第一篇：2013年高三第二輪復(fù)習(xí)專題測試題(11)(數(shù)學(xué)-不等式的性質(zhì)與證明)（推薦）

第11講 不等式的性質(zhì)與證明

1． 已知a,b是正實(shí)數(shù)，則不等式組??x?y?a?b,?x?a,是不等式組?成立的（B）

?xy?ab?y?b

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充分且必要條件

2．如果?1?a?b?0，則有（D）既不充分又不必要條件（A）

11??b2?a2ba

1122（C）??b?aab（A）

3．若x?0,y?0且11??a2?b2ba1122（D）??a?b ab（B）19??1，則x?y的最小值是（C）xy

（A）6（B）12（C）16（D）2

44．實(shí)數(shù)x,y滿足x2?2y2?6，則xy的最大值是（A）

（A）（B）?（C）2（D）?

2225．設(shè)實(shí)數(shù)m、n、x、y滿足m?n?a，x2?y2?b，其中a、b為正的常數(shù)，則mx?ny 的最大

值是_____ab________

6．實(shí)系數(shù)方程x?ax?2b?0一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則2b?2的取值范圍是a?

11(,1)

47．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意的實(shí)數(shù)m、n，都有f(m+n)= f(m)f(n)成立，且對x>0時(shí)，有f(x)?1成立．

（1）證明：f(0)=1，且當(dāng)x<0時(shí)，有0?f(x)?1成立；

（2）證明：函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)；

證明：

（1）令m?0,.n?1?f(1)?f(0)f(1)，由已知f(1)?0 ,所以f(0)?1.當(dāng)x?0時(shí)，?x?0 ,f(0)?f(x)f(?x)?1?f(x)?1, f(?x)

由f(?x)?1?0?f(x)?1.（2）任取x1,x2?R,x1?x2

f(x1)?f(x2)?f[(x1?x2)?x2]?f(x2)?f(x1?x2)f(x2)?f(x2)?f(x2)[f(x1?x2)?1]?0.所以f(x1)?f(x2)得證

8．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f(x)=2ax+（Ⅰ）求f(x)的解析式； 1（a∈R)． x

1,x?(0,??)時(shí),求證：[f(x)]n?f(xn)?2n?2.(n?N*)． 2

1解：（Ⅰ）設(shè)x∈(0，+∞)，則－x∈(－∞，0)，f(－x)=－2ax－， x

1∵f(x)是奇函數(shù).∴f(x)= － f(－x)=2ax+，x∈(0，+∞).x（Ⅱ）當(dāng)a?

又f(0)= f(－0)= － f(0), ∴f(0)=0,1??2ax?(x?0),?f(x)??x?(x?0).?0

（Ⅱ）當(dāng)a?11時(shí)，f(x)?x?.則 2x

11[f(x)]n?f(xn)?(x?)n?(xn?n)xx 111n?12n?2n?1?C1x??Cx????Cnnnx?n?12xxx

n?22n?4?1?C1?Cnx???Cn

nxn1xn?2.n?2n?4n?1令S?C1?C2???Cnnxnx

?1又S?Cn

n1xn?2，1xn?2?2?Cnn1xn?4n?2???C1x,所以n

n?22S?C1?n(xxn?4)?C2?n(xn?21x?1)???Cn

n(n?411xn?2?xn?2)

2n?1?2(C1

n?Cn???Cn)

?2(2n?2)

?C1nC2n?1??Cnn

?[f(x)]n?f(xn)?2n?2

第二篇：高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案 不等式的問題 人教版

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案 不等式問題的題型與方法三

（3課時(shí)）

一、考試內(nèi)容

不等式，不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明，不等式的解法，含絕對值不等式

二、考試要求

1．理解不等式的性質(zhì)及其證明。

2．掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。

3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。4．掌握簡單不等式的解法。

5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。

三、復(fù)習(xí)目標(biāo)

1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計(jì)算能力； 2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式；

3．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；

4．通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；

5．能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題．

6．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．

四、雙基透視

1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰．

2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．

3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．通過復(fù)習(xí)，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．

4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)．

5．證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進(jìn)作用．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．

6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．

7．不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問

用心 愛心 專心

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題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。

8．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件．利

0000用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：1審題，2建立不等式模型，3解數(shù)學(xué)問題，4作答。

五、注意事項(xiàng)

1.解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸，一般都轉(zhuǎn)化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解。

2.解含參數(shù)不等式時(shí)，要特別注意數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運(yùn)用。

3．不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。

4．根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。

六、范例分析

b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____．

分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點(diǎn)？ 解：依題可知，本題等價(jià)于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)

(2)當(dāng)1≤y≤3時(shí)，所以當(dāng)y=1時(shí)，xmin=4．

說明：題設(shè)條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認(rèn)清集合元素的本質(zhì)屬性，然后結(jié)合條件，揭示其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)．即求集合M中的元素滿足關(guān)系式

2a2?a?0? 例2．解關(guān)于x的不等式： xx?a?9分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)a進(jìn)行討論，而是去絕對值時(shí)必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)x?a時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為??x?a?x?a 即?222?9x?x?a??2a?9x?9ax?2a?0用心 愛心 專心

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?a?x?3?17a b?x?a?x?a 當(dāng)x?a時(shí)不等式可化為即?2?22?ax(a?x)?2a?9x?9ax?2a?0a2a?x?或?x?a33?2a3?17?a故不等式的解集為(??,???,a?。

336??例3． 己知三個(gè)不等式：①2x?4?5?x

②

x?2?1 ③2x2?mx?1?0 2x?3x?2(1)若同時(shí)滿足①、②的x值也滿足③，求m的取值范圍；

(2)若滿足的③x值至少滿足①和②中的一個(gè)，求m的取值范圍。

分析：本例主要綜合復(fù)習(xí)整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形結(jié)合思想，解本題的關(guān)鍵弄清同時(shí)滿足①、②的x值的滿足③的充要條件是：③對應(yīng)的方程的兩根分別在???,0?和?3,??)內(nèi)。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。解①得A=（-1，3）；解②得B=?0,1)?(2,4?,?A?B??0,1)?(2,3)

（1）因同時(shí)滿足①、②的x值也滿足③，A?B?C 設(shè)f(x)?2x2?mx?1，由f(x)的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時(shí)，即?f(0)?0??1?017即??m??

