第一篇：數(shù)列求和優(yōu)秀教案

題組教學(xué)：“探索—研究—綜合運(yùn)用”模式

——“數(shù)列的裂差消項(xiàng)求和法解題課”教學(xué)設(shè)計(jì)

【課例解析】 教材的地位和作用

本節(jié)課是人教A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第2章 數(shù)列學(xué)完基礎(chǔ)知識后的一節(jié)針對數(shù)列求和方法的解題課。通過本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生感受裂差消項(xiàng)求和法在數(shù)列求和中的魅力，體會裂項(xiàng)相消的作用，達(dá)到提高學(xué)生運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和的能力，并把培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識和合作，探索意識作為教學(xué)目標(biāo)。

學(xué)情分析

在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的一般概念，又對等差、等比數(shù)列從定義、通項(xiàng)、性質(zhì)、求和等方面進(jìn)行了深入的研究。在研究過程中，數(shù)列求和問題重點(diǎn)學(xué)習(xí)了通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和的方法，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列求和公式時(shí)用到了錯(cuò)位相減法、倒序相加法和裂差消項(xiàng)求和法，本節(jié)課在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步對裂差消項(xiàng)求和法做深入的研究。本節(jié)課的內(nèi)容和方法正處于學(xué)生的認(rèn)知水平和知識結(jié)構(gòu)的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生能較好的完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

【方法闡釋】

本節(jié)課的教學(xué)采用心智數(shù)學(xué)教育方式之“題組教學(xué)”模式，分為“創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課，題組探索、自主探究，題組研究、匯報(bào)交流，題組綜合、鞏固提高，歸納總結(jié)、提升拓展”五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)．

本節(jié)課從學(xué)生在等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程中用到的裂差消項(xiàng)求和法引入，從課本習(xí)題的探究入手展開教學(xué)，學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)裂差消項(xiàng)求和法，并很快進(jìn)入深層次思維狀態(tài)。接下來的研究性題組和綜合性題組又從更深更廣的層面加強(qiáng)裂差消項(xiàng)求和法的應(yīng)用。

【目標(biāo)定位】 知識與技能目標(biāo)

掌握裂項(xiàng)相消法解決數(shù)列求和問題的基本思路、方法和適用范圍。進(jìn)一步熟悉數(shù)列求和的不同呈現(xiàn)形式及解決策略。2 過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷數(shù)列裂差消項(xiàng)求和法的探究過程、深化過程和推廣過程。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。體會知識的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。3 情感與價(jià)值觀目標(biāo)

通過數(shù)列裂差消項(xiàng)求和法的推廣應(yīng)用，使學(xué)生認(rèn)識到在學(xué)習(xí)過程中的一切發(fā)現(xiàn)、發(fā)明，一切好的想法和念頭都可以發(fā)揚(yáng)光大。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)新意識，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。感悟數(shù)學(xué)的簡潔美﹑對稱美。4教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為裂項(xiàng)相消求和的方法和形式。能將一些特殊數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)相消求和問題。

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為用裂項(xiàng)相消的思維過程，不同的數(shù)列采用不同的方法，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想分析問題和解決問題。

【課堂設(shè)計(jì)】

一、創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課

教師：請同學(xué)們回憶一下，我們在推導(dǎo)數(shù)列求和公式時(shí)，先后發(fā)現(xiàn)了哪幾種數(shù)列求和的方法？

學(xué)生1：在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)時(shí)我們用到了倒序相加法。在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)中我們發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)位相減法、裂差消項(xiàng)求和法。

學(xué)生2：在學(xué)習(xí)求和過程中，我們還發(fā)現(xiàn)了分組求和法和通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

我的思考：在推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式時(shí)，有的小組根據(jù)等比數(shù)列求和公式的形式，想到用裂差消項(xiàng)求和法。這節(jié)課就是從學(xué)生的這種想法開始，使學(xué)生體會到自己的一個(gè)想法，再繼續(xù)下去就能解決一類問題。

等比數(shù)列求和公式用裂差消項(xiàng)求和法證明如下：

?q?1.a1a1qa1qa1q2a1q2a1q3a1qn?1a1qn?Sn?(?)?(?)?(?)???(?)

