第一篇：九年級數(shù)學(xué)相似三角形知識精講

新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

初三數(shù)學(xué)相似三角形知識精講

（二）重要知識點(diǎn)介紹： 1.比例線段的有關(guān)概念： 在比例式ab?cd(a：b?c：d)中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。

把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。

2.比例性質(zhì)： ①基本性質(zhì)：ab?cd?ad?bc ②合比性質(zhì)：abab?cdcd?a±bb?c±dd

③等比性質(zhì)：??…?mn(b?d?…?n≠0)?a?c?…?mb?d?…?n?ab

3.平行線分線段成比例定理：

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。

則ABBC?DEEF，ABAC?DEDF，BCAC?EFDF，…

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.相似三角形的判定：

①兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

③三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似

④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似

⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

5.相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對應(yīng)角相等

②相似三角形的對應(yīng)邊成比例

③相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

④相似三角形周長的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

【典型例題】

例1.（1）在比例尺是1：8000000的《中國行政區(qū)》地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實(shí)際距離是__________千米。

（2）小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子長2m，此刻測得某建筑物的影長是18米，則此建筑物的高是_________米。

解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡單。

（1）應(yīng)填600（2）應(yīng)填14.4。

例2.如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式錯(cuò)誤的是：____________

A.C.ADABDEBC??AEACADBDB.CECFEFAB??EAFB

DEBC?ADBD，D.CFCB 分析：由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正確。而不能得到故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰是截線、誰是被截

線，C中DEBC很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對應(yīng)邊成比

DEBC?ADAB?AEAC例這一性質(zhì)來寫結(jié)論，即

例3.如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP?1，CD?23，求△ABC的邊長

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

解：∵△ABC是等邊三角形

∴∠C=∠B=60°

又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°

∠APB=∠1+∠C=∠1+60°

∴∠PDC=∠APB ∴△PDC∽△APB ∴PCAB?CDPB

設(shè)PC=x，則AB=BC=1+x 2?3，∴x?2，1?x1x ∴ ∴AB=1+x=3。

∴△ABC的邊長為3。

例4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形，（1）求證：△AEF∽△CEA（2）求證：∠AFB+∠ACB=45°

分析：因?yàn)椤鰽EF、△CEA有公共角∠AEF 故要證明△AEF∽△CEA 只需證明兩個(gè)三角形中，夾∠AEF、∠CEA的兩邊對應(yīng)成比例即可。

證明：（1）∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形

∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE?AEEFAEEF2a，EC?2a

∴?2aaECAE?2，ECAE?2a2a?2

∴?

又∵∠CEA=∠AEF ∴△CEA∽△AEF（2）∵△AEF∽△CEA ∴∠AFE=∠EAC ∵四邊形ABEG是正方形

∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE ∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°

∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG ∴∠AFB+∠ACB=45°

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

例5.已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F

求證：OE=OF 證明：∵AD∥EF∥BC ∴ ∴ ∴OEBCOEBC1BC???AEABOEAD1，??OEADAEAB1??EBABEBAB

ABAB?1

?ADOE111?? 同理： BCADOF

∴1OE?1OF

∴OE=OF 從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論： ①AD∥EF∥BC?1AD?1BC?1OE12

②AD∥EF∥BC?OE?OF? ③AD∥EF∥BC? ?1AD?1BC?EF 1OE

112EF?2OF

即1AD?1BC?2EF

這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何兩條線段的長度，都可以求出第三條線段的長度。

例6.已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

求證：AEAF?ACAB

分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代

換，通過△ABD∽△ADE，可得：可得到AD2ABAD?ADAE，于是得到AD2?AE·AB，同理 ?ACAB?AF·AC，故可得：AE·AB?AF·AC，即AEAF

證明：在△ABD和△ADE中，∵∠ADB=∠AED=90°

∠BAD=∠DAE ∴△ABD∽△ADE ∴ABAD?ADAE

∴AD2=AE·AB 同理：△ACD∽△ADF 可得：AD2=AF·AC ∴AE·AB=AF·AC ∴AEAF?ACAB

例7.如圖，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的長。

分析：本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。

解：在△ADC和△BAC中

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C ∴△ADC∽△BAC ∴ADABDCAC?DCAC?ACBC

又∵AD=6，AD=8，BD=7 ∴?AC7?DC?34

3?DC???AC4 即?

AC3???4?7?DC 解得：DC=9

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

例8.如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG=AF·FC 證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°

又∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE ∴Rt△ADE≌Rt△BCE ∴AE=BE ∵FG∥AB ∴AEBE?AGBF2

∴AG=BF 在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC≌Rt△AFB ∴AFBF?FBFC

∴BF2=AF·FC ∴AG2=AF·FC

例9.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。

分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。

解：延長BA、CD交于點(diǎn)P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

∴S△PAD：S△PBC?1：9 ∵S△PCH?12S△PBC

∴S△PAD?S四邊形AHCD?2：7

∵S四邊形AHCD?

