＝（1，0）或（m′，n′）＝（1，1）．從而有

A2－040 求下列方程的正整數(shù)解：

（a，b）＋[a，b]＋a＋b＝ab 其中a?b，[a，b]、（a，b）分別表示a與b的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)． 【題說】 1996年日本數(shù)學奧林匹克預(yù)選賽題 7．

【解】 記（a，b）＝d，a＝da′，b＝db′，則[a，b]＝da′b′．題設(shè)條件變?yōu)?1＋a′＋b′＋a′b′＝da′b′（*）所以

故1＜d?4．

當d＝4時，a′＝b′＝1，從而a＝b＝4； 當d＝3時，（*）等價于

（2a′－1）（2b′－1）＝3 由a′?b′得a′＝2，b′－1．故a＝6，b＝3． 當d＝2時，（*）等價于

（a′－1）（b′－1）＝2 由a′?b′得a′＝3，b′＝2．從而a＝6，b＝4． 綜上所述，所求的正整數(shù)解有4，4；6，4；6，3．

A2－041 一個幻方中，每一行，每一列及每一對角線上的三個數(shù)之和有相同的值．圖示一個幻方中的四個數(shù)，求x． 【題說】 第十四屆（1996年）美國數(shù)學邀請賽題1．

【解】 幻方中兩條對角線的和與第二列的和都為同一值s，這3s也是第一行的和加上第二行的和，再加上中央一數(shù)的3倍．所以中央的

左下角的數(shù)為19＋96－1＝114．因此

x＝33105－19－96＝200

第十四講 整數(shù)問題：求解問題之八

A2－042 對整數(shù)1，2，3，?，10的每一個排列a1，a2，?，a10，作和

|a1－a2|＋|a3－a4|＋|a5－a6|＋|a7－a8|＋|a9－a10|

數(shù)．求p＋q．

【題說】 第十四屆（1996年）美國數(shù)學邀請賽題12． 【解】 差|ai－aj|有如下的45種：

這45種的和為139＋238＋337＋436＋535＋634＋733＋832＋931＝165．每一種出現(xiàn)的次數(shù)相同，而在和

|a1－a2|＋|a3－a4|＋|a5－a6|＋|a7－a8|＋|a9－a10| 中有5種，所以

A2－043 設(shè)正整數(shù)a、b使15a＋16b和16a－15b都是正整數(shù)的平方．求這兩個平方數(shù)中較小的數(shù)能夠取到的最小值． 【題說】 第三十七屆（1996年）國際數(shù)學奧林匹克題4．本題由俄羅斯提供． 【解】 15a＋16b＝r，16a－15b＝s 于是

16r2－15s2＝162b＋152b＝481b（1）所以 16r2－15s2是481＝13337的倍數(shù)．

由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6的平方為0，±1，±3，±4（mod 13），所以15≡2（mod 13）不是任一數(shù)的平方．因22此，16r≡15s（mod 13）時，必有13|s．

22同樣，由于0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，±9，±10，±11，±12，±13，±14，±15，±16，±17，±18的平方為 0，±1，±3，±4，±9，±12，±16（mod 37），所以必有 37|s．

于是481|s．由（1），481|r．

在r＝s＝481時，b＝（16－15）3481＝481，a＝（16＋15）3481＝313481，滿足15a＋16b＝r2，16a－15b＝s2． 所以所說最小值為481．

A2－044 設(shè)自然數(shù)n為十進制中的10位數(shù)．從左邊數(shù)起第1位上的數(shù)恰是n的數(shù)字中0的個數(shù)，第2位上的數(shù)恰是n的數(shù)字中1的個數(shù)，一般地，第k＋1位上的數(shù)恰是n的數(shù)字中k的個數(shù)（0?k?9）．求一切這樣的數(shù)n．

【題說】 1997年日本數(shù)學奧林匹克預(yù)選賽題 7．

【解】 設(shè)n的左數(shù)第k＋1位上的數(shù)字為nk（0?k?9），則數(shù)字k出現(xiàn)的次數(shù)為nk．因為n是10位數(shù)，所以 n0＋n1＋n2＋?＋n9＝10（1）

又數(shù)字k若在左數(shù)第nj＋1位上出現(xiàn)，則數(shù)字j在n中出現(xiàn)k次．nk個k意味著有數(shù)字j1，j2，?，jnk，共出現(xiàn)knk次．于是，又有

ni＋2n2＋?＋9n9＝10（2）

由（2）顯然n5，n6，n7，n8，n9，至多一個非零，且n6，n7，n8，n9均?1． 若 n5＝n6＝n7＝n8＝n9＝0（3）

則n0?5．于是n中至少有一個數(shù)字?5，與（3）矛盾．所以n5，n6，n7，n8，n9中有一個非零，其余四個為0．從而 n1＋2n2＋3n3＋4n4?5（4）

（4）表明n1，n2，n3，n4中至少有兩個為0，從而n中0的個數(shù)不少于6，即n0?6．于是n6，n7，n8，n9中有一個為1，n5＝0．

若n9＝1，則n0＝9，n1?1，這顯然不可能．

若n8＝1，則n0＝8，n1?1，但無論n1＞1或n1＝1均不合要求．

若n7＝1，則n0＝7，n1＝1或2，前者顯然不合要求．后者導(dǎo)致n2?1，n0＋n1＋n2＋n7＞10也不合要求．

若n6＝1，則n0＝6，n1＝2或3．n1＝2時，n2＝1，數(shù)6210001000滿足要求．n1＝3時，n3＞0，n0＋n1＋n3＋n6＞10，不合要求．

綜上所述，滿足條件的10位數(shù)n只有6210001000．

A2－045 求所有的整數(shù)對（a，b），其中a?1，b?1，且滿足等式ab2＝ba． 【題說】 第三十八屆（1997年）國際數(shù)學奧林匹克題5．本題由捷克提供． 【解】 顯然當a、b中有一個等于1時，（a，b）＝（1，1）．以下設(shè)a，b?2．

設(shè)t＝b2/a，則由題中等式得到b＝at，at＝a2t，從而t＝a2t1．如果2t－1?1，則t＝a2t1?（1＋1）2t1?1＋（2t－1）＝2t＞t，矛盾．所以2t－1＜1．于是我們有0＜t＜1．

