第一篇:推理與證明單元卷
第二、三章綜合練習(xí)
b2b2b2b21.若a>0,b>0,則有()A.b-a<2b-aC.≥2b-aD.2b-a aaaa
2.F(n)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,若F(k)(k∈N*)真,則F(k+1)真,現(xiàn)已知F(7)不真,則有:①F(8)不真;②F(8)真;③F(6)不真;④F(6)真;⑤F(5)不真;⑥F(5)真.其中為真命題的是()
A.③⑤B.①②C.④⑥D(zhuǎn).③④
3.對(duì)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)定義它們之間的一種“距離”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.給出下列三個(gè)命題:①若點(diǎn)C在線段AB上,則||AC||+||CB||=||AB||;②在△ABC中,若∠C=90°,則||AC||2+||CB||2=||AB||2;③在△ABC中,||AC||+||CB||>||AB||.其中真命題的個(gè)數(shù)為()
A.0B.1C.2D.3
abcd4.已知a,b,c,d是正實(shí)數(shù),P=+++,則有()a+b+ca+b+dc+d+ac+d+b
A.0
5.一個(gè)等差數(shù)列{an},其中a10=0,則有a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(1≤n≤19).一個(gè)等比數(shù)列{bn},其中b15=1.類(lèi)比等差數(shù)列{an}有下列結(jié)論,正確的是()
A.b1b2?bn=b1b2?b29-n(1≤n≤29,n∈N*)B.b1b2?bn=b1b2?b29-n
C.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b29-n(1≤n≤29,n∈N*)D.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b29-n
111116.設(shè)S(n)=+S(n)共有項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),S(2)=nn+1n+2n+3n7.按照如下的規(guī)律:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),?,第104個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)字之和為_(kāi)_______.
18.證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有x4+y4(x+y)2.2
9.若函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使f(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。
10.已知函數(shù)f(n)(n∈N*),滿足條件:①f(2)=2,②f(xy)=f(x)·f(y),③f(n)∈N*,④當(dāng)x>y時(shí),有f(x)>f(y).
(1)求f(1),f(3)的值;(2)由f(1),f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式;(3)證明猜想的f(n)的解析式的正確性.
第二篇:推理與證明
第3講 推理與證明
【知識(shí)要點(diǎn)】
1.歸納推理:由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理
2.類(lèi)比推理是從特殊到特殊的推理,是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類(lèi)比的性質(zhì)相似性越多,相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān),從而類(lèi)比得出的結(jié)論就越可靠。3.類(lèi)比推理的一般步驟:
①找出兩類(lèi)事物之間的相似性或者一致性。
②用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想)【典型例題】
1、(2011?江西)觀察下列各式:7=49,7=343,7=2401,?,則7
34201
1的末兩位數(shù)字為()
A、01 B、43 C、07 D、49
2、(2011?江西)觀察下列各式:5=3125,5=15625,5=78125,?,則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125
3、(2010?臨潁縣)平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行,由此類(lèi)比思維,我們可以得到()A、空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行
4、(2007?廣東)設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合,在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”(即對(duì)任意的a,b∈S,對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng))有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是()
A、(a*b)*a=a B、[a*(b*a)]*(a*b)=a C、b*(b*b)=b D、(a*b)*[b*(a*b)]=b
5、(2007?廣東)如圖是某汽車(chē)維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖.公司在年初分配給A,B,C,D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A,B,C,D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40,45,54,61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行,那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為()
A、15 B、16 C、17 D、18
6、(2006?陜西)為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()A、4,6,1,7 B、7,6,1,4 C、6,4,1,7 D、1,6,4,7
7、(2006?山東)定義集合運(yùn)算:A⊙B={z︳z=xy(x+y),x∈A,y∈B},設(shè)集合A={0,1},B={2,3},則集合A⊙B的所有元素之和為()
A、0 B、6 C、12 D、18
7201
1的末四位數(shù)字為()
8、(2006?遼寧)設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算,A是V的非空子集,若對(duì)任意a,b∈A,有a⊕b∈A,則稱(chēng)A對(duì)運(yùn)算⊕封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無(wú)理數(shù)集
9、(2006?廣東)對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)和(c,d),規(guī)定:(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“?”為:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);運(yùn)算“⊕”為:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)=()A、(4,0)B、(2,0)C、(0,2)D、(0,-4)
10、(2005?湖南)設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則f2005(x)=()
A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx
11、(2004?安徽)已知數(shù)列{an}滿足a0=1,an=a0+a1+?+an-1,n≥
1、,則當(dāng)n≥1時(shí),an=()A、2 B、n
C、2 D、2-
1n-1n
12、若數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N*),則a17=()
A、1 B、2 C、D、2-987
13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”,有,則運(yùn)用歸納推理得到第11 行第2個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))為()A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)1 234 567×9+8=()
1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111.
