第一篇：零點存在定理的教案

教案

課題：零點存在定理 授課人：

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析：

本章位于全書的第3章，零點主要是解決方程求解的問題，應(yīng)用函數(shù)思想的方法，把方程與函數(shù)相結(jié)合，它在較難方程的求根方面有巨大的貢獻，而零點存在定理能確定零點的存在范圍，從而近似的確定零點的值，也即方程的近似根.各個內(nèi)容之間的聯(lián)系：

方程的根?零點?零點存在定理

?

二分法 二、三維目標(biāo)：

知識與技能:會使用零點存在定理解決問題，準(zhǔn)確確定根的范圍，并且使用二分法找到相應(yīng)方程的近似解.過程與方法:通過分析零點附近的值的關(guān)系，得到f(a)f(b)?0的特點，并且通過辨析引出定理,得到定理后，還要針對定理中的每一項進行辨析，得知定理中的每一項必不可少.通過定理我們知道了零點存在的區(qū)間，為了得到零點的值我們又引入了二分法，從而能近似的求解出零點.情感態(tài)度價值觀:讓學(xué)生了解到每一點數(shù)學(xué)知識都是環(huán)環(huán)相扣的,并初步體會到函數(shù)思想的巧妙轉(zhuǎn)化,感受到方程與函數(shù)的聯(lián)系,并且得出另一種解方程的方法,讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)教學(xué)的巧妙之處和知識與知識的緊密聯(lián)系.三、教學(xué)難點與重點：

[難點] 二分法的使用及對定理的理解.[重點] 定理的使用及求解方程的近似根.四、設(shè)計教學(xué)

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了零點的定義，所以我們知道了如果畫出了函數(shù)圖像，我們就能知道函數(shù)是不是有零點，那么如果有些方程的相應(yīng)函數(shù)我們不會畫圖像怎么辦？我們還能知道函數(shù)有沒有零點嗎？通過今天的學(xué)習(xí)，我們就可以不畫圖像直接知道函數(shù)是否有零點.1、引入定理

通過之前的例題，我們知道函數(shù)的零點可能有若干個，為了使問題簡化，我們首先考慮函數(shù)只有一個零點的情況.請大家思考：若函數(shù)y=f(x)是連續(xù)不斷的函數(shù)，且有一個零點，則函數(shù)零點兩端的函數(shù)值有何特征？

因為函數(shù)只有一個零點，所以函數(shù)圖象與x軸只有一個交點。那函數(shù)圖象與x軸會有哪些位置關(guān)系呢？不難想到（無非是兩種情況）：一種為函數(shù)圖象不穿

過x軸；另一種是函數(shù)圖象穿過x軸。

（1）大家先看第一種情況，函數(shù)零點附近函數(shù)值有何特征呢？（同學(xué)回答）

這種情況下，零點附近函數(shù)值同號。那我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應(yīng)的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積大于0；

（2）我們再看另一種情況，此時零點附近函數(shù)值有何特征呢？

（圖像在PPT上顯示動畫過程，讓學(xué)生觀察出圖像穿過x軸的過程，然后知道零點附近的值相反.）

無論怎么穿過，都有零點左右函數(shù)值異號，同樣，我在零點兩端各選一個代表a，b，則它們對應(yīng)的函數(shù)值f(a)、f(b)的乘積就小于0.【分析】

（1）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)>0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點嗎？

①（不一定）那好，你能給大家舉一個反例嗎？

②（一定）好，你先請坐。其他同學(xué)有不同意見么？ 如果函數(shù)有零點，說明函數(shù)圖象一定與x軸有交點。條件告訴我們f(a)f(b)>0，那我不妨設(shè)f(a)、f(b)同時為正，大家請看，通過這兩個點的函數(shù)圖象一定能與x軸有交點么？

顯然是不一定的，比如我舉的這個反例。

這就說明滿足這樣條件的函數(shù)，不能確定 函數(shù)一定有零點。

（2）如果函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，滿足f(a)f(b)<0，那我就不妨設(shè)f(a)小于0，f(b)大于0，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)一定有零點嗎？大家可以在紙上畫一畫，試試看。

①（一定）好，那其他同學(xué)呢？都同意他的觀點嗎？ ②（不一定）你能為大家說明一下你的理由么？

由于函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，并且端點函數(shù)值異號，所以無論怎么畫，函數(shù)圖象一定會與x軸有交點，從而說明函數(shù)怎么樣？——一定有零點！

