第一篇：三年級奧數(shù)等差數(shù)列求和教學(xué)設(shè)計(jì)

《等差數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】：

1、通過學(xué)習(xí)，初步建立配對求和的邏輯推理，簡便計(jì)算的能力。

2、培養(yǎng)學(xué)生的觀察和思考的能力。

3、學(xué)習(xí)本課知識有助于養(yǎng)成全面地，由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習(xí)慣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

用配對求和的簡便方法解決問題，推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)?！窘虒W(xué)過程】

一、激趣引入

老師：同學(xué)們，如果，我說的是如果。你們第一次來上課老師獎勵你們沒人一塊錢，第二次獎勵兩塊，第三次獎勵三塊，??請問，到第10次課后，你們每人得到了多少錢？（學(xué)生在草稿紙上計(jì)算，老師板書；1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）老師：你們有什么簡便的方法計(jì)算出這個式子的結(jié)果嗎？ 學(xué)生：湊十法！老師：怎么湊？

學(xué)生：1+9，2+8，3+7，4+6。

老師：很好，湊十法也能夠很快算出結(jié)果。不過，湊十法也有缺陷，你們看，用湊十法最后還剩下走不到伴的數(shù)。大家想想，還有什么辦法計(jì)算？（學(xué)生思考，討論。）老師：請同學(xué)來回答。

學(xué)生：第一個數(shù)和最后一個數(shù)相加，第二個數(shù)和倒數(shù)第二個數(shù)相加??

老師：這位同學(xué)觀察很仔細(xì)。1加上10等于11，2加上9等于11??這里面十個數(shù)剛好分為了5組，每組的和都是11.。所以我們也可以這樣來計(jì)算這個式子的和。（板書：

（小結(jié)：在這里，我們使用了一種簡便的計(jì)算方法：配對求和。即先配對再求和。）

二、講授新課

老師：如果，還是如果。老師愛心泛濫，繼續(xù)獎勵你們money。請問，第一百天后，你們每人得到多少錢呢？

（板書：例題一＋ 2 ＋ 3 ＋ 4＋ ? ＋ 98 ＋ 99 ＋ 100）

老師：這個式子又該怎樣計(jì)算呢？就用剛才老師教的配對求和的方法。誰和誰配對呢？ 學(xué)生：1和100，2和99，3和98??（副板書：

老師：總共有多少對呢？ 學(xué)生：50對。

老師：沒錯，一百個數(shù)，兩個數(shù)一對，可以分為100除以2等于50對。所以在這道題中，我們也可以這樣計(jì)算。（板書：

老師：1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＋100。這是一個自然數(shù)列，它們有著這樣的規(guī)律。從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差都相等，這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列。后項(xiàng)與前項(xiàng)的差叫該數(shù)列的公差。我們把數(shù)列的第一項(xiàng)叫首項(xiàng)，最后一項(xiàng)叫末項(xiàng)。

等差數(shù)列的求和，我們可以根據(jù)剛才的計(jì)算的兩個式子總結(jié)出一道公式。大家說是什么？ 學(xué)生：總和=（首項(xiàng)＋ 末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2 板書：總和=（首項(xiàng)＋ 末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2）

老師：使用這個公式要注意，首先要判斷這個數(shù)列是不是等差數(shù)列。（怎么判段？）首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)（項(xiàng)數(shù)怎么求？）下面我們看例題二。（板書：例題2 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20）老師：這個式子能不能用公式進(jìn)行求和？ 學(xué)生：可以。

老師：好，請一個同學(xué)說一下他是怎么做的。學(xué)生A：2加20的和乘以7除以2.結(jié)果等于77.老師：非常好，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用。其他同學(xué)有什么問題嗎。用些同學(xué)可能會有疑問，這里面只有七個數(shù)，不夠分對啊，還剩下一個光棍呢？這個公式還能不能呢？大家說能不能？ 學(xué)生：能！

老師：我們一起來驗(yàn)算一下。（副板書：

老師：兩次計(jì)算的結(jié)果一樣吧！說明這個公式是正確的。

老師：這個公式看似很簡單，只要一套數(shù)字就行了。但是在實(shí)際應(yīng)用中并沒那么簡單，請看例題三。

（學(xué)生讀題：小紅讀一本長篇小說，第一天讀了30頁，從第二天起，每天讀的頁數(shù)都比前一天多4頁，最后一天讀了70頁，剛好讀完。問：這本小說共有多少頁？）

老師：這道題求這本小說共有多少頁。因?yàn)槊刻熳x“每天讀的頁數(shù)都比前一天多4頁”，第一天30頁，第二天34頁，第三天38頁??最后一天看了70頁。我們要求這本小說共有多少頁，只要把每天看的頁數(shù)加起來就行了。可是，我們要一個個加起來嗎？ 學(xué)生：不用。

老師：不用。小紅每天看的頁數(shù)構(gòu)成了一個等差數(shù)列。我們可以用公式計(jì)算。大家看一下這個公式里還有什么不知道？ 學(xué)生：項(xiàng)數(shù)。

老師：其實(shí)天數(shù)就是項(xiàng)數(shù)。看了多少天，就有多少項(xiàng)。那要怎么求項(xiàng)數(shù)呢？（副板書：

（學(xué)生觀察并思考。）

學(xué)生：項(xiàng)數(shù)就等于70減去30的差除以4。老師：就這樣了嗎。學(xué)生：還要加上1.老師：很好。（板書：

（小結(jié)：在這里，我們來小結(jié)一下求項(xiàng)數(shù)的公式：項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)－首項(xiàng))÷公差＋1）

