第一篇：弦切角定理的證明

弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,那么

.(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么

2連接并延長TO交圓O于點D，連接BD因為TD為切線，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因為TD為直徑，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3編輯本段弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）如右圖所示，直線pT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠pCA，∠pCB都為弦切角。編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,?！摺蟃CB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半）∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)證明：分三種情況：(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角B點應(yīng)在A點左側(cè)(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E那么，連接EC、ED、EA則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴(弦切角定理)(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴(弦切角定理)編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等應(yīng)用舉例例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第二篇：弦切角定理證明方法

弦切角定理證明方法

(1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進而有∠OAC=∠BAC。

由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。

(2)連接BC，且作CE⊥AB于點E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC2=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC2=AB*AD。

第一題重新證明如下：

首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA。

連接OA、OC、BC，則有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,所以∠ACD=(1/2)∠AOC，而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，得∠ACD=∠CBA。

另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進而AB為⊙O的直徑。

2證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.

第三篇：弦切角定理_含答案

邯鄲市第四中學高二數(shù)學組（理）選修4-1 直線與圓的位置關(guān)系

學案2 圓的切線判定定理與性質(zhì)定理

弦切角定理

考綱要求：會證明和應(yīng)用以下定理：圓的切線判定定理與性質(zhì)定理和弦切角定理

一：知識梳理

1.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的__________.推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_______；

推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過______.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等.二：基本技能：

1.已知一個圓的弦切角等于50°，那么這個弦切角所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)

為_______.2.如圖，AB是直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，若CD切⊙

O于C點，則∠CAB的度數(shù)為 DCB的度數(shù)為ECA的度數(shù)為

3.如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為 B、C、D是 ?上的點，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.優(yōu)弧BC

?上任一點，∠4.如圖，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切線，C為 AB

BAD =______.5.如圖，PA，PB切⊙ O于 A，B兩點，AC⊥PB，且與⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，則∠APB==________.三：典例分析

類型一： 弦切角與圓周角定理的應(yīng)用

解題準備:弦切角與圓周角是很重要的與圓相關(guān)的角.其主要功能在于協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角(如圓心角?圓周角等),是架設(shè)圓與三角形全等?三角形相似?與圓相關(guān)的各種直線(如弦?

割線?切線)位置關(guān)系的橋梁,因而弦切角也是確定圓的重要幾何定理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(如證明切割線定理).:例1：(2010年高考課標全國卷)如圖，已知

圓上的?。?，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.變式訓練1:(2010年高考江蘇卷)

如圖，AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB的延長線于點C，若DA＝DC，求證：AB＝2BC.類型二： 圓的切線的性質(zhì)與判定

解題準備:若知圓的切線,一種自然的想法就是連結(jié)過切點的半徑,從而得到垂直關(guān)系.證明某條直線是圓的切線的常用方法有:若已知直線與圓有公共點,則需證明圓心與公共點的連線垂直于已知直線即可;若已知直線與圓沒有明確的公共點,則需證明圓心到直線的距離等

于圓的半徑.例2：如圖,AB是⊙O的直徑, ⊙O過BC的中點D,DE⊥AC.求證:DE是⊙O是切線.B

例3如圖.AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D.求證:AC平分∠DAB.四：能力提升1．（海淀二模3）如圖，CD是⊙O的直徑，AE切⊙O于點B，連接DB，若?D?20?，則?DBE的大小為()A.20?B.40?C.60?D.70?

2.（西城二模11）如圖，?ABC是圓的內(nèi)接三角形，PA切圓于點

交圓于點D.若?ABC?60

?，PD?

1，BD?8?PAC?________,PA?________.3.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上的兩點，半圓O的切線PC

交AB的延長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為

A.105°B.115°C.120°D.125°

4.如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC的長為

A.2B.3C.5.如圖，AB是⊙ O的直徑，AC，BC是⊙ O的弦，PC是⊙ O的切線，切點為 C，∠BAC=35，那么∠ACP等于

0000

A.35B.55C.65D.12

56.如圖，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O的切線，A是切點，過 B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于 E點，若 AE平分∠BAD，則∠BAD=

00A.30B.4500

C.50D.60

7.如圖，⊙O與⊙O′交于 A，B，⊙O的弦AC與⊙O′相切于點 A，⊙O′的弦AD與⊙O相切于A點，則下列結(jié)論中正確的是 A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.無法確定