1?q1?q1?q1?q1?q1?q1?q1?qa1a1qna1(1?qn)?? = 1?q1?q1?q

二、題組探索、自主探究

教師：請同學(xué)們思考下列探索性題組中問題解法： 出示探索性題組(多媒體投影)求和: 1．sn?(1?)?(?)?(?)???（2．sn?121213131411?)nn?111111 ??????1?22?33?44?5n??n?1?11111 ??????1?33?55?77?9(2n?1)??2n?1?1111 ?????2?55?88?11(3n?1)??3n?2?3．sn?4．sn?

學(xué)生獨(dú)立思考后，各小組討論交流各自的想法，各小組選派代表在全班交流。

學(xué)生3；第一題去掉括號后，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能消去。sn?1?1n ?n?1n?1111??，n??n?1?nn?11??11??11?1?1n?1? ????????????????1?2??23??34?nn?1n?1n?1??學(xué)生4：第2題的每一項(xiàng)與第一題相同，每一項(xiàng)都可裂成兩項(xiàng)，數(shù)列通項(xiàng)an?所以，sn??1???教師：用an?111??對嗎？為什么？

n??n?2?nn?2學(xué)生5：不行了，很明顯，左右是不相等的關(guān)系。教師：怎樣改變呢？

學(xué)生5：待定系數(shù)法，配平系數(shù)，達(dá)到平衡。應(yīng)該乘以

1！2和第2題相似，每一項(xiàng)也可裂成兩項(xiàng)實(shí)現(xiàn)裂差消項(xiàng)求和。數(shù)列的項(xiàng)1111?(?)，m??m?2?2mm?21?1?1?11?1?11?1?11?1????????????????? 2?2?2?23?2?34?2?2n?12n?1?所以，sn?=11n(1?)?, 22n?12n?1學(xué)生6：第4題的變形與第3題類似

an?11?11????? ?3n?1??3n?2?3?3n?13n?2?1?11?1?11?1?11?1?11?sn??????????????????3?25?3?58?3?811?3?3n?13n?2?1?11?n ?????3?23n?2?2(3n?2)

變式問題：求和sn?1111 ?????1?(1?k)(1?k)(1?2k)(1?2k)(1?3k)(1?(n?1)k)(1?nk)學(xué)生7：每一項(xiàng)同樣可裂成兩項(xiàng)，通過裂差消項(xiàng)求和法求和：

sn?1?1?1?11?1?11???1????????????k?1?k?k?1?k1?2k?k?1?(n?1)k1?nk???1??1??11?11?????1???????????1?(n?1)k?1?nk???k??1?k??1?k1?2k?????11n(1?)?k1?nk1?nk教師：通過以上探索性題組我們發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？（學(xué)生表述，教師點(diǎn)評，補(bǔ)充。）結(jié)論：一般地，{an}是公差為d的等差數(shù)列，則：Sn?111???? a1a2a2a3anan?1?1?11?1?11?1?11?????????????? ??????d?a1a2?d?a2a3?d?anan?1?1?11?n?????aa d?aan?1?1n?1?1?教師小結(jié)：分母為等差數(shù)列的某相鄰兩項(xiàng)之積，而分子為常量的分式型數(shù)列的求和，將它的每一項(xiàng)分解為兩項(xiàng)差的形式，前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，求和時(shí)中間項(xiàng)互相抵消，這種數(shù)列求和的方法就是裂差消項(xiàng)求和法。

三、題組研究、匯報(bào)交流 出示研究性題組 1． 求數(shù)列??1??的前n項(xiàng)和。

n(n?2)??2．求數(shù)列1111，,?，?的前n項(xiàng)和？ 1?53?75?9(2n?1)(2n?3)2242(2n)2????3．求和：Sn? 1?33?5(2n?1)(2n?1)（學(xué)生分組討論解題思路，教師巡回，對個(gè)別學(xué)生問題進(jìn)行指導(dǎo)，師生共同討論。）

教師：觀察研究性題1和探索性問題的解法有何不同呢？

學(xué)生8：有所不同，消去的項(xiàng)不一樣了。前面和后面各有兩項(xiàng)沒有消去，前面是兩正項(xiàng)，后面是兩負(fù)項(xiàng)。

解：數(shù)列的通項(xiàng)公式可變形為：an?11?11?????

n??n?2?2?nn?2?所以：sn???1?1?1?11?1?11?1?11?1?????????????????2?3?2?24?2?35?2?nn?2?1??1??11??11?1???11??????????????????2?32435nn?2??????????1?111?1?32n?3?????1??????2?2n?1n?2?2?2?n?1??n?2???n(3n?5)?4(n?1)(n?2)學(xué)生9：方法與第1題類似 解：通項(xiàng)an?