老師：在這里，我改一下題目，把“最后一天讀了70頁”改為“第十一天剛好讀完。問這本書共有多少頁？怎么算呢。（學(xué)生思考討論。）學(xué)生：還是用等差數(shù)列求和公式。老師：這個公式里面還有哪個量不知道？ 學(xué)生：末項(xiàng)。老師：怎么求？（副板書：

（小結(jié)：在這里，我們來小結(jié)一下求末項(xiàng)的公式： 末項(xiàng)=首項(xiàng)＋(項(xiàng)數(shù)-1)×公差）

三、完成課堂練習(xí)。

學(xué)生完成講義上的課堂練習(xí)。

四、布置作業(yè)。

五、課后總結(jié)。等差數(shù)列相關(guān)公式： 總和=(首項(xiàng)＋末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2 項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)－首項(xiàng))÷公差＋1 末項(xiàng)=首項(xiàng)＋(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

六、板書設(shè)計(jì)（附后）

七、課后反思。

第二篇：三年級奧數(shù)等差數(shù)列求和習(xí)題及答案

計(jì)算

（三）等差數(shù)列求和

知識精講

一、定義：一個數(shù)列的前n項(xiàng)的和為這個數(shù)列的和。

二、表達(dá)方式：常用Sn來表示。

三：求和公式：和?(首項(xiàng)?末項(xiàng))?項(xiàng)數(shù)?2，sn?(a1?an)?n?2。

對于這個公式的得到可以從兩個方面入手：

(思路1)1?2?3???98?99?100

?101?50?5050

?（1?100）?（2?99）?（3?98）???（50?51）???????????????????共50個101(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

和=1?2?3?4???98?99?100+和?100?99?98?97???3?2?1 2倍和?101?101?101?101???101?101?101?101?50?5050。即，和?(100?1)?100?

2四、中項(xiàng)定理：對于任意一個項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。

（4?36）?9?2?20?9?1800，譬如：① 4?8?12???32?36?題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于20?9；

（1?65）?33?2?33?33?1089，② 65?63?61???5?3?1?題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33，而和恰等于33?33。

例題精講： 例1：求和：

（1）1+2+3+4+5+6 =（2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋?＋85= 分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。

例如（3）式項(xiàng)數(shù)=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21（2）36（3）1247

例2：求下列各等差數(shù)列的和。

（1）1+2+3+4+?+199（2）2+4+6+?+78（3）3+7+11+15+?+207 分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。

例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900（2）1160（3）5355

例3：一個等差數(shù)列2，4，6，8，10，12，14，這個數(shù)列的和是多少？

分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個數(shù)列一共有7項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：8?7?56

答案：56

例4：求1+5+9+13+17??+401該數(shù)列的和是多少。

分析：這個數(shù)列的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是401，項(xiàng)數(shù)是（401-1）÷4+1=101，所以根據(jù)求和公式，可有：

和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301

例5：有一串自然數(shù)2、5、8、11、??，問這一串自然數(shù)中前61個數(shù)的和是多少？

分析：即求首項(xiàng)是2，公差是3，項(xiàng)數(shù)是61的等差數(shù)列的和，根據(jù)末項(xiàng)公式：末項(xiàng)=2+（61-1）×3=182 根據(jù)求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612 答案：5612

例6：把自然數(shù)依次排成“三角形陣”，如圖。第一排1個數(shù)；第二排3個數(shù)；第三排5個數(shù)；?

求：

（1）第十二排第一個數(shù)是幾？最后一個數(shù)是幾？

（2）207排在第幾排第幾個數(shù)？

（3）第13排各數(shù)的和是多少？

分析：整體看就是自然數(shù)列，每排的個數(shù)的規(guī)律是1,3,5，7...即為奇數(shù)數(shù)列 若排數(shù)為n（n≥2de 自然數(shù))，則這排之前的數(shù)共有（n-1）（n-1)個。

（1）第十二排共有23個數(shù)。前面共有（1+21）×11÷2=121個數(shù)，所以第十二排的第一個數(shù)為122，最后一個數(shù)為122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196個數(shù)，前十五排共有225個數(shù)，所以207在第十五排，第十五排的第一個數(shù)是197，所以207是第（207-197=10）個數(shù)

（3）前十二排共有144個數(shù)，所以第十三排的第一個數(shù)是145，而第十三排共有25個數(shù)，所以最后一個數(shù)是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925 答案：（1）122；144（2）第十五排第10個數(shù)（3）3925

例7：15個連續(xù)奇數(shù)的和是1995，其中最大的奇數(shù)是多少？

分析：由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8個數(shù)為：1995?15?133，（15?8）?147。所以這個數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個數(shù)是：133?2?答案：147。

例8：把210拆成7個自然數(shù)的和，使這7個數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個數(shù)的差都是5，那么，第1個數(shù)與第6個數(shù)分別是多少？ 分析：由題可知：由210拆成的7個數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個數(shù)為210÷7=30，所以，這7個數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45。

即第1個數(shù)是15，第6個數(shù)是40。答案：第1個數(shù)：15；第6個數(shù)：40。

例9：已知等差數(shù)列15，19，23，……443，求這個數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？

