第一篇：天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之模塊專題：21 不等式證明(教師版)

不等式證明

證明不等式的基本方法有：求差（商）比較法，綜合法，分析法，有時用反證法，數(shù)學(xué)歸納法。均值定理、適度的放縮、恰當(dāng)?shù)膿Q元是證明不等式的重要技巧。不等式的證明往往與其它知識（如函數(shù)的性質(zhì)）綜合起來考查。例1：若0?x?1，證明loga(1?x)?loga(1?x)，（a?0且a?1）。

分析1：用作差法來證明。需分為a?1和0?a?1兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明。

解法1：當(dāng)a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x2)?0。當(dāng)0?a?1時，因為0?1?x?1,1?x?1，所以loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x2)?0。綜上，loga(1?x)?loga(1?x)。

分析2：直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號。解法2：作差比較法。因為loga(1?x)?loga(1?x)?

1lga

lg(1?x)lga

?

lg(1?x)lga

2?

?lg(1?x)?lg(1?x)??

1lga

??lg(1?x)?lg(1?x)??

?1lga

lg(1?x)?0，所以loga(1?x)?loga(1?x)。

說明：解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對值符號；解法2用對數(shù)性質(zhì)（換底公式）也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡捷、明快。

補(bǔ)充：（比較法）已知a?2，求證：log解法1：log

?a?1?a?log

?a?1?

a?log

a

?a?1?。

1??log

a

?a?1??a

1log

a

?a?1?

?log

?a?1??a

?a?1????loga?a?1??。

loga?a?1?

因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，?log

?loga?a?1????loga?a?1????

?

?

?a?1??loga?a?1??a

2a

?

?

?log?a

?

1??

?

?log

a

a

2?

?1

所以，log

?a?1?

a?log

a

?a?1??0，命題得證。

解法2：因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loglog

a

?a?1?a

?

?a?1?

?a?1?1，?

?loga?a?1????loga?a?1??loga?a?1?

log

a

由解法1可知：上式?1。故命題得證。例2：設(shè)a?b?0，求證：aabb?abba.分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難?？紤]到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式。證明：

abab

ba

ba

abab

b

aba

?a

a?b

?b

b?a

aa?baa，∵a?b?0，∴?1,a?b?0.∴()a?b?1 ?()bbb

a

b

b

a

∴?1.又∵ab?0，∴ab?ab.。

b

a

說明：本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法)。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小。例3：對于任意實數(shù)a、b，求證

a?b

2?（a?b2)（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取等號）。

分析：這個題若使用比較法來證明，將會很麻煩，因為，所要證明的不等式中有（a?b2)，展開后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：a?b?2ab出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：∵ a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a2?b2時取等號）

兩邊同加(a?b):2(a?b)?(a?b)，即：

a?b2

4?（a?b2

22)（1）

又：∵a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取等號），兩邊同加(a2?b2):2(a2?b2)?(a?b)2 ∴

a?b2

?（a?b2)，∴（a?b2

22)?（a?b2)（2）

由（1）和（2）可得

a?b2

?（a?b2

。)（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時取等號）

說明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解。

例4：已知a、b、c?R?，a?b?c?1，求證?

a1

1b?1a1c??9.1b?1c

分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分，則會把不等式

變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如?

ab

ab，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧。證明：∵a?b?c?1∴

?(1?

ba?ca)?（ab?1?

cb

1a

?

1b

a

c

?

?

1cb

c

?

a?b?c

a

?

a?b?c

bab)?（ca

??

a?b?c

cac)?（cb?

bc))?(?1)?3?（ba

?

∵∴

ba

?

1a

ab

?

?1b

1c

cacb

?2，同理：??2，??2。acbc

?3?2?2?2?9.?

說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時要首先對代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的。

例5：已知a?b?c，求證：

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0。

分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來證明，由于分析法的過程可以用綜合法來書寫，所以此題用兩種方法來書寫證明過程。（分析法書寫過程）證明1：為了證明只需要證明

1a?b

?

1b?c

?

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?0

1a?c

1a?b?

?1c?a,1

?0

∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0∴∴

1a?b

?

1b?c

?

a?cb?c

?0

1a?c

成立∴

1a?b

?