1111?(?)

(2n?1)(2n?3)42n?12n?31111111111?Sn?[(1?)?(?)?(?)???(?)?(?)4537592n?32n?12n?12n?3

1111n(4n?5)?(1???)?432n?12n?33(2n?1)(2n?3)教師分析：研究性題3中數(shù)列的分子是偶數(shù)的平方，分母是奇數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的乘積；從上面的經(jīng)驗(yàn)看：該數(shù)列求和使用“裂項(xiàng)相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數(shù)。注意到該數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項(xiàng)；

考慮到(2n)?(2n)?1?1?(2n?1)(2n?1)?1

所以使用處理分式函數(shù)的常用手段，分離常數(shù)法即可把分子化為常數(shù)。變形如下： 22(2n)2(2n)2?1?11學(xué)生10：解：an? ??1?(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)(2n?1)111?1?(?)

22n?12n?1∴Sn?n?11111n=n?(1? ????)?n?1?33?5(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（學(xué)生說題，鍛煉學(xué)生的表述能力，思維能力）

教師：以上裂項(xiàng)求和類型大家掌握的比較好了，我們一起看下面的問題：

四、題組綜合、鞏固提高 1．求數(shù)列?lg(1???1?)?前n項(xiàng)的和。n?12．求數(shù)列????的前n項(xiàng)和

n?1?n??3．已知數(shù)列?an?，an?1求數(shù)列的前項(xiàng)和sn

n?n?1??n?2?（分組討論解題思路，教師做適當(dāng)點(diǎn)撥和引導(dǎo)，學(xué)生展示解題過程。）

n?1?lg(n?1)?lgn n1111所以，Sn?lg(1?)?lg(1?)?lg(1?)???lg(1?)

123n234n??lg()?lg()?lg()???lg()

123n學(xué)生11：lg(1?)?lg1n?(lg2?lg1)?(lg3?lg2)?(lg4?lg3)???(lg(n?1)?lgn)??lg1?lg(n?1)?lg(n?1)

學(xué)生12：也可不裂項(xiàng)變?yōu)楦黜?xiàng)相乘約項(xiàng)。解：Sn?lg(1?)?lg(1?)?lg(1?)???lg(1?13234n?1?lg()?lg()?lg()???lg()

123n234n?1?lg(?????)?lg(n?1)

123n11121)n教師：很好，這又是一個(gè)好想法，課后同學(xué)們可探究一下有哪些數(shù)列求和適用這種方法。教師：對于第2題，很明顯，我們沒法進(jìn)行合并，分母也不是兩個(gè)積的乘積形式，不太符合以上方法。我們搜尋一下，以前我們見過這種式子嗎？對它有什么變形方法？

學(xué)生13：以前我們處理過這種無理式，可以分母有理化。對(大部分學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了這種方法)，有理化后就變成兩項(xiàng)之差的形式，同樣可用裂差消項(xiàng)求和法。

（學(xué)生板演解題過程）

解：分母有理化，∵

1n?1?n1?n?1?n

∴12?1?13?2???n?1?nn?1?n

??2?1???3?2??????n?1?1?，且sn?9，則n＝_____ 學(xué)生開始興奮起來，課堂上氣氛達(dá)到了空前高漲。小試牛刀：在數(shù)列?an?中，an?1n?n?1學(xué)生說明答案。