21∴S△PAD?6

∴S△PBC?54 ∴S△HBC?

一、填空題： 1.已知a?2b2a?b?9512S△PBC?27，則a：b?__________ 2.若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊是21cm，則其余兩邊之和是__________cm 3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6，則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。

4.已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項(xiàng)c為__________cm。

5.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________ 6.已知三個(gè)數(shù)1，2，3，請你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是__________ 7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=__________

8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：__________

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

二、選擇題：

1.如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)邊的比是3：4，那么它們的對應(yīng)高的比是__________ A.9：16 C.3：4 __________米 A.10mab42 B.3：2 D.3：7 2.在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實(shí)際面積是

B.10mab

42C.abm104

D.abm1042

3.已知，如圖，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論：

① ③AEECEFAB??BEFCDEBC

②④

ADBFCECF??ABBCEABF

其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是__________ A.4個(gè)

B.3個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)

4.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長是__________

A.16 B.14

C.16或14

D.16或9 5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD，交CB的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是__________

A.△AED∽△ACB C.△BAE∽△ACE

三、解答題：

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載

B.△AEB∽△ACD D.△AEC∽△DAC 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

1.如圖，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長。

2.如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求證：△ABC∽△CBD。

3.如圖，BE為△ABC的外接圓O的直徑，CD為△ABC的高，求證：AC·BC=BE·CD 4.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE·AD=16，AB?45，（1）求證：CE=EF（2）求EG的長

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

[參考答案]

一、填空題： 1.19：13 4.6

2.24 5.12

3.3；1：4 6.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：

22、22等。

7.14.4

8.166

二、選擇題： 1.C 2.D

3.B

4.D

5.C

三、解答題：

1.解：∵AD∥EG∥BC ∴在△ABC中，有EGBCABEFBE? 在△ABD中，有 ADAB?AE

∵AE：AB=2：3 ∴BE：AB=1：3 ∴EG?23BC，EF?13AD

∵BC=9，AD=6 ∴EG=6，EF=2 ∴GF=EG－EF=4 2.解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵∠CDB=60°，∠CBD=75°

∴∠DBE=30°，∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°

∴△CBE是等腰直角三角形。

∵AB=3AD，設(shè)AD=k，則AB=3k，BD=2k ∴DE=k，BE? ∴BC?BDBC3k

6k

2k6k6k3k2323 ∴??，BCAB??

∴BDBC?BCAB

∴△ABC∽△CBD 3.連結(jié)EC，新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺

?? ∵BC?BC

∴∠E=∠A 又∵BE是⊙O的直徑

∴∠BCE=90°

又∵CD⊥AB ∴∠ADC=90°

∴△ADC∽△ECB ∴ACEB?CDBC

即AC·BC=BE·CD 4.（1）∵AD平分∠CAB ∴∠CAE=∠FAE 又∵AE⊥CF ∴∠CEA=∠FEA=90°

又∵AE=AE ∴△ACE≌△AFE（ASA）

∴CE=EF（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC ∴△CAE∽△DAC ∴ACAD?AEAC

∴AC2?AE·AD?16

在Rt△ACB中

BC2?AB2?AC2?(45)2?16?6

4∴BC?8

又∵CE=EF，EG∥BC ∴FG=GB ∴EG是△FBC的中位線

∴EG?

12BC?4

新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載

第二篇：九年級數(shù)學(xué)《相似三角形》說課稿

【小編寄語】查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)小編給大家整理了九年級數(shù)學(xué)《相似三角形》說課稿，希望能給大家?guī)韼椭?

相似三角形說課稿

今天，我的說課將分三大部分進(jìn)行：

一、說教材;

二、說教學(xué)策略;

三、說教學(xué)程序。

一、說教材

從教材地位、學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)難點(diǎn)、學(xué)情分析、教學(xué)準(zhǔn)備五個(gè)方面闡述

1、本課內(nèi)容在教材中的地位

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是本章的重要內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容是在完成對相似三角形的判定條件進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索研究相似三角形的性質(zhì)，從而達(dá)到對相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究。從知識的前后聯(lián)系來看，相似三角形可看作是全等三角形的拓廣，相似三角形的性質(zhì)研究也可看成是對全等三角形性質(zhì)的進(jìn)一步拓展研究。另外相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是今后研究圓中線段關(guān)系的有效工具。

從新課程對幾何部分的編寫來看，幾何知識的結(jié)論較之老教材已經(jīng)大為減少，教材首要關(guān)注的不是掌握多少幾何知識的結(jié)論，相對更重視的是對學(xué)生合情推理能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。從這個(gè)角度上說，不論是全等還是相似，教材只是將它們作為訓(xùn)練學(xué)生合情推理的一個(gè)有效素材而已，正因?yàn)榇?，本?jié)課應(yīng)重視學(xué)生有條理的思考及有條理的表達(dá)。

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識與技能方面：

探索相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)，會運(yùn)用相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)解決有關(guān)問題;