1b?c

成立

（綜合法書寫過程）證明2：∵a?b?c∴a?c?a?b?0,b?c?0 ∴

1a?b

?

1a?c，1b?c

?

0，∴

1a?b

?

1b?c

?

1a?c

成立，∴

1a?b

?

1b?c

?

1c?a

?

成立

說明：學(xué)會分析法入手，綜合法書寫證明過程，但有時這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時，應(yīng)用語言敘述清楚。例6：已知a?b?0，求證：

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b。

分析：欲證不等式看起來較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡單”的形式，因而用分析法證明較好。證明：欲證

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b，只須證

a?b2a

a?ab

(a?b)4a

?a?b?2ab?

(a?b)4b。

?a?b即要證??

?2a????(a???a?bb)???

?2b

2????，即要證

?a?b?

a?b2b。

即要證

a?2aba

b

?1?

a?2bab

b，即要證

?2?

a?b

b。

即要證1?

?2??1，即

ba

?1?

ab，即要證

ba

?1?

ab

（*）

∵a?b?0，∴（*）顯然成立，故

(a?b)8a

?

a?b2

?ab?

(a?b)8b

說明：分析法證明不等式，實質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個充分條件。分析法通常

采用“欲證—只要證—即證—已知”的格式。例7：設(shè)n是正整數(shù)，求證

12?

1n?11n?1

?

1n?21n?2

??????

12n12n

?1。

分析：要求一個n項分式

?的范圍，它的和又求不出來，可

以采用“化整為零”的方法，觀察每一項的范圍，再求整體的范圍。證明：由2n?n?k當(dāng)k當(dāng)k

?1時，?n(k?1,2,?,n)，得

??1n

12n12n

??

1n?k1n?2

??

1n1n

。......12n

?nn?1。

12n12n

??

n?11

；當(dāng)k，∴

?2

時，n2n

?

?n

時，1n

n?n

?

1n?1

?

1n?2

???

說明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會走入困境。例如證明

?

???

1n

?

。由

1k

?

1k?1

?

1k，如果從第3項開始放縮，正好可證明；如

果從第2項放縮，可得小于2。當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化。

說明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮?。蝗坎簧儆诓糠?；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭，同時放縮后便于求和。例8：求證1?證明：∵

1n213

?

???

1n

?2。

?1n(n?2)

?

1n

?

1n

?

1n(n?1)

?

1n?1，∴1?

????

1n

1?1?11??11??1

?1???????????????2??2。

n?12??23??n?1n?

說明：此題證明過程并不復(fù)雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵。例9：證明不等式：1?

12?13???

1n

?2n，?n?N?。

講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。解法1：①當(dāng)n?1時命題成立。②假設(shè)n?k?k?N?時命題成立，即：1?

1213?13???

1k

?2k。

則當(dāng)n?k?1時，不等式的左端?1?不等式的右端?2k?1。由于2k?1???2k?

??

?

???2k?1?1

????

1k

?

1k?1

?2k?

1k?1

k?1?k?

?

1k?1

?

2k?1?

k

?

1k?1

?

2k?1?

k?1

?

1k?1

?0。

所以，2k?

k?1

?2k?1，即n?k?1時命題也成立。

由①②可知：原不等式得證。

從上述證法可以看出：其中用到了k?

2k?1?

k

k?1這一事實，從而達(dá)到了

和

1k?1

之間的轉(zhuǎn)化，也即2?k?1?k?和

1k?1

之間的轉(zhuǎn)化，這就

提示我們，本題是否可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行放縮？觀察原不等式，若直接證明，直接化簡是不可能的，但如果利用則可以達(dá)到目的，由此得解2。解法2：因為對于任意自然數(shù)k，都有

12?

1n?2

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1進(jìn)行放縮，?

1k

?

2k?

k?1

?2

?

k?

k?1，所以，?

1??2

????

2?

?

0?2

????

3?2???2

??

n?n?1

?，從而不等式得證。

?2n

第二篇：【天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)列(文)(學(xué)生版)

數(shù)列（文）

考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、已知數(shù)列?xn?的首項x1?3，通項公式xn?2np?nq（n?N?,p,q為常數(shù)），且x1,x4,x5成等差數(shù)列，求：（1）p,q的值；

（2）數(shù)列?xn?的前n項的和Sn的公式。

2、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設(shè)bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； 2n?1（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。

3、設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當(dāng)b?2時，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項公式

4、已知數(shù)列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；

?an?