這樣，我們就得到了判斷函數(shù)是否有零點的方法，即函數(shù)零點存在性定理：

2、零點存在定理

若函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點。即：存在實數(shù)c屬于（a，b），使得f（c）=0，其中c為方程f（x）=0的根。

現(xiàn)在我有一個問題：若函數(shù)滿足在[a,b]上有f(a)f(b)<0,一定能推出（a,b）之間有零點嗎？（思考）

如果可以請說明理由，不能的話請同學(xué)們舉個反例.在這個反例中，f(a)<0, f(b)>0，f(0)=0.5

我們來看，這個定理是我們通過結(jié)合函數(shù)圖象探究而得的，而至于它的嚴(yán)格證明，需要到大學(xué)階段再去研究。

這樣，我們通過引入函數(shù)的零點，將方程與函數(shù)建立起了聯(lián)系，并且為我們提供了一種新的解決方程問題的途徑。此前我們學(xué)習(xí)過的一元一次方程以及一元二次方程都有公式解，但是對于高次方程、超越方程等其他形式的方程而言，通常沒有求根公式。而通過函數(shù)零點存在性定理，就可以去研究這樣一般形式方程根的問題了。

【例】求函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點個數(shù).【解析】因為f(2)?0,f(3)?0,所以在(2,3)之間有零點，又因為函數(shù)f(x)在(0,??)上是單調(diào)遞增的，所以這個函數(shù)只有一個零點.根據(jù)零點存在定理，我們知道函數(shù)是否有零點，但是如果我們想知道零點的值怎么辦呢？接下來，我們要學(xué)習(xí)一個新的求根方法-----二分法.3、二分法（求根的近似值）

我們就以上面的例子來研究，即如何求f(x)?lnx?2x?6的零點呢？ 一個最直觀的想法就是：如果我們把零點存在的范圍(2,3)盡量縮小，那么在一定的精確范圍內(nèi)，我們就可以得到零點的近似值.那我們?nèi)绾慰s小范圍呢？顯然最簡單、最可行的方法就是“取中點”.接下來，我們解答上面的例子來看看二分法是如何運用的.【解析】應(yīng)用零點存在定理，我們知道了f(x)?lnx?2x?6在(2,3)之間有一個零點.接下來我們要用“取中點”的方法縮小零點存在的范圍.取(2,3)的中點2.5，用計算器計算f(2.5)??0.084?0，而f(3)?0，那么f(2.5)f(3)?0，所以在(2.5,3)之間有零點，即縮小了零點所在的范圍.再取區(qū)間(2.5,3)的中點2.75，用計算器計算f(2.75)?0.512?0，而f(2.5)?0，即：f(2.5)f(2.75)?0，所以在(2.5,2.75)之間有零點.我們可以看出零點存在的范圍越來越小了，如果一直取下去，零點存在的范圍會越來越小，這樣，在一定的精確度下，我們就可以在有限次重復(fù)步驟之后，將所得的零點存在的區(qū)間內(nèi)任意一點作為函數(shù)零點的近似值.我們把上面例題縮小區(qū)間的過程畫在表格中：

如果當(dāng)精確度為0.01時，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01,所以我們可以將2.532作為函數(shù)f(x)?lnx?2x?6的零點近似值，也即方程lnx?2x?6?0的近似根.通過這道例題，我們總結(jié)一下使用二分法求近似根（給定精確度?）的步驟：

1、確定區(qū)間[a,b]，驗證f(a)?f(b)?0，給定精確度?；

2、求區(qū)間(a,b)的中點x1；

3、計算f(x1)的值；

（1）若f(x1)?0,則x1就是函數(shù)的零點；

（2）若f(a)f(x1)?0,則令b?x1,此時零點x0?(a,x1)；

（3）若f(x1)f(b)?0,則令a?x1,此時零點x0?(x1,b).4、判斷是否達到精確度?：即若|a?b|??，則零點的近似值是a(或b）；否

則重復(fù)2-4步.【課堂練習(xí)】

1、借助計算器，用二分法求方程x?3?lgx在區(qū)間（2,3）的近似解（精確到.0.01）

2、借助計算器，用二分法求函數(shù)f(x)?lnx?到0.1）

【作業(yè)】

2在區(qū)間（2,3）內(nèi)的零點.（精確xP108，1、3、4、6和P109，3、4.