過程與方法方面：

培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，并能在提出問題的基礎(chǔ)上確定研究問題的基本方向及研究方法，滲透從特殊到一般的拓展研究策略，同時(shí)發(fā)展學(xué)生合情推理及有條理地表達(dá)能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀方面：

讓學(xué)生在探求知識的活動過程中體會成功的喜悅，從而增強(qiáng)其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

立足新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，我確立了如下的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：①相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用;

②促進(jìn)學(xué)生有條理的思考及有條理的表達(dá)。

4.學(xué)情分析

從七上開始到現(xiàn)在，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些平面圖形的認(rèn)識與探究活動，尤其是全等三角形性質(zhì)的探究等活動，讓學(xué)生初步積累了一定的合情推理的經(jīng)驗(yàn)與能力，這是學(xué)生順利完成本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)有利條件。

對相似形的性質(zhì)的結(jié)論，學(xué)生是有生活經(jīng)驗(yàn)與直觀感受的。比如說兩幅大小不等的中國地圖，如果其相似比為2：1，我們在較大的地圖上量出北京到南京的圖上距離為4cm，問在較小的地圖上北京到南京的圖上距離是幾厘米?學(xué)生肯定知道是2cm，這個(gè)問題中學(xué)生又沒有學(xué)過相似形的性質(zhì)，他怎么會知道呢?從中可以看出學(xué)生對比例尺的理解實(shí)際上是基于生活經(jīng)驗(yàn)的。再比如說，如果你找一個(gè)沒學(xué)過相似形性質(zhì)的學(xué)生來問他：如果用放大鏡將一個(gè)小五角星的邊長放大到原來的5倍，則這個(gè)小五角星的周長被放大到原來的幾倍?面積被放大到原來的幾倍?這些問題學(xué)生基本上能給出較準(zhǔn)確的回答。其實(shí)這就是學(xué)生對相似形性質(zhì)的一種生活化的直觀感受。

大家知道，源于學(xué)生原有認(rèn)知水平和已有生活經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)才更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，從而取得良好的教學(xué)效果。所以本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中不能把學(xué)生當(dāng)作是對相似形的性質(zhì)一無所知的，而是應(yīng)在充分尊重學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開富有成效的教學(xué)設(shè)計(jì)。

5.教學(xué)準(zhǔn)備

教師：直尺、多媒體課件

學(xué)生：必要的學(xué)習(xí)用具

二、說教學(xué)策略

從設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法三方面闡述

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，那么如何讓學(xué)生在教學(xué)過程中真正成為學(xué)習(xí)的主人，同時(shí)教師在教學(xué)過程中又引導(dǎo)什么，與學(xué)生如何合作?這就是我這節(jié)課處理教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的指導(dǎo)思想。為了更好地體現(xiàn)學(xué)生主體教師主導(dǎo)的地位，我打算從兩條主線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)：一是從知識研究的大背景出發(fā)，結(jié)合知識的生長點(diǎn)拓展延伸、合理整合、組織教學(xué);二是從尊重學(xué)生已有的知識與生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用學(xué)生已有的生活本能體驗(yàn)感受相似形的一系列性質(zhì)的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，組織教學(xué)。力圖將這兩條線索有機(jī)融合，行成完整的教學(xué)體系。

采取引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用，加強(qiáng)知識發(fā)生過程的教學(xué)，環(huán)環(huán)緊扣、層層深入，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析，用探索、發(fā)現(xiàn)的方法，使學(xué)生在掌握知識的同時(shí)，逐步形成技能。

有一位教育家說過：教給學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方法比直接教給學(xué)生知識更重要。本節(jié)課教給學(xué)生的學(xué)習(xí)方法有：提出問題，感受價(jià)值，探究解決的研究問題的基本方法，從特殊到一般的拓展研究方法等。以此發(fā)展學(xué)生思維能力的獨(dú)立性與創(chuàng)造性，逐步訓(xùn)練學(xué)生由被動學(xué)會變成主動會學(xué)。

三、說教學(xué)程序

(一)類比研究，明確目標(biāo)

師：同學(xué)們，回顧我們以往對全等三角形的研究過程，大家會發(fā)現(xiàn)，我們對一個(gè)幾何對象的研究，往往從定義、判定和性質(zhì)三方面進(jìn)行。類似的我們對相似三角形的研究也是如此。而到目前為止，我們已經(jīng)對相似形進(jìn)行了哪些方面的研究呢?

生：已經(jīng)研究了相似三角形的定義、判別條件。

師：那么我們今天該研究什么了?

生：相似三角形的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：

從幾何對象研究的大背景出發(fā)，給學(xué)生一個(gè)研究問題的基本途徑。從而讓學(xué)生自然明白本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：相似三角形的性質(zhì)。

(二)提出問題，感受價(jià)值，探究解決

師：就你目前掌握的知識，你能說出相似三角形的1-2條性質(zhì)嗎?并說明你的依據(jù)。

生：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。根據(jù)是相似三角形的定義。

師：對于相似三角形而言，邊和角的性質(zhì)我們已經(jīng)得到，除邊角外你認(rèn)為還有哪些量之間的性質(zhì)值得我們研究呢?

