一課研究之經(jīng)驗(yàn)·轉(zhuǎn)換·思辨

—“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”教學(xué)實(shí)踐與思考

情節(jié)重放

一次，聽(tīng)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”一課時(shí)，教師在引入環(huán)節(jié)的處理深深吸引了我。

教師出示操場(chǎng)圖，設(shè)置了小明晨練跑步的情境。

緊接著，教師先后出示以下兩種小明跑步的情況，讓學(xué)生分辨，哪種情況跑了操場(chǎng)的一周。通過(guò)對(duì)比，以此來(lái)幫助學(xué)生理解操場(chǎng)的一周就是“從起點(diǎn)到起點(diǎn)的，操場(chǎng)外圈的邊線”。

接下來(lái)，教師將操場(chǎng)的邊線在課件中呈現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)計(jì)算，讓學(xué)生初步感受到操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度叫做操場(chǎng)的“周長(zhǎng)”，并通過(guò)歸納的形式得出“周長(zhǎng)”的定義。

我的疑問(wèn)

1.學(xué)生真的不理解“一周”嗎？

該教師引入“周長(zhǎng)”的過(guò)程中，花了濃重的筆墨來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“一周”及其封閉性。于是，我思考：學(xué)生真的不理解“一周”嗎？

問(wèn)題1：出示葉片圖和長(zhǎng)方形圖，看到“一周”你想到了什么？

結(jié)果：3人不能正確指出一周，2人指葉片的邊線，但抽象出葉子的輪廓并和長(zhǎng)方形進(jìn)行對(duì)比之后，這2人修正了自己的想法。

問(wèn)題2：什么是一周？

回答1：一周就是要封起來(lái)；

回答2：一周就是圖形的邊；

回答3：一周就是連起來(lái)；

回答4：一周在長(zhǎng)方形的邊上。

問(wèn)題3：是否有“沒(méi)有一周”的圖形？

結(jié)果：39人都認(rèn)為沒(méi)有“沒(méi)有一周”的圖形。

從訪談中可以看出：對(duì)于“一周”，學(xué)生是有經(jīng)驗(yàn)的。首先，無(wú)論是葉片的一周還是長(zhǎng)方形的一周，大部分的學(xué)生都能夠指出來(lái)。其次，學(xué)生認(rèn)為封閉圖形才有“一周”。于是筆者思考，“一周”與“封閉”，真的需要如此大花筆墨嗎？

2.周長(zhǎng)認(rèn)識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”在哪里？如何實(shí)現(xiàn)周長(zhǎng)概念的豐滿與內(nèi)化？

回顧該教師課堂行進(jìn)過(guò)程：操場(chǎng)的一周→

操場(chǎng)一周的長(zhǎng)度

→

各種圖形一周的長(zhǎng)度

→

概括得出周長(zhǎng)的概念

→

周長(zhǎng)的辨析與應(yīng)用。從學(xué)習(xí)路徑看，周長(zhǎng)是從“一周”生長(zhǎng)起來(lái)的。于是，筆者思考：周長(zhǎng)的根在哪里？周長(zhǎng)應(yīng)該在“周”的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)，還是在“長(zhǎng)”的基礎(chǔ)上延續(xù)？周長(zhǎng)意義的理解，是否只立足于“一周”就夠了？對(duì)于周長(zhǎng)的理解，是否還能實(shí)現(xiàn)更深入地挖掘？如何讓周長(zhǎng)真正內(nèi)化成學(xué)生自己的語(yǔ)言，而不僅僅是記住形式化的概念？

為此，帶著這些問(wèn)題，筆者進(jìn)行了教學(xué)嘗試。以下是筆者的教學(xué)實(shí)踐與思考。

教學(xué)實(shí)踐與思考

立足“長(zhǎng)度”，讓周長(zhǎng)自然生長(zhǎng)

【教學(xué)片斷】

1.一周的辨別（明確封閉圖形與一周）

師：課前老師進(jìn)行了一次采訪，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們都認(rèn)識(shí)了“一周”。你認(rèn)為哪些圖形表示的是“一周”（師動(dòng)手指一指紅色部分）。

