第一篇：高中數(shù)學不完全歸納法證明題

數(shù)學歸納法的迷思

數(shù)學歸納法可說是高中數(shù)學裡最令同學納悶的一部份了，數(shù)學歸納法學的不錯的同學，大概都能謹遵老師交待要寫出以下2步驟:

1、步驟1:證明n=1時，敘述成立。(不一定從1開始)

2、步驟2:假設n=k時，敘述成立；證明n=k+1時，敘述也成立

由數(shù)學歸納法得證，n為任意自然數(shù)時都成立。

完整寫出以上2步驟，並且遇到數(shù)學歸納法的證明題時，操作以上步驟，算是達到了學習數(shù)學歸納法的最基本要求。只是能操作數(shù)學歸納法的基本步驟，不一定代表了解數(shù)學歸納法的原理，因此容易造成誤用，而不知道錯在何處，或者是雖然做出了正確的証明，但終究對於這樣的証明方法存疑，先說存疑之處:「只知道n=k和n=k+1成立，仍不知道後面幾項是否成立」、「用假設來證明很沒說服力，萬一假設不成立呢?」、「怎麼可以假設n=k成立呢?」這是學習數(shù)學歸納法常會出現(xiàn)的疑問，所以再複習一下數(shù)學歸納法的基本原理，皮亞諾(G.Peano)在西元1889年提出的自然數(shù)的序數(shù)理論，包含5條公理:

(1)1是一個自然數(shù)

(2)每一個自然數(shù)a都有一個後繼元素

(3)1沒有生成元素

(4)如果a與b的後繼元素相等，則a=b

(5)若一個由自然數(shù)所組成的集合S包含1，並且當S包含某一自然數(shù)a時，它一定也含有a的後繼元素，則S就包含有全體自然數(shù)。

數(shù)學歸納法原理就是皮亞諾的第5條公理，無需證明。數(shù)學歸納法實際上是一種演繹方法，由於我們無法證明所有自然數(shù)均滿足於某一條件，所以我們用邏輯遞推的方式，先證明有一個起始值合於條件(步驟1)，接下來證明所滿足的條件是可以遞推的，若n=k成立?n=k+1成立(步驟2)。就以老師上課常講的以骨牌為例，假設我們有無限多顆骨牌，因為數(shù)量是無限多，所以我們無法實際操作，看到所有骨牌倒下，但是我們可以確認的兩件事就是第一顆骨牌會倒，以及若骨牌倒了，後一顆骨牌也必倒，這兩件事確定了，我們不必眼見所有骨牌倒下，也知道所有骨牌都會倒，這就是數(shù)學歸納法的原理。

同學在學習數(shù)學歸納法常見的錯誤上大致有以下二種:

(一)忽略起始值與遞推過程的互相配合，以證明n2?2n，n?N為例:

1、當n?1時，12?21，成立

2、設n?k時k2?2k成立；當n?k?1時

2k?1?(k?1)2?2?2k?(k2?2k?1)?2k2?k2?2k?1?k2?2k?

1?k(k?2)?1?0?(k?1)2?2k?1，由數(shù)學歸納法得証。

以上證明犯了很明顯的錯誤，就是?k(k?2)?1?0的條件必須k?3，所以用k=1當起始值就與證明過程沒有配合，仔細再檢視一遍，n?2,3,4，均不符合，n2?2n，n?N，所以本題的起始值應從n=5開始才成立。若題目沒事先設好條件n?5，恐怕就會落入這樣的謬誤。

(二)證明n=k+1成立時，與假設n=k成立完全無關

數(shù)學歸納法第二步驟假設n=k時成立推至n=k+1時成立是ㄧ個遞推步驟，所以n=k+1成立的証明必須建立於n=k成立的基礎上，不能單獨證明n=k+1成立，但這也是同學證明時常犯的錯誤，例如:證明0.9?1(這個結論是錯的)

假設n代表小數(shù)點後9的個數(shù)

1、n=1時0.9<1成立

2、設n=k時0.999….9<1(k個9)成立；則當n=k+1時0.999…..9<1(k+1個9)成立，由數(shù)學歸納法得証。

以上證明所犯的錯誤就是忽略n=k時與n=k+1時的遞推關係，上述證明並無遞推關係。

再舉另一個例子:

?n?2,(n?1)2?2n?5,n?N1、n=2時，(2?1)2?9?2?2?5成立

2、設n=k時(k?1)2?2k?5成立；當n=k+1時

(k?1?1)2?2(k?1)?5=

k2?4k?4?2k?2?5?k2?2k?3?(k?3)(k?1)?0(?n?2)，由數(shù)學歸納法得証。

以上證明結論雖然正確，但是根本不需用到數(shù)學歸納法，況且步驟2沒利用到n=k與n=k+1之間的遞推關係，所以誤用了數(shù)學歸納法。

第二篇：高中數(shù)學證明題

高中數(shù)學證明題

高中數(shù)學證明題……

因為pA/pA'=pB/pB'

所以A'B'//AB

同理C'B'//CB

兩條相交直線分別平行一個面

兩條直線確定的面也平行這個面

算上上次那道題，都是最基礎的立體幾何

勸你還是自己多琢磨琢磨

對以后做立體大題有好處

解：連接CE，由于對稱性，知CE與橢圓的交點G與B關于x軸對稱，連接AG，我們證明BC與AG的交點就是F，這樣BC當然經過F

已知橢圓右焦點坐標為F(1，0)