－

－

－記K＝1/t，則K＝a/b2＞1為有理數(shù)，由a＝bk可知 K＝bK－2

（1）

如果K?2，則K＝bK2?1，與前面所證K＞1矛盾，因此K＞2．設(shè)K＝p/q，p，q∈N，p、q互質(zhì)，則p＞2q．于是由（1）－

q＝1，即K為一個大于2的自然數(shù)．

當b＝2時，由（2）式得到K＝2K2，所以K?4．又因為

－

等號當且僅當K＝4時成立，所以得到a＝bK＝24＝16．

當b?3時，＝bK2?（1＋2）K2?1＋2（K－2）＝2K－3．從而得到K?3．這意味著K＝3，于是得到b＝3，a＝bK＝33＝27． －－綜上所述，滿足題目等式的所有正整數(shù)對為（a，b）＝（1，1），（16，2），（27，3）．

第十五講 整數(shù)問題：數(shù)字問題之一

時間：2004-4-19 11:57:00 來源：004km.cn整除．

【題說】第九屆（1967年）國際數(shù)學奧林匹克題3．本題由英國提供． 【證】Cp－Cq=p（p＋1）－q（q＋1）=p2－q2＋p－q=（p－q）（p＋q＋1）

所以（Cm+1－Ck）（Cm+2－Ck）?（Cm+n－Ck）

=（m－k＋1）（m－k＋2）?（m－k＋n）2（m＋k＋2）（m＋k＋3）2?2（m＋k＋n＋1）

C1C2?Cn=n！（n＋1）！

因此只需證 nn

=A2B 是整數(shù)．

由于n個連續(xù)整數(shù)之積能被n！整除，故A是整數(shù)．

是整數(shù)．因為m＋k＋1是大于n＋1的質(zhì)數(shù)，所以m＋k＋1與（n＋1）！互素，從而（m＋k＋2）（m＋k＋3）?（m＋k＋n＋1）能被（n＋1）！整除，于是B也是整數(shù)，命題得證．

A4－009 設(shè)a、b、m、n是自然數(shù)且a與b互素，又a＞1，證明：如果am＋bm能被an＋bn整除，那么m能被n整除． 【題說】第六屆（1972年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題1． 【證】由于

ak＋bk=ak-n（an＋bn）－bn（ak-n－bk-n）a－b=a（a＋b）－b（a＋b）

l

l

l-n

n

n

n

l-n

l-n所以

（i）如果a＋b能被a＋b整除，那么a－b（ii）如果a－b能被a＋b整除，那么a＋bllnn

l-nkknn

k-n

k-n

也能被a＋b整除．

n

n

nn

l-n

也能被a＋b整除．

設(shè)m=qn＋r，0?r＜n，由（i）、（ii）知ar＋（－1）qbr能被an＋bn整除，但0?|ar＋（－1）qbr|＜an＋bn，故r=0（同時q是奇數(shù)）．亦即n|m．

A4－010 設(shè)m，n為任意的非負整數(shù)，證明：

是整數(shù)（約定0！=1）．

【題說】第十四屆（1972年）國際數(shù)學奧林匹克題3．本題由英國提供．

易證 f（m＋1，n）=4f（m，n）－f（m，n＋1）（1）n）為整數(shù)，則由（1），f（m＋1，n）是整數(shù)． 因此，對一切非負整數(shù)m、n，f（m，n）是整數(shù)． A4－011 證明對任意的自然數(shù)n，和數(shù)

不能被5整除．

【題說】第十六屆（1974年）國際數(shù)學奧林匹克題3．本題由羅馬尼亞提供．

又

兩式相乘得

因為72n+1=7349≡23（－1）（mod 5）

nn

A4－012 設(shè)p和q均為自然數(shù)，使得

證明：數(shù)p可被1979整除．

【題說】第二十一屆（1979年）國際數(shù)學奧林匹克題1．本題由原聯(lián)邦德國提供．

將等式兩邊同乘以1319！，得

其中N是自然數(shù)．

由此可見1979整除1319！3p．因為1979是素數(shù)，顯然不能整除1319！，所以1979整除p．

A4－013 一個六位數(shù)能被37整除，它的六個數(shù)字各個相同且都不是0．證明：重新排列這個數(shù)的六個數(shù)字，至少可得到23個不同的能被37整除的六位數(shù)．

【題說】第十四屆（1980年）全蘇數(shù)學奧林匹克十年級題1．

（c＋f）被37整除．

由于上述括號中的數(shù)字是對稱出現(xiàn)的，且各數(shù)字不為0，故交換對

又因為100a＋10b＋c=－999c＋10（100c＋10a＋b），所以

各再得7個被37整除的數(shù)，這樣共得23個六位數(shù)．

第二十講 整數(shù)問題：整除之三

A4－014（a）對于什么樣的整數(shù)n＞2，有n個連續(xù)正整數(shù)，其中最大的數(shù)是其余n－1個數(shù)的最小公倍數(shù)的約數(shù)？（b）對于什么樣的n＞2，恰有一組正整數(shù)具有上述性質(zhì)？ 【題說】第二十二屆（1981年）國際數(shù)學奧林匹克題4． 【解】設(shè)n個連續(xù)正整數(shù)中最大的為m．

當n=3時，如果m是m－1，m－2的最小公倍數(shù)的約數(shù)，那么m整除（m－1）（m－2），由m|（m－1）（m－2）得m|2，與m－2＞0矛盾．

設(shè)n=4．由于

m|（m－1）（m－2）（m－3）所以m|6，而m＞4，故這時只有一組正整數(shù)3，4，5，6具有所述性質(zhì)．

設(shè)n＞4．由于m|（m－1）（m－2）?（m－n＋1），所以m|（n－1）！取m=（n－1）（n－2），則（n－1）|（m－（n－1）），（n－2）|（m－（n－2））．由于n－1與n－2互質(zhì)，m－（n－1）與m－（n－2）互質(zhì)，所以m=（n－1）（n－2）整除m－（n－1）與m－（n－2）的最小公倍數(shù)，因而m具有題述性質(zhì)．

類似地，取m=（n－2）（n－3），則m整除m－（n－2）與m－（n－3）的最小公倍數(shù)，因而m具有題述性質(zhì)． 所以，當n?4時，總能找到具有題述性質(zhì)的一組正整數(shù)．當且僅當n=4時，恰有唯一的一組正整數(shù)．

A4－018

試求出所有的正整數(shù)a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得（a－1）（b－1）（c－1）是abc－1的約數(shù)． 【題說】第三十三屆（1992年）國際數(shù)學奧林匹克題1．本題由新西蘭提供． 【解】設(shè)x=a－1，y=b－1，z=c－1，則1?x＜y＜z并且xyz是

（x＋1）（y＋1）（z＋1）－1=xyz＋x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數(shù)，從而xyz是x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的約數(shù)． 由于x＋y＋z＋xy＋yz＋zx＜3yz，所以x=1或2．