A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113
15、將n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表,根據(jù)規(guī)律,從2008到2010,箭頭方向依次是()
A、B、C、D、16、下列推理過(guò)程利用的推理方法分別是()(1)通過(guò)大量試驗(yàn)得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5;(2)函數(shù)f(x)=x2-|x|為偶函數(shù);
(3)科學(xué)家通過(guò)研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼. A、演繹推理,歸納推理,類(lèi)比推理 B、類(lèi)比推理,演繹推理,類(lèi)比推理 C、歸納推理,合情推理,類(lèi)比推理 D、歸納推理,演繹推理,類(lèi)比推理
17、下列表述正確的是()①歸納推理是由部分到整體的推理; ②歸納推理是由一般到一般的推理; ③演繹推理是由一般到特殊的推理; ④類(lèi)比推理是由特殊到一般的推理; ⑤類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理. A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤
18、在古希臘,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,?這些數(shù)叫做三角形數(shù),因?yàn)檫@些數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形,則第n個(gè)三角形數(shù)為()A、n B、1、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律,第五個(gè)等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81.
2、(2011?陜西)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?
照此規(guī)律,第n個(gè)等式為 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 .
C、n-1 D、2
第三篇:推理與證明
推理與證明
學(xué)生推理與證明的建立,是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程的開(kāi)始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語(yǔ)時(shí)候起,小孩在爸爸媽媽跟前不停的問(wèn)為什么,可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué),教材里也有簡(jiǎn)單的說(shuō)理,小學(xué)教材里有簡(jiǎn)單地說(shuō)理題,意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。
初中新教材對(duì)推理與證明的滲透,也是從說(shuō)理開(kāi)始的,但內(nèi)容比較少,也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理,也就是證明。剛開(kāi)始推理的步驟,是簡(jiǎn)單的兩三步,接著到四五步,后面還一定要求學(xué)生寫(xiě)清楚為什么。在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容的時(shí)候,好多學(xué)生在后面的括號(hào)里不寫(xiě)為什么,我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過(guò)程,一個(gè)小孩剛開(kāi)始學(xué)走路的時(shí)候,需要大人或其他可依附的東西,漸漸地,她會(huì)脫離工具自己走。學(xué)習(xí)證明的過(guò)程亦如此,起先在括號(hào)里寫(xiě)清為什么,并且只是簡(jiǎn)單的幾步,然后證明比較難一點(diǎn)的,步驟比較多的。
隨著社會(huì)的進(jìn)步,中學(xué)教材加強(qiáng)了解析幾何、向量幾何,傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊,并且教材對(duì)這一部分的編排分散在初中各個(gè)年級(jí),直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對(duì)稱(chēng)變換,投影等內(nèi)容。老師們對(duì)內(nèi)容的編排不太理解,看了專(zhuān)家的講座,漸漸明白了:這樣編排不是降低了推理能力,而是加強(qiáng)了推理能力的培養(yǎng),體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過(guò)程,把變換放到中學(xué),加強(qiáng)了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一,但一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)是,對(duì)演繹推理確實(shí)弱了。
關(guān)于開(kāi)展課題學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)
新課程教材編排了課題學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,對(duì)授課的老師,還是學(xué)生的學(xué)習(xí)都是一個(gè)全新的內(nèi)容,怎樣上好這部分內(nèi)容,對(duì)老師、對(duì)學(xué)生而言,都是一個(gè)創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。至于課題學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)方式,到現(xiàn)在為止,大多數(shù)省份還是一個(gè)空白,考不考?怎樣考?學(xué)習(xí)它吧,學(xué)習(xí)的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來(lái),于是,好多老師對(duì)這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習(xí)吧,課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺(jué)得,課題學(xué)習(xí)是對(duì)某一個(gè)問(wèn)題專(zhuān)門(mén)研究,很深!老師不知講到什么程度才合理,學(xué)生不知掌握到什么程度。
經(jīng)過(guò)幾年的實(shí)踐與這次培訓(xùn)的認(rèn)識(shí),我覺(jué)得課題學(xué)習(xí)是“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式,是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的,具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí),課本的編寫(xiě)者安排的主要目的是:
