第一篇：初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料 動態(tài)幾何的定值

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料 動態(tài)幾何的定值

甲內(nèi)容提要

1.動態(tài)幾何是指用運動的觀點研究幾何圖形的位置、大小的相互關(guān)系.用動的觀點看幾何定理，?？砂褞讉€定理歸為一類.例如：

① 梯形的中位線，當(dāng)梯形的上底逐漸變小，直到長度為零時，則為三角形的中位線； ② 兩圓相交，兩個公共點關(guān)于連心線對稱，所以連心線垂直平分公共弦，當(dāng)兩個交點

距離逐漸變小，直到兩點重合時，則兩圓相切，這時切點在連心線上；

③ 相交弦定理由于交點位置、個數(shù)的變化，而演變?yōu)楦罹€定理，切割線定理，切線長

定理等等.2.動態(tài)幾何的軌跡、極值和定值.幾何圖形按一定條件運動，有的幾何量隨著運動的變

化而有規(guī)律變化，這就出現(xiàn)了軌跡和極值問題，而有的量卻始終保持不變，這就是定值問題.例如：

半徑等于RA的圓A與半徑為RB(RB>RA)的定圓B內(nèi)切.那么：

動點A有規(guī)律地變化，形成了一條軌跡：以B為圓心，以RB－RA的長為半徑的圓.而A，B兩點的距離，卻始終保持不變：AB=RB－RA.若另有一個半徑為RC的圓 C與圓B外切，則A，C兩點的距離變化有一定的范圍：RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA.所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA.3.解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：

第一種是分兩步完成 ：

① 先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.② 再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.乙例題

例1.已知：△ABC中，AB＝AC，點P是BC上任一點，過點P作BC的垂線分別交AB，AC或延長線于E，F(xiàn).求證：PE＋PF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法.① 把點P放在BC中點上.這時過點P的垂線與AB，AC的交點都是點A，PE＋PF＝2PA，從而可確定定值是底上的高的2倍.因此原題可轉(zhuǎn)化： 求證：PA＋PB＝2AD（AD為底邊上的高）.證明：∵AD∥PF，PEBPPFCPCD＋PD＝；.ADBDADCDBD

PEPFBPCD＋PD2BD＋2∴ADADBDBDBD

PE＋PF2.即AD∴

∴PE＋PF＝2AD.② 把點P放在點B上.這時PE＝0，PF＝2AD（三角形中位線性質(zhì)），結(jié)論與①相同.還可以由PF＝BC×tanC，把定值定為：BC×tanC.即求證PE＋PF＝BC×tanC.（證明略）

同一道題的定值，可以有不同的表達式，只要是用題中固有的幾何量表示均可.例2.已知：同心圓為O中，AB是大圓的直徑，點P在小圓上

2求證：PA＋PB有定值.分析：用特位定值法.設(shè)大圓，小圓半徑分別為R，r.① 點P放在直徑AB上.222222

得PA＋PB＝（R＋r）＋（.R－r）＝2（R＋r）.② 點P放在與直徑AB垂直的另一條直徑上

22222222

也可得PA＋PB＝ R＋r＋R＋r＝2（R＋r）.證明： 設(shè)∠POA＝α，根據(jù)余弦定理，得

PA＝R＋r－2RrCosα，PB＝R＋r－2RrCos(180－α).∵Cos(180－α)＝Cosα.∴PA＋PB＝2（R＋r）.本題一般知道定值是用兩個圓的半徑來表示的，所以可省去探求定值的步驟，直接列出PA，PB與R, r的關(guān)系式，關(guān)鍵是引入?yún)?shù)α.例3.已知：△ABC中，AB＝AC，點P在中位線MN上，BP，CP的延長線分別交AC，AB于E，F(xiàn).求證：

?

?

11＋有定值，BFCE

分析： 本題沒有明顯的特殊位置，不過定值一般是用三角形邊長a, b, c來表示的, 為便于計算引入?yún)?shù)t, 用計算法證明.證明：設(shè)MP為t, 則NP=

∵MN∥BC，a－t.2

C

MPMFNPNE

??，.BCBFBCCE

11BF?ccta?ta?t1?即?；

???

1aBFaBFBFac2

∴

11111a?tCE?ba?tba?t

1? ????

1aCEaCECEab2

1a?t?a?t

113＋∴=?

