【題型綜述】

不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。分類參數(shù)的優(yōu)勢在于所得函數(shù)不含參數(shù)，缺點在于函數(shù)結(jié)構(gòu)復雜，一般是函數(shù)的積與商，因為結(jié)構(gòu)復雜，導函數(shù)可能也是超越函數(shù)，則需要多次求導，也有可能不存在最值，故需要求極限，會用到傳說中的洛必達法則求極限（超出教學大綱要求）；直接化為最值的優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的同性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數(shù)較多，不易掌握分類標準?？s小參數(shù)范圍優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，分類范圍較小，分類情況較少，難點在于尋找特殊值，并且這種解法并不流行，容易被誤判。分離函數(shù)主要針對選擇填空題。因為圖形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點以及圖像的高低，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構(gòu)作函數(shù)圖像時，實際上是從特殊到一般，由特殊幾點到整個函數(shù)圖像，實際是一種猜測。

俗話說，形缺數(shù)時難入微。

【典例指引】

例1

己知函數(shù).（1）若函數(shù)在處取得極值，且，求；

（2）若，且函數(shù)在上單調(diào)遞増，求的取值范圍.法二（直接化為最值＋分類討論）：令，.令，①當時，所以，即在上單調(diào)遞減.而，與在上恒成立相矛盾.②當時，則開口向上

(方案一）：Ⅰ.若，即時，,即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.若，即時，此時，不合題意.法三（縮小范圍＋證明不等式）：令，則.另一方面，當時，則有，令，開口向上，對稱軸，故在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，則，故適合題意.學科&網(wǎng)

例2.(2016全國新課標Ⅱ文20)己知函數(shù).（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若當時，求的取值范圍.法二（直接化為最值）：在恒成立，則

(導函數(shù)為超越函數(shù)）；在為增函數(shù)，則（1）當即時，則(當且僅當時，取“”)，故在為增函數(shù)，則有，故在恒成立，故適合題意.（2）當即

時，則，且，故在有唯一實根，則在為減函數(shù)，在增函數(shù)，又有，則存在,使得，故不適合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.學科&網(wǎng)

法三（分離參數(shù)）：在恒成立在恒成立（端點自動成立），則設(shè)，令在為增函數(shù)，則在為增函數(shù)，又因，故實數(shù)的取值范圍為

法四（縮小范圍）：在恒成立，且，則存在，使得在上為增函數(shù)在上恒成立，令.又當時，在為增函數(shù)，則(當且僅當(當且僅當時，取“”)，故在為增函數(shù)，則有，故在恒成立，故適合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.學科&網(wǎng)

點評：當端點剛好適合題意時，則分離參數(shù)法一般會用到傳說中的洛必達法則，縮小范圍則可利用端點值導數(shù)符號來求出參數(shù)范圍。這兩種轉(zhuǎn)化方式都有超出教學大綱要求的嫌疑。

2.(重慶市2015屆一診理20)已知曲線在點處的切線的斜率為1；

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍.當時，在上單減，上單增，而，矛盾；

綜上，.法二（分離參數(shù)）在上恒成立（端點自動成立）

設(shè)，令[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，又因，故實數(shù)的取值范圍為

（2）若時，則，故在上單減，上單增，而，矛盾；學科&網(wǎng)

綜上，實數(shù)的取值范圍為

點評：（1)在端點處恰好適合題意，分離參數(shù)所得函數(shù)卻在時得到下確界，值得留意.（2）縮小范圍所得參數(shù)范圍不一定恰好具有充分性，則需要分類討論，這時可以減少分類的層級數(shù)，縮短解題步驟。

（3）構(gòu)造反例，尋找合適的特殊值，具有很強的技巧性。因函數(shù)分解為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之和，故構(gòu)造特殊值的反例時可以分別考慮二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的零點為，而二次函數(shù)的零點為及，又知當時，零點，故易得，從而導出矛盾。

【擴展鏈接】

洛必達法則簡介：

法則1

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2）在點的去心鄰域內(nèi)，與可導，且；（3），那么.法則2

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2），和在與上可導，且；（3），那么.法則3

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2）在點的去心鄰域內(nèi)，與可導且；（3），那么.利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：

①將上面公式中的換成洛必達法則也成立。

②洛必達法則可處理型。

③在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達法則會

出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。

④若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

【同步訓練】

1．已知函數(shù).（1）若，求證：當時，；

（2）若存在，使，求實數(shù)的取值范圍.[來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K]

【思路引導】

(1)由題意對函數(shù)求導，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；

(2)結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合其導函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)a的取值范圍是.設(shè)h（x）=（x≥e），則h’（x）=

u=lnx-，u’=在[e，+∞）遞增。

x=e時，u=1-＞0，所以u＞0在[e,+00）恒成立，h’（x）＞0，在[e,+00）恒成立，所以h（x）[e,+∞）遞增

x≥e，時h（x）min=h（e）=ee

需ea＞eea＞e學科&網(wǎng)

2．已知，是的導函數(shù)．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【思路引導】

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導數(shù)g（x）,再對g(x)進行求導g’(x),即可求出的極值；（Ⅱ）討論以及時，對應(yīng)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出滿足在時恒成立時a的取值范圍．

【詳細解析】

當時，由（）可得（）.，故當時，于是當時，不成立.綜上，的取值范圍為．學科&網(wǎng)

3．已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

【思路引導】

(Ⅰ)

求出，可得切線斜率，根據(jù)點斜式可得切線方程；（Ⅱ）討論三種情況，分別令得增區(qū)間，得減區(qū)間；

（Ⅲ）對于任意，都有成立等價于恒成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，進而可得結(jié)果.【詳細解析】