8.如圖，E是⊙O內(nèi)接四邊形 ABCD兩條對角線的交點，CD延長線與過 A點的⊙ O的切線交

??AB?，則∠AFC的度于F點，若∠ABD=44，∠AED=100，AD

數(shù)為

00

A.78B.9200

C.56D.145

C

00

9.過圓內(nèi)接△ABC的頂點 A引切線交 BC延長線于D，若∠B=35，∠ACB=80，則∠D=

0000

A.45B.50C.55D．60

10.圓內(nèi)接四邊形ABCD的頂點C引切線 MN，AB為圓直徑，F(xiàn)

若∠BCM=38，則∠ABC=

A.38B.52C.68D.4211B．如右圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是⊙O的切線，∠B=70°，則∠BAC等于（）

A.70°B.35°C.20°D.10°

基本技能：

1.100°2.60°3.50°4.108°5.44° 典例分析： 例

1.0000

變式訓練

例2

證明:連接OD.∵BD=CD,OA=OB

∴OD是△ABC的中位線,∴

OD//AC.又∵ DE⊥AC

∴∠DEC=90o∴∠ODE=90o又∵D在圓周上, ∴DE是⊙O是切線.例3.證明:連接OC, ∵CD是⊙O的切線, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB 能力提升：

1.D2.60°，33.B4.C5.B6.D7.B8.C9.A10.B11.C

第四篇：怎樣證明弦切角

怎樣證明弦切角

設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作Tp的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半)

∵∠BOC=2∠CAB

∴∠TCB=∠CAB(弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)

2接OBOC過O做OE⊥BC

所以∠A=1/

2又因為∠OCT=90°

∠OEC=90°

所以∠EOC=∠TCB

所以∠TCB=∠A

3溫馨提示

設(shè)切點為A切線AB弦AC圓心為O過A作直徑AD連OC

角CAB等于90度減角DAC

因為OA等于OC所以角AOC等于180度減去二倍的角DAC

即可證明角AOC等于二倍的角CAB

參考資料：弦切角是這弦所對的圓心角的一半

4線段AD與線段EF互相垂直平分。

證明:設(shè)AD交EF于點G.因為Ap為切線，所以弦切角等于所對的圓周角，即∠pAC=∠B，又因為AD平分∠BAC，所以∠DAC=∠BAD，從而∠pAC+∠DAC=∠B+∠BAD,而∠pAC+∠DAC=∠pAD，∠B+∠BAD=∠pDA，所以

∠pAD=∠pDA，則△pAD為等腰三角形，因pM平分∠ApD，所以pM垂直平分AD，則EF垂直平分AD，從而AD垂直EF，則∠AGE=∠AGF=90°，再由∠GAF=∠GAE，得到

△EAG≌△FAG，從而EG=FG，從而AD也垂直平分EF。

5(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.過A作直徑AD交⊙O于D,若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴(弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,過A作直徑AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應(yīng)用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60°,AB=a求BC長.解：連結(jié)OA，OB.∵在Rt△ABC中,∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF∥BC.證明：連DF.AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

第五篇：圓切線長定理及弦切角練習題

切線長定理及弦切角練習題

（一）填空

1．已知：如圖7－143，直線BC切⊙O于B點，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．

2．已知：如圖7－144，直線DC與⊙O相切于點C，AB為⊙O直徑，AD⊥DC于D，∠DAC=28°側(cè)∠CAB=____ ．

3．已知：直線AB與圓O切于B點，割線ACD與⊙O交于C和D

4．已知：如圖7－145，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于B和C兩點，∠P=15°，∠ABC=47°，則∠C= ____．

5．已知：如圖7－146，三角形ABC的∠C=90°，內(nèi)切圓O與△ABC的三邊分別切于D，E，F(xiàn)三點，∠DFE=56°，那么∠B=____．

6．已知：如圖 7－147，△ABC內(nèi)接于⊙O，DC切⊙O于C點，∠1=∠2，則△ABC為____ 三角形．

7．已知：如圖7－148，圓O為△ABC外接圓，AB為直徑，DC切⊙O于C點，∠A=36°，那么∠ACD=____．

（二）選擇

8．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，過A點作⊙O的切線交BC的延長線于P，則∠APB等于

[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．

9．已知：如圖 7－149，PA，PB切⊙O于A，B兩點，AC為直徑，則圖中與∠PAB相等的角的個數(shù)為

[ ]