1.希望為學(xué)生提供更多的實(shí)踐與探索的機(jī)會(huì)。
2.讓學(xué)生通過(guò)對(duì)有挑戰(zhàn)性和綜合性問(wèn)題的解決,經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程。
3.讓學(xué)生獲得研究問(wèn)題地方法和經(jīng)驗(yàn),使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識(shí)和能力得到發(fā)展。
4.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,以及解決問(wèn)題的成功喜悅,增進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。
5.使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)成為生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。
課題學(xué)習(xí)首先提出一個(gè)主問(wèn)題(問(wèn)題是一個(gè)載體),然后給出資料,利用資料挖掘知識(shí)。在這個(gè)過(guò)程中,多關(guān)注知識(shí)的價(jià)值,淡化數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ),讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程,激發(fā)學(xué)生參與的熱情,使其體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣,始終以學(xué)生為主體,明白課題學(xué)習(xí)是為學(xué)習(xí)服務(wù)的。
第四篇:推理與證明
推理與證明
1. 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師,單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢,第二個(gè)
圖有7個(gè)蜂巢,第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢,按此規(guī)律,以f(n)
表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37
__;f(n)=_3n2?3n?
1__________.2.下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的一列“樹(shù)型”圖:
設(shè)第n個(gè)圖有an個(gè)樹(shù)枝,則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是.
答案:an?1?2an?
2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(diǎn)(即不相交于一點(diǎn)),則這n條直線將平面分成了幾部分。
3.類(lèi)比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)?1,?2,使得a??1e1??2e2”,寫(xiě)出空間向量基本定理是.
如果e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量,那么對(duì)于空間內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)
????????
?1,?2,?3,使得a??1e1??2e2??3e
34.寫(xiě)出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是: 大前提. 小前提結(jié)論
滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù),大前提
f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x),小前提
所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù).結(jié)論5. 已知f(n)?1? 答案:
12?
1k
?
???
1n
(n?N),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?
?
n
n2
時(shí),f(2k?1)?f(2k)
等于.
?
12?2
k
???
k?1
6lg1
.5?3a?
b?clg12?1?a?2b
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?
+n2=
n
?
n2,則當(dāng)n=k+1時(shí)左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加
上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)
8?
?m,n成立的條件不
等式.
當(dāng)m?n?20
9.在數(shù)列?an?中,a1?2,an?1?
答案:an?10.
26n?
5an3an?1
(n?N),可以猜測(cè)數(shù)列通項(xiàng)an的表達(dá)式為?
.
若三角形內(nèi)切圓的半徑為r,三邊長(zhǎng)為a,b,c,則三角形的面積等于S?
r(a?b?c),根據(jù)類(lèi)比推理的方法,若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R,四個(gè)面的面積分別是
V?. S1,S2,S,S,則四面體的體積3
4答案:R(S1?S2?S3?S4)
11.已知f(x)?ax?
x?2x?1
(a?1),證明方程f(x)?0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根,則x0?0且x0??1且ax??
?0?a
x0
x0?2x0?1,?1?0??
x0?2x0?1
解得?1,12
這與x0?0矛盾,故方程f(x)?0?x0?2,沒(méi)有負(fù)數(shù)根.12.已知命題:“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列,且an?
0,則數(shù)列bn?
n?N)
?
也是等
比數(shù)列”.類(lèi)比這一性質(zhì),你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)?并證明你的結(jié)論.
解:類(lèi)比等比數(shù)列的性質(zhì),可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是:若數(shù)列?an?是等差數(shù)列,則數(shù)列bn?
a1?a2???an
n
也是等差數(shù)列.
n(n?1)d
2n
?a1?
d2(n?1)
證明如下:
設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d,則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項(xiàng),13.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立.
