《固體物理學(xué)》習(xí)題解答

黃昆

原著

韓汝琦改編

（陳志遠(yuǎn)解答，僅供參考）

第一章

晶體結(jié)構(gòu)

1.1、解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來(lái)的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，（1）對(duì)于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)：（見(jiàn)教材P2圖1-1）

a=2r，V=，Vc=a3，n=1

∴

（2）對(duì)于體心立方：晶胞的體對(duì)角線(xiàn)BG=

n=2,Vc=a3

∴

（3）對(duì)于面心立方：晶胞面對(duì)角線(xiàn)BC=

n=4，Vc=a3

（4）對(duì)于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=

晶胞的體積：V=

n=12=6個(gè)

（5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對(duì)角線(xiàn)BG=

n=8,Vc=a3

1.2、試證：六方密排堆積結(jié)構(gòu)中

證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、B、O的中心聯(lián)線(xiàn)形成一個(gè)邊長(zhǎng)a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是：

NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體。…

1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。

證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是體心立方。

（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：

由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。

所以，體心立方的倒格子是面心立方。

1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。

證明：

因?yàn)?，利用，容易證明

所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。

1.6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿(mǎn)足：，其中為立方邊長(zhǎng)；并說(shuō)明面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面，其面密度較大，容易解理。

解：簡(jiǎn)單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：

倒格子矢量：，晶面族的面間距：

面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。

第二章

固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（）和庫(kù)侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為。

＜解＞

設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為

當(dāng)X=1時(shí)，有

2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為

試求：（1）平衡間距；

（2）結(jié)合能（單個(gè)原子的）；

（3）體彈性模量；

（4）若取，計(jì)算及的值。

解：（1）求平衡間距r0

由，有：

結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來(lái)，這個(gè)能量稱(chēng)為結(jié)合能（用w表示）

（2）求結(jié)合能w（單個(gè)原子的）

題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，說(shuō)明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。

顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即Umin

即：

（可代入r0值，也可不代入）

（3）體彈性模量

由體彈性模量公式：

（4）m

=

2，n

=

10，w

=

4eV，求α、β

①

②

將，代入①②

（1）平衡間距r0的計(jì)算

晶體內(nèi)能

平衡條件，（2）單個(gè)原子的結(jié)合能，（3）體彈性模量

晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目

晶體內(nèi)能

由平衡條件，得

體彈性模量

（4）若取，，第三章

固格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)

3.2、討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個(gè)格波解，當(dāng)=

時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)。

解：質(zhì)量為的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；質(zhì)量為的原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

牛頓運(yùn)動(dòng)方程

N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程

設(shè)方程的解，代回方程中得到

A、B有非零解，則

兩種不同的格波的色散關(guān)系

一個(gè)q對(duì)應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N.當(dāng)時(shí)，兩種色散關(guān)系如圖所示：

長(zhǎng)波極限情況下，與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地為和，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫(huà)出色散關(guān)系曲線(xiàn)。此問(wèn)題模擬如這樣的雙原子分子晶體。

答：（1）

淺色標(biāo)記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3

……；深色標(biāo)記原子位于2n，2n+2，2n+4

……。

第2n個(gè)原子和第2n＋1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：

體系N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程

方程的解：，令，將解代入上述方程得：

A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿(mǎn)足：

因?yàn)?、，令得?/p>

兩種色散關(guān)系：

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）色散關(guān)系圖：

3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有

求證：;.＜解＞

依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有

3.8、有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。

證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則，第四章

能帶理論

4.1、根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及?，并說(shuō)明它們的特性．說(shuō)明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布說(shuō)明能隙的來(lái)源(假設(shè)=)。

＜解＞令，簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為

取

帶入上式，其中

V(x)<0，從上式得到B=

-A,于是

=

取，=

由教材可知，及均為駐波．

在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零．產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長(zhǎng)，恰好滿(mǎn)足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。

4.2、寫(xiě)出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。

＜解＞

第一能帶：

第二能帶：

第三能帶：

4.3、電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能．

0，其中d＝4b，是常數(shù)．試畫(huà)出此勢(shì)能曲線(xiàn)，求其平均值及此晶體的第一個(gè)和第二個(gè)禁帶度．

＜解＞(I)題設(shè)勢(shì)能曲線(xiàn)如下圖所示．

(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以

題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分．這時(shí)，于是。

（3），勢(shì)能在[-2b,2b]區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)

利用積分公式得

第二個(gè)禁帶寬度代入上式

再次利用積分公式有

4.4、解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方。

（1）如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：

在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取，則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：

①

②

③

由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ(chēng)的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡(jiǎn)單表示為J1=。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱(chēng)，即

∴在近鄰重疊積分中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正

∴J1＞0。

于是，把近鄰格矢代入表達(dá)式得到：

=

+

=

=

（2）對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：

4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長(zhǎng)度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3）如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級(jí)及處的能態(tài)密度。

＜解＞

(2),(3),第五章

晶體中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

5.1、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫(xiě)成，其中為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。

試求（1）能帶寬度；

（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度；

（3）帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。

解：（1）

=[－coska+(2cos2ka－1)]

＝[(coska－2)2－1]

當(dāng)ka＝(2n+1)p時(shí),n=0,±1,±2…

當(dāng)ka=2np時(shí),能帶寬度＝

（2）

(3)

當(dāng)時(shí),帶底，當(dāng)時(shí),帶頂，—

END

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