設(shè)計(jì)意圖：

我們常常會說：提出問題比解決問題更重要。但是作為教師，我們應(yīng)該清醒地認(rèn)識到，學(xué)生提出問題的能力是需要逐步培養(yǎng)的。此處設(shè)問就是要培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。我希望學(xué)生能提出周長、面積、對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線之間的關(guān)系來研究，甚至于我更希望學(xué)生能提出所有對應(yīng)線段之間的關(guān)系來研究。估計(jì)學(xué)生能提出這其中的一部分問題。如果學(xué)生能提出這些問題(如相似三角形周長之比等于相似比等)，就說明他的生活經(jīng)驗(yàn)的直覺已經(jīng)在起作用了。如果學(xué)生提不出這些問題，說明他的生活直覺經(jīng)驗(yàn)還沒有得到激發(fā)，我可以利用前面提到的放大鏡問題、大小兩幅地圖問題等逐步啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生的一些源自生活化的思考，從而回到預(yù)設(shè)的教學(xué)軌道。

師：對于同學(xué)們提出的一系列有價(jià)值的問題，我們不可能在一節(jié)課內(nèi)全部完成對它們的研究，所以我們從中挑出一部分內(nèi)容先行研究。比如我們來研究周長之比，面積之比，對應(yīng)高之比的問題。

師：為了讓同學(xué)們感受到我們研究問題的實(shí)際價(jià)值。我們來看一個(gè)生活中的素材：

給形狀相同且對應(yīng)邊之比為1：2的兩塊標(biāo)牌的表面涂漆。如果小標(biāo)牌用漆半聽，那么大標(biāo)牌用漆多少聽?

師：(1)猜想用多少聽油漆?(2)這個(gè)實(shí)際問題與我們剛才的什么問題有著直接關(guān)聯(lián)?

生：可能猜半聽、1聽、2聽、4聽等。同時(shí)學(xué)生能感受到這是與相似三角形面積有關(guān)的問題。

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)習(xí)心理學(xué)來說，如果能知道自己將要研究的知識的應(yīng)用價(jià)值，則更能激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求與研究熱情。

師：同學(xué)們的猜測到底誰的對呢?請?jiān)试S老師在這兒先賣個(gè)關(guān)子。讓我們帶著這個(gè)疑問來對下面的問題進(jìn)行研究。到一定的時(shí)候自然會有結(jié)論。

情境一：如圖，ABC∽DEF，且相似比為2：1，DE、EF、FD三邊的長度分別為4，5，6。(1)請你求出ABC的周長(學(xué)生只能用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出ABC的三邊長，然后求其周長)

(2)如果DEF的周長為20，則ABC的周長是多少?說出你的理由。(通過這個(gè)問題的研究，學(xué)生已經(jīng)可以得到相似三角形周長之比等于相似比的結(jié)論)

(3)如果ABC∽DEF，相似比為k：1，且DEF三邊長分別用d、e、f表示，求ABC與DEF的周長之比。

結(jié)論：相似三角形的周長之比等于相似比。

情境二：

師：相似三角形周長比問題研究完了，下面我們該研究什么內(nèi)容了?

生：面積比問題。

師：那么對于相似三角形的面積比問題你打算怎樣進(jìn)行研究?請你在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上與小組同學(xué)一起商量，給出一個(gè)研究的基本途徑與方法。

設(shè)計(jì)意圖：人類在改造自然的過程中，會遇到很多從未見過的新情境、新課題。當(dāng)我們遇到新問題的時(shí)候，確定研究方向與策略遠(yuǎn)比研究問題本身更有價(jià)值。如果你的研究方向與研究策略選擇錯(cuò)誤的話，你根本就不可能取得好的研究成果。而這種確定研究問題基本思路的能力也是我們向?qū)W生滲透教育的重要內(nèi)容。所以對于相似三角形面積比的研究，我認(rèn)為讓學(xué)生探索所研究問題的基本走向與策略遠(yuǎn)比解題的結(jié)論與過程更有價(jià)值。

(師)在學(xué)生交流的基本研究方向與策略的基礎(chǔ)上，與學(xué)生共同活動，作出兩個(gè)三角形的對應(yīng)高，通過相似三角形對應(yīng)部分三角形相似的研究得到相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比的結(jié)論。進(jìn)而解決相似三角形的面積比等于相似比的平方的問題。體現(xiàn)教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回歸生活

拓展研究一：由相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比，類比研究相似三角形對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線之比等于相似比的性質(zhì);(留待下節(jié)課研究，具體過程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多邊形研究

師：通過上述研究過程，我們已經(jīng)得到相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。那么這些結(jié)論對一般地相似多邊形還成立嗎?下面請大家結(jié)合相似五邊形進(jìn)行研究。