教師：對于第3題，我們又遇到新問題。分母變成三項(xiàng)積的形式，如何變形?（學(xué)生紛紛試驗(yàn)各種裂項(xiàng)的方案。）學(xué)生：還是應(yīng)該考慮裂項(xiàng)的方法。我最先試驗(yàn)的是能否像探索性題組那樣分裂成11、、nn?111的和差形式。我發(fā)現(xiàn)an?不能直接化為它們的差，即使化為它們的差

n?n?1??n?2?n?2也解決不了相消的問題。

教師：你們希望什么樣的變形？

學(xué)生：我希望也像探索性問題一樣，每一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，并且要能消項(xiàng)才行。教師：對，“兩項(xiàng)、能消項(xiàng)”，你們有想法就要設(shè)法按照自己的思路試一下。

學(xué)生14：我有了一個(gè)想法，按照“兩項(xiàng)、能消項(xiàng)”的要求，1就不能考慮

n?n?1??n?2?111、、的和差形式。兩項(xiàng)又必須相對對稱的，我們先考慮最簡單的兩項(xiàng)的nn?1n?211變形，中，第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都有2出現(xiàn)，是否可考慮讓作差的兩個(gè)式子?1?2?32?3?4變成中都出現(xiàn)2哪？

（在教師、學(xué)生的啟發(fā)下，學(xué)生紛紛試驗(yàn)著裂項(xiàng)方法）

111學(xué)生14：我試驗(yàn)過了an?[?]，這也符合“對稱、和諧”的美

2n(n?1)(n?1)(n?2)學(xué)原理。

解：sn?1111 ?????1?2?32?3?43?4?5n?n?1??n?2???1?111111??????? ??2?1?22?32?33?4n?n?1??n?1??n?2???1?11?? ????2?2n?1n?2????n?n?3? 4?n?1??n?2?

五、歸納總結(jié)、提升拓展

教師：應(yīng)該注意什么問題？

學(xué)生：裂差消項(xiàng)求和法多用于分母為等差數(shù)列的某相鄰k項(xiàng)之積，而分子為常量的分式型數(shù)列的求和，對裂項(xiàng)相消法求和，其裂項(xiàng)可采用待定系數(shù)法確定，并注意能否正負(fù)抵消。

師生共同小結(jié)：(學(xué)生敘述,教師進(jìn)行補(bǔ)充和整理)教師板演要點(diǎn)：

1裂項(xiàng)抵消法多用于分母為等差數(shù)列的某相鄰項(xiàng)之積，而分子為常數(shù)的分式型數(shù)列的求和。

2裂項(xiàng)有困難時(shí)，可采用待定系數(shù)法來確定。

3在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng),還剩下哪些項(xiàng)，有困難時(shí)可多寫幾項(xiàng),然后仔細(xì)觀察消項(xiàng)規(guī)律，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。

4對于分母是兩個(gè)二次根式的和，且被開方數(shù)是等差數(shù)列，利用分母有理化，使分母上的和變成了分子上的差，從而因中間項(xiàng)相消而可求Sn。

5裂項(xiàng)相消法適用于 ??c??其中?an?是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分

aa?nn?1?無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

教師：若求數(shù)列1?4,2?5,3?6,?,n??n?3?,?前n項(xiàng)和sn呢?還能用裂項(xiàng)相消法嗎？為什么？請同學(xué)們課下探究以下。（為后面數(shù)列的分組求和的教學(xué)做鋪墊）

教師：今天這節(jié)課我們主要研究了一些非等差(比)的特殊數(shù)列求和方法。同學(xué)們回憶一下這些數(shù)列求和的指導(dǎo)思想是什么? 學(xué)生：將部分?jǐn)?shù)列求和通過變形轉(zhuǎn)化為裂項(xiàng)求和。

教師：對，解決這些數(shù)列求和問題的思路是將它們轉(zhuǎn)化基本的裂差消項(xiàng)求和，從而解決問題。這種思想也是我們數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常用到的一種思想——化歸思想。

(給學(xué)生時(shí)間回顧以上內(nèi)容及方法。)教師：能否總結(jié)一下裂項(xiàng)相消法所應(yīng)用的具體公式？ 學(xué)生：我們所用的裂項(xiàng)公式有：（1）11111?11?，??????

n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?11????? ?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??11?11??? ?n?n?1??n?2?2?n?n?1??n?1??n?2??（2）