分析：公差=19-15=4 項(xiàng)數(shù)=（443-15）÷4+1=108 倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439 奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31??439，公差為8，和為（15+439）×54÷2=12258 偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35??443，公差為8，和為（19+443）×54÷2=12474 差為12474-12258=216 答案：216

例10：在1~100這一百個自然數(shù)中，所有能被9整除的數(shù)的和是多少？

分析：每9個連續(xù)數(shù)中必有一個數(shù)是9的倍數(shù)，在1~100中，我們很容易知道能被9整除的最小的數(shù)是9?9?1，最大的數(shù)是99?9?11，這些數(shù)構(gòu)成公差為9的等差數(shù)列，這個數(shù)列一

（9?99）?11?2?594． 共有：11?1?1?11項(xiàng)，所以，所求數(shù)的和是：9?18?27???99?也可以從找規(guī)律角度分析． 答案：594

例11：一串?dāng)?shù)按下面的規(guī)律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6??問：從左面第一個數(shù)起，前105個數(shù)的和是多少？

分析：這些數(shù)字直接看沒有什么規(guī)律，但是如果3個一組，會發(fā)現(xiàn)這樣一個數(shù)列：6,9,12,15......即求首項(xiàng)是6，公差是3，項(xiàng)數(shù)是105÷3=35的和

末項(xiàng)=6+3×（35-1）=108

和=（6+108）×35÷2=1995 答案：1995

16例12：在下面12個方框中各填入一個數(shù)，使這12個數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中

10、已經(jīng)填好，這12個數(shù)的和為。

??? ?　??? ?　??? ?　??? ?　??? ?16　??? ?　??? ?10　??? ?　??? ?　??? ?

分析：由題意知：這個數(shù)列是一個等差數(shù)列，又由題目給出的兩個數(shù)10和16知：公差為2，那么第一個方格填26，最后一個方格是4，由等差數(shù)列求和公式知和為：(4?26)?12?2?180。答案：180。

本講小結(jié)：1.一個數(shù)列的前n項(xiàng)的和為這個數(shù)列的和，我們稱為。

2.求和公式：和?(首項(xiàng)?末項(xiàng))?項(xiàng)數(shù)?2，sn?(a1?an)?n?2。3.對于任意一個奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。

練習(xí)：

1.求和：（1）1+3+5+7+9=（2）1+2+3+4＋?＋21=（3）1+3+5+7+9＋?＋39= 分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。答案：（1）25（2）231（3）400

2.求下列各等差數(shù)列的和。（1）1+2+3+?+100（2）3+6+9+?+39 分析：弄清楚一個數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。答案：（1）5050（2）273

3.一個等差數(shù)列4,8,12,16,20,24,28,32，36這個數(shù)列的和是多少? 分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個數(shù)列一共有9項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：20×9=180 答案：180

4.所有兩位單數(shù)的和是多少？

分析：即求首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是99的奇數(shù)數(shù)列的和為多少。

和=（11+99）×45÷2=2475 答案：2475

5.數(shù)列1、5、9、13、??，這串?dāng)?shù)列中，前91個數(shù)和是多少？ 分析：首項(xiàng)是1，公差是4，項(xiàng)數(shù)是91，根據(jù)重要公式，可得：

末項(xiàng)=1+（91-1）×4=361 和=（1+361）×91÷2=16471 答案：16471

6.如圖，把邊長為1的小正方形疊成“金字塔形”圖，其中黑白相間染色。如果最底層有15個正方形，問：“金字塔”中有多少個染白色的正方形，有多少個染黑色的正方形？ 分析：由題意可知，從上到下每層的正方形個數(shù)組成等差數(shù)列，?2，an?15，所以n?（15?1）?2?1?8，其中a1?1，d（1?8）?8?2?36 所以，白色方格數(shù)是：1?2?3???8?（1?7）?7?2?28。

黑色方格數(shù)是：1?2?3???7?答案：28（2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011）?2008?。7.分析：根據(jù)中項(xiàng)定理知：2005?2006?2007?2008?2009?2010?2011?2008?7,所以原式 ?2008?7?2008?7。

答案：7。

8.把248分成8個連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個數(shù)是多少？

分析：公差為2的遞增等差數(shù)列。

平均數(shù)：248÷8=31，第4個數(shù)：31-1=30；首項(xiàng)：30-6=24；末項(xiàng)：24+（8-1）×2=38。

即：最大的數(shù)為38。答案：38

9.求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。

分析：解法1：可以看出，2，4，6，?，2000是一個公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，?，1999也是一個公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000 解法2：注意到這兩個等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個1，即原式=1000×1=1000 答案：1000

10.在1~100這一百個自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？

分析：先計(jì)算1~100的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的1??2?（?1）0?0?1，?自然數(shù)和了．9?18?27???99?（9?99）?11?2?594，所有不能被9整除的自然數(shù)和：5050?594?4456．如果直接計(jì)算不能被9整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以先計(jì)算所有1~100的自然數(shù)和，再排除掉能被9整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過程變得簡便多了。答案：594

11.一個建筑工地旁，堆著一些鋼管（如圖），聰明的小朋友，你能算出這堆鋼管一共有多少根嗎？

分析：觀察發(fā)現(xiàn)，這堆鋼管的排列就是一個等差數(shù)列：首項(xiàng)是3，公差是1，末項(xiàng)是10，項(xiàng)數(shù)是8 根據(jù)求和公式，和=（3+10）×8÷2=52（根）

所以這堆鋼管共有52根。

?

