2020屆市第一中學(xué)等八校聯(lián)考高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

一、單選題

1．A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】上下同時(shí)乘以再化簡即可.【詳解】

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.2．已知全集為,集合，則

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分別求得集合再求即可.【詳解】

或

故,故

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.3．在等差數(shù)列中,已知,則該數(shù)列前11項(xiàng)和=（）

A．44

B．55

C．143

D．176

【答案】A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】

由等差數(shù)列中,則,故

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì),包括等和性與當(dāng)為奇數(shù)時(shí),前項(xiàng)和

.屬于基礎(chǔ)題型.4．函數(shù)的大致圖象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】先分析奇偶性,再分析當(dāng)時(shí)函數(shù)值的正負(fù)即可.【詳解】,故為奇函數(shù).排除C,D

又當(dāng)時(shí)，此時(shí),排除B

故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷,一般先分析奇偶性,再分析特殊位置的正負(fù)即可.屬于基礎(chǔ)題型.5．動(dòng)點(diǎn)在圓上移動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】設(shè)連線的中點(diǎn)為,再表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓化簡即可.【詳解】

設(shè)連線的中點(diǎn)為,則因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,故,又在圓上,故,即即

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.6．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）

A．若且則

B．若且則

C．若

D．若且則

【答案】B

【解析】試題分析：對于A中，若且則與可能是平行的，所以不正確；對于C中，則可能，所以不正確；對于D中，若且則與可能是相交的，所以不正確，故選B．

【考點(diǎn)】直線與平面位置關(guān)系的判定．

7．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則ω、φ的值分別是()

A．2，－

B．2，－

C．4，－

D．4，【答案】A

【解析】由函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖象，求得T、ω和φ的值．

【詳解】

由函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分圖象知，（），∴Tπ，解得ω＝2；

又由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過（，2），∴2＝2sin（2φ），∴φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ，又由φ，則φ；

綜上所述，ω＝2、φ．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

8．與直線關(guān)于x軸對稱的直線的方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用所求直線的點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在已知的直線上求解即可.【詳解】

設(shè)所求直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，則關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在已知的直線上，所以所求對稱直線方程為：,故選D．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對稱直線的方程，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于簡單題.9．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí)，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實(shí)上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A．甲走桃花峪登山線路

B．乙走紅門盤道徒步線路

C．丙走桃花峪登山線路

D．甲走天燭峰登山線路

【答案】D

【解析】甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.10．如圖，正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，則多面體的體積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由題易得為正六邊形,故連接對角線取中心,再求得高與底面面積即可.【詳解】

取為正六邊形中心,則易得共線,再建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則，故,故面,故體積

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查立體幾何中的垂直平行關(guān)系,同時(shí)注意正六邊形的面積可以用六個(gè)小正三角形進(jìn)行計(jì)算,屬于中等題型.11．四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，是邊長為3的等邊三角形，若，則球的表面積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】先求底面外接圓直徑,再求球的直徑,再利用表面積求解即可.【詳解】

外接圓直徑,故球的直徑平方,故外接球表面積

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查側(cè)棱垂直底面的錐體外接球表面積問題,先利用正弦定理求得底面直徑,再利用錐體高,根據(jù)球直徑求解即可.屬于中等題型.12．設(shè),若方程恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】畫出函數(shù)圖像,再根據(jù)直線與有四個(gè)交點(diǎn)分析即可.【詳解】

畫出圖像,由過定點(diǎn),故將直線繞著旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析,得出臨界條件如圖,直線過和與相切時(shí)為臨界條件.當(dāng)過時(shí),易得.當(dāng)與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)，故在處切線斜率,故,故,故,故

故的取值范圍是

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)形結(jié)合解決分段函數(shù)零點(diǎn)的問題,重點(diǎn)是畫出圖像,分析滿足條件時(shí)的情況,再求得臨界條件,最后得出斜率的取值范圍,屬于難題.二、填空題

13．若向量和向量垂直，則_______．

【答案】

【解析】利用垂直求得,再求出的向量坐標(biāo),進(jìn)而求得模長即可.【詳解】

因?yàn)橄蛄亢拖蛄看怪?所以,故,故,故

故

故答案為5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,包括垂直的性質(zhì)以及模長的運(yùn)算等,屬于基礎(chǔ)題型.14．函數(shù)的圖象在處的切線方程為______________________.【答案】

【解析】先求導(dǎo)函數(shù),再代入于內(nèi)求得斜率,代入于內(nèi)求得切點(diǎn)坐標(biāo),再用點(diǎn)斜式求直線方程即可.【詳解】

由題,又,故在處的斜率為,故在處的切線方程為

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義,求在某點(diǎn)處切線的方程,屬于基礎(chǔ)題型.15．已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則______.【答案】

【解析】先根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知得2×（）=a1+2a2，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式表示出q2=1+2q，求

得q，代入中即可求得答案．

【詳解】

依題意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各項(xiàng)都是正數(shù)