3?f(3)?0?3m?17?0（2）因滿足③的x值至少滿足①和②中的一個(gè)，?C?A?B,而A?B?(?1,4?因 此C?(?1,4??方程2x2?mx?1?0小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 可滿足A?B?????f(?1)?1?m?0?31?f(4)?4m?31?0,解之得??m?1? 4?m??1???4?4?說明：同時(shí)滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應(yīng)的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內(nèi)，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應(yīng)的方程及圖象是有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系．

例4.已知對于自然數(shù)a，存在一個(gè)以a為首項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，它有兩個(gè)小于1的正根，求證：a≥5．

分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式．設(shè)f(x)=ax+bx+c(a≠0)．①

頂點(diǎn)式．f(x)=a(x-x0)+f(x0)(a≠0)．這里(x0，f(x0))是二次函數(shù)的頂點(diǎn)，x0=?

222用心 愛心 專心

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3))、(x2，f(x2))、(x3，f(x3))是二次函數(shù)圖象上的不同三點(diǎn)，則系數(shù)a，b，c可由

證明：設(shè)二次三項(xiàng)式為：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，a∈N． 依題意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f(0)＞0，f(1)＞0．

又f(x)=ax-a(x1+x2)x+ax1x2為整系數(shù)二次三項(xiàng)式，所以f(0)=ax1x2、f(1)=a·(1-x1)(1-x2)為正整數(shù)．故f(0)≥1，f(1)≥1． 從而

f(0)·f(1)≥1．

① 另一方面，且由x1≠x2知等號不同時(shí)成立，所以

由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．

說明：二次函數(shù)是一類被廣泛應(yīng)用的函數(shù)，用它構(gòu)造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)的表達(dá)形式，是解決這類問題的關(guān)鍵．

例5.設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問：它的前多少項(xiàng)的和最大？ 分析:要求前n項(xiàng)和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列． 解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由Sm=Sn得

ak≥0，且ak+1＜0．

(k∈N)．

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說明：諸多數(shù)學(xué)問題可歸結(jié)為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結(jié)論的關(guān)鍵．

例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應(yīng)先將f(x)的表達(dá)形式寫出來．即可求得f(-2)的表達(dá)式，然后依題設(shè)條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解．

解：因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx．于是

解法一(利用基本不等式的性質(zhì))不等式組(Ⅰ)變形得

(Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數(shù)形結(jié)合)

建立直角坐標(biāo)系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因?yàn)閒(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當(dāng)直線4a-2b-f(-2)=0過點(diǎn)A(2，1)，B(3，1)時(shí)，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而

1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，① 所以

3≤3f(-1)≤6．

② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．

說明：(1)在解不等式時(shí)，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯(cuò)解：

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2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．

(2)對這類問題的求解關(guān)鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，然后依其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質(zhì)，利用不等式的基本性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學(xué)的素養(yǎng)一定會迅速提高．

例7．(2002 江蘇)己知a?0,函數(shù)f(x)?ax?bx2，（1）當(dāng)b?0時(shí)，若對任意x?R都有f?x??1,證明：a?2b;

時(shí)，證明：對任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件是b?1?a?2b；（2）當(dāng)b?1時(shí)，（3）當(dāng)0?b?1討論：對任意x?[0,1]，|f(x)|?1的充要條件。

a2a2)?證明：（1）依題意，對任意x?R，都有f(x)?1.?f(x)??b(x? 2b4baa2?f()??1,?a?0,b?0?a?2b.2b4b（2）充分性：?b?1,a?b?1,對任意x??0,1?,可推出:ax?bx2?b(x?x2)?x

??x??1,即ax?bx2??1;又?b?1,a?2b,對任意x??0,1?,可知

11ax?bx2?2bx?bx2?(2bx?bx2)max?2b??b?()2?1,即ax?bx2?1bb??1?f(x)?1

必要性：對任意x??0,1?,f(x)?1,?f(x)??1,?f(1)??1

1?1?即a?b??1?a?b?1;又?b?1?0??1,由f?x??1知f???1b?b?即a?1?1,?a?2b,故b?1?a?2b b綜上,對任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是b?1?a?2b

（3）?a?0,0?b?1時(shí),對任意x??0,1?,f(x)?ax?bx2??b??1 即f(x)??1;又由f(x)?1知f(1)?1,即a?b?1,即a?b?1

b?12(b?1)2)? 而當(dāng)a?b?1時(shí),f(x)?ax?bx?(b?1)x?bx??b(x? 2b4bb?1?0?b?1,??12b?在?0,1?上,y?(b?1)x?bx2是增函數(shù),故在x?1時(shí)取得最大值1?f(x)?1

22?當(dāng)a?0,0?b?1時(shí),對任意x??0,1?,f(x)?1的充要條件是a?b?1

例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1．

分析：由條件a3+b3=2及待證的結(jié)論a+b≤2的結(jié)構(gòu)入手，聯(lián)想它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構(gòu)造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”． 證法一

(作差比較法)因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

33332222(a＋b)-2=a+b+3ab+3ab-8=3ab+3ab-6

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=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a+b)]=-3(a+b)(a-b)≤0，3即

(a+b)≤23．

證法二

(平均值不等式—綜合法)因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

所以a+b≤2，ab≤1．

說明：充分發(fā)揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮． 證法三

(構(gòu)造方程)設(shè)a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則

因?yàn)閍＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．①

因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以

32所以a+b≤2．

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1．

說明：認(rèn)真觀察不等式的結(jié)構(gòu)，從中發(fā)現(xiàn)與已學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點(diǎn)．

證法四

(恰當(dāng)?shù)呐錅?因?yàn)閍＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)，于是有6≥3ab(a+b)，從而

8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2．(以下略)

即a+b≤2．(以下略)證法六

(反證法)假設(shè)a+b＞2，則

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)．

因?yàn)閍3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1．

①

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另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)·ab＞2ab，所以ab＜1．

② 于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略)說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法．

2例9．設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相

分析：因?yàn)閤∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點(diǎn)確定，故設(shè)f(x)=a(x-x0)+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設(shè)f(x)=a(x-x0)+f(x0)，則又二次方程ax+bx+c=±x無實(shí)根，故

2Δ1=(b+1)-4ac＜0，2

Δ2=(b-1)-4ac＜0．

222所以(b+1)+(b-1)-8ac＜0，即2b+2-8ac＜0，即

b-4ac＜-1，所以|b-4ac|＞1．

說明：從上述幾個(gè)例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題時(shí)，如果針對題設(shè)條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑．

例10．（2002理）某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？

解：設(shè)2001年末的汽車保有量為a1，以后每年末的汽車保有量依次為a2,a3....，每年新增汽車2

x萬輛。

由題意得an?1?0.94an?x即an?1?xx?0.94(an?)0.060.06xx)0.94n?1?0.060.0630令a?60,解得x?(30?)?0.06n n?11?0.94上式右端是關(guān)于n的減函數(shù),且當(dāng)n??時(shí),上式趨于3.6an?(30?故要對一切自然數(shù)n滿足an?60,應(yīng)有x?3.6,即每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛

例11．已知奇函數(shù)f(x)在（??，0）?（0，??）上有定義，在（0，??）上是增函數(shù)，?f(1)?0,又知函數(shù)g(?)?sin2??mcos??2m,??[0,],集合

2M?m恒有g(shù)(?)?0,N?m恒有f(g(?))?0,求M?N ????分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數(shù)知識，通過恰當(dāng)換元，使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

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解?奇數(shù)函數(shù)f(x)在（0，??）上是增函數(shù)，?f（x)在（??，0）上也是增函數(shù)。?g(?)?0?g(?)?0又由f(1)?0得f(?1)??f(1)?0?滿足?的條件是??f(g(?)?0?f(?1)?g(?)??1 即g(?)??（1??（0，]），即sin2??mcos??2m??1,2也即?cos2??mcor??2m?2?0? 令t?cos?,則t?[0,1],又設(shè)?（t)??t2?mt?2m?2,0?t?

1要使?(t)?0,必須使?(t)在[0，1]內(nèi)的最大值小于零

?m?0m01 當(dāng)?0即m?0時(shí)，?(t)max??(0)??2m?2,解不等式組知m?? ??2m?2?02?mm2?8m?802當(dāng)0??1即0?m?2時(shí),?(t)max?,24 ?0?m?2?2解不等式組?m?8m?8?0得4?22?m?2?4??m?2m03當(dāng)?1即m?2時(shí)，?(t)max??m?1,解不等式組?

2??m?1?0得m?2綜上：M??N?mm?4?22??

例12．如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀。

（1）若最大拱高h(yuǎn)為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？（2）若最大拱高h(yuǎn)不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h(yuǎn)和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程最?。?/p>

?lh,柱體體積為：底面積乘以4高，2?1.414，7?2.646本題結(jié)果均精確到0.1米）

（半個(gè)橢圓的面積公式為s=分析：本題為2003年上海高考題，考查運(yùn)用幾何、不等式等解決應(yīng)用題的能力及運(yùn)算能力。解：1)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則P（11，4.5）

x2y2橢圓方程為：2?2?1

ab將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得

447887,此時(shí)l?2a??33.3故隧道拱寬約為33.3米 77x2y21124.522)由橢圓方程2?2?1得2?2?1

abab1124.522?11?4.5?2?2?,?ab?99abab??ab99?1124.521?s?lh??,當(dāng)s最小時(shí)有2?2?

422ab292?a?112,b?此時(shí)l?2a?31.1,h?b?6.42a?故當(dāng)拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時(shí),土方工程量最小.用心 愛心 專心

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例13．已知n∈N，n＞1．求證

分析:雖然待證不等式是關(guān)于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學(xué)歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構(gòu)造數(shù)列的方法進(jìn)行解．

則

說明：因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的思想解決．

x2?2x?2例14．已知函數(shù)f(x)?

x?1?f?x?1??n?fxn?1?2n?2.(2)設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：??

分析：本例主要復(fù)習(xí)函數(shù)、不等式的基礎(chǔ)知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧?；舅悸废葘⒑瘮?shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，利用絕對值不等式的性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)。證明（1）再利用二項(xiàng)展開式及基本不等式的證明（2）。(1)設(shè)〈0x?1,0?t?1,求證：t?x?t?x?f?tx?1?(x?1)2?11?f(tx?1)?tx? 證明：（1）?f(x)?x?1tx111?f(tx?1)?tx??tx??2tx??2,當(dāng)且僅當(dāng)tx?1時(shí)，上式取等號。

txtxtx?0?x?1,0?t?1?tx?1,?f(tx?1)?2

s?(t?x?t?x?2(t2?x2)?2t2?x2?(t?x?t?x)2?2(t2?x2)?2t2?x2 2當(dāng)t?x時(shí),s?4t2?4;當(dāng)t?x時(shí)s?4x2?4

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?t?x?t?x?2?f(tx?1)即t?x?t?x?f(tx?1)

（2）n?1時(shí)，結(jié)論顯然成立

n當(dāng)n?2時(shí)，?f(x?1)??f(x?1)?(x?n1n11112)?(xn?n)?Cnxn?1??Cnxn?2?2?.....xxxx1111n?2n?112n?2n?1?Cnx2?n?2?Cnx?n?1?Cnxn?2?Cnxn?4?......?Cn?n?4?Cn?n?2

xxxx1?1111?2n?1??Cn(xn?2?n?2)?Cn(xn?4?n?4)?....?Cn(xn?2?n?2)? 2?xxx?n?1112n?112?2?(Cn?Cn?...?Cn)?Cn?Cn?...?Cn?2n?2 2??

例15．（2001年全國理）己知i,m,n是正整數(shù)，且1?i?m?n（1）證明：niAm?miAn（2）證明：?1?m?n??1?n?

miiAmm?1m?2m?i?1證明：（1）對于1?i?m,有Am?m.(m?1)......(m?i?1),mi???......mmmmmiAnnn?1n?2n?i?1同理i???......由于m?n,對整數(shù)k?1,2,......,i?1,有

nnnnniiin?km?kAnAmi?,?i?i即miAn?niAm nmnmii（2）由二項(xiàng)式定理有(1?m)?iin?mCii?0nin,(1?n)??niCm,由(1)知miAn?niAm

miiii?0mAAiii(1?i?m?n),而Cn?n,Cm?m?micn?niCm(1?i?m?n)

i!i!因此

i?mCn??niCm,又moCn?noCm?1,mCn?nCm?mn,miCn?0 iiioo11ii?2i?2niimii?0i?0mm(m?i?n)??mCn??niCm即(1?m)n?(1?n)m。

七、強(qiáng)化訓(xùn)練

1．已知非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足2x?3y?8?0且3x?2y?7?0，則x?y的最大值是（）A．78 B． C．2 D． 3 332．已知命題p：函數(shù)y?log0.5(x2?2x?a)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)y??(5?2a)x

是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．1

3224．求a，b的值，使得關(guān)于x的不等式ax+bx+a-1≤0的解集分別是：

(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)． 5． 解關(guān)于x的不等式1?a2x?a?ax(a?0且a?1)

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6．（2002北京文）數(shù)列xn由下列條件確定：x1?a?0,xn?1?（1）證明：對于n?2,總有xn?2??1?a???? x?,n?Nn??2?xn?a,（2）證明：對于n?2,總有xn?xn?1．

