《高等數(shù)學(xué)（本）》教學(xué)大綱

課程名稱：高等數(shù)學(xué)（本）

適應(yīng)專業(yè)：2017級(jí)專升本各專業(yè)

教材名稱：《高等數(shù)學(xué)》（本）李剛主編

中國傳媒出版社

一、本課程的地位、任務(wù)和作用

高等數(shù)學(xué)是人們?cè)趶氖赂咝录夹g(shù)及知識(shí)創(chuàng)新中必不可少的工具，它的內(nèi)容、思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，成為現(xiàn)代文化的重要組成部分。21世紀(jì)是信息時(shí)代，它不僅給人類生活帶來日新月異的變化，也給“高等數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)增添了新的內(nèi)涵?！案叩葦?shù)學(xué)”是高等院校的一門重要的基礎(chǔ)課，通過學(xué)習(xí)使學(xué)生受到必要的高等數(shù)學(xué)教育,使其具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)及今后的應(yīng)用打下良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、本課程的相關(guān)課程

本課程的先修課程是《初等數(shù)學(xué)》

三、本課程的基本內(nèi)容及要求

第一章

函數(shù)與極限

（一）基本內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法,函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及性質(zhì)，函數(shù)的左、右極限，無窮小與無窮大的概念，無窮小的性質(zhì)及其比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限

函數(shù)連續(xù)的概念，間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）基本要求

1．理解函數(shù)的概念，掌握表示法。

2．了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性，奇偶性。

3．掌握簡(jiǎn)單初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

4．會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。

5．理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念。理解函數(shù)的左、右極限概念及極限存在與左、右極限存在的關(guān)系。

7．掌握極限的性質(zhì)、極限的四則運(yùn)算法則。

第二章

一元函數(shù)微分學(xué)

（一）基本內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線的切線和法線，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)以及參數(shù)方程所確定的函數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)的概念，某些簡(jiǎn)單函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述簡(jiǎn)單物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分，初步了解微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

3．會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4．掌握用“洛比達(dá)“法則求未定式極限的方法。

第三章

一元函數(shù)積分學(xué)

（一）基本內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，不定積分和定積分的換元積分與分部積分方法，有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分。

（二）基本要求

1．理解原函數(shù)、不定積分的概念。

2．掌握不定積分的基本公式，理解不定積分的性質(zhì)，掌握不定積分的換元法和分部積分法。

4．理解定積分的概念。

5．掌握牛頓——萊布尼茨公式。

6．掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量（平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、平面截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長）。

笫四章

向量代數(shù)與空間解析幾何

（一）基本內(nèi)容

向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積的概念及運(yùn)算，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量，方向數(shù)與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，球面，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面，旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程。

（二）基本要求

1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），掌握兩個(gè)向量垂直、平行的條件。

3．掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。

4．掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

笫五章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

（一）基本內(nèi)容

多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義，二元函數(shù)極限和連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，全微分存在的必要條件和充分條件，全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用，多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法，二階偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)和梯度的概念及其計(jì)算，空間曲線的切線和法平面，曲面的切平面和法線，二元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。

2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3．理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

4．理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

5．掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6．會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們方程。

8．理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。

第六章

無窮級(jí)數(shù)

（一）基本內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)以及它們的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，函數(shù)可展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件，常見函數(shù)如，，等的麥克勞林展開式，冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（二）基本要求

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法，會(huì)用根值審斂法。

4．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域與和函數(shù)的概念。

5．掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂區(qū)域的求法。

6．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

7．了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

8．掌握常見函數(shù)如，，等的麥克勞林展開式，并會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。

9．了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

第七章

微分方程

（一）基本內(nèi)容

微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程，可降階的高階微分方程，線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程，簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，微分方程的冪級(jí)數(shù)解法，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念

2．掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法

3．會(huì)求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換求解某些微分方程。

4．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

5．掌握二階常數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)求解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

第八章

行列式與矩陣

1．理解線性方程組的相關(guān)概念；

2．掌握初等變換求解線性方程組；

3．理解矩陣概念；

4．熟悉單位陣、對(duì)角陣、對(duì)稱陣等的性質(zhì)；

5．熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算；

6．理解逆矩陣概念及其性質(zhì)；

7．掌握矩陣求逆的方法；

8．掌握方陣的行列式的概念及其運(yùn)算規(guī)律；

9．掌握行列式的性質(zhì)；

10．掌握克萊姆法則。

四、教學(xué)方式與考核方式

教學(xué)方式：面授輔導(dǎo)、平時(shí)作業(yè)

考核方式：考勤、作業(yè)和考試

五、參考書目

1．同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷錫鳴等．高等數(shù)學(xué)．上海：

華東理工大學(xué)出版社，2003

3．馬知恩．工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．蕭樹鐵．大學(xué)數(shù)學(xué)．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)．合肥：安徽大學(xué)出版社，2002

《高等數(shù)學(xué)（本）》復(fù)習(xí)范圍

1.數(shù)列極限的定義：

2.極限運(yùn)算法則

3.求極限的常用方法：

利用定義：利用函數(shù)的連續(xù)性；利用等價(jià)無窮??；利用洛必導(dǎo)法則。

4.導(dǎo)數(shù)定義：

5.求導(dǎo)法則

常用導(dǎo)數(shù)

6.不定積分和定積分。

基本基本表和微積分基本公式

7.典型例題。

l

求極限

1)、；

2）、；

3)、利用洛必導(dǎo)法則得到。

4)、利用函數(shù)的連續(xù)性得到；

5)、；

l

求導(dǎo)數(shù)

6)、設(shè)，求。

解：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到

7)、解：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則

8)、設(shè)，求的導(dǎo)數(shù)。

解：利用導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

得到

9)、設(shè)，求的微分。

解：由微分的定義得到

10)、計(jì)算。

解：

11)、計(jì)算。

解：

12)、計(jì)算。

解：

13)、計(jì)算。

解：

14）、計(jì)算。

解：由定積分的幾何意義可知此積分為四分之一的單位圓的面積，所以

15）、求兩條拋物線和所圍成的圖形的面積。

解：由定積分的定義可知其為曲邊梯形的面積

所以面積A＝。

16）、已知：。

求證：的極限存在，并求其極限。

證明：

17）、證明：

18）常用函數(shù)的麥克勞林公式