?n?（2）數(shù)列??的前n項和Sn。

?an?

15、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3)。數(shù)列{bn}滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2，n?n???

6、數(shù)列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。

33??)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

（1）求Sn；（2）設(shè)bn?

滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos27、數(shù)列{an}?滿足

n?n?)an?sin2,n?1,2,3,22.。S3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。n?4n（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；（2）設(shè)bn?

8、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當(dāng)n?n6?時，6時，Sn?2?。.n新的數(shù)列{cn}。

（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項公式。

9、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*

10、已知數(shù)列?an?中，a1?1，a2?2，且an?1?(1?q)an?qan?1，n?2,q?0。

(n?N*)*，證明?bn?是等比數(shù)列； n?N（1）設(shè)bn?an?1?an，（2）求數(shù)列?an?的通項公式；

（3）若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n?N*，an是an?3與an?6的等差中項。

11、已知等差數(shù)列?an?的公差為d不為0，設(shè)Sn?a1?a2q??anqn?1，Tn?a1?a2q??(?1)n?1anqn?1,q?0,n?N*。

（1）若q?1,a1?1,S3?15，求數(shù)列?an?的通項公式；（2）若a1?d且S1,S2,S3成等比數(shù)列，求q的值；

2dq(1?q2n)（3）若q??1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，n?N*。21?q

12、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為2k。

（1）證明a4,a5,a6成等比數(shù)列；（2）求數(shù)列?an?的通項公式；

32232n2（3）記Tn???...?，證明?2n?Tn?2?n?2?。

2a2a3an

3?(?1)n13、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bn?1an?bnan?1???2??1，bn?，n?N*，2n且a1?2。

（1）求a2,a3的值；

（2）設(shè)cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；（3）設(shè)Sn為{an}的前n項和，證明

SSS1S21??...?2n?1?2n?n?，n?N*。a1a2a2n?1a2n3

第三篇：【天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)列(理)(學(xué)生版)

數(shù)列（理）

考查內(nèi)容：本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式證明等基礎(chǔ)知識，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力、推理論證能力及綜合分析、解決問題的能力。

1、在數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n。（1）設(shè)bn?an。證明：數(shù)列?bn?是等差數(shù)列； n?12（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。

2、設(shè)數(shù)列?an?的前n項和為Sn，已知ban?2n??b?1?Sn（1）證明：當(dāng)b?2時，?an?n?2n?1?是等比數(shù)列；（2）求?an?的通項公式

3、已知數(shù)列{an}的首項a1?22an，an?1?，n?1,2,3,…。3an?1?1?（1）證明：數(shù)列??1?是等比數(shù)列；

?an??n?（2）數(shù)列??的前n項和Sn。

?an?

4、已知數(shù)列?an?滿足：an??1，a1?22?cn?an?1?an，n?N。

1222，31?an?1?21?an，記數(shù)列bn?1?an，2????（1）證明數(shù)列?bn?是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{cn}的通項公式；

（3）是否存在數(shù)列{cn}的不同項ci,cj,ck，i?j?k，使之成為等差數(shù)列？若存在請求出這樣的不同項ci,cj,ck，i?j?k；若不存在，請說明理由。

5、已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：

a1bn?a2bn?1?a3bn?2??an?1b2?anb1?2n?1?n?2。

（1）若數(shù)列{an}是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；

（3）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，求證：?i?1n13?。aibi2)。數(shù)列{bn}

16、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1?1，a2?2，an?(an?1?2an?2)，(n?3,4,3滿足b1?1,bn(n?2,3,)是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有?1?bm?bm?1??bm?k?1。

（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記cn?nanbn(n?1,2,)，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

7、有n個首項都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個數(shù)列的第k項為amk，(m,k?1,2,3，n, n≥3)，公差為dm，并且a1n,a2n,a3n，ann成等差數(shù)列。

（1）證明dm?p1d1?p2d2，3?m?n，p1,p2是m的多項式，并求p1?p2的值；（2）當(dāng)d1?1, d2?3時，將數(shù)列{dm}分組如下：(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),（每組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列），設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(cm)4(cm?0)，求數(shù)列{2cmdm}的前n項和Sn。

（3）設(shè)N是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)n?N時，對于（2）中的Sn，求使得不等式1(Sn?6)?dn成立的所有N的值。50

n?n???