7．設(shè)P=(log2x)+(t-2)log2x-t+1，若t在區(qū)間[-2，2]上變動時(shí)，P恒為正值，試求x的變化范圍．

8．已知數(shù)列?an??bn?中，的通項(xiàng)為an,前n項(xiàng)和為sn,且an是sn與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列b1=1，點(diǎn)P（bn,bn+1）在直線x-y+2=0上。Ⅰ）求數(shù)列?an??、bn?的通項(xiàng)公式an,bn Ⅱ）設(shè)?bn?的前n項(xiàng)和為Bn, 試比較

111??...?與2的大小。B1B2BnⅢ）設(shè)Tn=bb1b2??...?n,若對一切正整數(shù)n,Tn?c(c?Z)恒成立,求c的最小值 a1a2an

八、參考答案

1．解：畫出圖象，由線性規(guī)劃知識可得，選D 2．解：命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)x?2x?a的判別式??4?4a?0，從而a?1；命題q為真時(shí)，5?2a?1?a?2。

若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。

若p為真，q為假時(shí)，無解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1

（1）當(dāng)a??1時(shí)，由圖1知不等式的解集為xx?a或?1?x?3（2）當(dāng)?1?a?3時(shí)，由圖2知不等式的解集為xx??1或a?x?3（3）當(dāng)a?3時(shí)，由圖3知不等式的解集為xx??1或3?x?a

4．分析：方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互交通．

2解(1)

由題意可知，a＞0且-1，2是方程ax+bx+a2-1≤0的根，所以

2??????用心 愛心 專心

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(3)由題意知，2是方程ax+bx+a-1=0的根，所以

24a+2b+a-1=0．

①

22又{2}是不等式ax+bx+a-1≤0的解集，所以

2(4)由題意知，a=0．b＜0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以

a=0，b=-1．

說明：二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間相互聯(lián)系相互滲透，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換。

5．分析：在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀，形象的圖象關(guān)系，對含參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，還可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰。

解：設(shè)t?a，原不等式化為1?t2?a?t(t?0)設(shè)y1?1?t2(t?0),y2?a?t，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)圖象 x?y1?y2,故（1）當(dāng)0?a?1時(shí),0?t?1,即0?ax?1?x??0,??)

當(dāng)1?a?2時(shí),如右圖,解方程1?t?a?t得t1,2（2）222a?2?a2?222

?a?2?aa?2?a2?2?aa?2?a?t??x?(loga,loga)22222時(shí)，原不等式的解集為φ（3）當(dāng)a?綜上所述，當(dāng)a?(0,1)時(shí)，解集為?0,??）；當(dāng)a?(1,2)時(shí)，解集為

2?2?a22?2?a2(loga,loga);當(dāng)a?226．證明：（1）x1?a?0及xn?1?(xn??2,??)時(shí)，解集為φ。

12a1aa)知xn?0,從而xn?1?(xn?)?xn??a(n?N?)xn2xnxn?當(dāng)n?2時(shí)xn?a成立

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（2）當(dāng)n?2時(shí)，xn?2a?0,xn?1?1a1a(xn?),?xn?1?xn?(?xn)2xn2xn1a?xn=??0.?n?2時(shí),xn?xn?1成立 2xn7．分析：要求x的變化范圍，顯然要依題設(shè)條件尋找含x的不等式(組)，這就需要認(rèn)真思考條件中“t在區(qū)間[-2，2]上變動時(shí)，P恒為正值．”的含義．你是怎樣理解的？如果繼續(xù)思考有困難、請換一個(gè)角度去思考．在所給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中，右式含兩個(gè)字母x、t，t是在給定區(qū)間內(nèi)變化的，而求的是x的取值范圍，能想到什么？

解：設(shè)P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1．因?yàn)?P=f(t)在top直角坐標(biāo)系內(nèi)是一直線，所以t在區(qū)間[-2，2]上變動時(shí)，P恒為正值的充要條件

解得log2x＞3或log2x＜-1．

說明：改變看問題的角度，構(gòu)造關(guān)于t的一次函數(shù)，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想，使難解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．

8．分析：本題主要復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)、求和及不等式的有關(guān)知識。略解：Ⅰ）an?2n,bn?2n?1

Ⅱ)Bn=1+3+5+?+(2n-1)=n

2?1111111??...??2?2?2?...?2B1B2Bn123n ?1?11111111??..??1?(1?)?(?)?...?(?)1?22?3(n?1).n223n?1n1111?2??2???...??2nB1B2Bn1352n?1 Ⅲ)Tn= ?2?2?...?n①

222211352n?1Tn?2?3?4?...?n?1② 222221111222n?1①-②得Tn??2?3?3?...?n?n?1

222222212n?1134737?Tn?3?n?2??3T??????2

又422223241622n?滿足條件Tn?c的最小值整數(shù)c?3。

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第三篇：高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)計(jì)劃

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)計(jì)劃范文（精選3篇）

時(shí)間流逝得如此之快，新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)向我們走來，該寫為自己下階段的教學(xué)工作做一個(gè)教學(xué)計(jì)劃了，你知道領(lǐng)導(dǎo)想要看到的是什么樣的教學(xué)總結(jié)嗎？以下是小編幫大家整理的高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)計(jì)劃范文，僅供參考，歡迎大家閱讀。

時(shí)下，高三數(shù)學(xué)進(jìn)入第二輪復(fù)習(xí)階段，考生應(yīng)該如何在短短的時(shí)間內(nèi)，科學(xué)安排復(fù)習(xí)，提高效率呢？為此，筆者結(jié)合多年高三的復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提出第二輪復(fù)習(xí)的一些構(gòu)想，以幫助廣大考生和高三老師，對高考數(shù)學(xué)有一個(gè)更新、更全面的認(rèn)識。

一、研究考綱，把準(zhǔn)方向

為更好地把握高考復(fù)習(xí)的方向，教師應(yīng)指導(dǎo)考生認(rèn)真研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試說明》，明確考試要求和命題要求，熟知考試重點(diǎn)和范圍，以及高考數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)。以課本為依托，以考綱為依據(jù)，對于支撐學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)要花大力氣，突出以能力立意，注重考查數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)數(shù)學(xué)理性思維能力發(fā)展的命題指導(dǎo)思想。

二、重視課本，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)