∴q＞0，q=1+

∴==3+2

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析的能力和對基礎(chǔ)知識的理

解．

16．在直三棱柱中,若，則異面直線與所成的角等于_________

【答案】

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系分別求得，再利用即可得到所求角大?。?/p>

【詳解】

三棱柱為直三棱柱,且

以點(diǎn)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為

軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則，,，又

異面直線所成的角在異面直線與所成的角等于

．

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，一般建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法來解決問題，屬于中檔題．

三、解答題

17．如圖，在三棱柱中，⊥，⊥，為的中點(diǎn)，且⊥.(1)求證：⊥平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】解：(1)見解析；(2)＝·CD

＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.【解析】本題考查線線垂直，線面垂直及多面體的體積的求法技巧，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力

（1）證明CD⊥BB1，通過BB1⊥AB，AB∩CD=D，即可證明BB1⊥面ABC

（2）所求的體積進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化可以知道幾何體的體積．

解：(1)∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC

(2)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱錐C－A1B1D的高，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，CD＝，又BB1＝2，∴＝·CD

＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝

【詳解】

請?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

18．已知半徑長為的圓截軸所得弦長為，圓心在第一象限且到直線的距離為．

（1）求這個(gè)圓的方程；

（2）求經(jīng)過與圓相切的直線方程．

【答案】（1）；（2）和.【解析】(1)設(shè)圓心,半徑=5,利用圓截軸所得弦長為算出.再利用到直線的距離為算得即可.(2)分情況當(dāng)斜率不存在時(shí)判斷是否滿足條件,再考慮當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)過的點(diǎn)斜式方程,再利用與圓相切列出圓心到直線的距離等于半徑的方程,求解即可.【詳解】

由題圓心,半徑=5

截軸弦長為6,由到直線的距離為,所以圓的方程為

（2）分情況討論：當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)切線方程為：

由到直線的距離

切線方程：

當(dāng)直線過點(diǎn)且斜率不存在時(shí),方程也是所求的切線方程.綜上,切線方程為和

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與圓的方程問題.重點(diǎn)在于根據(jù)題目條件找到圓心半徑的關(guān)系,相交一般利用垂徑定理,相切一般用圓心到直線的距離等于半徑列式求解.同時(shí)注意求過定點(diǎn)的直線時(shí),要分斜率存在與不存在的情況,屬于中等題型.19．如圖，在中，邊上的中線長為3，且，．

（1）求的值；

（2）求邊的長．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4；

【解析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角形內(nèi)角的范圍和兩角差的正弦公式即可求出.（2）在中，利用正弦定理得，在中利用余弦定理即可求出.【詳解】

解：因?yàn)椋裕?/p>

又，所以，所以

．

在中，由得，解得．故，在中，由余弦定理得，得．

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角差的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng).（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）

.【解析】(1)利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求得關(guān)于的遞推公式滿足等比數(shù)列,再求得首項(xiàng)與公比即可求得數(shù)列的通項(xiàng).(2)

為差比數(shù)列,故考慮用錯(cuò)位相減求和.【詳解】

解（1）

兩式相減得,即數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

(2)

①

②

①﹣②得

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系,同時(shí)也考查了錯(cuò)誤相減求和的方法,屬于中等題型.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓O：相切．

（1）直線l過點(diǎn)(2，1)且截圓O所得的弦長為，求直線l的方程；

（2）已知直線y＝3與圓O交于A，B兩點(diǎn)，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，且直線AP，BP與y軸相交于M，N點(diǎn)．判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由．

【答案】（1）或；（2）見解析.【解析】（1）記圓心到直線l的距離為d，利用垂徑定理求得d．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=2，滿足題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），利用圓心到直線的距離列式求得k，則直線方程可求；

（2）設(shè)P（x1，y1），由直線y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分別求出直線PA、PB的方程，進(jìn)一步得到M，N的坐標(biāo)，由P在圓上，整體運(yùn)算可得為定值．

【詳解】

∵直線x﹣3y﹣10=0與圓O：x2+y2=r2（r＞0）相切，∴圓心O到直線x﹣3y﹣10=0的距離為r=．

（1）記圓心到直線l的距離為d，∴d=．

當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l的方程為x=2，滿足題意；

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．

∴，解得k=﹣，此時(shí)直線l的方程為3x+4y﹣10=0．

綜上，直線l的方程為x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積為定值10．

設(shè)P（x1，y1），∵直線y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），∴直線PA、PB的方程分別為y﹣3=，y﹣3=．

令x=0，得M（0，），N（0，），則（）．

∵點(diǎn)P（x1，y1）在圓C上，∴，即，代入（）式，得為定值．

【點(diǎn)睛】

求定值問題常見的方法

①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．

22．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是.（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，得最值后可得，得解析式；

（2）恒成立，作為的函數(shù)可以看作是一次函數(shù)，只要區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值滿足不等式即可．

【詳解】

解：（1）令，解得或（舍），因?yàn)椋芍?，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上的最大值為，最小值為，解得，.（2）由（1）知，恒成立，令，則在上恒成立，等價(jià)于：，即.解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】

本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查不等式恒成立問題．解題中注意問題的轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題常常要進(jìn)行轉(zhuǎn)化．