若x=1，則yz是奇數(shù)1＋2y＋2z的約數(shù)．由于1＋2y＋2z＜4z，所以y=3．并且3z是7＋2z的約數(shù)．于是z=7．

若x=2，則2yz是2＋3y＋3z＋yz的約數(shù)，從而y，z均為偶數(shù)，設(shè)y=2y1，z=2z1，則4y1z1?1＋3y1＋3z1＋2y1z1＜6z1＋2y1z1，所以y1＜3．因為y＞x，所以y1=2，y=4．再由8z1是7＋7z1的約數(shù)得z1=7，z=14．

因此，所求解為（3，5，15）與（2，4，8）．

A4－019 x與y是兩個互素的正整數(shù)，且xy≠1，n為正偶數(shù)．證明：x＋y不整除xn＋yn． 【題說】1992年日本數(shù)學奧林匹克題1．

【證】由（x，y）=1知（x＋y，y）=1，（x＋y，xy）=1． 當n=2時，x2＋y2=（x＋y）2－2xy．由于x＋y＞2，所以（x＋y）假設(shè)當n=2k（k∈N+）時，（x＋y）

2xy．故（x＋y）

（x2＋y2）．

（x2k＋y2k）．則當n=2（k＋1）時，由于

x2(k+1)＋y2(k+1)=（x＋y）（x2k+1＋y2k+1）－xy（x2k＋y2k）

所以（x＋y）

A4－020 證明當且僅當n＋1不是奇素數(shù)時，前n個自然數(shù)的積被前n個自然數(shù)的和整除． 【題說】第二十四屆（1992年）加拿大數(shù)學奧林匹克題1．（x2(k+1)＋y2(k+1)）．故對一切正偶數(shù)n，x＋y不整除xn＋yn．

若n＋1為奇合數(shù)，設(shè)n＋1=qr，q、r為奇數(shù)且3?q?r，則n

A4－021 找出4個不同的正整數(shù)，它們的積能被它們中的任意兩個數(shù)的和整除． 你能找出一組5個或更多個數(shù)具有同樣的性質(zhì)嗎？ 【題說】1992年英國數(shù)學奧林匹克題3． 【解】顯然，2、6、10、14滿足要求． 任取n個不同的正整數(shù)。a1、a2、?、an，令

則n個不同的正整數(shù)la1、la2、?、lan中任意兩個的和顯然整除l2，從而整除它們的積lna1a2?an． A4－022 求最大自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y＋12y－1． 【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學競賽七年級題1．

【解】當y=1時，7y＋12y－1=18．假設(shè)7y＋12y－1是18的倍數(shù)，因為 7y+1＋12（y＋1）－1=637y＋12＋（7y＋12y-1）=63（7＋2）＋（7＋12y-1）

7＋2≡1＋2≡0（mod 3）

所以，7y+1＋12（y＋1）－1是18的倍數(shù)．

從而對一切自然數(shù)y，18整除7y＋12y－1，所求的x即18． A4－023 證明：若n為大于1的自然數(shù)，則2n－1不能被n整除． 【題說】1992年友誼杯國際數(shù)學競賽九年級題2． 【證】若n是偶數(shù)，顯然有n

n

（2n－1）．若n是奇素數(shù)，由費馬定理知2n≡2（mod n），所以2n－1≡1（mod n），即

n

r

n

yyy（2n－1）．若n是奇合數(shù)，設(shè)p是n的最小素因子，由費馬定理知2p-1≡1（mod P）；若i是使2i≡1（mod P）成立的最n，設(shè)n=qi＋r，0＜r＜i，則2≡小自然數(shù)，則2?i?P－1，從而i 1（mod p），即p（2n－1），故n

（2－1）．

第二十一講 整數(shù)問題：整除之四

A4－024 當n為何正整數(shù)時，323整除20＋16－3－1？ 【題說】第三屆（1993年）澳門數(shù)學奧林匹克第一輪題5． 【解】 323=17319 當n為偶數(shù)時，20n＋16n－3n－1≡1＋3n－3n－1≡0（mod 19）

n

n

n

20n＋16n－3n－1≡3n＋1n－3n－1≡0（mod 17）

所以此時323整除20＋16－3－1．

當n為奇數(shù)時，20n＋16n－3n－1≡3n－1－3n≡－2 A4－025 設(shè)x、y、z都是整數(shù)，滿足條件

（x－y）（y－z）（z－x）=x＋y＋z．（*）試證：x＋y＋z可以被27整除．

【題說】第十九屆（1993年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級二試題5．

【證】（1）整數(shù)x、y、z被3除后余數(shù)都相同時，27|（x－y）（y－z）（z－x），即27|x＋y＋z．（2）x、y、z被3除后有且僅有兩個余數(shù)相同，例如x≡y（mod 3），且y 與（*）式矛盾，可見情形（2）不會發(fā)生．

（3）x、y、z被3除后余數(shù)都不相同，這時3|（x＋y＋z），但3 也不會發(fā)生．

于是，x、y、z除以3余數(shù)都相同，并且，27|x＋y＋z．

A4－026 對于自然數(shù)n，如果對于任何整數(shù)a，只要n|an－1，就有n2|an－1，則稱n具有性質(zhì)P．（1）求證每個素數(shù)n都具有性質(zhì)P；（2）求證有無窮多個合數(shù)也都具有性質(zhì)P．

【題說】第三十四屆（1993年）IMO預(yù)選題．本題由印度提供． 【證】（1）設(shè)n=P為素數(shù)且p|（ap－1），于是，（a，p）=1．因為

ap－1=a（ap-1－1）＋（a－1）

由費馬小定理p|（a－1）．所以，p|（a－1），即a≡1（mod p）．因而

a≡1（mod p），i=0，1，2，?，p－1 將這p個同余式加起來即得

ap-1＋ap-2＋?＋a＋1≡0（mod p）

所以，p2|（a－1）（ap-1＋ap-2＋?＋a＋1）=ap－1

ip-1nnn

0（mod 17），所以此時323不整除20n＋16n－3n－1．

z（mod 3），這時3 x＋y＋z且3|（x－y），（x－y）（y－z）（z－x）．仍與（*）式矛盾，可見情況（3）

a≡1（mod n）．于是，像（1）一樣又可推得n2|（an－1）．因此，（q－1）（p－1）．因為q|（p－2），所以q

（p－1）．又因

具有性質(zhì)P．顯然p＜n＜p2．取大于p2的素數(shù)，又可獲得另一個具有性質(zhì)P的合數(shù)．所以，有無窮多個合數(shù)n具有性質(zhì)p． A4－027 證明：對于自然數(shù)k、m和n．不等式[k，m]2[m，n]2[n，k]?[k，m，n]2成立．（其中[a，b，c，?，z]表示數(shù)a、b、c，?，z的最小公倍數(shù)．）【題說】第二十屆（1994年）全俄數(shù)學奧林匹克十年級（決賽）題5． 【證】將k、m、n分解．設(shè)