近幾年高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持新題不難，難題不怪的命題方向。強(qiáng)調(diào)對通性通法的考查，并且一些高考試題能在課本中找到“原型”。盡管剩下的復(fù)習(xí)時(shí)間不多，但仍要注意回歸課本，只有透徹理解課本例題，習(xí)題所涵蓋的數(shù)學(xué)知識和解題方法，才能以不變應(yīng)萬變。例如，高二數(shù)學(xué)（下）中有這樣一道例題：求橢圓中斜率為平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程。此題所涉及的知識點(diǎn)、方法在20xx年春季高考、20xx年秋季高考、20xx年秋季高考的壓軸題中多次出現(xiàn)。加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的考查，特別是對重點(diǎn)知識的重點(diǎn)考查；重視數(shù)學(xué)知識的。多元聯(lián)系，基礎(chǔ)和能力并重，知識與能力并舉，在知識的“交匯點(diǎn)”上命題；重視對知識的遷移，低起點(diǎn)、高定位、嚴(yán)要求，循序漸進(jìn)。

有些題目規(guī)定了兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的一種關(guān)系，叫做“接近”，以遞進(jìn)式設(shè)問，逐步增加難度，又以學(xué)生熟悉的二元均值不等式及三角函數(shù)為素材，給學(xué)生親近之感。將絕對值不等式、均值不等式、三角函數(shù)的主要性質(zhì)等恰如其分地涵蓋。注重對資料的積累和對各種題型、方法的歸納，以及可能引起失分原因的總結(jié)。同時(shí)結(jié)合復(fù)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生自己對復(fù)習(xí)過程進(jìn)行計(jì)劃、調(diào)控、反思和評價(jià)，提高自主學(xué)習(xí)的能力。

三、突破難點(diǎn)，關(guān)注熱點(diǎn)

在全面系統(tǒng)掌握課本知識的基礎(chǔ)上，第二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該做到重點(diǎn)突出。需要強(qiáng)調(diào)的是猜題、押題是不可行的，但分析、琢磨、強(qiáng)化、變通重點(diǎn)卻是完全必要的。考生除了要留心歷年考卷變化的內(nèi)容外，更要關(guān)注不變的內(nèi)容，因?yàn)椴蛔兊膬?nèi)容才是精髓，在考試中處于核心、主干地位，應(yīng)該將其列為復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)對主干的考察是保證考試公平的基本措施和手段。同時(shí)，還應(yīng)關(guān)注科研、生產(chǎn)、生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的熱點(diǎn)問題，并能夠用所學(xué)的知識進(jìn)行簡單的分析、歸納，這對提高活學(xué)活用知識的能力就大有裨益。

四、查漏補(bǔ)缺，鞏固成果

在每一次考試或練習(xí)中，學(xué)生要及時(shí)查找自己哪些地方復(fù)習(xí)不到位，哪些知識點(diǎn)和方法技能掌握不牢固，做好錯(cuò)題收集與診斷，并及時(shí)回歸課本，查漏補(bǔ)缺，修正不足之處，在糾正中提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)行鞏固練習(xí)，取得很好的效果。學(xué)生制定復(fù)習(xí)計(jì)劃不宜貪多求難，面對各種各樣的習(xí)題和試卷，應(yīng)該選擇那些適合自己水平的習(xí)題去做，并逐步提高能力，通過反思達(dá)到理清基礎(chǔ)知識、掌握基本技能、鞏固復(fù)習(xí)成果的目的。

五、重組專題，歸納提升

第一輪復(fù)習(xí)重在基礎(chǔ)，指導(dǎo)思想是全面、系統(tǒng)、靈活，抓好單元知識，夯實(shí)“三基”。第二輪復(fù)習(xí)則重在專題歸類和數(shù)學(xué)思想方法訓(xùn)練，把高中的主干內(nèi)容明朗化、條理化、概念化、規(guī)律化，明確數(shù)學(xué)基本方法。為此，第二輪復(fù)習(xí)以專題的形式復(fù)習(xí)，注重知識間的前后聯(lián)系，深化數(shù)學(xué)思想，重視能力的提升。

總之，在第二輪復(fù)習(xí)中，只有理解與領(lǐng)悟知識，重視產(chǎn)生知識過程中形成的方法與思想，才能形成內(nèi)化能力并靈活運(yùn)用知識。只有關(guān)注知識間的交匯與融合，才能在解題時(shí)游刃有余，才能達(dá)到高考考查學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和未來運(yùn)用知識發(fā)展自己的能力的目的，這也正是高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的主要目標(biāo)。

專題復(fù)習(xí)中的綜合訓(xùn)練題不是越難越好，越多越好，而是要精選精練，悟出其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。專題復(fù)習(xí)不是簡單的回憶，而是知識的串聯(lián)和數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的綜合。專題復(fù)習(xí)中要注重提高分析和解決問題的能力，在解“新”題上鍛煉自己的應(yīng)變能力，不要背題型，套用解題方法，要具體問題具體分析。

1、研究高考大綱與試題，明確高考方向，有的`放矢

對照《考試大綱》理清考點(diǎn)，每個(gè)考點(diǎn)的要求屬于哪個(gè)層次；如何運(yùn)用這些考點(diǎn)解題，為了理清聯(lián)系，可以畫出知識網(wǎng)絡(luò)圖。

2、仍舊注重基礎(chǔ)

解題思路是建立在扎實(shí)的基礎(chǔ)知識條件上的，再難的題目也無非是基礎(chǔ)知識的綜合或變式。復(fù)習(xí)過程中，一定要吃透每一個(gè)基本概念，對于課本上給出的定理的證明，公式的推導(dǎo)，重點(diǎn)掌握。

3、針對典型問題進(jìn)行小專題復(fù)習(xí)

小專題復(fù)習(xí)要依據(jù)高考方向，研究近幾年出題考點(diǎn)和題型，針對實(shí)際練習(xí)考試中出現(xiàn)的某一類問題，可在老師或者課外輔導(dǎo)的幫助下，總結(jié)類型并針對練習(xí)，這種方法一般時(shí)間短、效率高、針對性好、實(shí)用性強(qiáng)。

4、注意方法總結(jié)、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化通法通解

我們可以把數(shù)學(xué)思想方法分類，更好的指導(dǎo)我們的學(xué)習(xí)。一是具體操作方法，解題直接用的，比如說常見的換元法，數(shù)列求和的裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減法，特殊值法等；二是邏輯推理法，比如證明題所用的綜合法、分析法、反證法等；三是宏觀指導(dǎo)意義的數(shù)學(xué)思想方法，比如數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等。我們把這些思想方法不斷的滲透到平時(shí)的學(xué)習(xí)中和做題中，能力會在無形中得到提高的。

5、針對實(shí)際情況，有效學(xué)習(xí)

對于基礎(chǔ)不太好的，可以重點(diǎn)抓選擇前8個(gè)、填空前2個(gè)、解答題前3個(gè)以及后面題的第一問；基礎(chǔ)不錯(cuò)的，可以適當(dāng)關(guān)注與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的中學(xué)數(shù)學(xué)問題。