（3）

（4）1n?1?n?n?1?n

（5）n11 ???n?1?!n!?n?1?!教師課堂總結(jié)：裂差消項(xiàng)求和法：若一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都可以化為兩項(xiàng)之差，并且前一項(xiàng)的減數(shù)恰與后一項(xiàng)的被減數(shù)相同，求和時(shí)中間項(xiàng)互相抵消。以上題目雖然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。

此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。

注意：余下的項(xiàng)前后的位置前后是對稱的，余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

教師：最后，留幾個(gè)問題供大家課后繼續(xù)研究，希望大家能給出解答。大家仔細(xì)觀察，和習(xí)題中的題目具有哪些相似之處，聯(lián)系在哪里？又有哪些不同，可以類比的方法是哪些？

1．求和：1?111 ????1?21?2?31?2?3???n8n2．求數(shù)列an??2n?1??2n?1?22的前n項(xiàng)和？

（an22?2n?1???2n?1???22?2n?1??2n?1??2n?1?2?2n?1?28n?1?2n?1?2?1?2n?1?2）

3．求和：sn?1111?????

1?2?3?42?3?4?53?4?5?6n?n?1??n?2?(n?3)【教有所思】

本節(jié)課心智教育方式之題組教學(xué)法。充分體現(xiàn)學(xué)生是主體，問題是中心，探索是主線。課堂是師生共同參與課堂活動的舞臺?！皢栴}”是解決人類思維的一種普遍的表現(xiàn)形式，也是心理學(xué)家們熱衷的重要研究課題之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應(yīng)用和學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，以及實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強(qiáng)。無不從“問題”開始，在研究問題﹑解決問題的過程中努力實(shí)現(xiàn)。因此，課堂教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是依據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，師生重組舊知識，不斷發(fā)現(xiàn)問題﹑研究問題﹑解決問題的活動。老師的作用是如何將學(xué)生的思路所隱藏的數(shù)學(xué)思想和方法挖掘出來，深化并完善它。小組討論的方式有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神，互相啟迪，互相促進(jìn)。從而在活動的過程中不斷培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維習(xí)慣。

本節(jié)課通過逐步引導(dǎo)，層層設(shè)疑，讓學(xué)生經(jīng)歷裂差消項(xiàng)求和的過程，使教材更生動，更具親和力。在裂差消項(xiàng)求和法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，設(shè)置了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生合作與交流，強(qiáng)化學(xué)生的合作意識、協(xié)作精神，收到了很好的效果，學(xué)生學(xué)會了如何轉(zhuǎn)化。

新課程的編排特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方式的變化，使課堂教學(xué)方法發(fā)生了重大變化。新課程提倡教學(xué)目標(biāo)綜合化、多元化和均衡性，知識生活化，使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識理解的同時(shí)，在思維能力、觀察能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

本節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)突出了某些重要的數(shù)學(xué)思想方法，如：類比思想，歸納思想，特殊到一般的思想方法。充分注意了學(xué)生的觀察，猜想，發(fā)現(xiàn)，歸納，總結(jié)等學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)，強(qiáng)化了歸納思想的具體應(yīng)用。突出體現(xiàn)了特殊到一般的思想，突出了通過對特殊數(shù)列的各項(xiàng)關(guān)系，運(yùn)算，性質(zhì)的研究推廣到一般數(shù)列相應(yīng)問題研究的思想。借助函數(shù)的背景和研究方法研究有關(guān)數(shù)列的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生用已知去研究未知的能力。

最后的小結(jié)要進(jìn)一步使學(xué)生明白：裂差消項(xiàng)求和法，如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，常選用裂項(xiàng)相消法求和，體現(xiàn)了知識的連貫性，有助于學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。

第二篇：數(shù)列求和教案

數(shù)列求和

數(shù)列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數(shù)的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項(xiàng)重組：適用于數(shù)列

1n)(?2 1)?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數(shù)列或者等比數(shù)列或者自然數(shù)的乘方；

（3）錯(cuò)位相減：適用于數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數(shù)列，?cn?為等比數(shù)列；

（4）裂項(xiàng)相消：適用于數(shù)列?a的通項(xiàng)公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數(shù)）型；

（5）倒序相加：根據(jù)有些數(shù)列的特點(diǎn)，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的.（6）

