專(zhuān)題10

已知不等恒成立，討論單調(diào)或最值

【題型綜述】

不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：

①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；

②直接化為最值＋分類(lèi)討論；

③縮小范圍＋證明不等式；

④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。

通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，直接化為最值的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點(diǎn)是一般需要分類(lèi)討論，解題過(guò)程較長(zhǎng)，解題層級(jí)數(shù)較多，不易掌握分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

【典例指引】

例1．設(shè)是在點(diǎn)處的切線．[來(lái)源:學(xué)。科。網(wǎng)]

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）設(shè)，其中．若對(duì)恒成立，求的取值范圍．

例2．函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若且滿足：對(duì)，都有，試比較與的大小，并證明.例3．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【同步訓(xùn)練】

1．已知函數(shù).（1）當(dāng)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若對(duì)任意都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．已知函數(shù)，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．

（Ⅰ）求，的值．

（Ⅱ）若時(shí)，求的取值范圍．

3．已知函數(shù)．

（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程．

（II）求證：當(dāng)時(shí)，．

（III）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．

[來(lái)源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

4．已知函數(shù)（其中）在點(diǎn)處的切線斜率為1．

（1）用表示；

（2）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；[來(lái)源:Z&xx&k.Com]

（3）在（2）的前提下，如果，證明：

．

5．已知函數(shù)（）．

（1）若在處取到極值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，．

[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

6．已知函數(shù)，其中．

（1）若，求函數(shù)在上的值域；

（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

7．已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；[來(lái)源:Z。xx。k.Com]

（3）當(dāng)時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．

8．已知．

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

9．已知函數(shù)（）．

（1）若，求曲線在處的切線方程；

（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

10．已知函數(shù)，直線的方程為．

（1）若直線是曲線的切線，求證：對(duì)任意成立；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)是應(yīng)滿足的條件．