答案：52根。

12.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

解析：100以內(nèi)除以3余2的數(shù)為2、5、8、11、??98公差為3的等差數(shù)列，首先求出一?3?1?33，再利用公式求和(2?98)? 33?2?1650。共有多少項(xiàng)，(98?2)答案：1650。

第三篇：等差數(shù)列認(rèn)識 (教師版)三年級 奧數(shù)

2013春季

第一講

等差數(shù)列認(rèn)識

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講

2013春季

教學(xué)目標(biāo)

1、認(rèn)識簡單的數(shù)列；

2、掌握什么是等差數(shù)列；

3、會求解簡單的等差數(shù)列和；

知識點(diǎn)撥

1、如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。

2、等差數(shù)列求和：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

3、求項(xiàng)數(shù)：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1

4、求末項(xiàng)：首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差

(一)課堂引入

1.學(xué)生學(xué)情分析：

（1）三年級暑假對數(shù)列有過認(rèn)識，并且三年級孩子比較喜歡找規(guī)律，并且對找規(guī)律比較擅長，所以可以從此入手，讓孩子認(rèn)識等差數(shù)列。此為切入點(diǎn)！

（2）數(shù)列計(jì)算和中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了湊整求和，所以在學(xué)習(xí)等差數(shù)列求和時，并不陌生，可以以此切入！此為難點(diǎn)！

2.引入-高斯‘神速求和’的故事

講故事：高斯出生于一個貧困家庭，幼時家境貧困，但是異常聰明。就在像大家這么大的時候，一次老師出了一道非常難得數(shù)學(xué)題：把1到100的自然數(shù)加起來，和是多少？正在同學(xué)們苦思冥想的時候，高斯略加思索就說出了答案。同學(xué)們你們知道答案是多少嗎？你們知道高斯用了什么方法巧妙地計(jì)算出來的嗎？

情景1：學(xué)生對高斯的故事可能會比較熟悉，或許會清楚1到100的自然數(shù)之和，對于這種情況，可以根據(jù)學(xué)生回答的情況，提問——你們誰知道高斯用了什么方法巧妙地計(jì)算出來的呢？

情景2：這個問題，學(xué)生回答會比較困難，在此情況下，問:同學(xué)們想不想像高斯這樣厲害，掌握這種巧妙的方法呢？

那么，我的小高斯們，下面我就先來認(rèn)識下等差數(shù)列。

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(二)探索新知

(一)等差數(shù)列的認(rèn)識

例題精講

例1：1、3、5、7、9、（）

【教學(xué)建議】 等差數(shù)列的認(rèn)識。

先讓孩子去找規(guī)律填數(shù)，并讓孩子去總結(jié)其中的規(guī)律所在，并能用合適的語言表達(dá)。從中提煉出兩點(diǎn)：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同

（2）數(shù)依次增大

鞏固練習(xí)： 20、17、14、11、8、5、（）

對于練習(xí)題：提煉出兩點(diǎn)：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同

（2）數(shù)依次減少

總結(jié)：通過例與練，讓孩子們認(rèn)識了等差數(shù)列的兩種類型。等差數(shù)列：（1）相鄰兩數(shù)之間的差相同（2）數(shù)依次增加或者減少

提出知識點(diǎn)：公差，項(xiàng)（首項(xiàng)、末項(xiàng)），項(xiàng)數(shù)

回到例題與練習(xí)：讓學(xué)生分別指出其中的公差，項(xiàng)（首項(xiàng)、末項(xiàng)），項(xiàng)數(shù) 目標(biāo)：達(dá)到初步的認(rèn)識

(二)通項(xiàng)求解

例2：（1）2、5、8、11、14?。按這樣的規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，其中第21項(xiàng)是多少？

（2）把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個是多少？

【教學(xué)建議】 在認(rèn)識等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生們有意識結(jié)合這種特殊的規(guī)律解題。并總結(jié)出通項(xiàng)公式！

讓學(xué)生獨(dú)立探索完成，然后收集學(xué)生的解題方法，學(xué)生可以會出現(xiàn)的情況： A、采用最笨的辦法，直接按照規(guī)律，直接寫到第21項(xiàng) B、通過心算，直接寫出第21項(xiàng)數(shù)，但無法列出算式 C、能過根據(jù)已知的數(shù)，列出算式（數(shù)出增加的公差）——（屬于概括能力強(qiáng)的孩子，或者孩子學(xué)過）

D、通過列出正確的算式，也明白算理（一般很少，一個班最多1-2個）總結(jié)：

A、找出完成得比較好的學(xué)生，說出他們的算法，如果有完成C與D的學(xué)生，可以讓他們當(dāng)老師來講講計(jì)算的方法。

B、根據(jù)學(xué)生回答情況，引導(dǎo)出第21項(xiàng)的變化情況（從第一項(xiàng)，共增加了多少個公差），并讓學(xué)生列出算式

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C、擴(kuò)展為其它項(xiàng)時，公差的增加情況，并讓學(xué)生列出算式 D、總結(jié)通項(xiàng)公式（讓學(xué)生先總結(jié)）