分段求和：數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項(xiàng)重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習(xí)1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項(xiàng)相消）求數(shù)列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項(xiàng)和

練習(xí)2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯(cuò)位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習(xí)3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設(shè)f(x)?4x4x?2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數(shù)列?n?的通項(xiàng)公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn

檢測題

1.設(shè)f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列． A.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

4.設(shè)數(shù)列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)；

（Ⅱ）設(shè)bnn?a，求數(shù)列?bn?的前n項(xiàng)和Sn n

5.求數(shù)列22,462n22,23,???,2n,???前n項(xiàng)的和.6：求數(shù)列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.7：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn?2an?1，數(shù)列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

8：

求數(shù)列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項(xiàng)和Sn．

．

9、已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數(shù)f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第三篇：數(shù)列求和教案

課題：數(shù)列求和

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能目標(biāo)

數(shù)列求和方法．

（二）過程與能力目標(biāo)

數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路． 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)列求和方法及其獲取思路．

教學(xué)過程

1．倒序相加法：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)和為1，故宜采用倒序相加法．

小結(jié): 對某些前后具有對稱性的數(shù)列,可運(yùn)用倒序相加法求其前n項(xiàng)和.2．錯(cuò)位相減法：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項(xiàng)和； 161例4．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?，前n項(xiàng)和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數(shù)列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項(xiàng)；（Ⅱ）求?nSn?的前n項(xiàng)和Tn。例5．求數(shù)列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項(xiàng)和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項(xiàng)法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，則an?例7．求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n

（裂項(xiàng)）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項(xiàng)求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結(jié)：

1．常用數(shù)列求和方法有：

(1)公式法: 直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式;(2)化歸法: 將已知數(shù)列的求和問題化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項(xiàng)有對稱性的數(shù)列求和；

(4)錯(cuò)位相減法: 對等比數(shù)列與等差數(shù)列組合數(shù)列求和；(5)并項(xiàng)求和法: 將相鄰n項(xiàng)合并為一項(xiàng)求和；(6)分部求和法：將一個(gè)數(shù)列分成n部分求和；

(7)裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩項(xiàng)之差，從而在求和時(shí)產(chǎn)生相消為零的項(xiàng)的求和方法.四、課外作業(yè)： 1．《學(xué)案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項(xiàng)的和.481612n2??????（2）．在數(shù)列{an}中，an?，又bn?，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數(shù)列：（3）．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設(shè)Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數(shù)列的性質(zhì) m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10

第四篇：數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．初步掌握一些特殊數(shù)列求其前n項(xiàng)和的常用方法．

2．通過把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：把某些既非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的數(shù)列化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列求和． 難點(diǎn)：尋找適當(dāng)?shù)淖儞Q方法，達(dá)到化歸的目的． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

在這之前我們知道一般等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和,但是有時(shí)候題目中給我們的數(shù)列并不是一定就是等比數(shù)列和等差數(shù)列,有可能就是等差數(shù)列和等比數(shù)列相結(jié)合的形式出現(xiàn)在我們面前,對于這樣形式的數(shù)列我們該怎么解決,又該用什么方法?

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

通過學(xué)習(xí)我們掌握了是不是等差等比數(shù)列的判斷,同時(shí)我們也掌握也一般等差或者等比數(shù)列的一些性質(zhì)和定義,那么對于題中給我們的數(shù)列既不是等差也不是等比的數(shù)列怎么求和呢,帶著這樣的問題來學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容

三、知識講解 考點(diǎn)

1、公式法

如果一個(gè)數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式來求.1、等差數(shù)列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?

2、等比數(shù)列求和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn113、Sn??k?n(n?1)

4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n15、Sn??k3?[n(n?1)]2

2k?1n

考點(diǎn)

2、分組求和法

有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例求和：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n? 解：Sn??2?3?5?1???4?3?5?2???6?3?5?3?????2n?3?5?n?

??2?4?6???2n??3?5?1?5?2?5?3???5?n?