第二篇：根的存在性證明(零點定理)

根的存在性定理：如果f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

f(a)f(b)?0,則存在??（a,b）使得f(?)?0。

證明利用構(gòu)造法的思想，將f(x)的零點范圍逐步縮小。先將[a,b]二a?ba?ba?b],[,b]，如果f()?0。則定理獲證。如果222

a?ba?bf()?0，)異號，則f(a)和f(b)中必然有一個與f(記這個小區(qū)間22

b?a為[a1,b1],它滿足f(a1)f(b1)?0且區(qū)間的長度b1-a1?。又將[a1,b1]二等2等分為[a,分，考慮中點的函數(shù)值，要么為零，要么不為零。如果中點的函數(shù)值為零，則定理獲證。如果中點的函數(shù)值不為零，那么必然可以選出一個小區(qū)間，使得f(x)在這個區(qū)間的端點值異號，記這個小區(qū)間為

[a2,b2]，它滿足[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]，b2?a2?b?a且f(b2)f(a2)?0。采22

用這樣的方法一直進行下去，或者到有限步時，某個區(qū)間的中點的函數(shù)值為零，這樣定理的結(jié)論成立?；蛘咚袇^(qū)間的中點的函數(shù)值不為零，那么我們就會得到一個無窮的區(qū)間序列{[an,bn]}，它滿足:①

[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]????；②bn?an?b?a；③f(bn)f(an)?0。2n

an?limbn???[a,b]，如果f(?)?0，由單調(diào)有界定理，可以得到limn??n??

則定理獲證。如果f(?)?0，因為f(x)在?點連續(xù)，因而由連續(xù)函數(shù)的局部保號性：存在一個??0，使得f(x)在(???,???)?[a,b]上與f(?)同號。根據(jù)所構(gòu)造的區(qū)間的性質(zhì)②，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時，[an,bn]?(???,???)?[a,b]。根據(jù)區(qū)間的性質(zhì)③，f(bn)f(an)?0，矛盾。

綜上所述，只有f(?)?0，且??[a,b]。定理獲證。

注：上面采用的證明方法是非常有用的二分法，其思想可以廣泛的應(yīng)用于各個領(lǐng)域，而an,bn實際上是函數(shù)零點的近似值。

第三篇：案例 零點定理的教學(xué)設(shè)計

過程與方法是這樣體現(xiàn)的！

一、開放的情境更易于引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)

根據(jù)高中學(xué)生的認知水平，開發(fā)利用教材的探索性內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材，設(shè)計了能啟發(fā)學(xué)生思維的“溫度連續(xù)變化”情境，引導(dǎo)學(xué)生得出本節(jié)課的重要結(jié)論：零點附近兩側(cè)的圖象特征及代數(shù)特征（函數(shù)值異號）。這一片段的課堂教學(xué)實錄如下：

問題1 圖1是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請將圖形補充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

師：在補充圖象的時候請考慮：圖象與x軸是否一定相交。師：有哪位同學(xué)得到與x軸不相交的圖象嗎？（所有同學(xué)都搖頭表示不能畫出）師：困難在哪？為什么畫不出？

生?。阂驗闅鉁氐淖兓B續(xù)不斷，而且有兩個已知的溫度是一正一負。師：很好，因為這兩個原因使得圖象與x軸一定相交。那么，交點可能會在哪兒？

生眾：0到12之間。

師：氣溫變化圖其實也是一個函數(shù)的圖象，它與x軸的交點就是函數(shù)的零點，這樣我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了函數(shù)存在零點的一種判斷方法。

師：函數(shù)存在零點的關(guān)鍵是什么？

生眾：函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的；一個點在x軸下方，一個點在x軸上方。

從上述過程可見，通過 “問答”式這種形式引導(dǎo)學(xué)生進行探究，實踐證明效果較好。但對高中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個充滿價值判斷的過程，最有效的是有引導(dǎo)又不受干擾的思考，屬于學(xué)生自己的獨立思考。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)”，我們認為：讓學(xué)生以研究者的身份通過動手做來解決這一問題，先做后說，也許效果會更好。鑒于此，我們對這一教學(xué)片段重新進行了設(shè)計，把如下的修改問題作為學(xué)生深度思考的一個源題：

問題2 圖1是某地從0點到12點的氣溫變化圖，假設(shè)氣溫是連續(xù)變化的，請用二種不同的方法將圖形補充成完整的函數(shù)圖象。這段時間內(nèi)，是否一定有某時刻的氣溫為0度？為什么？

在課外活動中將印有這個題目的紙張發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生通過研究設(shè)計出二種不同的連結(jié)方法。

