等差數(shù)列計(jì)算題

知識點(diǎn)撥

等差數(shù)列的相關(guān)公式

(1)三個(gè)重要的公式

①

通項(xiàng)公式：遞增數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差，遞減數(shù)列：末項(xiàng)首項(xiàng)(項(xiàng)數(shù))公差，回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來學(xué)的植樹問題的思想，讓學(xué)生明白

末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上(末項(xiàng)與首項(xiàng)的)間隔個(gè)公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入手．同時(shí)還可延伸出來這樣一個(gè)有用的公式：，②

項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差+1

由通項(xiàng)公式可以得到：

(若)；

(若)．

找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的．

譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配組：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48有項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共組，原數(shù)列有15組．

當(dāng)然還可以有其他的配組方法．

③

求和公式：和=(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)÷2

對于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手：

(思路1)

(思路2)這道題目，還可以這樣理解：

即，和

(2)

中項(xiàng)定理：對于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)．

譬如：①，題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20，而和恰等于；

②，題中的等差數(shù)列有33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33，而和恰等于．

例題精講

【例

1】

用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？

⑴

⑵

⑶

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴根據(jù)例1的結(jié)果知：算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：

⑵算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：

⑶算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試

【解析】

1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n，所以原式=10×10=100

【答案】

【鞏固】1966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少?

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】1星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】

1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以和＝1986×5＝9930。

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：110＋111＋112＋…＋126＝

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級，初賽

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算下面結(jié)果．

⑴

⑵

⑶

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差

等差數(shù)列的和（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)

⑴項(xiàng)數(shù)：；

和：

⑵項(xiàng)數(shù)：；和：

⑶項(xiàng)數(shù)：；和：

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

用等差數(shù)列的求和公式會(huì)計(jì)算下面各題嗎？

⑴

⑵

⑶

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

（1）算式中的等差數(shù)列一共有76項(xiàng)，所以：

（2）算式中的等差數(shù)列一共有50項(xiàng)，所以：

（3）算式中的等差數(shù)列一共有15項(xiàng)，所以：

【答案】（1）

（2）

（3）

【鞏固】

計(jì)算下列一組數(shù)的和：105，110，115，120，…，195，200

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列求和公式，必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，這里首項(xiàng)是105，末項(xiàng)是200，但項(xiàng)數(shù)不知道．若利用，可有

據(jù)此可先求出項(xiàng)數(shù)，再求數(shù)列的和．

解：數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

．

故數(shù)列的和是：

【答案】

【鞏固】

聰明的小朋友們，一下吧．

⑴

⑵

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)剛剛學(xué)過的求項(xiàng)數(shù)以及求和公式，項(xiàng)數(shù)(末項(xiàng)首項(xiàng))公差

等差數(shù)列的和（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)

⑴項(xiàng)數(shù)：；

和：；

⑵項(xiàng)數(shù)：；和：．

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

巧算下題：

⑴

⑵

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴原式

⑵這一串加數(shù)可以組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為1999，公差為2的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)，原式

【答案】⑴

⑵

【鞏固】

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級，初賽

【解析】

觀察原式可知，1、2、3…2007分別可與2007、2006、2005…1組成2008，于是括號中有2008個(gè)2008，故原式結(jié)果為2008。

【答案】

【鞏固】

__________

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

根據(jù)中項(xiàng)定理知:

2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7,所以原式=

2008×7÷2008=7

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：1÷50+2÷50+……+98÷50+99÷50=

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】

原式=

【答案】

【例

2】

計(jì)算：

⑴

⑵

⑶

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴（方法一）第一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)1000，第二個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為999，利用求和公式得：

．

（方法二）第一個(gè)括號內(nèi)共有1000個(gè)數(shù)，第二個(gè)括號內(nèi)有999個(gè)數(shù)．把1除外，第一個(gè)括號內(nèi)的各數(shù)依次比第二個(gè)括號里相應(yīng)的數(shù)大1，因此可簡捷求和．

原式(共1000個(gè)1)