4，6，?，2n?練習(xí)：求數(shù)列2，14181161，?的前n項(xiàng)和Sn． 2n?11?1?{2n}，而數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，數(shù)列?n?1?是一個(gè)等比

2n?1?2?分析：此數(shù)列的通項(xiàng)公式是an?2n?數(shù)列，故采用分組求和法求解．

1?11?111解：Sn?(2?4?6???2n)??2?3?4???n?1??n(n?1)??n?1．

2?22?222小結(jié)：在求和時(shí)，一定要認(rèn)真觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果它能拆分成幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么我們就用此方法求和.考點(diǎn)

3、、倒序相加

類似于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。

這一種求和的方法稱為倒序相加法.這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1?an).例求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值

解：設(shè)S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?????.①

將①式右邊反序得

S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?????..②（反序）

又因?yàn)?sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1

①+②得（反序相加）

2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89 ∴ S＝44.5

2x練習(xí)：已知函數(shù)f?x??x 2?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

?1?（2）求f????10??2?f??????10??8?f????10??9?f??的值.?10?解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，?1?f????10??9??2?f???f????10??10??8?f??????10??8?f????10??2?f????10??5?f????10??5?f???1 ?10??1?令S?f????10??9?則S?f????10??2?f??????10??8?f??????10??9?f?? ?10??1?f?? ?10?兩式相加得：

?2S?9???

?1?f????10?9?9??f????9 所以S?.2?10??小結(jié)：解題時(shí)，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運(yùn)用倒序相加法求和.考點(diǎn)

4、裂相相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂項(xiàng)相消法。適用于類似?

?（其中{an}是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：

1，求它的前n項(xiàng)和Sn

n(n?1)例、數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?解：Sn?a1?a2?a3???an?1?an

?11111 ??????1?22?33?4n?1nnn?1????1??11??1??11??11??1 =?1????????????????????

22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小結(jié)：裂項(xiàng)相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項(xiàng)可以分解成兩項(xiàng)的差，且這兩項(xiàng)是同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項(xiàng)時(shí)前后所剩的項(xiàng)數(shù)相同.?1?針對訓(xùn)練

5、求數(shù)列 1111，,?，?的前n項(xiàng)和Sn.1?22?33?2n?n?1練習(xí)：求數(shù)列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an?n?n?11??n?1?n（裂項(xiàng)）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????（裂項(xiàng)求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

作業(yè)：基本練習(xí)

2221、等比數(shù)列{an}的前ｎ項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則a12?a2＝________________.?a3???an2、設(shè)Sn??1?3?5?7???(?1)n(2n?1)，則Sn＝_______________________.3、111?????.1?44?7(3n?2)?(3n?1)

4、1111=__________ ???...?2?43?54?6(n?1)(n?3)

5、數(shù)列1,(1?2),(1?2?22),?,(1?2?22???2n?1),?的通項(xiàng)公式an?，前n項(xiàng)和Sn? 綜合練習(xí)1、12?22?32?42?52?62???992?1002＝____________；

2、在數(shù)列{an}中，an?1，.則前n項(xiàng)和Sn；

n(n?1)(n?2)n?2an?(n?1)(n?2)，n3、已知數(shù)列{an}滿足：a1?6，an?1?（1）求a2，a3；（2）若dn? an，求數(shù)列{dn}的通項(xiàng)公式；

n(n?1)

考點(diǎn)5錯(cuò)位相減

類似于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘得到，即數(shù)列是一個(gè)“差·比”數(shù)列，則采用錯(cuò)位相減法.若an?bn?cn，其中?bn?是等差數(shù)列，?cn?是公比為q等比數(shù)列，令

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn

則qSn?b1c2?b2c3???bn?1cn?bncn?1 兩式相減并整理即得

例4 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1?????????①

解：由題可知，{(2n?1)xn?1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn?1}的通項(xiàng)之積

設(shè)xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?????????.②（設(shè)制錯(cuò)位）

①－②得(1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn（錯(cuò)位相減）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn? 2(1?x)小結(jié)：錯(cuò)位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列{bn}的公比；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.2462n練習(xí)：

1、求數(shù)列,2,3,???,n,???前n項(xiàng)的和.22222n1解：由題可知，{n}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{n}的通項(xiàng)之積