項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差

鞏固練習(xí)： 有一堆按規(guī)律擺放的磚。從上往下數(shù)，第1層有1塊磚，第2層有5塊磚，第3層有9塊磚······按照這樣的規(guī)律，第19層有多少塊磚？

【教學(xué)建議】 在學(xué)習(xí)例2的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生用例2總結(jié)出的結(jié)論計(jì)算本題。并讓學(xué)生說出計(jì)算方法，以及算理，鞏固等差數(shù)列的通項(xiàng)公式！

例3：已知一個等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？ 【教學(xué)建議】

加深對等差數(shù)列，及公差的理解，并讓學(xué)生活用通項(xiàng)公式求項(xiàng)。

項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差

引導(dǎo)學(xué)生靈活使用等差數(shù)列，靈活使用公式“項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差”，靈活確定首項(xiàng)，并能正確求解項(xiàng)數(shù)差！

鞏固練習(xí)：冬冬先在黑板上寫了一個等差數(shù)列，剛寫完阿奇就沖上講臺，擦去了其中的大部分?jǐn)?shù)，只留下第四個數(shù)31和第十個數(shù)73。你能算出這個等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)嗎？

【教學(xué)建議】 層次在例3的基礎(chǔ)上，更進(jìn)一層。

讓學(xué)生熟練，如何尋找公差，進(jìn)一步理解等差數(shù)列中項(xiàng)的變化！難點(diǎn)：求公差！

鞏固點(diǎn)：求項(xiàng)（靈活確定首項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)差）

注：通過前面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們可以達(dá)到的目標(biāo)，（1）熟練確認(rèn)等差數(shù)列，并輕松找出公差；（2）熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式求項(xiàng)；(三)項(xiàng)數(shù)求解

15頁，以后每天都比前一天多讀3頁，最后一天讀了36頁，剛好把書讀完。請問：小悅一共讀了多少天？這本課外書共有多少頁？

【教學(xué)建議】 問題1(1)在知道首項(xiàng)、末項(xiàng)與公差的基礎(chǔ)上，如何求項(xiàng)數(shù)。

| 三年級·提高班·教師版 | 第1講 例4：小悅讀一本課外書，第一天讀了

(2)題目比較形象，同學(xué)們可以自己探索完成問題1(3)同學(xué)們完成問題1的可能性有：A-通過列出每天看的頁數(shù)，找出天數(shù)（天數(shù)較少，同學(xué)們極容易用這種方法解題）B-通過尋找增加的公差數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系找出天數(shù)（達(dá)到此水準(zhǔn)的孩子，比例較低）(4)跟據(jù)學(xué)生對問題1的完成情況，適當(dāng)提示并翻譯本題：A-每天看的頁數(shù)組成等差數(shù)列；B-天數(shù)為項(xiàng)數(shù)；C-引導(dǎo)向增加的了多少個公差，說明這是第幾項(xiàng)，即第幾天？(5)讓學(xué)生跟據(jù)所引導(dǎo)，列出算式。

總結(jié)—根據(jù)同學(xué)們列出的算式總結(jié)出公式：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1 問題2（1）涉及等差數(shù)列求和公式，因?yàn)楸绢}中的重點(diǎn)是求項(xiàng)數(shù)，如果涉及過多知識點(diǎn)，學(xué)生容易厭煩，學(xué)習(xí)率不高，所以對于問題2，可以讓學(xué)生用基礎(chǔ)的方法算出，鼓勵用好方法計(jì)算。但不做細(xì)講，提示這就是等差數(shù)列求和，將在下面重點(diǎn)講解。15+18+21+24+27+30+33+36 鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，小叮當(dāng)站排頭，小叮咚站排尾，從排頭到

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排尾依次報(bào)數(shù)。如果小叮當(dāng)報(bào)3，小叮咚報(bào)25，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多2，那么隊(duì)伍里一共有多少人？

【教學(xué)建議】 對于項(xiàng)數(shù)求解的鞏固。

注：經(jīng)過前面的講解，學(xué)生對于公差數(shù)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系有比較清晰的認(rèn)識，完成此題，難度不大，可以出現(xiàn)在列式上。老師可以加以提示，與糾正。

(四)簡單的等差數(shù)列求和

1.高斯求和故事引出-等差數(shù)列求和 2.著重點(diǎn)明高斯求和，并引出倒加法。思路：

揭曉高斯故事答案：5050 揭曉高斯巧妙方法：1+2+3+4+……+100（用彩虹橋講解—即同學(xué)們熟知的首位相加）

注：這種方法，大部分同學(xué)都知道，講解起來不算新鮮。

疑問：高斯所計(jì)算的這個等差數(shù)列，項(xiàng)的個數(shù)是偶數(shù)，剛好可以成對相加；如果這個等差數(shù)列是奇數(shù)相時，能夠剛好成對相加嗎？那這種方法似乎并不適用于所有的等差數(shù)列，那么有沒有一種適合所有等差數(shù)列的方法呢？ 提示：講解“倒加法“ 總結(jié)：學(xué)生自主總結(jié)。

等差數(shù)列求和：（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2

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同學(xué)們得到了高斯的智慧，于是乎，你們都成了小高斯。所以，小高斯們，趕快去試試吧。

例5：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

[教學(xué)建議] 例5和練習(xí)，項(xiàng)數(shù)不多，可以試著在原算是下面，反寫一遍數(shù)列。得到直觀地計(jì)算，讓學(xué)生練習(xí)等差數(shù)列求和公式。