情境三：如圖，五邊形ABCDE∽五邊形A/B/C/D/E/，相似比為k，求其周長比與面積之比。

說明：對于周長之比，可由學(xué)生自行研究得結(jié)論。對于面積之比問題，與前面一樣，先由學(xué)生討論出研究問題的基本方向與策略轉(zhuǎn)化為三角形來研究。然后通過師生活動合作研究得結(jié)論。

拓展結(jié)論1：相似多邊形的周長之比等于相似比;

相似多邊形的面積之比等于相似比的平方。

(結(jié)合相似五邊形研究過程)

拓展結(jié)論2：相似多邊形中對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比;

相似多邊形中對應(yīng)對角線之比等于相似比;

進(jìn)而拓展到：相似多邊形中對應(yīng)線段之比等于相似比等?；貧w生活一：

師：通過前面的研究，我們得到了有關(guān)相似形的一系列結(jié)論，現(xiàn)在讓我們回頭來看前面的標(biāo)牌涂漆問題。你能確定是幾聽嗎?如果把題中的三角形條件改成更一般的相似形你還能解決嗎?

回歸生活二：(以師生聊天的方式進(jìn)行)

其實(shí)我們生活中對相似形性質(zhì)的直覺解釋是正確的，線段、周長都屬于一維空間，它的比當(dāng)然等于相似比，而面積就屬于二維空間了，它的比當(dāng)然等于相似比的平方了，比如兩個(gè)正方形的邊長之比為1：2，面積之比一定為1：4。甚至在此基礎(chǔ)上我們也可以想像：相似幾何體的體積之比與相似比的關(guān)系是什么?

生：相似比的立方。

設(shè)計(jì)意圖：新課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動要建立在學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上---;教育心理學(xué)認(rèn)為：源于學(xué)生生活實(shí)際的教育教學(xué)活動才更能讓學(xué)生理解與接受，也更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而導(dǎo)致好的教學(xué)效果;于新華老師在一些教研活動中曾經(jīng)說過：源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)直覺來展開教學(xué)設(shè)計(jì)，構(gòu)建知識，發(fā)展能力，最終還要回到學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)理解上來，形成新的數(shù)學(xué)直覺。這才是教學(xué)的最高境界。

而我的設(shè)計(jì)還有一個(gè)意圖就是向?qū)W生滲透從生活中來回到生活中去的思想，讓學(xué)生體會學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性。

(四)操作應(yīng)用，形成技能

課內(nèi)檢測：

1.已知兩上三角形相似，請完成下面表格：

相似比 2

對應(yīng)高之比 0.5

周長之比 3 k

面積之比 100

2.在一張比例尺為1：2000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長為72cm,面積為200cm2，求這個(gè)地區(qū)的實(shí)際周長和面積。

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)雙基，形成技能

(五)習(xí)題拓展，發(fā)展能力

已知，如圖，ABC中，BC=10cm，高AH=8cm。點(diǎn)P、Q分別在線段AB、AC上，且PQ∥BC，分別過點(diǎn)P、Q作BC邊的垂線PM、QN，垂足分別為M、N。我們把這樣得到的矩形PMNQ稱為△ABC的內(nèi)接矩形。顯然這樣的內(nèi)接矩形有無數(shù)個(gè)。

(1)小明在研究這些內(nèi)接矩形時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P向點(diǎn)A運(yùn)動過程中，線段PM長度逐漸變大，而線段PQ的長度逐漸變小;當(dāng)點(diǎn)P向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，線段PM逐漸變小，而線段PQ的長度逐漸變大，根據(jù)此消彼長的想法，他提出一個(gè)大膽的猜想：在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，矩形PQNM的面積s是不變的。你認(rèn)為他的猜想正確嗎?為什么?

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中,矩形PMNQ的面積有最大值嗎?有最小值嗎?

答： 最大值，最小值(填有或沒有)。請你粗略地畫出矩形面積S隨線段PM長度x變化的大致圖象。

(3)小明對關(guān)于矩形PMNQ的面積的最值問題提出了如下猜想：

①當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，矩形PMNQ的面積最大;

②當(dāng)PM=PQ時(shí)，矩形PMNQ的面積最大。

你認(rèn)為哪一個(gè)猜想較為合理?為什么?