2.師出示一根鋅棒。（鋅棒是一種科學(xué)學(xué)具，特點(diǎn)是很柔軟，可以隨意彎折。）

師：這是一根鋅棒，長(zhǎng)度是20厘米。（師將它隨意彎折，不封閉）現(xiàn)在它的長(zhǎng)度是多少？

生：20厘米。

師：如果將它變成一個(gè)圓形，鋅棒的長(zhǎng)度是多少？你是怎么想的？

生：還是20厘米。

師：那如果變成長(zhǎng)方形呢？

生：那也是20厘米啊。

師：你還想把鋅棒變成什么圖形？變成后的圖形中的鋅棒長(zhǎng)多少？（抽生回答。）

3.分類

師：請(qǐng)看，鋅棒變成了各種各樣的平面圖形，你能把這些平面圖形分類嗎？

生分類。

師：說(shuō)說(shuō)你的想法。（現(xiàn)場(chǎng)編號(hào)，從左往右1——5，第二行6、7）

生1：我準(zhǔn)備分成兩類，1、2、4——7一類，3一類。我是這么想的，圓是曲線圖形，其他圖形的邊都是直的。

生2：我是這樣分的，1、2分成一類，它們是不封閉圖形。3——7分成一類，它們是封閉圖形。

4.比較。

師：按照第二個(gè)同學(xué)的思路，我們一起仔細(xì)觀察這兩類圖形，它們的共同點(diǎn)是什么？

生：不管是封閉圖形的還是不封閉圖形，它們的長(zhǎng)度都是20厘米。

師：同樣都有長(zhǎng)度，那這些圖形有什么不同的地方？

5.概括。

師：你覺(jué)得周長(zhǎng)是什么？周是什么？長(zhǎng)是什么？

生嘗試概括：封閉圖形一周的長(zhǎng)度叫周長(zhǎng)。

6.師指不封閉的圖形，問(wèn)：它們有周長(zhǎng)嗎？為什么？

師：它們有什么？沒(méi)有什么？

生：它們有長(zhǎng)度，沒(méi)有一周。

追根溯源，尋找周長(zhǎng)的本位概念，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)的本質(zhì)概念是“長(zhǎng)度”。因此，學(xué)生已有的對(duì)于“長(zhǎng)度”的理解，應(yīng)該是周長(zhǎng)學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。二年級(jí)時(shí)，學(xué)生研究的是一維的線段的長(zhǎng)度?，F(xiàn)在學(xué)生研究的是二維的封閉圖形的長(zhǎng)度。雖然圖形從一維拓展到二維，但他們的本質(zhì)沒(méi)有變，都在求“長(zhǎng)度”。周長(zhǎng)與線段長(zhǎng)度的區(qū)別在于從一條線段到多條線段和的擴(kuò)展。

在此環(huán)節(jié)中，筆者通過(guò)三個(gè)層次幫助學(xué)生理解周長(zhǎng)。

第一層次：通過(guò)對(duì)課前訪談結(jié)果進(jìn)行重現(xiàn)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解一周。

第二層次：借助科學(xué)課中的學(xué)具“鋅棒”，實(shí)現(xiàn)從線段長(zhǎng)度到圖形長(zhǎng)度的拓展。鋅棒的數(shù)學(xué)原型就是線段，通過(guò)變形，鋅棒變化出兩類圖形，不封閉的圖形和封閉的圖形。在這個(gè)變形過(guò)程中，筆者始終要求學(xué)生關(guān)注鋅棒的長(zhǎng)度，也就有意識(shí)的去除了其對(duì)面積的關(guān)注。

第三層次：借助分類幫助學(xué)生建構(gòu)周長(zhǎng)的概念。在變化出兩類圖形后，筆者嘗試讓學(xué)生進(jìn)行分類，學(xué)生自然而然的將封閉圖形分為一類，將不封閉的圖形分為另一類。分類的目的是為了進(jìn)一步的觀察與比較?！胺忾]圖形與這些不封閉的圖形相同的地方在哪里？”這個(gè)問(wèn)題是將學(xué)生的眼光聚焦在長(zhǎng)度上，“它們都有長(zhǎng)度，那不相同的地方在哪里？”這個(gè)問(wèn)題將目光轉(zhuǎn)到“一周”上。通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生心中的“周長(zhǎng)”逐漸清晰，周長(zhǎng)就是封閉圖形一周的長(zhǎng)度。但是筆者認(rèn)為還沒(méi)有結(jié)束，還需要繼續(xù)咀嚼?！埃ㄖ钢环忾]圖形）它們有周長(zhǎng)嗎？那它們有什么？沒(méi)有什么？”封閉圖形有周長(zhǎng)，那不封閉圖形呢？這個(gè)問(wèn)題是需要讓學(xué)生辯證的?！坝虚L(zhǎng)度，沒(méi)有一周”，學(xué)生的這個(gè)回答很精彩。它充分體現(xiàn)了周長(zhǎng)與線段長(zhǎng)度的區(qū)別——就在這個(gè)“周”字上。