其中pi（i=1，2，?，l）為不同的素數(shù)，αi、βi、γi為非負整數(shù)．

對任一個素因數(shù)pi，不妨設(shè)0?αi?βi?γi．在所要證明的不等式左邊，pi的指數(shù)為βi＋γi＋γi=βi＋2γi；而右邊pi的指數(shù)為γi22=2γi．

因而所要證明的不等式成立．

A4－029 證明；所有形如10017，100117，1001117，?的整數(shù)皆可被53整除． 【題說】第五十八屆（1995年）莫斯科數(shù)學奧林匹克八年級題2． 【證】易知第一個數(shù)10017可被53整除，而數(shù)列中相鄰二數(shù)的差

也可被53整除，所以數(shù)列中所有數(shù)皆可被53整除

A4－030 證明：無論在數(shù)12008的兩個0之間添加多少個3，所得的數(shù)都可被19整除． 【題說】第五十八屆（1995年）莫斯科數(shù)學奧林匹克九年級題7． 【證】我們有

故結(jié)論成立 A4－031 設(shè)S={1，2，?，50），求最小自然數(shù)k，使S的任一k元子集中都存在兩個不同的數(shù)a與b，滿足（a＋b）|ab． 【題說】1996年中國數(shù)學奧林匹克（第十一屆數(shù)學冬令營）題2． 【解】設(shè)a、b∈S，滿足（a＋b）|ab，令（a，b）=c，則 a=ca1，b=cb1，（a1，b1）=1． 從而

c（a1＋b1）=（a＋b）|ab=c2a1b1

因為（a1＋b1，a1）=1，（a1＋b1，b1）=1，所以

（a1＋b1）|c 由于a、b是S中不同的數(shù)，從而a＋b?99即 c（a1＋b1）?99，而a1＋b1|c，故有3?a1＋b1?9．

在a1＋b1=3時，d=3，6，9，12，15，18，21，24，相應(yīng)的（a，b）=（3，6），（6，12），（9，18），（12，24），（15，30），（18，36），（21，42），（24，48）．類似地，可得出a1＋b1=4，5，6，7，8，9時的數(shù)對（a，b）．將每一對得到的a、b用線相連成右圖．

S中剩下的25個數(shù)與圖上畫圈的13個數(shù)所成的38元集，不含任一對a、b滿足（a＋b）|ab．

另一方面，S中任一集R，如果元數(shù)?39，那么圖上至多11個數(shù) R，從而12對數(shù)（14，35），（9，18），（28，21），（42，7），（5，20），（30，15），（45，36），（6，3），（10，40），（12，4），（24，8），（48，16）中至少有一對數(shù)都屬于R，即R中有a、b滿足（a＋b）|ab． 綜上所述，K=39．

A4－032 設(shè)自然數(shù)x、y、p、n和k滿足等式

x+y=p

證明：若n（n＞1）是奇數(shù)，p是奇素數(shù)，則n是數(shù)p的正整數(shù)冪． 【題說】第二十二屆（1996年）全俄數(shù)學奧林匹克九年級題3． 【證】不失一般性，設(shè)x與y都不被p整除．因為n為奇數(shù)，所以

n

n

k

用A表示上式右邊．由于p＞2，因此x、y中至少有一個數(shù)大于1．因為n＞1，所以A＞1．因為A（x＋y）=pk，所以A被p整除，數(shù)x＋y也被p整除． 于是得到

0≡A≡xn-1－xn-2（－x）＋xn-3（－x）2－?

第三篇：2011年小學生信息學奧林匹克競賽決賽試題

2011年小學生信息學奧林匹克競賽決賽試題

（時間：120分鐘）

一、購買文具：

“六·一”兒童節(jié)“文具套裝”優(yōu)惠銷售，三種購買方式如下：

1、現(xiàn)購：10元/套，超過2套以外的，9元/套，超過10套以外的，則7.5元/套；

2、網(wǎng)購：9元/套，超過10套，全部打8折；超過50套，則全部打6折；

3、團購：10套起團購，6元/套，達到或超過50套，則5元/套，達到或超過100套，則4元/套。小明想用其中一種方式購n套文具，請幫他計算應(yīng)付多少元錢？ [輸入]購買方式號（1、2、3）套數(shù)n（n<=200）[輸出]應(yīng)付錢數(shù)（保留2位小數(shù)）[樣例]輸入：1 11 輸出：99.50

二、愛心捐贈：

小明和小朋友們共同獻愛心捐贈的圖書共n類，每類m本?，F(xiàn)在要將這些書全部分給各個希望小學，規(guī)定：分給每個希望小學的書數(shù)量相同，種類K盡量多，并且每類書數(shù)量＝k。小明請你算算共能捐贈多少個希望小學？

[輸入]n m（n，m<＝10000）[輸出]xuexiao=學校數(shù) [樣例]輸入：12 54 輸出：xuexiao=18

三、夢幻王國：

夢幻王國錢幣面值有五種1、7、49、343、2401（即：7、7、7、7、7）。某人買東西要用現(xiàn)金支付n元，買賣雙方可以相互找錢（假設(shè)雙方各種錢幣數(shù)量都足夠多）。

0

234 1 問：買賣雙方最少總共需用多少張錢幣？ [輸入]n(n<=3000)[輸出]最少錢幣數(shù) [樣例]輸入：12 輸出：4（即：買方用2張7元；賣方找2張1元）

四、長跑接力：

長跑接力賽全程m公里，規(guī)定：每個隊5人，每個人都必須跑而且只能跑一次，并且至少跑1公里、最多跑n公里，接力點必須在整公里處。劉教練挑選了5名隊員，測試后得到每個人連續(xù)跑1、2、3、??、n公里的最短時間。他準備精心安排每個隊員跑的公里數(shù)，使全隊完成接力賽用時最短。你能幫教練做一個最佳方案嗎？（數(shù)據(jù)保證最佳方案唯一）（設(shè)：每人連續(xù)跑的路程越長速度越慢，若有保持速度的，也絕不會變快。）[輸入]m n(m<＝5000，n<＝1000)下接5行，每行n個整數(shù)（表示每人連續(xù)跑1-n公里的最短時間，以空格相隔）[輸出]第一行：最短時間（時間<=maxlongint）