(4)設(shè)圖中線段PM的長度為x，請你建立矩形PQNM的面積S關(guān)于變量x的函數(shù)關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：將課本基本習(xí)題改造成發(fā)展學(xué)生能力的開放型問題研究，體現(xiàn)了課程整合的價(jià)值。

(六)作業(yè)(略)

另外值得一提的是：本節(jié)課對學(xué)生的評價(jià)，更多的應(yīng)關(guān)注對學(xué)生學(xué)習(xí)的過程性評價(jià)。在整個(gè)教學(xué)過程中，我都將尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平，盡可能地讓所有學(xué)生都能主動參與，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中提高思維水平。在學(xué)生回答時(shí)，我通過語言、目光、動作給予鼓勵(lì)與表揚(yáng)，發(fā)揮評價(jià)的積極功能。尤其注意鼓勵(lì)學(xué)有困難的學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動，發(fā)表自己看法，肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步。

第三篇：九年級數(shù)學(xué)上冊《相似三角形的應(yīng)用》學(xué)案分析

九年級數(shù)學(xué)上冊《相似三角形的應(yīng)用》

學(xué)案分析

【教材分析】

（一）教材的地位和作用

《相似三角形的應(yīng)用》選自人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中數(shù)學(xué)九年級上冊第二十七章。相似與軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)一樣，也是圖形之間的一種變換，生活中存在大量相似的圖形，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。相似三角形的知識是在全等三角形知識的基礎(chǔ)上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，從特殊的相等到一般的成比例予以深化。在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的定義、判定，這為本節(jié)課問題的探究提供了理論的依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容是相似三角形的有關(guān)知識在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，另一方面增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的不斷追求。

（二）教學(xué)目標(biāo)

、。知識與能力：）

進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識．

2）能夠運(yùn)用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題）等的一些實(shí)際問題．

2．過程與方法：

經(jīng)歷從實(shí)際問題到建立數(shù)學(xué)模型的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：）通過利用相似形知識解決生活實(shí)際問題，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)于生活，服務(wù)于生活。

2）通過對問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真踏實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，通過獲得成功的經(jīng)驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵

重點(diǎn)：利用相似三角形的知識解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：運(yùn)用相似三角形的判定定理構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)的知識來進(jìn)行解答。

【教法與學(xué)法】

（一）教法分析

為了突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，在教學(xué)過程中，我采用了以下的教學(xué)方法：

．采用情境教學(xué)法。整節(jié)課圍繞測量物體高度這個(gè)問題展開，按照從易到難層層推進(jìn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)知識的現(xiàn)實(shí)問題情景，讓學(xué)生充分感知“數(shù)學(xué)于生活又服務(wù)于生活”。

2．貫徹啟發(fā)式教學(xué)原則。教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)均從提出問題開始，在師生共同分析、討論和探究中展開學(xué)生的思路，把啟發(fā)式思想貫穿與教學(xué)活動的全過程。

3．采用師生合作教學(xué)模式。本節(jié)課采用師生合作教學(xué)模式，以師生之間、生生之間的全員互動關(guān)系為課堂教學(xué)的核心，使學(xué)生共同達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。教師要當(dāng)好“導(dǎo)演”，讓學(xué)生當(dāng)好“演員”，從充分尊重學(xué)生的潛能和主體地位出發(fā)，課堂教學(xué)以教師的“導(dǎo)”為前提，以學(xué)生的“演”為主體，把較多的課堂時(shí)間留給學(xué)生，使他們有機(jī)會進(jìn)行獨(dú)立思考，相互磋商，并發(fā)表意見。

（二）學(xué)法分析

按照學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，遵循教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，采用自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生思考問題、獲取知識、掌握方法，運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，啟發(fā)學(xué)生從書本知識到社會實(shí)踐，學(xué)以致用，力求促使每個(gè)學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上得到有效的發(fā)展。

【教學(xué)過程】

一、知識梳理、判斷兩三角形相似有哪些方法?）定義:

2）定理:

3）判定定理一:

4）判定定理二:

5）判定定理三:

2、相似三角形有什么性質(zhì)？

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等

（通過對知識的梳理，幫助學(xué)生形成自己的知識結(jié)構(gòu)體系，為解決問題儲備理論依據(jù)。）

二、情境導(dǎo)入

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個(gè)斜面正對東南西北四個(gè)方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了１０萬人花了２０年時(shí)間.原高１４６．５９米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打,頂端被風(fēng)化吹蝕.所以高度有所降低。

古希臘，有一位偉大的科學(xué)家泰勒斯。一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及大金字塔的高度吧！”這在當(dāng)時(shí)的條件下是個(gè)大難題，因?yàn)楹茈y爬到塔頂?shù)?。親愛的同學(xué)，你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎？

（數(shù)學(xué)教學(xué)從學(xué)生的生活體驗(yàn)和客觀存在的事實(shí)或現(xiàn)實(shí)課題出發(fā)，為學(xué)生提供較感興趣的問題情景，幫助學(xué)生順利地進(jìn)入學(xué)習(xí)情景。同時(shí)，問題是知識、能力的生長點(diǎn)，通過富有實(shí)際意義的問題能夠激活學(xué)生原有認(rèn)知，促使學(xué)生主動地進(jìn)行探索和思考。）

三、例題講解

例1（教材P49例3——測量金字塔高度問題）

《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的陽光下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度．

解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點(diǎn)A是個(gè)小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50練習(xí)-——測量河寬問題）

《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

分析：設(shè)河寬AB長為xm，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)．再解x的方程可求出河寬．

解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？

解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略）．

四、鞏固練習(xí)

．在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時(shí)刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米?