8、數(shù)列{an}的通項公式為an?n2?cos2?sin2?，其前n項和為Sn。

33??（1）求Sn；

S3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn。n?4nn?n?滿足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)an?sin2,n?1,2,3,9、數(shù)列{an}?滿足

22（2）設(shè)bn?.。

（1）求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項公式；（2）設(shè)bn?a2n?1,Sn?b1?b2?a2n1?bn.。證明：當(dāng)n?n6?時，6時，Sn?2?。.n10、已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an?3n?6，bn?2n?7，n?N*，若將**集合{x|x?an,n?N}{x|x?bn,n?N}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個新的數(shù)列{cn}。（1）求c1,c2,c3,c4；

（2）求證：在數(shù)列{cn}中，但不在數(shù)列{bn}中的項恰為a2,a4,（3）求數(shù)列{cn}的通項公式。

11、在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中??0。（1）求數(shù)列?an?的通項公式；（2）求數(shù)列?an?的前n項和Sn。,a2n,；

an?1ak?1?（3）證明：存在k?N，使得對任意n?N*均成立。anak*

12、在數(shù)列?an?與?bn?中，a1?1,b1?4，數(shù)列?an?的前n項和Sn滿足nSn?1?(n?3)Sn?0，且2an?1為bn與bn?1的等比中項，n?N*。

（1）求a2，b2的值；

（2）求數(shù)列?an?與?bn?的通項公式；

*2n?N（3）設(shè)Tn?(?1)1b1?(?1)2b2?…?(?1)nbn，證明n≥?3。NT?2n，nn，aaa*

13、已知等差數(shù)列?an?的公差為d?d?0?，等比數(shù)列?bn?的公比為q，且q?1。設(shè)Sn?a1b1?a2b2??anbn，Tn?a1b1?a2b2??(?1)n?1anbn，n?N*。

（1）若a1?b1?1，d?2,q?3求S3的值；

2dq(1?q2n)*n?N（2）若b1?1，證明?1?q?S2n??1?q?T2n?，； 21?q（3）若正整數(shù)n滿足2?n?q，設(shè)k1,k2，kn和l1,l2,，2，,n ,ln是1的兩個不同的排列，c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn，c2?al1b1?al2b2?...?alnbn，證明c1?c2。

14、在數(shù)列?an?中，a1?0，且對任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差數(shù)列，其公差為dk。

（1）若dk?2k，證明a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列；

（2）若對任意k?N*，a2k,a2k?1,a2k?2成等比數(shù)列，其公比為qk。

?1?

①設(shè)q1?1，證明??是等差數(shù)列；

q?1?k?n3k2?2?n?2?。

②若a2?2，證明?2n??2k?2ak15、已知數(shù)列{an}與{bn}滿足：bnan?an?1?bn?1an?2且a1?2,a2?4。（1）求a3,a4,a5的值；

3?(?1)n，n?N*，?0，bn?2（2）設(shè)cn?a2n?1?a2n?1，n?N*，證明?cn?是等比數(shù)列；

Sk7?(n?N*)。（3）設(shè)Sk?a2?a4?????a2k，k?N，證明?6k?1ak*4n

第四篇：天津市2013屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)之綜合專題：數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(教師版)

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

1、基本概念

學(xué)案P38

①

②

③

④

⑤

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟 教材P933、應(yīng)用舉例——用數(shù)學(xué)歸納法證明下列命題

1Sn??k?(n?1)(2n?1)。①（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）6k?1n

2教材P9

412S?k?[(n?1)]②（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）。?n2k?1n

3③（數(shù)學(xué)歸納法證明不等式）當(dāng)n?N*,n?5時，恒有2n?n2。學(xué)案P39

④（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時，*?3n?1??7n?1能被9整除。學(xué)案P40

⑤（數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題）平面上有n條直線，其中任意兩條直線不平行，任意三條不過同一點(diǎn)，求證：這n條直線互相分割成n2條線段或射線。學(xué)案P404、補(bǔ)充練習(xí)——用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①（數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式）???1?

i?1ni?1?2???1?i?1n?12n1??。33

學(xué)案P39

②（數(shù)學(xué)歸納法證明不等式）1?111?????2n，?n?N?； 學(xué)案P39

講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。

①當(dāng)n?1時命題成立。

②假設(shè)n?k?k?N?時命題成立，即：1?111?????2。則當(dāng)n?k?1時，不等式的左端?1?