A．1 個；B．2個；C．4個；D．5個．

10．已知如圖7－150，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN切⊙O于C點，∠BCM=38°，那么∠ABC的度數(shù)是

[ ]

A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．

11．已知如圖7－151，PA切⊙O于點A，PCB交⊙O于C，B兩點，且 PCB過點 O，AE⊥BP交⊙O于E，則圖中與∠CAP相等的角的個數(shù)是

[ ]

A．1個；B．2個；C．3個；D．4個．

（三）計算

12．已知：如圖7－152，PT與⊙O切于C，AB為直徑，∠BAC=60°，AD為⊙O一弦．求∠ADC與∠PCA的度數(shù)．

13．已知：如圖7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度數(shù)．

14．已知：如圖7－154，⊙O的半徑OA⊥OB，過A點的直線交OB于P，交⊙O于Q，過Q引⊙O的切線交OB延長線于C，且PQ=QC．求∠A的度數(shù)．

15．已知：如圖7－155，⊙O內(nèi)接四邊形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB為⊙O直徑．求∠ADC的度數(shù)．

16．已知：如圖7－156，PA，PC切⊙O于A，C兩點，B點

17．已知：如圖 7－157，AC為⊙O的弦，PA切⊙O于點A，PC過O點與⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度數(shù)．

18．已知：如圖7－158，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，EF切⊙O

19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于點A，∠BAT= 100°，點M在圓周上但與A，B不重合，求∠AMB的度數(shù)．

20．已知：如圖7－159，PA切圓于A，BC為圓直徑，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的長．

21．已知：如圖7－160，AC是⊙O直徑，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的長．

22．已知：如圖7－161所示，P為⊙O外一點，PA切⊙O于A，從PA中點M引⊙O割線MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度數(shù)．

23．已知：如圖7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B兩點，AC交⊙O于Q，PQ為⊙O直徑交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC與∠PEC的度數(shù)．

24．已知：如圖 7－163，QA切⊙O于點A，QB交⊙O于B

25．已知：如圖7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C

26．已知：在圖7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的長．

27．已知；如圖7－166，PA為△ABC外接圓的切線，A 為切點，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的長．

28．已知：如圖 7－167，BC是⊙O的直徑，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度數(shù)．

29．已知：如圖 7－168，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度數(shù)．

30．已知：如圖7－169，PA，PB分別切⊙O于A，B，PCD為割線交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的長．

31．已知：如圖7－170，ABCD的頂點A，D，C在圓O上，AB的延長線與⊙O交于M，CB的延長線與⊙O交于點N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度數(shù)．

32．已知：如圖7－171，PQ為⊙O直徑，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延長線于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度數(shù)．

33．已知：如圖 7－172，△ABC內(nèi)接于⊙O，EA切⊙O于A，過B作BD∥AE交AC延長線于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的長．

34．已知：如圖7－173，△ABC內(nèi)接于圓，F(xiàn)B切圓于B，CF⊥BF于F交圓于 E，∠1=∠2．求∠1的度數(shù)．

35．已知：如圖7－174，PC為⊙O直徑，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的長．

36．已知：如圖7－175，AD為⊙O直徑，CBE，CD分別切⊙

37．已知：如圖7－176，圓內(nèi)接四邊形ABCD的AB邊經(jīng)過圓心，AD，BC的延長線相交于E，過C點的切線CF⊥AE于F．求證：

（1）△ABE為等腰三角形；

（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的長．

38．已知：如圖7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．

（1）求證：E為△ABC內(nèi)心；

（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB與OD的長．

（四）證明

39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C為圓心作圓切AB邊于F點，AD，BC分別與⊙C切于D，E兩點．求證：AD∥BE．

40．已知：PA，PB與⊙O分別切于A，B兩點，延長OB到C，41．已知：⊙O與∠A的兩邊分別相切于D，E．在線段AD，AE（或在它們的延長線）上各取一點B，C，使DB=EC．求證：OA⊥BC．

⊥EC于H，AO交BC于D．求證：

BC·AH=AD·CE．

*43．已知：如圖7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，過C點引BC的垂線交MN于D．求：AB∥DE．

44．已知：如圖7－179，OA是⊙O半徑，B是OA延長線上一點，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求證：CA平分∠BCD．

45．已知：如圖7－180，BC是⊙O直徑，EF切⊙O于A點，AD⊥BC于D．求證：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．

46．已知：如圖7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB為弦的圓 O與 BC切干點 B，與 AC交于 D點．求證：AD=DB=BC．