2．小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處c看到塔頂?shù)牡褂埃阎∶鞯难鄄侩x地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處c的距離是40米.求塔高?

五、回顧小結(jié)

一）相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個(gè)方面

測高

測距

二）測高的方法

測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例”的原理解決

三）測距的方法

測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解

（落實(shí)教師的引導(dǎo)作用以及學(xué)生的主體地位，既訓(xùn)練學(xué)生的概括歸納能力，又有助于學(xué)生在歸納的過程中把所學(xué)的知識條理化、系統(tǒng)化。）

六、拓展提高

怎樣利用相似三角形的有關(guān)知識測量旗桿的高度?

七、作業(yè)

課本習(xí)題27.2

0題、11題。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】

相似應(yīng)用最廣泛的是測量學(xué)中的應(yīng)用，在實(shí)際測量物體的高度、寬度時(shí)，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實(shí)物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解。鑒于這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)整節(jié)課圍繞測量物體高度這個(gè)問題展開，通過一個(gè)個(gè)問題的解決，一方面，促使學(xué)生了解測量物體高度的方法，從而學(xué)會設(shè)計(jì)利用相似三角形解決問題的方案；另一方面，會構(gòu)造與實(shí)物相似的三角形，通過對實(shí)際問題的分析和解決，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，教學(xué)中既發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又注重凸現(xiàn)學(xué)生的主體地位，“以學(xué)生活動為中心”構(gòu)建課堂教學(xué)的基本框架，以“探究交流為形式”作為課堂教學(xué)的基本模式，以全面發(fā)展學(xué)生的能力作為根本的教學(xué)目標(biāo)，最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

第四篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊27.2.1，第1課時(shí)）

二、教材分析

1.內(nèi)容要點(diǎn)

本節(jié)課讓學(xué)生利用相似三角形的定義來進(jìn)一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知里發(fā)展思維，加強(qiáng)與前面已學(xué)過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等），相似比甚至引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系八年級上冊所學(xué)的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強(qiáng)學(xué)生的推理歸納和類比應(yīng)用的能力。2.地位

本節(jié)課處于承上啟下的位置，既增強(qiáng)了對圖形的相似和相似多邊形定義聯(lián)系和運(yùn)用，又為下一課時(shí)相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎(chǔ)。3.作用

從初步認(rèn)識相似三角形到探索如何利用平行線的特點(diǎn)判定兩個(gè)三角形相似，從無到有的知識萌發(fā)，讓學(xué)生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識兩個(gè)圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉(zhuǎn)化的思想方法，增強(qiáng)推理能力，進(jìn)而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形之美。經(jīng)過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生的合情推理意識和主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到發(fā)展。

三、學(xué)情分析 1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生在八年級上冊中已經(jīng)全面地認(rèn)識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質(zhì)，并且在上一節(jié)課已學(xué)過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)相似三角形打下了基礎(chǔ)。學(xué)生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗(yàn)，再加上學(xué)生會做輔助線，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，但學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有一定的困難。2.情意基礎(chǔ)

學(xué)生是九年級的學(xué)生，對于新知識有一定的接受能力，且數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想都相對成熟，對探索學(xué)習(xí)饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時(shí)對應(yīng)角的字母順序?qū)?yīng)；

2.能運(yùn)用平行線和三角形中線比例關(guān)系證明“A字型”三角形相似，能運(yùn)用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉(zhuǎn)化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角； 4.能掌握并運(yùn)用相似三角形判定的“預(yù)備定理”； 5.讓學(xué)生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會到數(shù)學(xué)的充滿探索與創(chuàng)造,在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

相似三角形判定的“預(yù)備定理”的探索； 2.教學(xué)難點(diǎn)

探索過程中的各種三角形相似的有關(guān)證明；

六、教學(xué)方法和手段 1.教學(xué)方法 引導(dǎo)探究法 2.教學(xué)媒體 PPT

七、教學(xué)設(shè)計(jì)思想

探究式的教學(xué)方法是新課改的一個(gè)重要內(nèi)容，布魯納主張學(xué)習(xí)的目的是以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方式使學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且指出學(xué)生的知識學(xué)習(xí)是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。利用學(xué)生的好奇心，設(shè)疑，解疑，組織互動，有效的教學(xué)活動，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，大膽猜想，使學(xué)生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，增強(qiáng)直觀效果，提高課堂效率。其次，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應(yīng)用，讓學(xué)生對新知的認(rèn)識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進(jìn)一步的提升。

八、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入（5分鐘）1.復(fù)習(xí)概念性質(zhì)（3分鐘）