第二行：五個整數(shù)（表示安排1~5號隊員各自連續(xù)跑的公里數(shù)，以空格相隔）[樣例]輸入：25 10 333 700 1200 1710 2240 2613 3245 3956 4778 5899 300 610 960 1370 1800 2712 3834 4834 5998 7682 298 612 990 1560 2109 2896 3790 4747 5996 7654 289 577 890 1381 1976 2734 3876 5678 6890 9876 312 633 995 1467 1845 2634 3636 4812 5999 8123 輸出：9748 6 5 5 4 5 2

第四篇：小學二年級數(shù)學奧林匹克競賽題(附答案)

小學二年級數(shù)學奧林匹克競賽題（附答案）

1、用0、1、2、3能組成多少個不同的三位數(shù)？

18個

2、小華參加數(shù)學競賽，共有10道賽題。規(guī)定答對一題給十分，答錯一題扣五分。小華十題全部答完，得了85分。小華答對了幾題？（10×10-85）÷（10+5）=1題

10-1=9題3、2，3，5，8，12，(20)，（32)

4、1，3，7，15，(31)，63,(127)

5、1，5，2，10，3，15，4，(20)，(5)

6、○、△、☆分別代表什么數(shù)？

(1)、○+○+○=18

(2)、△+○=14

(3)、☆+☆+☆+☆=20

○=(6)

△=(8)

☆=(5)

7、△+○=9

△+△+○+○+○=2

5△=(2)○=(7)

8、有35顆糖，按淘氣-笑笑-丁丁-冬冬的順序，每人每次發(fā)一顆，想一想，誰分到最后一顆？ 35÷4=8……3

丁丁

9、淘氣有300元錢，買書用去56元，買文具用去128元，淘氣剩下的錢比原來少多少元？

56+128=184（元）

10、5只貓吃5只老鼠用5分鐘，20只貓吃20只老鼠用多少分鐘？ 5分鐘

11.修花壇要用94塊磚，?第一次搬來36塊，第二次搬來38，還要搬多少塊？(用兩種方法計算)94-（36+38）=20（塊）94-36-38=20（塊）

12.王老師買來一條繩子，長20米剪下5米修理球網(wǎng)，剩下多少米？ 20-5=15（米）

13.食堂買來60棵白菜，吃了56棵，又買來30棵，現(xiàn)在人多少棵？ 60-56+30=34（棵）

14、小紅有41元錢，在文具店買了3支鋼筆，每支6元錢，還剩多少元？ 41-3×6=23（元）

15、二(1)班從書店買來了89本書，第一組同學借了25本，第二組同學借了38本，還剩多少本？ 89-25-38=27（本）

16、果園里有桃樹126顆，是梨樹棵數(shù)的3倍，果園里桃樹和梨樹一共多少棵？

126+126÷3=16817、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(55)

18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=(145)

19、按規(guī)律填數(shù)。

(1)1，3，5，7，9，(11)2

(2)1，2，3，5，8，13(21)

(3)1，4，9，16，(25)，36

(4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，(11)

20、在下面算式適當?shù)奈恢锰砩线m當?shù)倪\算符號，使等式成立。

(1)8 ×（8×8 + 8×8）-8-8-8 =1000

(2)（4+）× 4 – 4×=16

(3)9 + 8 × 7-6×

5-4×

3-2+ 1=22

21、30名學生報名參加小組。其中有26人參加了美術(shù)組，17人參加了書法組。問兩個組都參加的有多少人？ 26+17-30=13

22、用6根短繩連成一條長繩，一共要打()個結(jié)。

23、籃子里有10個紅蘿卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2個，還剩下(3)個。24、2個蘋果之間有2個梨，5個蘋果之間有幾個梨？ 8個

25、用1、2、3三個數(shù)字可以組成(6)個不同的三位數(shù)。

26、有兩個數(shù)，它們的和是9，差是1，這兩個數(shù)是(4)和(5)27、3個小朋友下棋，每人都要與其他兩人各下一盤，他們共要下(3)3

盤。

28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子)，使橫行、豎行、斜行上三個數(shù)的和都是18。（題目出錯）29、15個小朋友排成一排報數(shù)，報雙數(shù)的小朋友去打乒乓，隊伍里留下(8)人。

30、一只梅花鹿從起點向前跳 5米，再向后跳4米，又朝前跳7米，朝后跳10米；然后停下休息，你知道梅花鹿停在起點前還是起點后？與起點相距幾米？ 起點后2米

31、哥哥給了弟弟2支鉛筆后還剩5支，這時兩人的銅筆一樣多，弟弟原來有鉛筆(3)支。

32、林林、紅紅、芳芳三個小朋友買糖吃。林林買了7粒，紅紅買了8粒，芳芳沒有買。三個小朋友要平分吃，芳芳一共付了1元錢，其中給林林(4)角，給紅紅(6角)。

33、三個人吃3個饅頭，用3分鐘才吃完；照這樣計算，九個人吃9個饅，需要(3)分鐘才吃完？

34、環(huán)形跑道上正在進行長跑比賽。每位運動員前面有7個人在跑，每位運動員后面也有7個人在跑。跑道上一共有(8)個運動員.4

35、把16只雞分別裝進5個籠子里，要使每個籠子里雞的只數(shù)都不相同，應(yīng)怎樣裝？請把每只籠子里的雞的只數(shù)分別填入下面五個方框中。1、2、3、4、6

36、今天紅紅8歲，姐姐13歲，10年后，姐姐比紅紅大(5)歲。

37、汽車每隔15分鐘開出一班，哥哥想乘9時10分的一班車，但到站時，已是9時20分，那么他要等(5)分鐘才能乘上下一班車。

38、從底樓走到3樓，用了24秒；那么從1樓走到6樓，需要(70)秒。

39、二(1)班小朋友排成長方形隊伍參加體操表演。紅紅左看是第6名，右看是第2名，前看是第4名，后看是第3名。二(1)班共有(42)小朋友。

40、汽車場每天上午8時發(fā)車，每隔8分鐘發(fā)一輛。那么從8時到8時40分，共發(fā)了(6)輛車？

41、一只蘋果的重量等于一只桔子加上一只草莓的重量，而一只蘋果加上一只桔子的重量等于9只草莓的重量，請問，一只桔子的重量等于幾只草莓的重量。4只草莓

42、有一個天平，九個砝碼，其中一個砝碼比另八個要輕一些，問至少要稱幾次才能將輕的那個找出來？ 3次

43、按規(guī)律填數(shù)：

(1)54321 43215 32154(21543)154321

(2)1，2，3(7)2，3，4(14)3，4，5(21)

(3)1，4，7，10，(13)，16，(19)

(4)1，2，3，7，11，16，（），29

(5)2，5，4，5，6，5，(8)，5

(6)7，8，10，13，17，(22)28 44、10個一百是(1000)，10000里面有(10)個一千。45、3572最高位是(千)位，讀作(三千五百七十二)，九千零五十寫作(9050)。

