2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題：三角形

分類綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

1、已知為直線上一點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，設(shè)

.（1）如圖，若點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上.①如果

那么，.②求

之間的關(guān)系式.（2）是否存在不同于以上②中的之間的關(guān)系式？若存在，求出這個(gè)關(guān)系式，若不存在，請(qǐng)說明理由.2、如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)M，Q分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點(diǎn)M作BC的平行線MN，交AC于點(diǎn)N，連接NQ，設(shè)BQ為x．

（1）試說明不論x為何值時(shí)，總有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

3、在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，將沿直線翻折得到（點(diǎn)與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：四邊形為平行四邊形；

（2）如圖2，連接，若，在不添加任何輔助線與字母的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中所有正切值等于2的角．

4、如圖①，和中，，．

（1）則的長(zhǎng)為（直接寫出結(jié)果）；

（2）如圖②，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△，使恰好在線段的延長(zhǎng)線上．

①求的長(zhǎng)．

②若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：．

5、如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以D為頂點(diǎn)作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥AD交射線DE于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）當(dāng)DE∥AB時(shí)（如圖2），求AE的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF＝CF？若存在，求出此時(shí)BD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

6、如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以lcm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以同樣的速度沿BC的延長(zhǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為以t（s）．過點(diǎn)P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三角形；

（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）求DE的長(zhǎng)；

（4）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當(dāng)t為何值時(shí)，AB＇的值最??？并求出最小值．

7、在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接、．

觀察猜想

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，填空：

①　　；

②直線、所夾銳角為　　；

類比探究

（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，試判斷的值及直線、所夾銳角的度數(shù)，并說明理由；

拓展應(yīng)用

（3）在（2）的條件下，若，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

8、將等邊三角形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為，連接．取邊的中點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為，連接，可求出的值為　　．

（2）當(dāng)且時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

9、問題提出：

（1）如圖①，在△ABC中，AD是ABC邊BC的高，點(diǎn)E是BC上任意點(diǎn)，若AD＝3，則AE的最小值為；

（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，DE＝1cm，求△ABD的周長(zhǎng)；

問題解決：

（3）如圖③，某公園管理員擬在園內(nèi)規(guī)劃一個(gè)△ABC區(qū)域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點(diǎn)之間規(guī)劃道路AB、BC和AC，滿足∠BAC＝90°，點(diǎn)A到BC的距離為2km．為了節(jié)約成本，要使得AB、BC、AC之和最短，試求AB+BC+AC的最小值（路寬忽略不計(jì)）．

10、如圖，在△ABC中．AB＝AC，點(diǎn)E在線段BC上，連接AE并延長(zhǎng)到G，使得EG＝AE，過點(diǎn)G作GD∥BA分別交BC，AC于點(diǎn)F，D．

（1）求證：△ABE≌△GFE；

（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的長(zhǎng)度；

（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，P是直線DH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF，AP，F(xiàn)P，若∠C＝45°，在（2）的條件下，求△AFP周長(zhǎng)的最小值．

11、閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點(diǎn)F，BG⊥AF，垂足為G，探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠BAE與∠DAC相等．”

小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系．”

……

老師：“保留原題條件，延長(zhǎng)圖1中的BG，與AC相交于點(diǎn)H（如圖2），可以求出的值．”

（1）求證：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示），并證明；

（3）直接寫出的值（用含k的代數(shù)式表示）．

12、如圖1，是正方形邊上的一點(diǎn)，連接、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點(diǎn)和點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）猜想線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（3）當(dāng)四邊形為菱形，點(diǎn)是菱形邊所在直線上的一點(diǎn)，連接、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點(diǎn)和點(diǎn)．

①如圖2，點(diǎn)在線段上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段、和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并給出證明；

②如圖3，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，交射線于點(diǎn)，若，直接寫出線段的長(zhǎng)度．

13、在中，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)．連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

（1）如圖1，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)運(yùn)動(dòng)．

①當(dāng)，時(shí)，則　??；

②猜想線段，與之間的數(shù)量關(guān)系為　?。?/p>

（2）如圖2，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，第（1）問中線段，與之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，請(qǐng)求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．

（3）點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，以，，為頂點(diǎn)的四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出的取值范圍）．