上述的圖形連接問題起點低，直觀性強，簡單而內(nèi)涵豐富，且結(jié)論開放，符合高中學(xué)生喜歡動手的特點，適合不同層次學(xué)生進行探究。并在動態(tài)生成中很自然地“更新”了學(xué)習(xí)方式：讓學(xué)生從“聽”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式，改變成在教師的指導(dǎo)下“做”數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)。

二、“預(yù)設(shè)”與“生成”結(jié)合的課堂更精彩

原問題給學(xué)生一個圖，學(xué)生會用最方便直接的方法進行連接（一條直線段），在轉(zhuǎn)換了情境問題后，一次就給學(xué)生二個相同的圖形，要求進行不同的連接，設(shè)計第二個圖的連接有的學(xué)生會面臨困難，教師適時提示：“請大家再試著畫畫看”，“獨立思考幾分鐘”，以更好地激發(fā)學(xué)生的探究欲，在嘗試畫圖和反復(fù)的思索中，—種、兩種、三種??沒有預(yù)設(shè)的連接方法接踵而至，學(xué)生在畫圖過程中，不拘一格大膽思考，使課堂出現(xiàn)“生成”的精彩。學(xué)生是聰明的，無窮的遐想和個性化理解給不同的學(xué)生帶來了不同的收獲（下面僅列舉一部分成果，課堂上用實物投影展示）。

1．讓學(xué)生在表述結(jié)果中進行數(shù)學(xué)交流

教師先從連接線的幾何和數(shù)量特性著手，引領(lǐng)學(xué)生進行課堂交流。學(xué)生畫出的圖形是五花八門的：

(1)用線段連接（如圖2、3等）。

(2)用曲線段連接，學(xué)生給出了很多連接方法，如圖4、5、6、7等都是學(xué)生給出的。

學(xué)生畫出的圖形為課堂教學(xué)提供了豐富的資源，其中包括在區(qū)間(a，b)內(nèi)有單一零點的函數(shù)是單調(diào)的、不單調(diào)的、有多個交點的等。而且也還有因為沒有注意到條件要求而畫錯的圖形（如圖5），這有利于糾正部分學(xué)生對函數(shù)概念理解的偏差。

實踐證明，每一個學(xué)生都希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者。學(xué)生從這一問題的研究出發(fā)，放飛想象，上述這道教師眼里簡單的畫圖題，僅僅在幾分鐘里，學(xué)生通過觀察、猜想、嘗試，就探索出了這么多種不同的畫法，有助于加深對本節(jié)課所學(xué)知識的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累大量的素材，逐步學(xué)會思考。

2．課堂研究中的動態(tài)生成是靈動的教學(xué)資源

構(gòu)建動態(tài)生成的課堂必須把學(xué)生置于教學(xué)的出發(fā)點和核心地位，讓學(xué)生充分地開展自主學(xué)習(xí)，課堂才能煥發(fā)出勃勃生機，呈現(xiàn)出一道優(yōu)美、流動的風(fēng)景線，才能使課堂真正為學(xué)生的發(fā)展服務(wù)。在課堂上要及時合理地捕捉學(xué)生研究得到的動態(tài)生成，讓它多一些真實的美麗，多一些有效的精彩。

（1）學(xué)生畫出的圖形，蘊含著豐富的教學(xué)資源。從圖象與x軸交點（即零點）的個數(shù)看，可以構(gòu)造出任意有限個零點的連接圖。那么，是否存在有無限個零點的連接圖？有的學(xué)生經(jīng)過思考后提出：將線段設(shè)置為與x軸重合，如圖8，其圖象是不間斷的，顯然該函數(shù)的零點為一個區(qū)間，有無限多個。

給學(xué)生幾分鐘的思考時間，給學(xué)生“靈機一動”、“茅塞頓開”的機會，就可能出現(xiàn)“柳暗花明”“出人意料”的結(jié)果，進而極大地激發(fā)學(xué)生的探究欲望，并充分享受發(fā)現(xiàn)的喜悅。

（2）從這些圖形零點附近圖象的代數(shù)特征看，可分成四種情形：函數(shù)值異號（+－；－+）；函數(shù)值同號（++；－－），這樣可把學(xué)生引向本節(jié)課的重要結(jié)論的研究。

（3）前面學(xué)生研究出的連接圖，還可用來協(xié)助解決二節(jié)觀摩課中提出的一系列問題，加深學(xué)生對本課內(nèi)容的理解，如：

問題1 若問題2 若，函數(shù)，函數(shù)