（3）當，即時，在上恒成立，所以函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.綜上所述：

當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.（Ⅲ）因為對于任意，都有成立，則，等價于.令，則當時，..因為當時，所以在上單調(diào)遞增.所以.所以.所以.學科&網(wǎng)

4．已知函數(shù)，.(Ⅰ)當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

(Ⅱ)當時，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】

(1)，設(shè)直線與曲線相切，其切點為，求出切線方程，且切線過點，可得，判斷方程有三個不的根，則結(jié)論易得；

(2)

易得當時，設(shè)，則，設(shè)，則，分、兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最小值，即可得出結(jié)論；

法二：

(1)同法一得，設(shè)，求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，即可得出結(jié)論；

(2)同法一.【詳細解析】

(Ⅱ)當時，即當時，當時，學科&網(wǎng)

設(shè)，則，設(shè)，則.(1)當時，從而(當且僅當時，等號成立)

在上單調(diào)遞增，又當時，從而當時，在上單調(diào)遞減，又，從而當時，即

于是當時，在上單調(diào)遞增，又，從而當時，即學科&網(wǎng)

于是當時，綜合得的取值范圍為.當變化時，變化情況如下表：

極大值

極小值

恰有三個根，故過點有三條直線與曲線相切.(Ⅱ)同解法一.學科&網(wǎng)

5．已知函數(shù)（）.（1）當曲線在點處的切線的斜率大于時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若

對恒成立，求的取值范圍.（提示：）

【思路引導】

(1)考查函數(shù)的定義域，且，由，得.分類討論：

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)構(gòu)造新函數(shù)，令，則，分類討論：

①當時，可得.②當時，.綜上所述，.【詳細解析】

②當時，令，得.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.所以當時，取得最大值.故只需，即，化簡得，令，得（）.令

（），則，令，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上遞增，而，所以上恒有，即當時，.綜上所述，.學科&網(wǎng)

6．已知函數(shù)在點處的切線方程為,且.(Ⅰ)求函數(shù)的極值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整數(shù)的最大值.【思路引導】

(Ⅰ)由函數(shù)的解析式可得，結(jié)合導函數(shù)與極值的關(guān)系可得，無極大值.(Ⅱ)由題意結(jié)合恒成立的條件可得正整數(shù)的最大值是5.【詳細解析】

.∴在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，又∵

∴當時，恒有；當時，恒有；

∴使命題成立的正整數(shù)的最大值為.學科&網(wǎng)

7．已知函數(shù)，其中，.（1）若的一個極值點為，求的單調(diào)區(qū)間與極小值；

（2）當時，，且在上有極值，求的取值范圍.【思路引導】

（1）求導,由題意,可得,下來按照求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值的一般步驟求解即可;

（2）當時，求導,酒紅色的單調(diào)性可得,進而得到.又，分類討論,可得或時，在上無極值.若，通過討論的單調(diào)性，可得，或，可得的取值范圍.【詳細解析】的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.的極小值為.8．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)，證明：

.【思路引導】

(1)

求導,易得結(jié)果為;

(2)

原不等式等價于,令，令,分，三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性,則可得結(jié)論;

(3)

利用定積分求出m的值,由(2)知,當時，則,令，求導并判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出,即在上恒成立,令,則結(jié)論易得.【詳細解析】

且時，∴遞增，∴

(不符合題意)

綜上：

.9．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】

(1)，分、兩種情況討論的符號，則可得結(jié)論；(2)

當時，原不等式可化為，令，則，令，則，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，并且求出最小值，則可得結(jié)論.【詳細解析】

(1)

①若，在上單調(diào)遞增；

②若，當時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增

10．設(shè)函數(shù).（1）當時,求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）對任意的函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】

（1）把代入函數(shù)解析式，求導后得到函數(shù)在點處的切線的斜率，然后利用直線方程的點斜式得答案；（2）由，得，求出函數(shù)的導函數(shù)，導函數(shù)在處，的導數(shù)為零，然后由導函數(shù)的導函數(shù)在上大于零求得的范圍，就是滿足函數(shù)恒成立的實數(shù)的取值范圍.【詳細解析】

（1）當時,由，則

函數(shù)在點處的切線方程

為

即

[來源:學科網(wǎng)]

11．設(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明：

.【思路引導】

（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導函數(shù)恒為非負數(shù)，分離常數(shù)后利用導數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導數(shù)，對分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.【詳細解析】

（Ⅱ）

.令（），以下證明當時，的最小值大于0.求導得

.①當時，；

②當時，令，則，又，取且使，即，則，12．已知函數(shù)（）與函數(shù)有公共切線．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若不等式對于的一切值恒成立，求的取值范圍．

【思路引導】

（1）函數(shù)與有公共切線，函數(shù)與的圖象相切或無交點，所以找到兩曲線相切時的臨界值，就可求出參數(shù)的取值范圍。（2）等價于在上恒成立，令，x>0,繼續(xù)求導，令，得?？芍淖钚≈禐?0,把上式看成解關(guān)于a的不等式，利用函數(shù)導數(shù)解決。

【詳細解析】[來源:Z#xx#k.Com]

（Ⅰ），．

∵函數(shù)與有公共切線，∴函數(shù)與的圖象相切或無交點．

當兩函數(shù)圖象相切時，設(shè)切點的橫坐標為（），則，（Ⅱ）等價于在上恒成立，令，因為，令，得，極小值

所以的最小值為，令，因為，令，得，且[來源:學科網(wǎng)ZXXK]

極大值

所以當時，的最小值，當時，的最小值為，所以．

綜上得的取值范圍為．

13．已知函數(shù)，.（1）求證：（）；

（2）設(shè)，若時，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導】

（1）即證恒成立，令求導可證；（2），．又，因為時，恒成立，所以，所以只需考慮。又，所以下證符合。

【詳細解析】

②當時，