1BFCEcac

3∵c 是定線段，∴是定值.c31

1＋即有定值.cBFCE

C例4.已知：在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點)，以M為圓心作圓M

和AB相切，分別過A，B作⊙M的切線，兩條切線相交于點C.求證：∠ACB有定值.分析： ⊙M是△ABC的內(nèi)切圓，∠AMB是以定線段AB為弦的定弧所含的圓周角，它是個定角.(由正弦定理Sin∠AMB=所求定值可用它來表示.證明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的內(nèi)心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）

=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180.由正弦定理

?

?

?

?

?

?

AB)，2R

ABAB

?2R，∴Sin∠AMB=.2RSin ?AMB

∵弧AB所在圓是個定圓，弦AB和半徑R都有定值，∴∠AMB有定值.∴∠ACB有定值2∠AMB－180.丙練習(xí)

1.用固有的元素表示下列各題中所求的定值(不寫探求過程和證明)： ①.等腰三角形底邊上的任一點到兩腰距離的和有定值是___________.②.等邊三角形內(nèi)的任一點到三邊距離的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.?

③.正n邊形內(nèi)的任一點到各邊距離的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊，相交得五個角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它們的度數(shù)和是________，延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，得n個角，它們的度數(shù)和是___________.(2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請賽初二試題)

⑤.兩個定圓相交于A，B，經(jīng)過點B任意作一條直線交 一圓于C，交另一圓于D，則

AC

有定值是_____________..AD

⑥.在以AB為直徑的半圓內(nèi)，任取一點P，AP，BP的延長線分別交半圓于C，D，則

AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦.AB是定圓O的任意的一條弦，點P是劣弧AB上的任一點(不含A和B)，PA，PB

分別交AB的中垂線于E，F(xiàn).則OE×OF有定值是__________.2.已知：點P是⊙O直徑AB上的任一點，過點P的弦CD和AB相交所成的銳角45.求證：PC+PD有定值.3.已知：點O是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點P在BC的延長線上，PD⊥BA

交BA延長線于D，PE⊥AC交AC的延長線于E.求證：∠DOE是定角

4.已知：點P是線段AB外一點，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中點.求證：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是⊙O的兩條直徑，點P是⊙O上任一點(不含A，B，C，D)..求證：點P在AB，CD的射影之間的距離是個定值.6.經(jīng)過∠XOY的平分線上的任一點A，作一直線與OX，OY分別交于P，Q則OP，OQ的倒數(shù)和是一個定值.7.△ABC中，AB=AC=2，BC邊有100個不同點P1，P2，……，P100，記mi=APi+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).則m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

8..直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有兩個動點P和Q，點P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移動，點Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移動.問時間t經(jīng)過幾秒時，①BCPQ為平行四邊形？等腰梯形？②PQ與以AD為直徑的圓O相切？相離？相交？①腰上的高.②一邊上的高或3r3.③ nrn.④ 180度，(n－4)180度.⑤兩圓半徑比.⑥AB⑦⊙O的半徑的平方.2.定值是AB平方的一半，證Rt△COM≌Rt△OBD，OM=DN.3.定值是直角，以PA為直徑的圓經(jīng)過A，O，E，P，D五點，PE=AD，∠AOD=∠POE.4.定值是AB的一半，證明 仿例3.5.定值是⊙O的半徑與兩直徑夾角的正弦的積，證明仿例4.6.定值是

?

2Cos?111

??(∠xoy=2α)，證明 作AR∥OQ交Dx于R，.OAOQOPAR

7.4×100.

第二篇：0初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

初一上目錄數(shù)的整除

（一）2倍數(shù)約數(shù)3 質(zhì)數(shù)合數(shù)4 零的特性5a的個位數(shù)

6數(shù)學(xué)符號7用字母表示數(shù)8抽屜原則

初一下目錄

9一元一次方程解的討論10二元一次方程的整數(shù)解11二元一次方程組解的討論12用交集解題13用枚舉法解題14經(jīng)驗歸納法15乘法公式16整數(shù)的一種分類

初二上目錄奇數(shù)偶數(shù)18 式的整除19 因式分解20 恒等式證明21 比較大小22 分式23 遞推公式24 連續(xù)正整數(shù)25 十進制的記數(shù)法26 選擇題解法(一)27識圖28三角形邊角性質(zhì) 初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料

初二下目錄

29概念的定義30概念的分類 31勾股定理 32中位線33同一法34 反證法 35兩種對稱36三點共線37不等關(guān)系

38、垂直平行39線段、角相等40線段、角和差倍分41線段的比、積、冪 42形如1/a+1/b=1/c問題的證明43面積法44數(shù)的整除

（二）初三上目錄

45一元二次方程46完全平方式（數(shù)）47配方法48非負(fù)數(shù)49對稱式50 基本對稱式51待定系數(shù)52換元法53 條件等式54整數(shù)解55未知數(shù)多于方程的個數(shù)56列表法57逆推法58觀察法59“或者”“并且”60解三角形