46、一個2分幣大約重1(克)；小明今年7歲，他的體重約是28(千克)。47、90里面有(9)個十，290里面有(29)個十。

48、百位上的6比十位上的6多(590)。49、49個蘋果平均分給9個小朋友，每人分(5)個，還剩(4)個。

50、判斷題(對的在括號里打“√”，錯的打“×”)

(1)、一個數(shù)除以4，所得的余數(shù)最大是3。(√)

（2、48÷3×2 = 48÷6(×)

（3、一個蘋果重120千克。(×)

（4、千位右面一定是萬位。(×)51、1米與1克相比(A)

A 無法比較

B 1米大

C 1克大

52、積是16的的算式是(B)

A 32÷2

B 4×4

C 8+8

53、下面的單位中，不是重量單位的是(A)

A 元 B 千克 C 克

54、一個三位數(shù)。三個數(shù)字的和是26，這個數(shù)最大是(C)

A 899 B 989 C 998 55、8070讀作（C)

A 八千七十

B 八千七

C 八千零七十

56、口算

5×8 =40

24÷6 =4 57、1千克梨有8個，1千克蘋果比1千克梨的個數(shù)多1個，媽媽買了2千克梨和2千克蘋果，共有蘋果和梨(34)個。

58、一只蝸牛向前爬25厘米，又朝后退15厘米，在朝前爬10厘米，結(jié)果前進了(20)厘米。

59、小明第一天寫5個大字，以后每一天都比前一天多寫2個大字，6天后小明一共寫了(60)個大字。

60、一輛公共汽車上有6個空座位。車開到團結(jié)站，沒有人下車，但上來了9人，空座位還有2個，上車的人中有(5)人站著。

61、兩箱蘋果都重40千克，從第一箱中拿出8千克到第二箱后，第二箱比第一箱多(16)千克。

62、學校校門的右邊插了8面彩旗，每兩面彩旗之間的距離都是2米，從第1面彩旗到第8面彩旗之間共有(14)米。

63、一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字是9，正好是個位數(shù)字的3倍，三個數(shù)位之和是13。這個三位數(shù)是(193)

64、冬冬今年10歲，爸爸今年40歲，冬冬(30)歲時，爸爸的年齡正好是 8

冬冬的2倍。

65、小明栽樹5棵，大強、李衛(wèi)、大華和冬冬每個人栽的棵數(shù)和小明同樣多。他們一共栽樹(25)棵。

66、星期天，小剛在家燒水、泡茶。洗茶壺：1分鐘，燒開水：15分鐘，洗茶杯：1分鐘，拿茶葉：2分鐘。問：小剛最少要(16)分鐘泡上茶。

67、晚上小華在燈下做作業(yè)的時候，突然停電，小華去拉了兩下開關(guān)。媽媽回來后，到小華房間又拉了三下開關(guān)。等來電后，小華房間的燈(不亮)(填“亮”或“不亮”)

68、花果山上的桃熟了，小猴忙到樹上摘桃。第一次，它摘了樹上桃的一半，回家時還隨手從樹上摘了2個；第二次，它將樹上剩下的8個桃全部摘回家。小猴共摘回(20)個桃。

69、節(jié)日里，學校門前的彩燈從左到右按2個紅3個黃4個藍的順序排列。從左到右看，第12只彩燈是(黃)色，第36只彩燈是(藍)。

70、把一杯水倒入空瓶，連瓶共重140克，如果倒入三杯水，連瓶共重260克。空瓶的重量是(80)克。

71、李奶奶家現(xiàn)有16個雞蛋，還養(yǎng)了兩只每天下一個蛋的母雞。如果李奶奶家每天都吃4個雞蛋，她家可以連續(xù)吃(5)天。

72、一條毛毛蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，30天能長到20厘米。問長到5厘米時要用(28)天。

73、每3個空瓶可以換一瓶汽水，有人買了27瓶汽水，喝完后又用空瓶換汽水，那么，他最多喝(40)瓶汽水。

74、小紅做計算題時，由于粗心大意，把一個加數(shù)個位上的8錯誤地當作了3，把百位上的6錯當成了9，所得的和是138，正確的和是多少？(寫過程)138-93=45 45+68=113

75、小明做計算題時，把被減數(shù)個位上的3寫成了5，十位上的6錯寫成了0，這樣得差是189，正確的差是多少？(寫出過程)63-5=58 189+58=247

76、○+○+○=15，○+△+△=19，求△-○=(2)

77、用兩個5和兩個0組成一個四位數(shù)，當零都不讀出來時，這個數(shù)是(5500)，當只讀一個零時，這個數(shù)是(5005或5050)。

78、一座5層高的塔，最上邊一層裝了2只燈，往下每低一層多裝4只燈，最下面一層要裝多少只燈？(寫出過程)2+6+10+14+18=50

79、在合適的地方插入“+”或“-”，使等式成立。（題目有問題）2 3 4 5 6 7 8 9=99

80、一條毛毛蟲由幼蟲長成成蟲，每天長大一倍，30天能長到20厘米，問 10

長到5厘米時要用(28)天。

81、雞兔共有腿50條，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則腿數(shù)變?yōu)?4條，雞有()只，兔有()只。（題目數(shù)據(jù)有問題）

82、學校派一些學生去搬樹苗，如果每人搬6棵，則差4棵，如果每人搬8棵，則差18棵，這批樹苗有(38)棵。（18-4）÷（8-4）=7（人）

7×6-4=38（棵）

83、有人問孩子年齡，回答：“比爸爸的歲數(shù)的一半少9歲?！庇謫柊职值哪挲g，回答說：“比孩子的4倍多2歲?！焙⒆幽挲g(8)歲。

84、每3個空瓶可以換一瓶汽水，有人買了27瓶汽水，喝完后又用空瓶換汽水，那么，他最多喝多少瓶汽水？(寫出過程)40瓶

85、哥弟倆共有郵票70張，如果哥哥給弟弟4張郵票后還比弟弟多2張，哥哥原來有郵票多少張？(寫出過程)（70-4×2-2）÷2=30（張）70-30=40（張）

86、口算。

2×3×7＝

63÷(3×3)＝

54÷6＝

16＋4－15＝

72－12－30＝

5×4＋4＝

6×6－6＝ 60＋7＋30＝ 2×5＋49＝

91－14－36＝

87、最大的兩位數(shù)和最小的三位數(shù)相差(1)。

88、甲數(shù)比乙數(shù)少15，乙數(shù)是28，甲乙兩數(shù)的和是（41)。

89、量長短不同的物體，可以用(米)或(厘米)作單位。90、2米比120厘米長(80)厘米。91、16＋16＋16＋8＝(8)×(7)。

92、已知：○＋□＝15，○－□＝1。那么○＝(8)，□＝(7)。

93、一些筆平均分給8個同學剛好分完，最少有(8)支筆。94、63減去7，減()次結(jié)果是0，算式(63÷7=9)。

95、確定一個頂點，可以畫(無數(shù)個)個角。一個角的兩條邊延長，這個角的大小(不變)。

96、判斷(對的打√，錯的打×，共10分)

