專題11

已知不等恒成立，分離參數(shù)定最值

【題型綜述】

不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。分類參數(shù)的優(yōu)勢在于所得函數(shù)不含參數(shù)，缺點(diǎn)在于函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，一般是函數(shù)的積與商，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)函數(shù)可能也是超越函數(shù)，則需要多次求導(dǎo)，也有可能不存在最值，故需要求極限，會(huì)用到傳說中的洛必達(dá)法則求極限（超出教學(xué)大綱要求）；直接化為最值的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的同性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點(diǎn)是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)?？s小參數(shù)范圍優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，分類范圍較小，分類情況較少，難點(diǎn)在于尋找特殊值，并且這種解法并不流行，容易被誤判。分離函數(shù)主要針對選擇填空題。因?yàn)閳D形難以從微觀層面解釋清楚圖像的交點(diǎn)以及圖像的高低，這要涉及到圖像的連續(xù)性以及凸凹性。還有在構(gòu)作函數(shù)圖像時(shí)，實(shí)際上是從特殊到一般，由特殊幾點(diǎn)到整個(gè)函數(shù)圖像，實(shí)際是一種猜測。

俗話說，形缺數(shù)時(shí)難入微。

【典例指引】

例1

己知函數(shù).（1）若函數(shù)在處取得極值，且，求；

（2）若，且函數(shù)在上單調(diào)遞増，求的取值范圍.解：（1），由題意可得：，又，所以.經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.(2)，在上單調(diào)遞增在上恒成立在上恒成立

法一（分離參數(shù)＋函數(shù)最值）：則在上恒成立，令，下面求在上的最大值.，令，則.顯然，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，從而.所以，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，從而.因此，.法二（直接化為最值＋分類討論）：令，.令，①當(dāng)時(shí)，所以，即在上單調(diào)遞減.而，與在上恒成立相矛盾.②當(dāng)時(shí)，則開口向上

(方案一）：Ⅰ.若，即時(shí)，,即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.若，即時(shí)，此時(shí)，不合題意.(方案二）：Ⅰ.若對稱軸，即時(shí)，則在上為增函數(shù)，即，所以在上遞增，所以，即.Ⅱ.若對稱軸，即時(shí)，則，不合題意.法三（縮小范圍＋證明不等式）：令，則.另一方面，當(dāng)時(shí)，則有，令，開口向上，對稱軸，故在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，則，故適合題意.例2.(2016全國新課標(biāo)Ⅱ文20)己知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.簡析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為.（Ⅱ）法一（參考答案，系數(shù)常數(shù)化）：在恒成立在恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，則)時(shí)，,故，在上是增函數(shù)，故有

②當(dāng)時(shí)，則，由，故，在上是減函數(shù)，故有，故不適合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為

法二（直接化為最值）：在恒成立，則

(導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)）；在為增函數(shù)，則（1）當(dāng)即時(shí)，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，故在為增函數(shù)，則有，故在恒成立，故適合題意.（2）當(dāng)即

時(shí)，則，且，故在有唯一實(shí)根，則在為減函數(shù)，在增函數(shù)，又有，則存在,使得，故不適合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.法三（分離參數(shù)）：在恒成立在恒成立（端點(diǎn)自動(dòng)成立），則設(shè)，令在為增函數(shù)，則在為增函數(shù)，又因，故實(shí)數(shù)的取值范圍為

法四（縮小范圍）：在恒成立，且，則存在，使得在上為增函數(shù)在上恒成立，令.又當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，則(當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，故在為增函數(shù)，則有，故在恒成立，故適合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)評：當(dāng)端點(diǎn)剛好適合題意時(shí)，則分離參數(shù)法一般會(huì)用到傳說中的洛必達(dá)法則，縮小范圍則可利用端點(diǎn)值導(dǎo)數(shù)符號來求出參數(shù)范圍。這兩種轉(zhuǎn)化方式都有超出教學(xué)大綱要求的嫌疑。

2.(重慶市2015屆一診理20)已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1；

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.解：（Ⅰ）

由題知

∴，在上單減，∴在上恒成立

即在上恒成立，∴；

（Ⅱ）法一（直接化為最值）令，則在上恒成立，當(dāng)即時(shí)，在上單減，∴，符合題意；

當(dāng)時(shí)，在上單增，∴當(dāng)時(shí)，矛盾；

當(dāng)時(shí)，在上單減，上單增，而，矛盾；

綜上，.法二（分離參數(shù)）在上恒成立（端點(diǎn)自動(dòng)成立）

設(shè)，令

在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，又因，故實(shí)數(shù)的取值范圍為

法三

（縮小范圍）：令，則在上恒成立，注意到，則存在，使得在上為減函數(shù)

在上恒成立，又有.則存在，使得在上為減函數(shù)[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

在上恒成立，又有.又當(dāng)時(shí)，則

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

（1）若時(shí)，在上單減，∴，符合題意；

（2）若時(shí)，則，故在上單減，上單增，而，矛盾；[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為

點(diǎn)評：（1)在端點(diǎn)處恰好適合題意，分離參數(shù)所得函數(shù)卻在時(shí)得到下確界，值得留意.（2）縮小范圍所得參數(shù)范圍不一定恰好具有充分性，則需要分類討論，這時(shí)可以減少分類的層級數(shù)，縮短解題步驟。

（3）構(gòu)造反例，尋找合適的特殊值，具有很強(qiáng)的技巧性。因函數(shù)分解為二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之和，故構(gòu)造特殊值的反例時(shí)可以分別考慮二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)，對數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)為，而二次函數(shù)的零點(diǎn)為及，又知當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)，故易得，從而導(dǎo)出矛盾。

【擴(kuò)展鏈接】

洛必達(dá)法則簡介：[來源:學(xué)科網(wǎng)]

法則1

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)，且；（3），那么.法則2

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么.法則3

若函數(shù)和滿足下列條件：（1)

及；（2）在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

①將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。

②洛必達(dá)法則可處理型。[來源:學(xué)科網(wǎng)]

③在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)

出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。

④若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

【同步訓(xùn)練】

1．已知函數(shù).（1）若，求證：當(dāng)時(shí)，；

（2）若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．已知，是的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

3．已知函數(shù)．

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)．若對于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

4．已知函數(shù)，.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求證：過點(diǎn)有三條直線與曲線相切；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率大于時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若

對恒成立，求的取值范圍.（提示：）

6．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,且.(Ⅰ)求函數(shù)的極值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整數(shù)的最大值.7．已知函數(shù)，其中，.（1）若的一個(gè)極值點(diǎn)為，求的單調(diào)區(qū)間與極小值；

（2）當(dāng)時(shí)，，且在上有極值，求的取值范圍.8．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)，證明：

.9．已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）對任意的函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．設(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明：

.12．已知函數(shù)（）與函數(shù)有公共切線．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若不等式對于的一切值恒成立，求的取值范圍．

13．已知函數(shù)，.（1）求證：（）；

（2）設(shè)，若時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.