以此，讓學(xué)生感悟到“周長(zhǎng)周長(zhǎng)，周是前提，長(zhǎng)是本質(zhì)”。由此，周長(zhǎng)理解的第一層面水到渠成。

在轉(zhuǎn)換中內(nèi)化

【教學(xué)片斷】

1.師先出示下圖中三個(gè)直邊圖形，生求出三個(gè)直邊圖形的周長(zhǎng)。

交流：

師：你們是怎么想的？

生：先量出每條線段的長(zhǎng)度再相加。

師：量了為什么還要加？

生：量的只是部分的長(zhǎng)度，還不是全部一周的長(zhǎng)度。

2.師課件出示“圓”，你能想辦法知道這個(gè)圓的周長(zhǎng)嗎？

同桌合作測(cè)量圓的周長(zhǎng)。

3.師先后出示一條線段、兩條線段，師：它們有周長(zhǎng)嗎？

課件出示三角形。師：三條線段圍成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形有周長(zhǎng)嗎？三角形的周長(zhǎng)就是什么？

師：再來(lái)一條線段。這些四邊形呢？這些四邊形的周長(zhǎng)指什么？

4.師利用幾何畫(huà)板出示正五邊形、正六、七、八、九、十，十一邊形，以及正40邊形。讓學(xué)生思考這些圖形的周長(zhǎng)指的是什么？

5.生總結(jié)：圖形的周長(zhǎng)就是所有邊的總長(zhǎng)度（長(zhǎng)度和）。

第一環(huán)節(jié)中，筆者試圖幫助學(xué)生建立“周長(zhǎng)”與“一周的長(zhǎng)度”之間的關(guān)系，辯證地理解“周”與“長(zhǎng)”。但由一條線段引到封閉圖形的周長(zhǎng)，這時(shí)候?qū)W生意識(shí)中的周長(zhǎng)還是“連續(xù)”的，只有這樣的認(rèn)識(shí)是不夠的。因此，筆者將周長(zhǎng)的理解從“連續(xù)”轉(zhuǎn)向“分離”——讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖形的周長(zhǎng)實(shí)際上是“封閉圖形所有線段的長(zhǎng)度和”。為了實(shí)現(xiàn)周長(zhǎng)的“分離”，筆者安排了三個(gè)層次。

第一層次：學(xué)生嘗試求出三個(gè)圖形的周長(zhǎng)。通過(guò)“量與加”，促使動(dòng)作思維與計(jì)算思維相銜接，內(nèi)化對(duì)周長(zhǎng)的理解?！盀槭裁戳苛诉€要加？”通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)初步感悟到，這三個(gè)圖形的周長(zhǎng)就是所在圖形的線段和。第二層次：圓的周長(zhǎng)。圓的周長(zhǎng)是對(duì)周長(zhǎng)概念的“反芻”，體會(huì)化取為直的數(shù)學(xué)思想。第三層次：通過(guò)三角形到四邊形，再到正多邊形的周長(zhǎng)的觀察與思考，讓學(xué)生在強(qiáng)烈的視覺(jué)沖突與思維沖突中概括出封閉圖形所有線段的長(zhǎng)度和就是周長(zhǎng)。當(dāng)正四十邊形出現(xiàn)的時(shí)候，學(xué)生驚訝地呼喊“圓”，以此滲透正多邊形與圓的極限關(guān)系。

從“封閉圖形一周的長(zhǎng)度”擴(kuò)展到“封閉圖形所有線段的長(zhǎng)度和”，這是一個(gè)進(jìn)步，學(xué)生學(xué)會(huì)了從“累加”的角度去思考周長(zhǎng)，也就有了對(duì)周長(zhǎng)的進(jìn)一步理解。

在思辨中升華

【教學(xué)片斷】

1.正方形的拼組。

師先出示一個(gè)正方形，讓學(xué)生計(jì)算周長(zhǎng)。

然后出示：兩個(gè)正方形拼在一起，思考新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？

師在出示三個(gè)正方形拼在一起組成的新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

討論小結(jié)。正方形拼組一起時(shí)，中間的就不屬于新長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)了。