不等式的右端?2k?1。由于2???2?11111?2?????? ?

?1211?2???? ??????

?121??0。所以，2k??2k?1，即n?k?1時命題也成立。?由①②可知：原不等式得證。

③（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時，3*2n?2?8n?9能被64整除。學(xué)案P39 ④（數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題）試證當(dāng)n?N時，11n?2?122n?1能被133整除。

全解P102

第五篇：高三數(shù)學(xué)(理科)二輪復(fù)習(xí)-不等式

2014屆高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)

第3講 不等式

一、本章知識結(jié)構(gòu)：

實數(shù)的性質(zhì)

二、高考要求

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明。

（2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會簡單應(yīng)用。

（3）分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。

（4）掌握某些簡單不等式的解法。

（5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。

三、熱點(diǎn)分析

1.重視對基礎(chǔ)知識的考查，設(shè)問方式不斷創(chuàng)新.重點(diǎn)考查四種題型：解不等式，證明不等式，涉及不等式應(yīng)用題，涉及不等式的綜合題，所占比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于在課時和知識點(diǎn)中的比例.重視基礎(chǔ)知識的考查，?？汲Ｐ拢瑒?chuàng)意不斷，設(shè)問方式不斷創(chuàng)新，圖表信息題，多選型填空題等情景新穎的題型受到命題者的青瞇，值得引起我們的關(guān)注.2.突出重點(diǎn)，綜合考查，在知識與方法的交匯點(diǎn)處設(shè)計命題，在不等式問題中蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結(jié)合點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的交匯點(diǎn)，因而在歷年高考題中始終是重中之重.在全面考查函數(shù)與不等式基礎(chǔ)知識的同時，將不等式的重點(diǎn)知識以及其他知識有機(jī)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查，強(qiáng)調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，是高考對不等式考查的又一新特點(diǎn).3.加大推理、論證能力的考查力度，充分體現(xiàn)由知識立意向能力立意轉(zhuǎn)變的命題方向.由于代數(shù)推理沒有幾何圖形作依托，因而更能檢測出學(xué)生抽象思維能力的層次.這類代數(shù)推理問題常以高中代數(shù)的主體內(nèi)容——函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其交叉綜合部分為知識背景，并與高等數(shù)學(xué)知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高，有利于高考選拔功能的充分發(fā)揮.對不等式的考查更能體現(xiàn)出高觀點(diǎn)、低設(shè)問、深入淺出的特點(diǎn)，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的熱點(diǎn).4.突出不等式的知識在解決實際問題中的應(yīng)用價值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識.不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個熱點(diǎn),考查的重點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應(yīng)用。高考試題中有以下幾個明顯的特點(diǎn)：

（1）不等式與函數(shù)、數(shù)列、幾何、導(dǎo)數(shù),實際應(yīng)用等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨(dú)考查不等式的試題題量很少。

第1頁（共6頁）

（2）選擇題,填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應(yīng)用題和壓軸題幾乎都與不等式有關(guān)。

（3）不等式的證明考得比得頻繁,所涉及的方法主要是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視。

四、典型例題

不等式的解法

【例1】 解不等式：解：原不等式可化為：

a

?1?a x?

2(a?1)x?(2?a)

＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.x?2

當(dāng)a＞1時，原不等式與(x－

a?2a?2a?2)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若a?1a?1a?