6、培養(yǎng)應(yīng)試技巧，提高得分能力

考試時(shí)要學(xué)會認(rèn)真審題，把握好做題速度，碰到不會的題要學(xué)會舍棄，有失才有得，回過頭來再看之前的題，許多時(shí)候會有豁然開朗的感覺。

第二輪復(fù)習(xí)，教師必須明確重點(diǎn)，對高考考什么，怎樣考，應(yīng)了若指掌。只有這樣，才能講深講透，講練到位。

二輪復(fù)習(xí)中要進(jìn)行模擬練習(xí)并提高模擬練習(xí)效果，模擬練習(xí)效果直接關(guān)系到最后的成績。

（1）明確模擬練習(xí)的目的。考生一要檢測知識的全面性，方法的熟練性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，發(fā)現(xiàn)自己的某些不足或空白，以求復(fù)習(xí)時(shí)有的放矢；二要在平時(shí)考試中練就考試技能技巧，學(xué)會合理安排時(shí)間，達(dá)到既快又對；三要提高應(yīng)試的心理素質(zhì)，能夠在任何狀況下都心態(tài)平和，保證大腦對試題的興奮度。

（2）嚴(yán)格有規(guī)律地進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練。二輪復(fù)習(xí)時(shí)間緊，任務(wù)重，學(xué)生要進(jìn)行限時(shí)訓(xùn)練，特別是強(qiáng)化對解答選擇題、填空題的限時(shí)訓(xùn)練，并在速度體驗(yàn)中提高正確率，將平時(shí)考試當(dāng)作高考，嚴(yán)格按時(shí)完成。

（3）先做練習(xí)后看答案。模擬練習(xí)時(shí)應(yīng)該先模擬高考完成整套練習(xí)，最后對照答案給自己打分，甚至可以記錄時(shí)間及分?jǐn)?shù)，感受自己進(jìn)步的過程。邊看答案邊做練習(xí)的過程是很難使自己的能力得到提升的。

（4）注重題后反思。出現(xiàn)問題不可怕，可怕的是不知道問題的存在。對錯(cuò)題從各種角度反復(fù)處理，爭取相同的錯(cuò)誤只犯一次及時(shí)處理問題，爭取問題不過夜。

高三文科數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)課程實(shí)施：

備考復(fù)習(xí)資料編寫要求：

1、科學(xué)性：知識必須準(zhǔn)確無誤，表述要嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)；試題要精選，要緊扣提綱，不能有偏、怪、錯(cuò)題。

2、系統(tǒng)性：條理清楚，有利于學(xué)生復(fù)習(xí)、鞏固和練習(xí)，有利于教師課堂教學(xué)及反饋指導(dǎo)。

3、針對性：針對本校、本年級學(xué)生實(shí)際，所選例題、練習(xí)題，及針對性訓(xùn)練應(yīng)有層次性以適宜不同班學(xué)生的需求。所有例題、練習(xí)題及專題都應(yīng)有答案提示。

4、分文、理科編寫。每個(gè)專題在實(shí)際實(shí)施前兩周將電子稿件與文本一并提交編寫組討論，實(shí)施前一周打印分發(fā)。

應(yīng)試復(fù)習(xí)教學(xué)要求：

1）關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展。

2）關(guān)注學(xué)生獲取知識的質(zhì)量。

3）關(guān)注學(xué)生應(yīng)用知識的靈活性和綜合性。

4）關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)能力的形成。

5）關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的形成。

6）關(guān)注學(xué)生個(gè)人情感發(fā)展與個(gè)性思維品質(zhì)的形成。

7）關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)、學(xué)習(xí)情緒、應(yīng)試心理。

8）關(guān)注對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的反饋指導(dǎo)與個(gè)別輔導(dǎo)。

第四篇：高三數(shù)學(xué)(理科)二輪復(fù)習(xí)-不等式

2014屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)

第3講 不等式

一、本章知識結(jié)構(gòu)：

實(shí)數(shù)的性質(zhì)

二、高考要求

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明。

（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會簡單應(yīng)用。

（3）分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。

（4）掌握某些簡單不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、熱點(diǎn)分析

1.重視對基礎(chǔ)知識的考查，設(shè)問方式不斷創(chuàng)新.重點(diǎn)考查四種題型：解不等式，證明不等式，涉及不等式應(yīng)用題，涉及不等式的綜合題，所占比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于在課時(shí)和知識點(diǎn)中的比例.重視基礎(chǔ)知識的考查，?？汲Ｐ?，創(chuàng)意不斷，設(shè)問方式不斷創(chuàng)新，圖表信息題，多選型填空題等情景新穎的題型受到命題者的青瞇，值得引起我們的關(guān)注.2.突出重點(diǎn)，綜合考查，在知識與方法的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)命題，在不等式問題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結(jié)合點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn)，因而在歷年高考題中始終是重中之重.在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識的同時(shí)，將不等式的重點(diǎn)知識以及其他知識有機(jī)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查，強(qiáng)調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點(diǎn).3.加大推理、論證能力的考查力度，充分體現(xiàn)由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變的命題方向.由于代數(shù)推理沒有幾何圖形作依托，因而更能檢測出學(xué)生抽象思維能力的層次.這類代數(shù)推理問題常以高中代數(shù)的主體內(nèi)容——函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其交叉綜合部分為知識背景，并與高等數(shù)學(xué)知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高，有利于高考選拔功能的充分發(fā)揮.對不等式的考查更能體現(xiàn)出高觀點(diǎn)、低設(shè)問、深入淺出的特點(diǎn)，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的熱點(diǎn).4.突出不等式的知識在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識.不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個(gè)熱點(diǎn),考查的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應(yīng)用。高考試題中有以下幾個(gè)明顯的特點(diǎn)：

（1）不等式與函數(shù)、數(shù)列、幾何、導(dǎo)數(shù),實(shí)際應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨(dú)考查不等式的試題題量很少。

第1頁（共6頁）

（2）選擇題,填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應(yīng)用題和壓軸題幾乎都與不等式有關(guān)。

（3）不等式的證明考得比得頻繁,所涉及的方法主要是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視。

四、典型例題

不等式的解法

【例1】 解不等式：解：原不等式可化為：

a

?1?a x?

2(a?1)x?(2?a)

＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.x?2

當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－

a?2a?2a?2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無解；若a?1a?1a?