初三下目錄

61函數(shù)的圖象62絕對值63動態(tài)幾何的定值64最大 最小值65圖象法66輔助圓67參數(shù)法證平幾68選擇題(二)69數(shù)的整除(三)70正整數(shù)簡單性質(zhì)的復(fù)習(xí)

n

第三篇：初中數(shù)學(xué)競賽幾何練習(xí)題

初二數(shù)學(xué)競賽基本幾何題

1、如圖1，在△ABC中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。證明∠B=2∠C。

AC

DB

2、如圖2，在△ABC中，AB=AC。D，E分別是BC，AC 上的點。問∠BAD與∠CDE滿足什么條件時，AD=AE。

ABDEC3、如圖3，六邊形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，F(xiàn)A-CD=3。求BC+DE 的值。

FAEDB

4.如圖4，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC。證明BD2 =AB2 +BC

2AC

DCB

5、如圖5，P是△ABC邊BC上一點，PC=2PB。已知∠ABC=450，∠APC=600。求∠ACB 的度數(shù)。

AB

PC

6、如圖6中，在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊向外作等邊三角形△ABD。問∠ACB為多少度時，點C與點D的距離最大？

CABD

7、如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC，延長AB到D，延長CA到E，連DE，有AD=BC=CE=DE。證明：∠BAC=100°。

EABD第七題C

8、如圖8，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AB=√2，AD=√6，AC=√26。求∠ABC的度數(shù)。

AC

B

D9、如圖9，在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH，AD⊥BC于D。延長DA 交FH于M。證明：FM=HM。

10、如圖10，P，Q，R分別是等邊△ABC三條邊的中點。M是BC上一點。以MP為一邊在BC同側(cè)作等邊△PMS。連SQ。證明 RM=SQ.ASPQB

RMC

11、如圖11，在四邊形ABCD 中，AB=a，AD=b，BC=CD.對角線AC平分∠BAD。問a與b符合什么條件時，有∠D+∠B=180°

DCAB

12、如圖12，在等腰△ABC中，AD是邊BC 上的中線，E是△ADB內(nèi)任一點，連 AE，BE，CE。證明：∠AEB＞∠AEC。

AEB13、如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，DC

∠BCD=120°證明：BC+CD=AC。

ABCD

14、如圖14，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，點M在AB上，點N在AC上。已知∠MDN=90°，BM2+CN2=DM2+DN2。證明：AD2= 1/4（AB2+AC2）

ANMBDC

15、如圖，在△ABC中，∠A=90°AD垂直BC交于D，∠BCA的平分線交AD于F，交AB于E，F(xiàn)G∥BC，交AB于G，AE=4，AB=14，求BG的長。

CDFA

16．如圖Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE垂直BD交BD延長線于E，過A作AH⊥BC交BD于M，試猜想BM與CE的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

EGB

CEHDMAB

第四篇：初中幾何動態(tài)教學(xué)初探[原創(chuàng)]

初中幾何動態(tài)教學(xué)初探

“九年義務(wù)教育全日制初級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（試用）”中提出，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的之一：培養(yǎng)學(xué)生良好的個性品質(zhì)和初步辨證唯物主義觀點。良好的個性品質(zhì)是指：正確的學(xué)習(xí)目的，濃厚的學(xué)習(xí)興趣，頑強的學(xué)習(xí)毅力，實事求是的科學(xué)態(tài)度，獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；而初中數(shù)學(xué)中的辨證唯物主義教育因素之一是：數(shù)學(xué)內(nèi)容中，普遍存在的運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點。本文想就初中幾何教學(xué)中如何通過幾何動態(tài)教學(xué)對學(xué)生進行辨證唯物主義思想教育，談?wù)勎业拇譁\認(rèn)識。

我們經(jīng)常會聽到老師和學(xué)生有這樣的反映，幾何難教，幾何難學(xué)?！半y”的原因之一就是圖形關(guān)系復(fù)雜，變化多樣。老師在幾何教學(xué)中演示的圖形都是靜態(tài)的，不能將圖形的任意位置展示給學(xué)生，在給出一個或有限的幾個圖形之后，就將一些重要的幾何規(guī)律簡單地介紹給了學(xué)生。而學(xué)生在作題時，由于圖形位置變化，或位置關(guān)系復(fù)雜，就變得茫然不知所措了，這時老師也開始變得急燥了，覺得概念已講得很清楚了，怎么還不會，幾何難教難學(xué)的矛盾就產(chǎn)生了。