47．已知：如圖7－182，過△ADG的頂點A作直線與DG的延長線相交于C，過G作△ADG的外接圓的切線二等分線段AC于E．求證：AG=DG·CG．

48．已知：如圖7－183，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，PCD為割線．求證：AC·BD=BC·AD．

BC=BA，連結(jié)AC交圓于點E．求證：四邊形ABDE是平行四邊形．

50．已知：如圖7－185，∠1=∠2，⊙O過A，D兩點且交AB，AC于E，F(xiàn)，BC切⊙O于D．求證：EF∥BC．

51．已知：如圖7－186，AB是半圓直徑，EC切半圓于點C，BE⊥CE交AC于F．求證：AB=BF．

52．已知：如圖7－187，AB為半圓直徑，PA⊥AB，PC切半圓于C點，CD⊥AB于D交PB于M．求證：CM=MD．

（五）作圖

53．求作以已知線段AB為弦，所含圓周角為已知銳角∠α（見圖7－188）的?。ú粚懽鞣?，寫出已知、求作，答出所求）．

54．求作一個以α為一邊，所對角為∠α，此邊上高為h的三角形．

55．求作一個以a為一邊，m為此邊上中線，所對角為∠α的三角形（不寫作法，答出所求）．

切線長定理及弦切角練習題(答案)

（一）填空

1．36° 2．28° 3．50° 4．32° 5．22° 6．等腰 7．54°

（二）選擇

8．C 9．D 10．B 11．C

（三）計算 12．30°，30°．

13．45°．提示：連接AB交PD于E．只需證明∠ADE=∠AED，證明時利用三角形外角定理及弦切角定理．

14．30°．提示：因為PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．連接OQ，則知∠POQ與∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA與∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它們的和為90°（因為∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°

16．67.5°．提示：解法一 連接AC，則∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．從而∠B=∠PAC=67.5°．

解法二 連接OA，OC，則∠AOC=180°－∠P=135°，所以

17．24°．提示：連接OA，則∠POA=66°．

18．60°．提示：連接BD，則∠ADB=40°，∠DBC=20°．設(shè)∠ABD=∠BDC（因為AB//CD）=x°，則因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，從而∠ADE=∠ABD=60°．

19．100°或80°．提示： M可在弦AB對的兩弧的每一個上．

從而

22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是顯然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，從而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°－∠PNA=42°．

23．28°，39°．提示：連接PC．

24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度數(shù)． 25．100°．

以DB=9．因為2DP=2×9，由此得DP=9．又DP＞0，所以DP=3，從而，DE=2×3=6（cm）． 2

228．45°．提示：連接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．

29．60°．提示：解法一 連接AC，則AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因為AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．

31．37°．提示：連接AC，則∠M=∠ACN=∠CAD． 32．17°．提示：連接PC，則∠QPC+∠PBC=90°． 45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP =（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC =[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC． 所以

2∠PBC－∠BPQ=45°．

又

∠PBC+∠BPQ=39°，從而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．

1）

2）

（（34．30°．提示：連接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而這三個角的和為90°，所以每個角為30°．

36．60°．提示：連接OB，則OB⊥CE，從而∠C=∠BOE= 60°．

37．（1）提示：連接OC，則∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE為等腰三角形．

38．（1）提示：連接BE．只需證明∠ABE=∠DBE．

（四）證明

39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．設(shè)法證出∠A+∠B=180°． 40．提示：連接OP，設(shè)法證出∠BPC=∠BPO．

42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它們都與∠DCH互補）．又A，D，C，H共圓，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，從而△BCE∽△DAH．這就得所要證明的比例式．

43．提示：連接AC．先證明A，E，C，D四點共圓．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．

44．提示：證法一 延長AO交⊙O于點E，連接EC，則∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．

證法二 連接OA，則∠BCA與∠OCA互余；又∠ACD與∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．

46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，從而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．

47．提示：過A作CD的平行線交BC于H，則AH=CG．然后證

AG=DG·AH=DG·CG．

49．提示：因為BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延長線），所以它們的補角∠DEA=∠ABD．從而四邊形ABDE是平行四邊形．

50．提示：連接DE，則∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．

51．提示：連接BC，則∠ACB=90°=∠FCB．因為CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因為EC切半圓于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．

52．提示：連接AC，BC并延長BC交AP延長線于點N．首先

所以CM=MD．