(1.在乘法算式里，積不一定比每個因數(shù)大。(√)

(2.一個方桌的一個角被截去后，這個方桌就剩下三個角。(×)

(3.9乘一個數(shù)，這個數(shù)每增加1，積就增加9。(×)。

(4.13名同學做紙花，每4人用一張紙，最少要用3張紙。(×)

(5.36是4的9倍，就是36里面有4個9。(×

97.操作題(10分)

(1.畫一條線斷，長度是1厘米的4倍。

(2.在圖中添一條線段，使它增加4個直角。

98.計算

(1.脫式計算

68－27－13

54＋14＋28

18＋(72－27)

86－(35－14)

(2.在括號中最大能填幾？(4分)13)。

8×（）﹤71

47﹥9×（）

（）×7﹤60

23﹥4×（）

99.列式計算

(1.一個因數(shù)是8，另一個因數(shù)比36少27，積是多少？

(2.54里面有幾個9？

(3.6的8倍是多少？

(4.被除數(shù)是24，除數(shù)是3，商是多少？

100，列式計算

(1.一只手有5個手指，那么兩個人共有多少個手指？

(2.有4盆黃花、5盆紅花，每盆都開6朵花，一共開了幾朵花？

(3.二⑴班有男生28人，有女生24人，二⑵班比二⑴班多3人，二⑵班有多少人？

第五篇：全國初中奧林匹克化學競賽試題94版

1994年全國初中奧林匹克化學競賽試題

一、選擇題(共3

8分，1～10題每題2分，ll～16題每題3分，每題有1個或2個正確答案)

1．下列物質(zhì)由一種氣體單質(zhì)在氧氣里燃燒生成的是（）。

(A)二氧化硫

(B)二氧化碳

(C)水

(D)一氧化氮

2．在常溫下，向100克質(zhì)量分數(shù)為5％的氯化鈉溶液里加入5克氯化鉀粉末，完全溶解后，氯化鈉溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)將（）。

(A)增大

(B)減小

(C)不變

(D)無法判斷

3．實驗室制氧氣、氫氣、二氧化碳，都可選用的儀器是（）。

(A)大試管

(B)長頸漏斗

(C)廣口瓶

(D)平底燒瓶

4．汽油加油站必須貼的標志是（）。

5．為建一個大型化工基地，收集到下列意見，其中正確的是（）。

(A)建在干旱山區(qū)可以脫貧致富

(B)不宜建在居民區(qū)附近

(C)企業(yè)有權(quán)自主選擇基地

(D)應(yīng)建在水源豐富和交通方便的地點

6．下列物質(zhì)放置在空氣中，由于發(fā)生化學反應(yīng)而變質(zhì)的是（）、(A)濃H2SO4

(B)CaCO3

(C)CaO

(D)KNO3

7．已知反應(yīng)3A＋2B==2C＋D，A、B兩物質(zhì)完全反應(yīng)時質(zhì)量比為3：4，若生成C和D共140克，則該反應(yīng)消耗B的質(zhì)量為（）。

(A)6

0克(B)80克(C)90克

(D)12O克

8．下列過程有元素化合價變化的是（）

(A)用磷制造煙幕

(B)撒布干冰產(chǎn)生云霧

(C)用液態(tài)氫發(fā)射火箭

(D)加熱膽礬顏色變白

9．比Ar原子核電荷數(shù)少1且有相同核外電子數(shù)的微粒是（）。

(A)F－

(B)S2－

(C)K－(D)Cl－

1O．1噸下述氮肥的市場價格如下：CO(NH2)2，1080元、(NH4)2SO4，450元、NH4NO3，810元、NH4HO3，330元。分別用m元采購上述氮肥，購得的氮肥含氮元素最多的是（）。

(A)CO(NH2)2

(B)NH4HCO3

(C)NH4NO3

(D)(NH4)2SO4

11．在加熱條件下，l4．4克某金屬氧化物與一氧化碳充分反應(yīng)，可生成8．8克二氧化碳。這種氧化物是（）。

(A)FeO

(B)ZnO

(C)PbO

(D)CuO

l

2．將5

6克不純的鐵粉與足量的稀硫酸反應(yīng)，仍能生成2克氫氣，是因為（）。

(A)鐵中含有碳和鋅

(B)鐵表面有鐵銹

(C)鐵中含有碳和鋁

(D)鐵中含有碳

3．下列各組溶液中，需要用其他試劑配合才能一一鑒別出來的是（）。

(A)NH4Cl、CuSO4、NaOH

(B)K2CO3、CaCl2、Ca(OH)2

(C)H2SO4、(NH4)2SO4、Ba(OH)2

(D)HNO3、Na2CO3、AgNO3

4．下列各圖中能表示18．2

5克質(zhì)量分數(shù)為2%的鹽酸與20克質(zhì)量分數(shù)為2％的氫氧化鈉溶液發(fā)生中和反應(yīng)的是（）。

5．下列各種措施，不正確的是（）。

(A)木制電線桿埋入地下的一端應(yīng)事先燒焦表面

(B)不能用堿水清洗鋁制品表面的污垢

(C)為防止煤氣中毒，應(yīng)在煤爐上放一壺水

(D)金屬鈉應(yīng)保存在煤油里

l

6．X元素1個原子的質(zhì)量是m克，Y元素的原子量為A；化合物XY2的式量是M，則w克XY2中含有Y的原子數(shù)是（）。

(A)

(B)

(c)

(D)

二、填空題(共34分)

l

7．有一容器在相同條件下分別充滿氫氣、空氣、二氧化碳氣體。

(1)所盛氣體的質(zhì)量由大到小的順序是。

(2)理由是。

8．因金屬銹蝕而造成損失是驚人的，僅就鋼鐵來說，每年銹蝕的鋼鐵將近達世界年產(chǎn)量的1／4。聯(lián)系生產(chǎn)和生活實際舉出防止鋼鐵生銹的兩種常用方法：(1)

；(2)。

19．Ba2＋是有毒性的物質(zhì)。(1)對胃作X光造影時，BaS04可用作鋇餐而不造成中毒，這是因為，(2)若用BaCO3代替BaSO4，將導(dǎo)致中毒，這是因為。