如何解決這個矛盾呢？我想還是要從幾何的精髓問題入手?！皫缀尉褪窃诓粩嘧兓膸缀螆D形中，研究不變的幾何規(guī)律”。比如 圖1

1．不論三角形的位置、大小、形狀和方向如何變化，三角形的3條高線都交于一點（如圖1）； 圖2

2．不論四邊形如何變化，四邊形的四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形（如圖2）等等，不勝枚舉。對于第一個問題，傳統(tǒng)教學(xué)中都是利用尺子作圖，各種情況只作一個圖形，很有限，不能說明問題；對于第二個問題，在以往的教學(xué)中絕大多數(shù)老師都是以例題形式給讓學(xué)生證明。我現(xiàn)在想辦法讓三角形或四邊形任意動起來，讓學(xué)生觀察：三角形的3條高線交于一點；四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形。有了這樣一個感性認(rèn)識，再深入研究就成為自覺自愿的了。學(xué)生從運動的幾何圖形中找出的幾何規(guī)律，印象會很深，而且?guī)缀螆D形有這樣的動態(tài)效果，很容易吸引這些初中學(xué)生，讓他們覺得幾何課有意思，從而愿意上幾何課。

我的這些想法是有理論根據(jù)的，因為運動的觀點是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的一個重要方面，在中學(xué)幾何教學(xué)中應(yīng)加強運動觀點的建立。現(xiàn)代教育理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識不是老師教會的，而是學(xué)生必須經(jīng)過頭腦想象和理解椉唇ü箺才能真正學(xué)會的。老師傳遞給學(xué)生的只是知識信息，學(xué)生通過接收這些信息，聯(lián)系他們頭腦中舊有的知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出他所能理解掌握的新知識，在幾何教學(xué)中，對于那些相對于學(xué)生來說復(fù)雜而又抽象的圖形，需要在老師的引導(dǎo)下，從不斷運動變化的圖形中，從不同的角度反復(fù)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)，找出規(guī)律，“從而建立起學(xué)生自己的‘經(jīng)驗體系’棗即猜想可能的結(jié)論，最后再在老師和書本的幫助下證明猜想的結(jié)論，從而建立起學(xué)生自己的‘邏輯思維體系’。即完成‘在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律’”。

對于一個幾何圖形來說，各種元素之間的位置關(guān)系實際上是處于變化的相互依存的狀態(tài)，動是絕對的，靜是相對的，這就產(chǎn)生了幾何變換。在初中平面幾何中，常見的幾何變換有：全等變換、相似變換和等積變換等。在實際教學(xué)中，要想辦法創(chuàng)造有變有不變的狀態(tài)，讓有利于解題的條件保持不變，而將不利于解題的條件變?yōu)橛欣?，這就是利用運動變化中不變的規(guī)律解題的主要思想。

如何實現(xiàn)讓幾何圖形動起來，讓學(xué)生在“動中找靜”，以往的幾何教學(xué)很難做到，因為在傳統(tǒng)的幾何教學(xué)中，用常規(guī)作圖工具（紙、筆、尺）手工繪制的圖形都是靜態(tài)的，雖然它能教給學(xué)生規(guī)范作圖，但這樣很容易掩蓋極其重要的幾何規(guī)律。有的老師可以制作很精制的投影抽拉片，使部分圖形動起來，卻很難體現(xiàn)圖形的任意性，以及圖形各部分之間的密切聯(lián)系。針對這個問題，我們可利用計算機輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，利用一個軟件工具棗“幾何畫板”制作我們需要的幾何圖形，并使之任意運動和動畫，在圖形不停地變化過程中，讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律，讓學(xué)生認(rèn)識到幾何規(guī)律是實實在在的科學(xué)，不是憑空任意造出來的，要用科學(xué)的頭腦，去分析動態(tài)的幾何圖形，從而得到“靜態(tài)”的幾何規(guī)律。

下面結(jié)合例子來說明如何對初中幾何進行動態(tài)教學(xué)。（主要設(shè)計思路）

例1．初中幾何教材P125 *7.12 和圓有關(guān)的比例線段，這一節(jié)的內(nèi)容是相交弦定理，切割線定理及其推論（即圓冪定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點P，幾何畫板測算PA、PB、PC、PD，并計算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 圖形運動，讓學(xué)生觀察6個乘積，反復(fù)幾次，學(xué)生得出結(jié)論：只有PA*PB=PC*PD(如圖3)圖3：

