“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”2019年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）

1．若，則的值為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

由題設(shè)得．

2．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是

（）．

（A）a≤

（B）a≥4

（C）a≤或

a≥4

（D）≤a≤4

解．C

因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式

≥0,解得a≤或

a≥4．

3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（第3題）

解：D

如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．

由已知可得

（第3題）

BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是

EF＝4＋．

過點(diǎn)A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得

AD＝．

4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（）．

(A)

(B)

(C)

(D)

解：B

由和可得，，，，……

因?yàn)?010=4×502+2，所以=2．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（）．

（A）（2010，2）

（B）（2010，）

（C）（2012，）

（D）（0，2）

解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．

（第5題）

記，其中．

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系，依次可以求得：，，．

令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）．

二、填空題

6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于

．

解：0

由已知得

(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝

．

解：15

設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為

（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②

．

③

由①②，得，所以，x=30．

故

（分）．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是

．

（第8題

（第8題）

解：

如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N．

由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．

于是，直線即為所求的直線．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則

解得,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為．

9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則

．

（第9題）

解：

見題圖，設(shè)．

因?yàn)镽t△AFB∽R(shí)t△ABC，所以

．

又因?yàn)?/p>

FC＝DC＝AB，所以

即，解得，或（舍去）．

又Rt△∽R(shí)t△，所以，即=．

10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為

．

解：

因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．

由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：

（第12A題）

．

（第12B題）

（第11題）

（第12B題）

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以

ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）

連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）

（第11題）

作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以

.…………（20分）

12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；

（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求

所有滿足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.（第12題）

設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有

解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．

因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以

解得

…（10分）

（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.（第12題）

因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）

13．求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.……（5分）

（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而.所以解得

…………（10分）

（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是

這不可能.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）

14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？

解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.（5分）

另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所?/p>

.因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………（10分）

設(shè)，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）

≤，故≤60.所以，n≤61.綜上所述，n的最大值為61.…………（20分）