1a?2)∪(2，+∞).a?1

＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，當(dāng)a＜1時，若a＜0，解集為（a?2a?2，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)a?1a?1

綜上所述：當(dāng)a＞1時解集為(－∞，a?2a?2)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時，解集為(2，)； a?1a?1

a?2，2).a?1

當(dāng)a=0時，解集為?；當(dāng)a＜0時，解集為（【例2】 設(shè)不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M?［1，4］，求實數(shù)a的取值

范圍.解：M?［1，4］有n種情況：其一是M=?，此時Δ＜0；其二是M≠?，此時Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍.設(shè)f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)

(1)當(dāng)Δ＜0時，－1＜a＜2，M=

?［1，4］(2)當(dāng)Δ=0時，a=－1或2.當(dāng)a=－1時M={－1}［1，4］；當(dāng)a=2時，m={2}［1，4］.(3)當(dāng)Δ＞0時，a＜－1或a＞2.設(shè)方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，??a?3?0

?f(1)?0,且f(4)?0?18?18?7a?0

那么M=［x1，x2］，M?［1，4］?1≤x1＜x2≤4??即?，解得：2＜a＜，7?1?a?4,且??0?a?0

??a??1或a?2

∴M?［1，4］時，a的取值范圍是(－1，18).7

不等式的證明

【例1】 已知a?2，求證：log?a?1?a?loga?a?1? 解1：log?a?1?a?loga?a?1??

1??loga?a?1????loga?a?1??1

． ?loga?a?1??

logaa?1logaa?1因為a?2，所以，loga?a?1??0,loga?a?1??0，所以，loga?a?1??loga?a?1??

?loga?a?1????loga?a?1??????2??

?

?log?a

a

?1

????loga?

a

?1

所以，log?a?1?a?loga?a?1??0，命題得證．

【例2】 已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求證：(a+

2511)(b+)≥.ab

4證：(分析綜合法)：欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤

或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2ab，∴ab≤，從而得證.44

12?13???

1n

?2n(n∈N)

*

【例3】 證明不等式1?

證法一：(1)當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+

12?1???

1＜2k，則1?

?

3???

1k?1

?2k?

1k?1

?

2k(k?1)?1

k?1

?

k?(k?1)?1

k?1

12?1???

?2k?1,1∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時，都有1+另從k到k+1時的證明還有下列證法：

＜2n.?2(k?1)?1?2k(k?1)?k?2(k?1)?(k?1)?(k?k?1)2?0,?2k(k?1)?1?2(k?1),?k?1?0,?2k?又如:?2k?1?2k?

?2k?

1k?

1?2k?1.1k?1

?2k?1.?

1k?1,2k?1?k

?

2k?1?k?1

證法二：對任意k∈N*，都有：

?2(k?k?1),?kk?k?1

因此1??????2?2(2?1)?2(?2)???2(n?n?1)?2n.2nk1?

?

概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)

不等式

一．不等式的性質(zhì)：

1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若a?b,c?d，則a?c?b?d（若a?b,c?d，則a?c?b?d），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若

a?b?0,c?d?0，則ac?bd（若a?b?0,0?c?d，則

ab

； ?）

cd

nn

3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a?b?0，則a?

b?

4．若ab?0，a?b，則

1?；若ab?0，a?b，則?。如 abab

（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：

①若a?b,則ac?bc；②若ac?bc,則a?b；③若a?b?0,則a?ab?b；④若a?b?0,則⑤若a?b?0,則

?； ab

ba

?；⑥若a?b?0,則a?b； ab

ab11

⑦若c?a?b?0,則；⑧若a?b,?，則a?0,b?0。?

c?ac?bab

其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知?1?x?y?1，1?x?y?3，則3x?y的取值范圍是______（答：1?3x?y?7）；（3）已知a?b?c，且a?b?c?0,則

1?c?的取值范圍是______（答：??2,??）

2?a?

二．不等式大小比較的常用方法：

1．作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果； 2．作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函數(shù)的單調(diào)性； 7．尋找中間量或放縮法 ；

8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t?

1的大小 logat和loga

21t?11t?1

（答：當(dāng)a?1時，logat?loga（t?1時取等號）；當(dāng)0?a?1時，logat?loga（t?1

2222

（1）設(shè)a?0且a?1,t?0，比較時取等號））；

1?a2?4a?2

（2）設(shè)a?2，p?a?，q?2，試比較p,q的大小（答：p?q）；

a?2

（3）比較1+logx3與2logx2(x?0且x?1)的大小

4（答：當(dāng)0?x?1或x?時，1+logx3＞2logx2；當(dāng)1?x?時，1+logx3＜2logx2；當(dāng)x?