學(xué)生先試著獨(dú)立完成，老師提示引導(dǎo)，并訂正。鞏固練習(xí)：11+12+13+14+15+16+17+18+19 總結(jié)：回憶等差數(shù)列公式（學(xué)生回憶），并提示公式中，必須要知道的量。

例6：計(jì)算：

（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30（2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1

[教學(xué)建議] 經(jīng)過例5和練習(xí)的鍛煉，對等差數(shù)列求和與倒加法有了一定的熟悉。所以例6，著重讓學(xué)生們在不重新寫出反數(shù)列的情況下，利用等差數(shù)列計(jì)算。

鞏固練習(xí)：計(jì)算：（1）5+11+17+···+77+83（2）193+187+181+···+103

[教學(xué)建議]（1）項(xiàng)數(shù)未知，需要學(xué)生經(jīng)過比較復(fù)雜的計(jì)算，題目比較綜合。

（2）第一題，在學(xué)生試著去完成后，老師帶著學(xué)生完成此題。讓學(xué)生提升等差數(shù)列公式的運(yùn)用能力，能夠根據(jù)等差數(shù)列，去尋找未知項(xiàng)。（本題，少項(xiàng)數(shù)）（3）第二題，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試完成。訂正。總結(jié)：回憶等差數(shù)列（學(xué)生回憶），強(qiáng)調(diào)運(yùn)用等差數(shù)列求和時，需要知道的量，如果有某個量未知，需要設(shè)法求出，再利用等差數(shù)列求和。

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例7：已知一個等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71。請問：（1）這個等差數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？

（2）這個等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是多少？

[教學(xué)建議] 經(jīng)歷了通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式、等差求和的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對這些知識點(diǎn)的記憶比較模糊了，所以先回憶通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式。

（1）通項(xiàng)公式：項(xiàng)=首項(xiàng)+公差*項(xiàng)數(shù)差（強(qiáng)調(diào)：需要知道公差）（2）項(xiàng)數(shù)公式：（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1 [思路導(dǎo)航] 問題1：

先讓學(xué)生獨(dú)立完成其中第一個問題。并通過老師講解，進(jìn)一步復(fù)習(xí)通項(xiàng)的求法。問題2：

求前10項(xiàng)和，根據(jù)等差數(shù)列公式，還需要知道“首項(xiàng)、末項(xiàng)”，也就是需要知道第一項(xiàng)與第10項(xiàng)。

（1）先讓學(xué)生獨(dú)立思考，根據(jù)學(xué)生完成情況，提問學(xué)生等差數(shù)列公式？還需要知道的量？

（2）讓學(xué)生根據(jù)老師的提示，列出算式，求出和。

注：本題綜合性比較強(qiáng)，一方面需要學(xué)生綜合分析能力，一方面需要學(xué)生熟練運(yùn)用通項(xiàng)公式、項(xiàng)數(shù)公式、等差數(shù)列。

經(jīng)歷了例7的學(xué)習(xí)，已經(jīng)對等差數(shù)列的綜合運(yùn)用有了初步的學(xué)習(xí)。

鞏固練習(xí)：體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào)17，阿奇報(bào)150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？所有人報(bào)的總和是多少？ [教學(xué)建議] 問題1：

學(xué)生獨(dú)立完成，此為項(xiàng)數(shù)公式的運(yùn)用。問題2：

求等差數(shù)列的總和，題目相對比較簡單些，首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)都清楚，所以大部分學(xué)生能夠獨(dú)立完成。

(五)奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列求和公式

剛才說了，雙數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列可以通過配對求和，但是奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列是否有獨(dú)特的求和公式呢?(1)列出奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，探尋配對和除以2后的值與最中間的數(shù)，即最后單獨(dú)的數(shù)之間的關(guān)系；

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可以發(fā)現(xiàn)，最中間的數(shù)就是這列數(shù)的平均數(shù)?？偨Y(jié)出奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的求和公式： 中間數(shù)*項(xiàng)數(shù)=總和。

(2)反過來，強(qiáng)調(diào)知道奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列的總和，可以求出中間數(shù)。下面，高斯們，我們來試試。

例8：有一串連續(xù)單數(shù)的數(shù)列，前7個數(shù)的和是105，問第10項(xiàng)是多少？

[教學(xué)建議] 本題主要是聯(lián)系奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列的求和特點(diǎn)，解決此題，題目比較綜合。采用學(xué)生獨(dú)立完成，老師引導(dǎo)，并訂正的方案。目的：提高學(xué)生的綜合分析能力。

鞏固練習(xí)：有一串連續(xù)雙數(shù)的數(shù)列，前11個數(shù)的和是374，問第25項(xiàng)是多少？

[教學(xué)建議] 類同例8，在例8的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的綜合分析能力。

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課后練習(xí)1、41、44、47、50、（）、（）2、3、6、9、12、15···這個按照一定規(guī)律的一串?dāng)?shù)，其中第20項(xiàng)是多少？150項(xiàng)呢？

3、（1）一個等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)大2，并且首項(xiàng)為23，求末項(xiàng)是多少？

（2）一個等差數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小7，并且末項(xiàng)為125，求首項(xiàng)是多少？