教師給出相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦, 被交點分成的兩條線段的長的積相等。

要引導(dǎo)學(xué)生證明（略）

2·將D點向B點運動,C、A、B固定，學(xué)生觀察，PD逐漸變短，當(dāng)測算值PD＝0時，同時PB＝0，此時P、B、D三點重合。問學(xué)生結(jié)論是否成立。(如圖4)

圖4：

3．讓AB運動至過圓心時停住，AB為直徑，讓CD任意與AB垂直，此時觀察四個測算值，總有PC＝PD，讓學(xué)生修改結(jié)論PC2 ＝PA*PB。引導(dǎo)學(xué)生用語言敘述：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。(如圖5)圖5：

二．割線定理：

圖6：

將P點運動，在P點從圓內(nèi)到圓外之間反復(fù)運動的過程中，讓學(xué)生觀察6個乘積，發(fā)現(xiàn)依然有PA*PB=PC*PD。引導(dǎo)學(xué)生敘述：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。（注：此處與教材講解順序不一樣，有待探討）。

通過觀察分析，比較圖形，引導(dǎo)學(xué)生歸納出相交弦定理與割線定理的相同點：0 ①定理中的條件都是兩條相交直線分別與圓相交

②定理中的結(jié)論都是兩條直線的交點到各弦兩端的距離之積相等。于是，可以把相交弦定理和割線定理統(tǒng)一如下形式：

兩條相交直線分別與圓相交，則兩直線的交點到各弦兩端的距離之積相等

3、切割線定理

1．將PA繞P點運動，讓學(xué)生觀察A、B重合時，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由學(xué)生修改結(jié)論:PA2 =PC*PD（注：教材上是PT2 ＝PA*PB）(如圖7)圖7：

引導(dǎo)學(xué)生用語言敘述:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

2．將PD繞P點運動,C、D重合時觀察時：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如圖8)圖8： 由學(xué)生修改 PA2 =PC2 ∴PA=PC

正是前面學(xué)過的切線長定理 四．深入討論

進一步引導(dǎo)學(xué)生：點P到各弦兩端的距離之積相等，等于什么？有沒有一般規(guī)律？（這是課本P134習(xí)題T 7.4 B組4）

引導(dǎo)學(xué)生分析當(dāng)點P固定，∵過P點的弦有無數(shù)條，選一條過圓心的弦，即直徑：1．當(dāng)P點在圓內(nèi)時，引導(dǎo)學(xué)生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R2 －OP2

當(dāng)P為定點時, OP和R均為定值(如圖9)圖9：

當(dāng)P點在圓外時, 學(xué)生獨立完成。

圖10：

3．歸納總結(jié):

一直線與半徑為R的⊙0相交, 在直線上取一不在圓周上的點P, 則該點到弦兩端的距離之積是定值│R2-OP2│

告訴學(xué)生:你們和我一起討論并驗證的這個問題實際上是直線與圓這一節(jié)中一個重要定理。一方面不僅使學(xué)生數(shù)學(xué)思維得到發(fā)展，也使他們從中 獲得成功的喜悅；另一方面，可以使學(xué)生從不斷變化的幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不變的幾何規(guī)律。

例2．①同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察重心的位置及重心軌跡（計算機動畫演示）圖：11 觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴不論三角形如何變化，重心永遠在三角形內(nèi)。

⑵同底等高的一組三角形的重心軌跡是一條直線（證明略）。

②同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察垂心的位置及垂心軌跡（計算機動畫演示）

觀察發(fā)現(xiàn)：

⑴銳角三角形的垂心在銳角三角形的內(nèi)部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角頂點處；鈍角三角形的垂心在鈍角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一組三角形垂心的軌跡是一條拋物線。（證明略）等等。

盡管在初中幾何中不涉及軌跡問題，我們也可以不提它，但它確是計算機演示實驗的結(jié)果，可以給學(xué)生看，引起學(xué)生的興趣。

以上是我對初中幾何進行動態(tài)教學(xué)的粗淺看法，得到多名老師的一致認(rèn)可，同時我也給親戚朋友的孩子（初三學(xué)生）進行了課余輔導(dǎo)，效果不錯，這些學(xué)生在做習(xí)題時，大部分首先回憶的是計算機演示的圖形。然后是定理，并很快結(jié)合已知條件做出了習(xí)題。我想這就達到了目的，學(xué)生知道從變化的圖形中找出不變的規(guī)律為自己所用。在介紹知識的同時，滲透了辯證唯物主義思想。文中出現(xiàn)不妥之處，請專家和同行批評指正。