2.課件出示下圖：甲、乙兩個(gè)圖形，哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)長(zhǎng)？

引導(dǎo)學(xué)生爭(zhēng)論。

生：乙的周長(zhǎng)更長(zhǎng)。

等候片刻。

生：一樣長(zhǎng)。

師：你們是怎么比出來(lái)的？

生：每條邊長(zhǎng)度一樣，同長(zhǎng)也一樣。

師：為什么一開(kāi)始認(rèn)為乙周長(zhǎng)長(zhǎng)？

生：我看到乙很大。（師請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)指一指。）

師：哦，原來(lái)如此?？磥?lái)“周長(zhǎng)”并非指的圖形的內(nèi)部。

2.課件出示，引導(dǎo)學(xué)生比較：每組中兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

學(xué)生嘗試比較。

學(xué)生反饋?zhàn)约旱南敕ā?/p>

小結(jié)：比教兩個(gè)圖形周長(zhǎng)的時(shí)候，圖形每一條邊的長(zhǎng)度一樣，它的周長(zhǎng)就是一樣的。

關(guān)于周長(zhǎng)的理解到了“封閉圖形的線段和”這一步，是否足夠？筆者認(rèn)為，還不夠。于是，在這一環(huán)節(jié)中，筆者又安排了三次思辨，在思辨中繼續(xù)加深對(duì)周長(zhǎng)概念的理解。

1.拼組后正方形的周長(zhǎng)。幾個(gè)同樣大小的正方形拼在一起，周長(zhǎng)發(fā)生了變化。這個(gè)變化的過(guò)程可以促使學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)周長(zhǎng)的理解。這個(gè)環(huán)節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)不在于告訴學(xué)生拼組后的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)怎么計(jì)算，而要讓學(xué)生利用自己對(duì)周長(zhǎng)的理解找到拼組后的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)。也為接下來(lái)的例5的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

2.周長(zhǎng)與面積的剝離。平面圖形的周長(zhǎng)和面積緊密依存，而這也成了學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)的一個(gè)困難。雖然面積的學(xué)習(xí)要到三年級(jí)下冊(cè)，但學(xué)生對(duì)面積的感覺(jué)卻已經(jīng)存在。因此，筆者認(rèn)為，有必要在周長(zhǎng)起始課中幫助學(xué)生進(jìn)行一次面積與周長(zhǎng)的思辨。因此，當(dāng)筆者出示長(zhǎng)方形圖的時(shí)候，學(xué)生的反應(yīng)經(jīng)歷了這樣的變化：乙長(zhǎng)——等待片刻后——一樣長(zhǎng)。通過(guò)思辨，學(xué)生從一開(kāi)始的由“乙的大小就是乙的周長(zhǎng)”的思維，轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙业拇笮〔淮硪业闹荛L(zhǎng)”的思維，學(xué)生第一次嘗試了周長(zhǎng)和面積的剝離。學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光也在這樣的學(xué)習(xí)中逐步從整體走向了局部。

3.周長(zhǎng)的一一對(duì)應(yīng)。第三次思辨是對(duì)第二次思辨的深化。在第二個(gè)活動(dòng)中，學(xué)生已經(jīng)初步感受到：兩個(gè)圖形如若對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)度都相等，那么它們的周長(zhǎng)也是一樣長(zhǎng)的。這樣的理解是將“周長(zhǎng)”進(jìn)行分解，從一一對(duì)應(yīng)的視角來(lái)看待周長(zhǎng)。在教學(xué)中，學(xué)生呈現(xiàn)出兩種思維?！跋攘吭偎憧偤瓦M(jìn)行比較”是合的思維，對(duì)應(yīng)的理解是“周長(zhǎng)是所有線段（邊）的和”；“先平移再比較”是分的思維，對(duì)應(yīng)的理解是“圖形對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度相等，那么圖形的周長(zhǎng)也相等”。這樣的思辨不僅是對(duì)周長(zhǎng)理解的深入，也在一定程度上促使了面積與周長(zhǎng)的進(jìn)一步剝離。這兩種思維是遞進(jìn)的，一一對(duì)應(yīng)視角下的周長(zhǎng)是對(duì)周長(zhǎng)的更靈活的理解。