4、有一堆粗細(xì)均勻的圓木，已知最上面一層有6根，共堆了25層。請問：這堆圓木共有多少根？

5、小王和小高同時開始工作，小王第一個月得到1000元工資，以后每個月都會比前一個月多得60元；小高第一個月得到500元工資，以后每個月都會比前一個月多得40元。兩人工作一年后，所得的工資總數(shù)相差多少元？

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第四篇：奧數(shù)等差數(shù)列練習(xí)題

等差數(shù)列

1.一個劇場設(shè)置了22排座位，第一排有36個座位，往后每排都比前一排多2個座位，這個劇場共有多少個座位？

2.自1開始，每隔兩個數(shù)寫一個數(shù)來，得到數(shù)列：1,4,7,10,13，….，求出這個數(shù)列前100項(xiàng)只和？

3.影劇院有座位若干排，第一排有25個座位，以后每排比前一排多3個座位。最后一排有94個座位。問這個影劇院共有多少個座位？

4.小張看一本故事書，第一天看了25頁，以后每天比前一天多看的頁數(shù)相同，第25天看了97頁剛好看完。問：這本書共有多少頁？

5.已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，….，這個數(shù)列的第30項(xiàng)是哪個數(shù)字？到第25項(xiàng)止，這些數(shù)的和是多少？

植樹問題

1.在一段公路的一旁栽95棵樹，兩頭都栽，每兩棵樹之間相距5米，這段公路長多少米？

2.有三根木料，打算把每根鋸成3段，每鋸開一處，需要3分鐘，全部鋸?fù)晷瓒嗌贂r間？

3.一座樓房每上一層要走16個臺階，到小英家要走64個臺階。她家住在幾樓？

第五篇：等差數(shù)列的求和公式教學(xué)設(shè)計(jì)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和

教學(xué)案例：

一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

本堂課的設(shè)計(jì)是以個性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計(jì)的。

本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)對教材部分內(nèi)容進(jìn)行了有意識的選擇和改組，為了體現(xiàn)個性化教學(xué)的教學(xué)理念，在教法上，采用了以學(xué)生為主體，以問題為中心，以老師為引導(dǎo)，以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式。課堂結(jié)構(gòu)個性化，讓學(xué)生在探究中展現(xiàn)個性，在合作中促進(jìn)學(xué)生的個性發(fā)展。

在教學(xué)中通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。

二、學(xué)生情況與教材分析

1、學(xué)生通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，基本上掌握了通項(xiàng)公式，會運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解題，因此只要簡單地回顧上一節(jié)課的知識就可引入新課；

2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對于職中類學(xué)生，他們對知識的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3、學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生積極主動的建構(gòu)知識的過程，應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。本課要求學(xué)生通過自主地觀察、討論、歸納、反思來參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)知識，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在學(xué)習(xí)活動中進(jìn)一步提升自己的能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識目標(biāo)

（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,理解公式的推導(dǎo)方法；（2）能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。

2、能力目標(biāo)

經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。

3、情感目標(biāo)

通過生動具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。

2、獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。

教學(xué)過程：

1、引入新課（1）復(fù)習(xí)

師：上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，知道了“公差d=，通項(xiàng)公式an=”（見黑板）

生：（回答黑板上的問題）

（2）故事引入

師：那等差數(shù)列的前n項(xiàng)和怎樣求？今天，我們主要探討等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。古算書《張邱建算經(jīng)》中卷有一道題：

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？ 師生共同讀題

師：題目當(dāng)中我們可以得到哪些信息？要解決的問題是什么？

生1：第一人給1錢，第二人給2錢，第三人給3錢，以后每個人都比前一個人多給一錢，共有100人，問共給了多少錢？

師：很好，問題已經(jīng)呈現(xiàn)出來了，你能用數(shù)學(xué)符號語言表示嗎？

生2：用an表示第n個人所得的錢數(shù)，則由題意得： a1?1,a2?2,a3?3,?，a100?100

只要求出1+2+3+?+100=？ 師：你能求出這個式子的值嗎？

生2：（猶豫片刻）1+100=101，2+99=101，3+98=101?50+51=101，所求的和為101×

1002=5050.師：對于這個算法，著名的數(shù)學(xué)家高斯10歲時曾很快就想出來了.高斯的算法是：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101，第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101，??

第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101，于是所求的和是101×

1002=5050 上面的問題可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，?，n, ?的前100項(xiàng)的和.在上面解決問題的過程中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示，且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，從中你有何啟發(fā)？我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和？

設(shè)計(jì)意圖：通過情景引入活動、任務(wù)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用得過程，其作用就在于提升學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)變.構(gòu)筑在學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)與生命體驗(yàn)基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)課程大大激發(fā)了學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的熱情，數(shù)學(xué)課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學(xué)生的興趣.新教材中增添了一些數(shù)學(xué)史的知識，從課改的一些舉措上我感到在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)適時掀起數(shù)學(xué)史的教學(xué)蓋頭。向同學(xué)們介紹了《張邱建算經(jīng)》和高斯及他的算法，講課的過程中適當(dāng)插入數(shù)學(xué)史，為數(shù)學(xué)教學(xué)輸入了新鮮血液.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，營造濃郁的“人文”氛圍.師：設(shè)等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn?a1?a2???an?? 生3：（直接給出公式）由剛才問題的結(jié)果可知Sn?n(a1?an)2

師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數(shù)學(xué)的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測，是不完全歸納.數(shù)學(xué)公式的得出需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程和相關(guān)的理論依據(jù).你能否推導(dǎo)這個公式？