第五篇：八年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料一

八年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料一

一、新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)試題研究：

數(shù)學(xué)試題中的牛吃草問題

近年來，出現(xiàn)了以競賽數(shù)學(xué)為背景的牛吃草問題，許多考生因缺乏必要的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練，而無從下手。為此，本文以具體案例分析為切點，詮釋牛吃草問題的解題策略。

所謂牛吃草問題，源于世界著名科學(xué)家牛頓所著的《普通算術(shù)》一書中的一道題目：

一個牧場，12頭牛4周吃草10/3格爾，21頭牛9周吃草10格爾，問24格爾牧草，多少頭牛18周吃完？（注：格爾——牧場的面積單位）

例1某玩具工廠有四個車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個車間都原有a（a﹥0）個成品，且每個車間每天都生產(chǎn)b（b﹥0）個成品，質(zhì)檢科派出若干名檢驗員星期

一、星期二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有的成品，然后，星期三至星期五檢驗另兩個車間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品，假定每個檢驗員每天檢驗的成品數(shù)相同。

⑴這若干名檢驗員1天檢驗多少個成品？（用含a、b的代數(shù)式表示）⑵試求出用b表示a的關(guān)系式；

⑶若1名質(zhì)檢員1天能檢驗4b/5個成品，則質(zhì)檢科至少要派出多少名檢驗員？

練習(xí)某企業(yè)有九個生產(chǎn)車間，現(xiàn)在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產(chǎn)的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員，他們先用兩天將第一、第二兩個車間的所有成品（指原有的和后來生產(chǎn)的）檢驗完畢后，再去檢驗第三、第四兩個車間的所有成品，又用去了三天時間；同時，用這五天時間，B組檢驗員邊檢驗完余下的五個車間的所有成品，如果每個檢驗員的檢驗速度一樣快，每個車間原有的成品為a件，每個車間每天生產(chǎn)b件成品。

⑴試用a、b表示B組檢驗員檢驗的成品總數(shù)；⑵求出B組檢驗員人數(shù)。（答案依次為5a+25b件，12人）

二、新課標(biāo)下的中考數(shù)學(xué)試題研究

例2在車站開始檢票時，有a（a﹥0）名旅客在候車室排隊等候檢票進站。檢票開始后，仍有旅客繼續(xù)前來排隊檢票進站。設(shè)旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的。若開放一個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內(nèi)將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？

例3某地防汛部門為做好當(dāng)年的防汛工作，根據(jù)本地往年汛期特點和當(dāng)年氣象信息分析，利用當(dāng)?shù)匾凰畮斓乃空{(diào)節(jié)功能，制訂當(dāng)年的防汛計劃：

從6月10日零時起，開啟水庫1號入水閘蓄水，每天經(jīng)過1號水閘流入水庫的水量為6萬立方米；從6月15日零時起，打開水庫的泄水閘泄水，每天從水庫流出的水量為4萬立方米；從6月20日零時起再開啟水庫2號入水閘，每天經(jīng)過2號入水閘流入水庫的水量為3萬立方米；到6月30日零時起，入水閘和泄水閘全部關(guān)閉。根據(jù)測量，6月10日零時，該水庫的蓄水量為96萬立方米。⑴ 設(shè)開啟2號入水閘后的第x天的零時，水庫的蓄水量為y萬立方米，寫出y（萬立方米）與x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式（只要求寫出解析式）；⑵ 如果該水庫的最大蓄水量為200萬立方米，該地防汛部門的當(dāng)年汛期（到6月30日零時）的防汛計劃能否保證水庫的安全（水庫的蓄水量不超過的最大蓄水量）？請說明理由。

[問題]

由于打字員的辭職，一個公司積壓了一批需要打印的材料，而且每天還要新增加固定數(shù)量需要打印的材料。假設(shè)材料以頁計數(shù)，每個打字員的打字速度是相

同的，固定的（單位可以是頁/天）。如果公司聘任5名打字員，24天就恰好打完所有材料；如公司聘任9名打字員，12天就恰好打完所有材料?，F(xiàn)在公司聘任了若干名打字員，工作8天之后，由于業(yè)務(wù)減少，每天新增加的需打印的材料少了一半，結(jié)果這些打字員共用40天才恰好完成打字工作。試問公司聘任了多少名打字員？