1a?2)∪(2，+∞).a?1

＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，當(dāng)a＜1時(shí)，若a＜0，解集為（a?2a?2，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)a?1a?1

綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，a?2a?2)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)； a?1a?1

a?2，2).a?1

當(dāng)a=0時(shí)，解集為?；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為（【例2】 設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M?［1，4］，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.解：M?［1，4］有n種情況：其一是M=?，此時(shí)Δ＜0；其二是M≠?，此時(shí)Δ＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍.設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)

(1)當(dāng)Δ＜0時(shí)，－1＜a＜2，M=

?［1，4］(2)當(dāng)Δ=0時(shí)，a=－1或2.當(dāng)a=－1時(shí)M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時(shí)，m={2}［1，4］.(3)當(dāng)Δ＞0時(shí)，a＜－1或a＞2.設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，??a?3?0

?f(1)?0,且f(4)?0?18?18?7a?0

那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4??即?，解得：2＜a＜，7?1?a?4,且??0?a?0

??a??1或a?2

∴M?［1，4］時(shí)，a的取值范圍是(－1，18).7

不等式的證明

【例1】 已知a?2，求證：log?a?1?a?loga?a?1? 解1：log?a?1?a?loga?a?1??

1??loga?a?1????loga?a?1??1

． ?loga?a?1??

logaa?1logaa?1因?yàn)閍?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loga?a?1??loga?a?1??

?loga?a?1????loga?a?1??????2??

?

?log?a

a

?1

????loga?

a

?1

所以，log?a?1?a?loga?a?1??0，命題得證．

【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求證：(a+

2511)(b+)≥.ab

4證：(分析綜合法)：欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤

或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，從而得證.44

12?13???

1n

?2n(n∈N)

*

【例3】 證明不等式1?

證法一：(1)當(dāng)n等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)，不等式成立，即1+

12?1???

1＜2k，則1?

?

3???

1k?1

?2k?

1k?1

?

2k(k?1)?1

k?1

?

k?(k?1)?1

k?1

12?1???

?2k?1,1∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時(shí)，都有1+另從k到k+1時(shí)的證明還有下列證法：

＜2n.?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?又如:?2k?1?2k?

?2k?

1k?

1?2k?1.1k?1

?2k?1.?

1k?1,2k?1?k

?

2k?1?k?1

證法二：對任意k∈N*，都有：

?2(k?k?1),?kk?k?1

因此1??????2?2(2?1)?2(?2)???2(n?n?1)?2n.2nk1?

?

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

不等式

一．不等式的性質(zhì)：

1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?b,c?d，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若

a?b?0,c?d?0，則ac?bd（若a?b?0,0?c?d，則

ab

； ?）

cd

nn

3．左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若a?b?0，則a?

b?

4．若ab?0，a?b，則

1?；若ab?0，a?b，則?。如 abab

（1）對于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則⑤若a?b?0,則

?； ab

ba

?；⑥若a?b?0,則a?b； ab

ab11

⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?

c?ac?bab

其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______（答：1?3x?y?7）；（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

1?c?的取值范圍是______（答：??2,??）

2?a?

二．不等式大小比較的常用方法：

1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果； 2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調(diào)性； 7．尋找中間量或放縮法 ；

8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t?

1的大小 logat和loga

21t?11t?1

（答：當(dāng)a?1時(shí)，logat?loga（t?1時(shí)取等號）；當(dāng)0?a?1時(shí)，logat?loga（t?1

2222

（1）設(shè)a?0且a?1,t?0，比較時(shí)取等號））；

1?a2?4a?2

（2）設(shè)a?2，p?a?，q?2，試比較p,q的大?。ù穑簆?q）；

a?2

（3）比較1+logx3與2logx2(x?0且x?1)的大小

4（答：當(dāng)0?x?1或x?時(shí)，1+logx3＞2logx2；當(dāng)1?x?時(shí)，1+logx3＜2logx2；當(dāng)x?

3時(shí)，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17

字方針。如

（1）下列命題中正確的21

A、y?x?的最小值是2B、y?的最小值是

2x4

4C、y?2?3x?(x?

0)的最大值是2?D、y?2?3x?(x?

0)的最小值是2?C）；

xx

xy

（2）若x?2y?1，則2?4的最小值是______

（答：；

1（3）正數(shù)x,y滿足x?2y?1，則?的最小值為______

（答：3?；

xy

4.常用不等式有：（1

（2）???(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；2?22

2a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)，取等號）；（3）若a?b?0,m?0，則

bb?m

（糖水的濃度問題）。如 ?

aa?m

如果正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是_________（答：?9,???）

五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?

1n????

22222

2如（1）已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；

222222

(2)已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

xy11?

（3）已知a,b,x,y?R，且?,x?y，求證：； ?

x?ay?bab

a?bb?cc?a

(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg?lg?lg?lga?lgb?lgc；

22222222

2（5）已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

常用的放縮技巧有：

*

(6)若n?

N(n?

1)?

n；

|a|?|b||a|?|b|

； ?

|a?b||a?b|

1（8）求證：1?2?2???2?2。

23n

(7)已知|a|?|b|，求證：

六．簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因

式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如

（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或x??2}）；

（2）

不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；

（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)?0的解集為{x|1?x?2}，g(x)?0的解集為?，則不等式f(x)?g(x)?0的解集為______（答：(??,1)?[2,??)）；

（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,8

1)）8

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如

（1）解不等式

5?x

； ??1（答：(?1,1)?(2,3)）

x2?2x?

3ax?b

?0的解集為x?

2（2）關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為(1,??)，則關(guān)于x的不等式____________（答：(??,?1)?(2,??)）.八．絕對值不等式的解法：

1．分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式|2?

； x|?2?|x?|（答：x?R）

（2）利用絕對值的定義；

（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）（4）兩邊平方：如

若不等式|3x?2|?|2x?a|對x?R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______。（答：}）

九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如

； ?1，則a的取值范圍是__________（答：a?1或0?a?）

33ax21

（2）解不等式?x(a?R)（答：a?0時(shí)，{x|x?0}；a?0時(shí)，{x|x?或x?0}；a?0

ax?1a

時(shí)，{x|?x?0}或x?0}）

a

（1）若loga

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式ax?b?0 的解集為(??,1)，則不等式

x?2

（－1,2））?0的解集為__________（答：

ax?b

十一．含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b異號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.如設(shè)f(x)?x?x?13，實(shí)數(shù)a滿足|x?a|?1，求證：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思

想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?max?B

如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當(dāng)x?y?c?0時(shí)，c的取值范圍是____

（答：1,??）；

（2）不等式x?4?x?3?a對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍_____（答：a?1）；

2（3）若不等式2x?1?m(x?1)對滿足m?2的所有m都成立，則x的取值范圍（答：（?