生4：Sn?(a1?an)?(a2?an?1)??+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項(xiàng)還是兩項(xiàng)？）

師：我們再回顧一下剛才解決的問題，共有100項(xiàng)，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+?+101=？n項(xiàng)時又應(yīng)如何分組？最后一組應(yīng)怎樣表示？ 生4（繼續(xù)回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102?50+52=102，51=

共有50組多出第51項(xiàng)

n分奇偶性討論，n為偶數(shù)時正好分成n21022?(1?101)2

組，n為奇數(shù)時分成n?12組還多一項(xiàng)

∴當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?an)

22?=

n(a1?an)2

當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?an?1

22?22?1

?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?an?1)?22?2(a1?an)2

=

n(a1?an)2

師：好通過分類討論我們得出了等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn公式，從所得的結(jié)果看無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)Sn的公式一樣.那么我們是否可以避開討論n的奇偶性去推導(dǎo)呢？怎樣出現(xiàn)首末兩項(xiàng)的和？

師：下面我們從一個稍稍簡單一點(diǎn)的等差數(shù)列來推導(dǎo)探討（學(xué)生觀察幻燈片上以等差數(shù)列逐層排列的一堆鋼管。）

師：如何求？

（課件演示：引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示）

生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為

師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請大家來猜想一下這個呈等差數(shù)列排列的鋼管的總和sn等于多少？

生：

師：所以我們還可以如何求等差數(shù)列通項(xiàng)公式？ 生5：Sn?a1?a2???an

Sn?an?an?1???a1

將上面兩式左右兩邊分別相加得2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?a1)

=n(a1?an)∴Sn?n(a1?an)2

師：此種方法簡潔明了，且避開討論n的奇偶性，我們將這種方法稱為“逆序相加法”，在以后解決數(shù)列問題是也經(jīng)常運(yùn)用“逆序相加法”，主要運(yùn)用了等差數(shù)列下標(biāo)等距性質(zhì).（有學(xué)生舉手）

生6：我用另外一種方法得出的結(jié)果不一樣

Sn?a1?a2???an?a1?d?a1?2d??a1?(n?1)d

=na1??1?2?3??(n?1)?d

=na1?n(n?1)2d

師：這個結(jié)果對否？為何會有兩個公式？它們之間有聯(lián)系嗎？ 大家一起發(fā)現(xiàn)Sn?n(a1?an)2?n?a1?a1?(n?1)d2n(a1?an)2??na1?n(n?1)2d

∴等差數(shù)列?an?前n項(xiàng)和公式：Sn??na1?n(n?1)2d

師(總結(jié))：我們得到了兩個計(jì)算等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

這四個量中的三個就可以求出等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn.設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)指出“學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是在教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造的過程”在教學(xué)的過程中，教師要指導(dǎo)學(xué)法，把教與學(xué)的過程很好地統(tǒng)一起來，想方法鼓勵學(xué)生積極參與，大膽設(shè)疑、質(zhì)疑、釋疑、辨錯、修正，突出過程教學(xué).教師同通過問題情境或?qū)W習(xí)情境以誘發(fā)他們進(jìn)行探索與問題的解決活動.應(yīng)用舉例

例1等差數(shù)列―10,―6,―2, 2?前多少項(xiàng)的和是54?

0,d?6?(10?)4?解：設(shè)題中的等差數(shù)列為?an?，前n項(xiàng)和為Sn，則a1??1?Sn?54，由題意得?10?n(n?1)2?4?54

∴n2?6n?27?0

解得n1?9,n2??3（舍）

∴前9項(xiàng)的和為54.師(總結(jié))：已知量a1,d,Sn，求n，合理選用公式.思想方法：方程思想.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)以致用,直接運(yùn)用公式加深對公式的認(rèn)識和理解.主要通過方程的思想進(jìn)行基本量的運(yùn)算.注意解題格式和規(guī)范.例2求集合M??mm?7n,n?N,m?100?中元素的個數(shù)，并求這些元素的和.?解：由7n?100,得n?1007,即n?1427，由于滿足不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合M中的元素共有14個，將他們從小到大列出，得7，7×2，7×3，?，7×14，這個數(shù)列是等差數(shù)列，記為?an?，其中a1?7,a14?98 ∴S14?14?(7?98)2735

答：集合M中的元素共有14個元素，它們的和等于735.變式1：M??mm?7n,n?N?,n?100?

分析：∵n<100,∴M中有99個元素，分別為7，7×2，7×3，?，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數(shù)共有多少個？它們的和是多少？ 分析：設(shè)m是滿足條件的數(shù)，則m=7n+1,且m<100,n?N

或m=7n-6,且m<100,n?N?

設(shè)計(jì)意圖：高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，這要求我們轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，豐富教學(xué)形式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，加大課堂教學(xué)的研究性、開放性和自主性，在開展探究活動中培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，將變式訓(xùn)練與引導(dǎo)學(xué)生感悟反思放到同樣的高度，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.練習(xí)課本P118 ex 1（板演），2,3,4 小結(jié)：（1）了解等差數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思想（逆序相加法、分組配對法）.（2）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個公式并能靈活運(yùn)用解決相關(guān)問題.（3）研究問題的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的運(yùn)算.課后作業(yè)： P118

1（2）（4），2，4，5