在區(qū)間在區(qū)間

上一定沒有零點嗎？ 上只有一個零點嗎？ 內(nèi)有且只有一個零點？ 問題3 能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間是否一定有f(a)f(b)<0? 問題4 若在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在[a，b]上有一個零點，問題5 若在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上零點個數(shù)一定是有限個嗎? 老師在教學(xué)中的做法是：（在《幾何畫板》直接展示函數(shù)的圖象，不給出函數(shù)解析式，如圖9。引導(dǎo)學(xué)生改變區(qū)間的端點，通過觀察，驗證問題1、2。

師：所以零點存在性定理可以判斷當(dāng)條件滿足時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有零點，但不能確定零點的個數(shù)。

師：能否增加條件，使得函數(shù)在區(qū)間生眾：單調(diào)性。

師：具體說，可以增加這樣的條件：函數(shù)在區(qū)間這里我們利用圖7就能回答這幾個問題。

這樣的生成，讓平淡的課堂變得趣味無窮，讓平常的課堂情節(jié)變得迭宕起伏，不僅將學(xué)生在畫圖過程中動態(tài)生成的信息轉(zhuǎn)化為有效的教學(xué)資源，并在動態(tài)中促

內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。

內(nèi)有且只有一個零點？ 使學(xué)習(xí)內(nèi)容不斷生成，知識不斷建構(gòu)并得到內(nèi)化，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為激情與智慧綜合的生成過程的課堂教學(xué)。

古今中外凡有重大成就的人，在其攀登科學(xué)高峰的征途中，都會給思考留有一定時間。據(jù)說愛因斯坦狹義相對論的建立，經(jīng)過了“十年的沉思”。他說：“學(xué)習(xí)知識要善于思考、思考、再思考，我就是靠這個學(xué)習(xí)方法成為科學(xué)家的。”許多教師在課堂教學(xué)中，由于沒有抓住教學(xué)內(nèi)容的核心，往往堆積了大量細枝末節(jié)問題，教師講得多，給學(xué)生思考的時間少，甚至不給學(xué)生思考機會，導(dǎo)致學(xué)生思維能力得不到培養(yǎng)。因此，教學(xué)設(shè)計時應(yīng)給學(xué)生預(yù)留更多的思考時間和空間。學(xué)習(xí)的效果最終取決于學(xué)生是否真正參與到學(xué)習(xí)活動中，是否積極主動地思考。如果學(xué)生能學(xué)會思考和研究，這比什么目標(biāo)都有意義。

（浙江省衢州市教研室 李世杰）

（摘錄自人民教育出版社網(wǎng)站：精彩的生成來自學(xué)生的自主研究）

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識目標(biāo):通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數(shù)量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據(jù)比例的運算性質(zhì)得到第四項。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】優(yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設(shè)計：

六、教學(xué)反思

第五篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)．教學(xué)重點1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用．教學(xué)難點1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)．教具準(zhǔn)備直角三角板一個三維目標(biāo)

一、知識與技能 1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法 1.讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系； 2.引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進行定理基本應(yīng)用的實踐操作．

三、情感態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力； 2.培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．教學(xué)過程導(dǎo)入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動．師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．師能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進新課 [合作探究]師那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關(guān)系．師很好！這位同學(xué)能充分利用我們以前學(xué)過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學(xué)的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學(xué)生理解和接受,并且消除了學(xué)生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學(xué)生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,我們可以考慮用前面所學(xué)的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sinθ=Cos(90°-θ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并

注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學(xué)生適當(dāng)自學(xué)時間后,應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學(xué)生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學(xué)習(xí)正弦定理的應(yīng)用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根據(jù)正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引導(dǎo)](1)此類問題結(jié)果為唯一解,學(xué)生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學(xué)生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈0.899 9.因為0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）當(dāng)B≈64°時， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）當(dāng)B≈116°時， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引導(dǎo)]通過此例題可使學(xué)生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學(xué)生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當(dāng)然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.當(dāng)A1≈65°時，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.當(dāng)A2≈115°時，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°應(yīng)舍去. ∴當(dāng)B=41°時，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本題無解.點評:此練習(xí)目的是使學(xué)生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí),我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.布置作業(yè)

（一）課本第10頁習(xí)題1.1 第1、2題.

（二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P5～P 8余弦定理 [預(yù)習(xí)提綱](1)復(fù)習(xí)余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識.(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題.板書設(shè)計正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:(1)平面幾何法(1)已知兩角和一邊(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對角