222462n設(shè)Sn??2?3?????n?????????????①

222212462nSn?2?3?4?????n?1????????????②（設(shè)制錯(cuò)22222位）

1222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（錯(cuò)位相減）

222222212n?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2、已知 an?n?2n?1，求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.解：Sn?1?20?2?21???(n?1)?2n?2?n?2n?1 ①

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n ②

②—①得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1

1352n?13、6、,2,3,?,n,?;的前n項(xiàng)和為_________ 222264、數(shù)列{an}中, a1?1,an?an?1?n?1,n?N*，則前n項(xiàng)和S2n=；

55、已知數(shù)列an?n?n!，則前n項(xiàng)和Sn=；

小結(jié)：錯(cuò)位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列?cn?的公比q；②將兩個(gè)等式相減；③利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求和.

第五篇：高一數(shù)學(xué) 數(shù)列求和教案

湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)教案：數(shù)列求和

教材：數(shù)列求和

目的：小結(jié)數(shù)列求和的常用方法，尤其是要求學(xué)生初步掌握用拆項(xiàng)法、裂項(xiàng)法和錯(cuò)位法求一些特殊的數(shù)列。

過程：

一、提出課題：數(shù)列求和——特殊數(shù)列求和

常用數(shù)列的前n項(xiàng)和：1?2?3????n?n(n?1)21?3?5????(2n?1)?n2

n(n?1)(2n?1)

6n(n?1)213?23?33????n3?[]

212?22?32????n2?

二、拆項(xiàng)法：

例

一、（《教學(xué)與測試》P91 例二）

1111?4,2?7,3?10,??,n?1?(3n?2),??的前n項(xiàng)和。aaaa1 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則 an?n?1?(3n?2)

a111?Sn?(1??2????n?1)?[1?4?7????(3n?2)]

aaa求數(shù)列1?1,(1?3n?2)n3n2?n?當(dāng)a?1時(shí)，Sn?n?

221n(1?3n?2)nan?1(3n?1)na

當(dāng)a?1時(shí)，Sn? ??n?n?1122a?a1?a1?

三、裂項(xiàng)法：

例

二、求數(shù)列6666，,??，??前n項(xiàng)和 1?22?33?4n(n?1)?11?6(?)

n(n?1)nn?1解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則bn?

11111?Sn?b1?b2????bn?6[(1?)?(?)????(?)]223nn?1?6(1?16n)?n?1n?1 例

三、求數(shù)列111，??，??前n項(xiàng)和 1?21?2?31?2????(n?1)1211??2(?)

1?2????(n?1)(n?1)(n?2)n?1n?211111111n?)?(?)????(?)]?2(?)? 2334n?1n?22n?2n?2 解：?an? ?Sn?2[（四、錯(cuò)位法：

1}前n項(xiàng)和 n21111 解：Sn?1??2??3???????n?n ①

2482111111Sn?1??2??3????(n?1)?n?n?n?1 ② 248162211(1?n)1111112?n 兩式相減：Sn???????n?n?n?1?212248222n?11?21n1n?Sn?2(1?n?n?1)?2?n?1?n

2222例

四、求數(shù)列{n?例

五、設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn?(求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

解：取n =1，則a1?(an?12)(n?N*)，2a1?12)?a1?1 2又： Sn?n(a1?an)n(a1?an)a?12?(n)

可得：222?an??1(n?N*)?an?2n?1

?Sn?1?3?5????(2n?1)?n2

五、作業(yè)：《教學(xué)與測試》P91—92 第44課 練習(xí)3，4，5，6，7 補(bǔ)充：1.求數(shù)列?1,4,?7,10,??,(?1)(3n?2),??前n項(xiàng)和

n??3n?1n為奇數(shù)?2(Sn??)

3n?n為偶數(shù)?22n?32n?1 2.求數(shù)列{n?3}前n項(xiàng)和(8?n?3)3.求和：(1002?992)?(982?972)????(22?12)(5050)4.求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)(5.求數(shù)列1，(1+a)，(1+a+a)，……，(1+a+a+……+a

22n(n?1)(n?5))

3n

1)，……前n項(xiàng)和

a?0時(shí)，Sn?n a?1時(shí)，Sn?n(n?1)2

n(n?1)a?an?1a?1、0時(shí)，Sn?(1?a)2