⑵通過觀察可知，題目中的減數(shù)可以組成等差數(shù)列，所以，可先求這些減數(shù)的和，再從被減數(shù)中減去這個(gè)和．

．當(dāng)一個(gè)數(shù)連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，這些減數(shù)能組成等差數(shù)列時(shí)，可以先求這些減數(shù)的和，再從被減數(shù)中減去這個(gè)和．

⑶

【答案】⑴

⑵

⑶

【鞏固】

計(jì)算

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

根據(jù)求項(xiàng)數(shù)公式可知兩個(gè)括號內(nèi)的算式都各有994項(xiàng)

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽

【解析】

找規(guī)律并分組計(jì)算如下：

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：⑴

⑵；

⑶

．

⑷

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴

和式，中的項(xiàng)成等差數(shù)列，從而可能想到先求和，再

做減法．這樣做，很自然，也比較簡便，有其他更為簡便的解法嗎?再看題，你會(huì)冒出一個(gè)好想法：運(yùn)用加減運(yùn)算性質(zhì)先做減法：，，，它們的差都等于1，然后，計(jì)算等于1的差數(shù)有多少個(gè)．由于題中1至100的全部偶數(shù)之和作為被減數(shù)，奇數(shù)之和為減數(shù)，所以，相鄰的奇偶數(shù)相減(以大減小)，共得50個(gè)差數(shù)1，從而，原式．

⑵

以把這個(gè)數(shù)列拆分為兩個(gè)數(shù)列和，對

它們分別求和：原式；

⑶

本題也可以按照上題的方法做，但還有更簡便的辦法，把式子中的減法都計(jì)算出來可以得到下式：．

這是和的組合，分別計(jì)算結(jié)果即可：

原式

⑷

原式

【答案】⑴

⑵

⑶

⑷

【鞏固】

計(jì)算：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：讓學(xué)生用等差數(shù)列求和公式分別計(jì)算前后兩部分，然后講方法二，這樣可以讓學(xué)生體會(huì)

觀察數(shù)列規(guī)律，動(dòng)腦思考的重要性．

原式

方法二：把括號去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算．

原式

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：等差數(shù)列求和．

原式．

方法二：把括號去掉，兩兩結(jié)合，簡便計(jì)算．

原式．

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：

．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【解析】

方法一：原式

方法二：原式

方法三：，觀察到這一點(diǎn)就好辦了，改變原來的運(yùn)算順序不難發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)數(shù)放在一起就是2，就等于說每一個(gè)數(shù)都看成1就行了，原式有2008項(xiàng)，所以最后答案就是2008．（讓學(xué)生體會(huì)觀察數(shù)列規(guī)律動(dòng)腦思考的重要性．）

【答案】

【鞏固】

計(jì)算：．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

【答案】

【例

3】

計(jì)算：

．

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】2星

【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】第十三屆，迎春杯，試題

【解析】

原式

【答案】

【例

4】

計(jì)算______

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

原式

【答案】

【鞏固】

⑴計(jì)算

⑵以質(zhì)數(shù)71做分母的最簡真分?jǐn)?shù)有求這列數(shù)的和

⑶計(jì)算：

【考點(diǎn)】等差數(shù)列計(jì)算題

【難度】3星

【題型】計(jì)算

【解析】

⑴這是一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算得：

⑵方法一：將這列數(shù)的分子從左往右排起來是1，2，3，4…69，70．可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是70，項(xiàng)數(shù)是70．我們可以用等差數(shù)列求和公式“和(首項(xiàng)末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)”求出分子相加的和，再求出以質(zhì)數(shù)71做分母的最簡真分?jǐn)?shù)的和．

方法二：將這列數(shù)排列起來，可以發(fā)現(xiàn)：

第二項(xiàng)比第一項(xiàng)多，第三項(xiàng)比第二項(xiàng)多，第四項(xiàng)比第三項(xiàng)多，…………

因此，可以直接使用等差數(shù)列求和公式求和．

⑶帶分?jǐn)?shù)加法，我們先計(jì)算整數(shù)部分，再計(jì)算分?jǐn)?shù)部分，認(rèn)真觀察我們發(fā)現(xiàn)整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分都可以利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.【答案】⑴

⑵

⑶