設過E斜率為K的直線方程為：y=kx+b

E點坐標滿足方程，有：0=2k+bb=-2ky=kx-2k

把直線方程代入橢圓方程得：

x^2/2+(kx-2k)^2=

1x^2+2(kx-2k)^2=

2x^2+2k^2x^2-8k^2x+8k^2-2=0

(2k^2+1)x^2-8k^2x+8k^2-2=0

設AB兩點坐標為(x1,y1)(x2,y2)，則C、G點的坐標為(x1,-y1)G(x2,-y2)

x1,x2是上方程兩根，由韋達定理知

x1+x2=8k^2/(2k^2+1)=4-4/(2k^2+1)

x1x2=(8k^2-2)/(2k^2+1)=4-6/(2k^2+1)

y1=kx1-2k且y2=kx2-2k

y1+y2=k(x1+x2)-4k=4k-4k/(2k^2+1)-4k=-4k/(2k^2+1)

直線BC、AG的方程為：

y=(y2+y1)(x-x1)/(x2-x1)-y1和y=(y1+y2)(x-x1)/(x1-x2)+y

1聯(lián)立上兩直線方程求交點坐標：

(y2+y1)(x-x1)/(x2-x1)-y1=(y1+y2)(x-x1)/(x1-x2)+y1

(y2+y1)(x-x1)/(x2-x1)+(y1+y2)(x-x1)/(x2-x1)=2y1

(y2+y1)(x-x1)/(x2-x1)=y1

x-x1=y1*(x2-x1)/(y1+y2)

x=y1*(x2-x1)/(y1+y2)+x1

x=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)=/(y1+y2)=

補充回答：

思路是這樣，再用前面x1+x2及y1=kx1-2ky2=kx2-2k代簡。如果沒的錯，x應為1,y=0

二、直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的底面ABCD為菱形，∠ADC=120,AA1=AB=1，點O1，O分別是上下底面菱形對角線交點，求點O到平面CB1D1的距離。。我找不到那條線，，O點到該面的距離為A點到該面的距離的一半，所以先求A點到該面的距離。找B1D1中點E,則A到該面的距離為三角形ACE中CE邊上的高，依據(jù)幾何關系，AC=√3,CE=(√7)/2(可在三角形CB1D1中算出)，AE=CE。三角形ACE中，AC上的高為1，三角形的面積為，(√3)/2,所以CE邊上的高為(2√21)/7，則O到平面CB1D1的距離為(√21)/7

三、用綜合法或分析法證明：已知n是大于1的自然數(shù)，求證：log以n為底(n+1)>log以n+1為底+1(n+2)

因為n>1,所以lgn>0,lg(n+1)>0,lg(n+2)>0;

欲證明原不等式成立，只需證lg(n+1)/lgn>lg(n+2)/lg(n+1);

即證：^2>lgn.lg(n+2)...........(*)

因為根據(jù)均值不等式lgn.lg(n+1)<^2<^2

所以(*)式成立，以上各步均可逆;所以原不等式成立。

第三篇：高中數(shù)學幾何證明題

新課標立體幾何?？甲C明題匯總

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點∴EH//BD,EH?同理，F(xiàn)G//BD,FG?

(2)90°30 °

考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.DAD

A

BBC

1?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

證明：（1）連結A1C1，設

AC11?B1D1?O1，連結AO1

∵ ABCD?A1B1C1D1是正方體?A1ACC1是平行四邊形

∴A1C1∥AC且 AC11?AC又O1,O分別是AC11,AC的中點，∴O1C1∥AO且O1C1?AO

C

?AOC1O1是平行四邊形

?C1O∥AO1,AO1?

面AB1D1，C1O?面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

（2）?CC1?面A1B1C1D1?CC!1?B1D又

∵AC11?B1D1

同理可證

AC?AD11，?B1D1?面A1C1C即A1C?B 1D1，又

D1B1?AD1?D1

?面AB1D1?AC1

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB

P

?

（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D

1G

EB?四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?A1C∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大?。?證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，22

2PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG為二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?4

5考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

?平面MBD．

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O．∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1

設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?

M∵AO，∴A?MO?A1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直 15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點：線面垂直的判定

16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

考點：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO，則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，從而平面ABC⊥平面BSC．

考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）

第四篇：高中數(shù)學立體幾何常考證明題匯總

新課標立體幾何?？甲C明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點∴EH//BD,EH?同理，F(xiàn)G//BD,FG?

(2)90°30 °

考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE?？键c：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M

?

P

∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴C

A

PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點：線面垂直的判定

第五篇：高中數(shù)學立體幾何?？甲C明題匯總 - 副本

立體幾何?？甲C明題匯總答案

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角

2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。證明：（1）

E

C

H D

BC?AC?

??CE?AB

AE?BE?

B

同理，AD?BD?

??DE?AB

AE?BE?

C

又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

B

考點：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，A

D

D

1C

求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點

C

D

S

∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 考點：線面垂直的判定

5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.?

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

AC，2?BDC?90?，求證：BD?平面ACD

證明：取CD的中點G，連結EG,FG，∵E,F分別為AD,BC的中點，∴EG

1//?AC 2

//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?

222

?

∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C∴BD?平面ACD

考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB

P

?

（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D

1G

EB?四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?AC1∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大?。?證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，22

2PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG為二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?4

5考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

?平面MBD．

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?M∵AO，∴A?MO?A1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直 15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

考點：線面垂直的判定

A16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DC證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

考點：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO，則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，從而平面ABC⊥

平面BSC．

考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）