3時，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17

字方針。如

（1）下列命題中正確的21

A、y?x?的最小值是2B、y?的最小值是

2x4

4C、y?2?3x?(x?

0)的最大值是2?D、y?2?3x?(x?

0)的最小值是2?C）；

xx

xy

（2）若x?2y?1，則2?4的最小值是______

（答：；

1（3）正數(shù)x,y滿足x?2y?1，則?的最小值為______

（答：3?；

xy

4.常用不等式有：（1

（2）???(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；2?22

2a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時，取等號）；（3）若a?b?0,m?0，則

bb?m

（糖水的濃度問題）。如 ?

aa?m

如果正數(shù)a、b滿足ab?a?b?3，則ab的取值范圍是_________（答：?9,???）

五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。).1111111???2??? nn?1n(n?1)nn(n?1)n?

1n????

22222

2如（1）已知a?b?c，求證：ab?bc?ca?ab?bc?ca ；

222222

(2)已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

xy11?

（3）已知a,b,x,y?R，且?,x?y，求證：； ?

x?ay?bab

a?bb?cc?a

(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lg?lg?lg?lga?lgb?lgc；

22222222

2（5）已知a,b,c?R，求證：ab?bc?ca?abc(a?b?c)；

常用的放縮技巧有：

*

(6)若n?

N(n?

1)?

n；

|a|?|b||a|?|b|

； ?

|a?b||a?b|

1（8）求證：1?2?2???2?2。

23n

(7)已知|a|?|b|，求證：

六．簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因

式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如

（1）解不等式(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或x??2}）；

（2）

不等式(x??0的解集是____（答：{x|x?3或x??1}）；

（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)?0的解集為{x|1?x?2}，g(x)?0的解集為?，則不等式f(x)?g(x)?0的解集為______（答：(??,1)?[2,??)）；

（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x?9x?a?0（解集非空）的每一個x的值至少滿足不等式

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,8

1)）8

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。如

（1）解不等式

5?x

； ??1（答：(?1,1)?(2,3)）

x2?2x?

3ax?b

?0的解集為x?

2（2）關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為(1,??)，則關(guān)于x的不等式____________（答：(??,?1)?(2,??)）.八．絕對值不等式的解法：

1．分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如解不等式|2?

； x|?2?|x?|（答：x?R）

（2）利用絕對值的定義；

（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x|?|x?1|?3（答：(??,?1)?(2,??)）（4）兩邊平方：如

若不等式|3x?2|?|2x?a|對x?R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為______。（答：}）

九．含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是?”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如

； ?1，則a的取值范圍是__________（答：a?1或0?a?）

33ax21

（2）解不等式?x(a?R)（答：a?0時，{x|x?0}；a?0時，{x|x?或x?0}；a?0

ax?1a

時，{x|?x?0}或x?0}）

a

（1）若loga

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式ax?b?0 的解集為(??,1)，則不等式

x?2

（－1,2））?0的解集為__________（答：

ax?b

十一．含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； a、b異號或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|.如設(shè)f(x)?x?x?13，實數(shù)a滿足|x?a|?1，求證：|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思

想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?min?A 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?B

如（1）設(shè)實數(shù)x,y滿足x?(y?1)?1，當(dāng)x?y?c?0時，c的取值范圍是____

（答：1,??）；

（2）不等式x?4?x?3?a對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍_____（答：a?1）；

2（3）若不等式2x?1?m(x?1)對滿足m?2的所有m都成立，則x的取值范圍（答：（?

7?13?1,））； 22

(?1)n?13n

（4）若不等式(?1)a?2?對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_（答：[?2,)）；

n2

（5）若不等式x?2mx?2m?1?0對0?x?1的所有實數(shù)x都成立，求m的取值范圍.（答：m??）

2).能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f?x??A成立,則等價于在區(qū)間D上f?x?max?A； 若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f?x??B成立,則等價于在區(qū)間D上的f?x?min?B.如

已知不等式x?4?x?3?a在實數(shù)集R上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍____（答：a?1）3).恰成立問題

若不等式f?x??A在區(qū)間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??A的解集為D； 若不等式f?x??B在區(qū)間D上恰成立, 則等價于不等式f?x??B的解集為D.