(1)當(dāng)n?1時(shí),由以上可知等式成立;
(2)假設(shè)當(dāng)n?k時(shí),等式成立,即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當(dāng)n?k?1時(shí),1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?
a1?a2???an
n
na1??,d2
為公差的等差數(shù)列.
n?
n
對(duì)一切正整數(shù)n
k?
k,22222222
222222
k?(2k?1)·
k(k?1)
?
(k?1)?
(k?1)
.
由(1)(2)知,等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立.
14.用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.2×1+11+2
(1)當(dāng)n=1時(shí),4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除, ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時(shí),42n+1+3n+2能被13整除.15.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù),不等式(1+
2n?12
13)(1+)?(1+
112n?1)>
均成立.43
(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=;右邊=
.∵左邊>右邊,∴不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立,即(1+)(1+)?(1+
12k?1)>
2k?12
12k?1
.12(k?1)?1
]
則當(dāng)n=k+1時(shí),(1+)(1+)?(1+>
2k?12)>[1?
4k
2k?1
·
2k?22k?1
=
2k?222k?1
=
4k
?8k?4
>
?8k?3
=
2k?3
=
2(k?1)?1
.22k?122k?122k?1
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)(2)知,對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明:不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,當(dāng)n>1,n∈N*且a、b、c互不相
等時(shí),均有:an+cn>2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列,a=∴a+c=
n
n
bq,c=bq(q>0且q≠1),bq
nn
+bnqn=bn(1q
n
+qn)>2bn.a
n
(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列,則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=2時(shí),由2(a+c)>(a+c),∴②設(shè)n=k時(shí)成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),>
?c
2n
>(a?c2)n(n≥2且n∈N*)
a
?c2
?(a?c2)
a
k
?c2
k?
1k
?(?1
4a?c2),k
a
k?1
?c2
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
a?c2
(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)>()k·(a?c2)=(a?c2)k+1
17.平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓把平面分成n?n?2個(gè)部分。
證明:(1)當(dāng)n?1時(shí),一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域,而12?1?2?2,命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即k個(gè)圓把平面分成k?k?2個(gè)區(qū)域.
當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧,而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分,因此增加了2k個(gè)區(qū)域,共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個(gè)區(qū)域. ∴n=k+1時(shí),命題也成立.
由(1)、(2)知,對(duì)任意的n∈N*,命題都成立.
18.如圖(1),在三角形ABC中,AB?AC,若AD?BC,則AB2?BD·BC;若類(lèi)比該命題,如圖(2),三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論?命題是否是真命題.
解:命題是:三棱錐A?BCD中,AD?面ABC,若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影
為M,則有S△?S△BCM·S△BCD是一個(gè)真命題. ABC證明如下:
在圖(2)中,連結(jié)DM,并延長(zhǎng)交BC于E,連結(jié)AE,則有DE?BC. 因?yàn)锳D?面ABC,所以AD?AE. 又AM?DE,所以AE2?EM·ED. 于是S
△ABC
?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD. ?2??2??2?
19. 已知數(shù)列{an}中,Sn是它的前n項(xiàng)和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,?),a1=1.(1)設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)設(shè)cn=
an2
n
(n=1,2,?),求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.(1)∵ Sn+1=4an+2,∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知,數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.(2)由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=
an2
n
(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=
an?12
n?1
an2
n
=
an?1?2an
n?1
=
bn2
n?1
.34
將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知,數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列,它的首項(xiàng)c1=
a12
=,故cn=n-(n=1,2,?).131
第五篇:推理與證明
“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理?!巴评砼c證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。推理與證明貫穿于數(shù)學(xué)的整個(gè)體系,它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn),是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納,并對(duì)后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。
學(xué)生將通過(guò)對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧,進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異;體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn),了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法(如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法)和間接證明的方法(如反證法);感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用,養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。
《新標(biāo)準(zhǔn)》要求學(xué)生“能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等獲得數(shù)學(xué)猜想,并進(jìn)一步尋求證據(jù)、給出證明或舉出反例?!币簿褪且髮W(xué)生在獲得數(shù)學(xué)結(jié)論時(shí)要經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過(guò)程。合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)---猜想---證明”,因而關(guān)注合情推理能力的培養(yǎng)實(shí)際上就是希望教師能夠重視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的探究和創(chuàng)新精神。