0．利用乙炔焰的高溫可進行氣割或氣焊。(1)發(fā)生乙炔焰的化學方程式是

。(2)氣割時應(yīng)使

氣過量。(3)氣焊時應(yīng)控制

氣的用量，以防止

被氧化。

1．由氫、硫、氧三種元素組成的某種化合物中，氫、硫、氧元素的質(zhì)量比為1：1

6：24。(1)該化合物的化學式為

。(2)該化合物與鈉形成的酸式鹽的化學式為。

2．某學生取X、Y、Z三種不同金屬分別與氧化銅和氧化鋅混合加熱進行實驗，結(jié)果記錄于下表。表中“＋“表示能發(fā)生置換反應(yīng)，“－“表示不發(fā)生反應(yīng)。則X、Y、Z和Cu、Zn五種金屬的還原性由強到弱的順序為。

反應(yīng)物

CuO

ZnO

X

＋

－

Y

－

－

Z

＋

＋

3．有A、B兩種元素，B元素的原子最外層電子數(shù)是次外層電子數(shù)的3倍，B元素的陰離子與A元素的二價陽離子電子層排布相同，則A與B形成的化合物的化學式為。

4．測得某硫酸鐵溶液中水分子與Fe3＋的個數(shù)比為1

00：1，則該溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為。

5．氫化鈉(NaH)和氫化鈣(CaH2)都可與水反應(yīng)生成氫氣和相應(yīng)的堿。(1)寫出反應(yīng)的化學方程式：①

；②

。(2)若用等質(zhì)量的NaH和CaH2分別與水反應(yīng)，生成氫氣多的是

26．有鹽酸、硫酸、石灰水、燒堿、氫氧化鋇、純堿、硝酸鈉、氯化鋇八種溶液。

(1)從中選出四種，使得右圖中各線條相連的物質(zhì)均能反應(yīng)生成難溶物，將選出物質(zhì)的化學式按要求填寫在圖的方框里。

(2)依次寫出②、③兩個反應(yīng)的化學方程式。

7．如圖為固體A的溶解度曲線圖。

(1)t1℃時，在x克A的飽和溶液中含有

克水。

(2)把y克固體A放入

克水中，恰好形成t2℃時A的飽和溶液。

(3)向100克含A的溶液中加入5克固體A后恰好形成t2℃時

A的飽和溶液，則原溶液中含溶質(zhì)A為

克。

(4)將2

5克質(zhì)量分數(shù)為2

0%的A溶液從t2℃降溫至t1℃時有1克固體A析出，則m1為

克。

三、簡答題(共1

6分)

28．用鋅片與稀硫酸反應(yīng)，六次實驗結(jié)果記錄如下(注意：本題計算結(jié)果均取整數(shù))：

次數(shù)

加入鋅的質(zhì)量／克

稀硫酸的質(zhì)量／克

生成硫酸鋅的質(zhì)最／克

O

次數(shù)

加入鋅的質(zhì)量／克

稀硫酸的質(zhì)量／克

生成硫酸鋅的質(zhì)量／克

O

(1)第2和第5兩次實驗產(chǎn)生硫酸鋅的質(zhì)量依次是。

(2)畫出硫酸鋅與鋅的質(zhì)量函數(shù)關(guān)系的曲線。

(3)若使(1O＋m)克鋅與6

O克稀硫酸充分反應(yīng)后剩余固體的質(zhì)量為

克。

(4)稀硫酸中溶質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為。

9．用磷的同素異形體紅磷和白磷做如下實驗，裝置如圖所示。取0．5克(過量)紅磷置于燃燒匙中，點火后立即插入瓶內(nèi)并塞緊橡皮塞，停止燃燒后待瓶溫冷卻到室溫，把瓶倒置于盛水的水槽中，在水面下打開塞子，任水進入瓶里，最終進入瓶內(nèi)水的體積約為瓶容積的15%。如果把0．5克(過量)白磷置于燃燒匙中，按照相同操作最終進入瓶內(nèi)水的體積約占瓶容積的2

1％。

(1)以上兩個實驗結(jié)果說明了什么?

(2)有人認為，在水面下打開塞子水即進入瓶內(nèi)，主要原因是五氧化二磷溶于水，這種看法是否正確?為什么?

(3)白磷和紅磷燃燒時看到的現(xiàn)象是，反應(yīng)的化學方程式是。

四、計算題(共1

2分)

O．將一些氧化銅粉末加入到100克質(zhì)量分數(shù)為l4%的硫酸溶液中，微熱至氧化銅全部溶解，再向該藍色溶液中加入20克鐵粉。充分反應(yīng)后，過濾、烘干，得到干燥的固體物質(zhì)仍是20克。

(1)原加入的氧化銅的質(zhì)量是多少?

(2)最后得到的溶液中溶質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)是多少?

1994年年全國初中奧林匹克化學競賽試題答案

1．C

2．B

3．A

4．B

5．BD

6．C

7．B

8．AC

9．D1

0．B

1．A

2．C

3．B

4．AD

5．C

l

6．A

l

7．CO2>空氣>H2；它們的式量由大到小(或密度由大到小)。

8．(1)在鐵器表面涂上可以隔絕空氣和水蒸氣的物質(zhì)，如涂上漆。

(2)在鐵器表面鍍上一層比鐵活動性強的金屬。

9．BaSO4．不溶解，(2)BaCO3溶于胃酸。

20．(1)2C2H2十SO2

4CO2＋2H20；(2)氧(3)氧；金屬。

1．(1)H2SO3；(3)NaHSO3

22．Z>Zn>X>Cu>Y

23．MgO

24．100％

25．(1)①NaH＋H2O==NaOH＋H2↑

②CaH2＋2H2O毒Ca(OH)2＋2H2↑

(2)CaH2

26．(1)在上框Ba(OH)2;右上框：H2SO4

f在下框：BaCl2，右下框：Na2CO3

(2)②Ba(OH)2＋Na2CO3=BaCO3↓＋2NaOH

⑨BaCl2＋H2SO4=BaSO4↓＋2HCl

27．(1)1

00x／(ml＋100)

(2)100y／m2

(3)(100m2—500)／(1

00＋m2)

(4)20克

28．(1)10．17；(2)圖略;(3)3＋m;(4)l7％

29．(1)白磷比紅磷更容易和O2化合。(或答“參加反應(yīng)白磷的質(zhì)量大于紅磷的質(zhì)量“。)

(2)不正確,主要原因是壓強低于大氣壓強，五氧化二磷是固體，不占多少體積。

(3)都產(chǎn)生白煙；4P＋5O22P2O5

30．(1)l

O克；(2)20．6

5％