初二數(shù)學上冊三角形知識詳解

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.三角形有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角;

相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。

2三角形的表示

三角形ABC用符號表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c

表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。

注意：(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；(2)三角形是一個封閉的圖形；(3)△ABC是三角形ABC的符號標記，單獨的△沒有意義。3三角形的分類

(1)按邊分類：

(2)按角分類

4三角形的主要線段的定義

②∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點；（注：這一點角三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等）③用量角器畫三角形的角平分線。

(3)三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．

表示法：①AD是△ABC的BC上的高線②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是線段；②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交于一點．這點叫垂心）③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）

5三角形的主要線段的表示法

三角形的角平分線的表示法：如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：①

AD是DABC的角平分線；②

AD平分DBAC，交BC于D；

(圖1)

(2)三角形的中線表示法：如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：①AE是DABC的中線；②AE是DABC中BC邊上的中線；

(3)三角線的高的表示法：如圖2，根據(jù)具體情況，使用以下任意一種方式表示：①AM是DABC的高；②AM是DABC中BC邊上的高；③如果AM是DABC中BC邊上高，那么AM^BC，垂足是E；

在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時應(yīng)注意：(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點，交點都在三角形內(nèi)部.(2)如圖4，三角形的三條中線交點一點，交點都在三角形內(nèi)部.圖3

圖4

如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.圖5

圖6

圖7

6三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.注意：(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點之間線段是短；(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

7三角形的角與角之間的關(guān)系

(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180°;(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.(4)直角三角形的兩個銳角互余.8三角形的內(nèi)角和定理

定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余。

推理過程：(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，即∠A+∠B+∠ACB=180度．(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度即∠BAC+∠B+∠C=180度．

注意：(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角．(2)應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關(guān)系求三個角．

三角形的外角的定義

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.（所以一般我們只研究一個）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處只選一個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.10三角形外角的性質(zhì)

(1)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．

(2)三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．

注意：(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視；

(1)

作CM∥AB由于B、C、D共線

∴∠A=∠1，∠B=∠2

.即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.11三角形的穩(wěn)定性

三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性。

注意：(1)三角形具有穩(wěn)定性；(2)四邊形沒有穩(wěn)定性.關(guān)于三角形會經(jīng)常遇到的題型：適當添加輔助線，尋找基本圖形。

(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，圖8

(2)

基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.當幾何問題的條件和結(jié)論中，或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線，平行線，等腰三角形三個條件中的兩個時，就應(yīng)找出這個基本圖形，并立即推證出第三個作為結(jié)論.即：角平分線+平行線→等腰三角形.圖9

(3)

基本圖形三，如圖10，如果BD是DABC的角平分線，M是AB上一點，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線+垂線→等腰三角形

.當幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時，就應(yīng)找出這個基本圖形，如等腰三角形不完整就應(yīng)將基本圖形補完整，如圖11，圖12。

12多邊形

在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。(1)多邊形的對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

(2)正多邊形各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形

(3)多邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180度多邊形的外角和為

360度注：當求角度時應(yīng)該想起

內(nèi)角和

或者

外角和

或者

一個角的外角13密鋪

所謂“密鋪”，就是指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。

可單獨密鋪的圖形①所有三角形與四邊形均可以單獨密鋪。②正多邊形只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨密鋪。③對邊平行的六邊形可以單獨密鋪。平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時,只有正三、四、六邊形可以密鋪。

(利用內(nèi)角和的知識來計算，如：任意三角形內(nèi)角180，則三個相同的任意三角形即可形成∠180，六個就可以密鋪；同理，四邊形內(nèi)角360，四個就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數(shù)倍等于180或360)

曲面像12個正五邊形和20個正六邊形可以鋪成個球(足球就是)。