7?13?1,））； 22

(?1)n?13n

（4）若不等式(?1)a?2?對于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_（答：[?2,)）；

n2

（5）若不等式x?2mx?2m?1?0對0?x?1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍.（答：m??）

2).能成立問題

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f?x??A成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上f?x?max?A； 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f?x??B成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f?x?min?B.如

已知不等式x?4?x?3?a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍____（答：a?1）3).恰成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恰成立, 則等價(jià)于不等式f?x??A的解集為D； 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恰成立, 則等價(jià)于不等式f?x??B的解集為D.

第五篇：不等式、推理證明測試題

高三第五次月考數(shù)學(xué)（文）試題

命題人：王建設(shè)

一、選擇題（每題5分）1.不等式

x?

1?0的解集為（）2?x

A.{x|?1?x?2} B.{x|?1?x?2} C.{x|x??1或x?2} D.{x|x??1或x?2}

2、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

3、下面幾種推理是類比推理的是（）A..兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=1800

B.由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四邊形的性質(zhì)

C.某校高二級有20個(gè)班，1班有51位團(tuán)員，2班有53位團(tuán)員，3班有52位團(tuán)員，由此可以推測各班都超過50位團(tuán)員.D.一切偶數(shù)都能被2整除，2100

是偶數(shù)，所以2

能被2整除.4、用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

②①

?

③

按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為（）

A．6n?2B．8n?

2C．6n?2D．8n?2

5.兩個(gè)球體積之和為12π，且這兩個(gè)球大圓周長之和為6π，那么這兩球半徑之差是（）

A．B．1C．2D．

32?x?2y?

4?

6.在約束條件?x?y?1下，目標(biāo)函數(shù)z?3x?y（）

?x?2?0?

A.有最大值

3，最小值?3B.有最大值

5，最小值?3 C.有最大值5，最小值?9D.有最大值3，最小值?9 7.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是………………………………………（）A．10πB．11πC．12πD．13?

238、在十進(jìn)制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么

俯視圖 正(主)視圖 側(cè)(左)視圖

在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）A.29B.254C.602D.2004 9.如果a?0且a?1，M?loga(a3?1),N?loga(a2?1)，則（）

A.M?NB.M?N C.M?ND.M,N的大小與a值有關(guān)

10.已知正數(shù)a,b滿足4a?b?30，則使得（）

1?取得最小值的有序?qū)崝?shù)對(a,b)是ab

A.(5,10)B.(6,6)C.(7,2)D.(10,5)

11.如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底面為450，腰和上底均為

1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）

A．2?2B．

1?22?

2C．D．1?2 22

12.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）

R3B．

R3C．

R3D．

R3248248

112,q?()x?2，其中a?2,x?R，則p,q的大小關(guān)系為（）a?22

A．

13.已知p?a?

A.p?qB.p?qCp?q.D.p?q 14.若實(shí)數(shù)x,y滿足

??1，則x2?2y2有（）22xy

A.最大值3?22B.最小值3?22C.最小值6D.最小值615.函數(shù)f(x)?

x的最大值為（）x?1

212A.B.C.D.1 522

16.若x1,x2是方程x?ax?8?0的兩相異實(shí)根，則有（）A.|x1|?2,|x2|?2B.|x1|?3,|x2|?

3C.|x1?x2|?

D.|x1|?|x2|?17.在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（）A

．

B

．C．

4D

．

【解析】結(jié)合長方體的對角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算。如圖 設(shè)長方體的高寬高分別為m,n,k，由題意得

???n?1 ?a?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6

?a2?b2?8，∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16 1?2b的等比中項(xiàng)，且ab?0，則18.若a是1?2b與

2|ab|的最大值為（）

|a|?2|b|

A.25252

B.C.D.15452

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.19．體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球O的表面積相等，則球O20.設(shè)某幾何體的三視圖如下，則該幾何體的體積為4

．

21、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若

將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是14。

22、設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同

一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f?n?＝

（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）。

23、已知?1?x?y?1,1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是?1,7? 24.直三棱柱ABC?A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB?AC?AA1?2,?BAC?120?，則此球的表面積等于4?R2?20?

三、解答題：

25、（12分）求證：(1)6+7>22+5;(2)a2?b2?3?aba?b);

（3）若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且a?x?2x?

?，b?y?2y?

?，c?z?2z?

?

求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。

（8分）如圖，在四邊形ABCD中，?DAB?90，?ADC?135，00

AB?

5，CD?AD?2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積ACAE

27．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB的平分線，則 ＝BCBE

（Ⅰ）把上面結(jié)論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD

－B的角平分面，類比三角形中的結(jié)論，你得到的相應(yīng)空間的正確結(jié)論是（Ⅱ）證明你所得到的結(jié)論.A G

E

B

B HC

圖

1圖

2C

A 11

28.設(shè)函數(shù)f(x)?x3?3bx2?3cx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且x1???1,0?,x2??1,2?.（1）求b,c滿足的約束條件，并在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足這些條件的點(diǎn)（b,c）的區(qū)域；

（2）求證：?10?f(x2)??.答案：

25、證明：（2）∵a2?b2?2ab,（1）要證原不等式成立，a2?3?,只需證（+）2>（22+5）2，b2?3?;即證242?240。

將此三式相加得∵上式顯然成立,2(a2?b2?3)?2ab??,∴原不等式成立.∴a2?b2?3?aba?b).．(反證法).證明：設(shè)a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ22

2而a＋b＋c＝（x－2y＋）＋（y－2z＋）＋（z－2x＋

236

222222

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個(gè)大于0.26．解：S表面?S圓臺底面?S圓臺側(cè)面?S圓錐側(cè)面

???52???(2?5)???

2??1)?

V

1??(r12?r1r2?r22)h??r2h

3?V圓臺?V圓錐

3148??3

27．結(jié)論:

SΔACDAESΔACDSΔAECSΔACDSΔAED

＝ 或＝ 或＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設(shè)點(diǎn)E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD

－B知h1＝h2.SΔACDh1SΔACDVA－CDE

又∵ ＝ ＝SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

AESΔAEDVC－AEDVA－CDE

＝ ＝＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDE

SΔACDAE∴ SΔBCDBE

A

A GC

B

B HC

圖

1圖

228、解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）

依題意知，方程f'（x）=0有兩個(gè)根x1、x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]

等價(jià)于f'（-1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0． 由此得b，c滿足的約束條件（略）（4分）

滿足這些條件的點(diǎn)（b，c）的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．（6分）（Ⅱ）由題設(shè)知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，則2bx2=-x22-c，故 ．f(x2)?x23?3bx22?3cx2?-x23?cx2（8

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故-4?3c?f(x2)???c． 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，（10分）所以?10?f(x2)??.232

1232