T：同學(xué)們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)圖形相似。T：相似的兩個(gè)圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內(nèi)容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質(zhì)，那現(xiàn)在我手頭上有根據(jù)相似圖形性質(zhì)畫出來的兩個(gè)相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個(gè)三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個(gè)相似三角形并在同一平面變換兩個(gè)三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標(biāo)明字母）T：同學(xué)們我們要用字母表示這兩個(gè)三角形相似，應(yīng)該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個(gè)三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學(xué)在寫的時(shí)候還要注意對應(yīng)的頂點(diǎn)字母相對應(yīng)，那中間用什么符號來表示兩個(gè)三角形相似呢？有同學(xué)可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經(jīng)學(xué)過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯(lián)系，下節(jié)課我再叫同學(xué)回答這個(gè)問題。2.創(chuàng)設(shè)情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個(gè)三角形的一個(gè)對應(yīng)頂點(diǎn)重疊，貼在黑板上）

T：同學(xué)們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點(diǎn)A與?DEF的頂點(diǎn)D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關(guān)系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點(diǎn)共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點(diǎn)E、F，所構(gòu)成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學(xué)都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個(gè)三角形相似呢？

T：首先我們從我們學(xué)過的類似的圖形出發(fā)，假設(shè)這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學(xué)們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學(xué)生情況，選一名寫完了的同學(xué)上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點(diǎn)D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學(xué)們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運(yùn)用了已學(xué)的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關(guān)系，依照定義證明出了這兩個(gè)三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵(lì)。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學(xué)生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學(xué)們自行思考，待會請同學(xué)上來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個(gè)角對應(yīng)相等，只需證明對應(yīng)邊成比例.因?yàn)镈E∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點(diǎn)D作DF∥AC交BC于點(diǎn)F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉(zhuǎn)化為了求三角形的一邊對應(yīng)成比例，通過作輔助線DF，構(gòu)造出了平行四邊形，并靈活運(yùn)用平行四邊形和相似的性質(zhì)，得到了三邊對應(yīng)相等，從而證明了兩個(gè)三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現(xiàn)在我們延長AB和AC，如圖當(dāng)DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時(shí)，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應(yīng)題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯(cuò)。像這種平行線位于點(diǎn)A下方的，我們統(tǒng)稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點(diǎn)A上方時(shí)，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學(xué)們自行思考。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（T下臺觀察、指點(diǎn)。2min后）

T：老師剛剛發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)都不再用定義進(jìn)行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結(jié)論出發(fā)，將新圖形轉(zhuǎn)換為“A字型”加以證明。有哪位同學(xué)愿意上臺分享一下，你是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點(diǎn)N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵(lì)?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現(xiàn)在可以總結(jié)得出我們一開始要證明的結(jié)論了，同學(xué)們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯(cuò)，我們給這個(gè)剛剛證明的猜想一個(gè)名稱“預(yù)備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預(yù)備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

T：預(yù)備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當(dāng)簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環(huán)節(jié)題目讓學(xué)生以同桌為單位交流完成，老師再請同學(xué)發(fā)言說明思路）

（四）總結(jié)反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應(yīng)關(guān)系，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)C明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預(yù)備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構(gòu)成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結(jié)，老師說整體性語言，關(guān)鍵字引導(dǎo)學(xué)生說出）

（五）布置作業(yè)（1分鐘）

1.常規(guī)作業(yè)（第幾頁第幾題）

2.探索作業(yè)：請以本節(jié)課所學(xué)知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設(shè)計(jì)

十、反思

第五篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎(chǔ)知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個(gè)三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．

2．進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點(diǎn)考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點(diǎn)，BM交AC于點(diǎn)F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點(diǎn)悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點(diǎn)M、N，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應(yīng)邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點(diǎn)悟：要寫出兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊．因?yàn)橄嗨迫切问侨热切蔚耐茝V，所以要確定兩個(gè)相似三角形的各組的對應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對應(yīng)邊的方法，從確定這兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的頂點(diǎn)出發(fā)．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應(yīng)邊，它們所對的頂點(diǎn)E和C為對應(yīng)頂點(diǎn)，而A是兩三角形的公共頂點(diǎn)，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點(diǎn)，另一對應(yīng)頂點(diǎn)為D和C，三組對應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個(gè)相似三角形，它的對應(yīng)元素比較明顯，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)頂點(diǎn)有同樣的順序性，對應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應(yīng)元素不十分明顯，對應(yīng)順序也不一致，對應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個(gè)公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點(diǎn)悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點(diǎn)作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個(gè)基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個(gè)比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因?yàn)锳DCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點(diǎn)悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個(gè)基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個(gè)基本圖形中給出的比例式有一個(gè)公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，F(xiàn)C．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點(diǎn)悟：題設(shè)中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點(diǎn)悟：按照例4的分析，過點(diǎn)G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點(diǎn)撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識．

【易錯(cuò)例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點(diǎn)，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒有目標(biāo)而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設(shè)乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因?yàn)??所以甲同學(xué)的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應(yīng)線段造成的比值寫錯(cuò)而形成的計(jì)算錯(cuò)誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯(cuò)誤是不證三角形相似，直接進(jìn)行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．

【同步達(dá)綱練習(xí)】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．多于3個(gè)

2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會會場時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個(gè)，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗下的墻腳最遠(yuǎn)距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE