2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題：二次函數(shù)

分類綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

1、如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，若，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

2、如圖，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，連接，．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使與的面積相等，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

3、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接、，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)在第一象限，且，線段是否存在最值？如果存在，請(qǐng)直接寫出最值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

4、如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)連接，求的最小值．

（3）若為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的值．

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．

（1）直線總經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)時(shí)，解決下列問題：

①在直線下方的拋物線上求點(diǎn)，使得的面積等于20；

②連接，，作軸于點(diǎn)，若和相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

6、如圖1，我們將經(jīng)過拋物線頂點(diǎn)的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風(fēng)車線”，若拋物線的頂點(diǎn)為，則它的所有“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為：，即當(dāng)時(shí)，始終等于．

（1）若拋物線與軸交于點(diǎn)，求該拋物線經(jīng)過點(diǎn)的“風(fēng)車線”的解析式；

（2）若拋物線可以通過平移得到，且它的“風(fēng)車線”可以統(tǒng)一表示為，求該拋物線的解析式；

（3）如圖2，直線與直線交于點(diǎn)，拋物線的“風(fēng)車線”與直線、分別交于、兩點(diǎn)，若的面積為12，求滿足條件的“風(fēng)車線”的解析式．

7、如圖1，已知拋物線過點(diǎn)，．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2．拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，和的面積分別為、，求的最大值．

8、已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

①如圖1，當(dāng)時(shí)，求的值；

②如圖2，連接，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)．過點(diǎn)作的垂線，與射線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的值．

9、如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)在的右側(cè)），且與直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，且滿足，與拋物線交于另一點(diǎn)．

①若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大；

②過點(diǎn)向軸作垂線，交軸于點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

10、如圖，拋物線分別交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸正半軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）如圖（1），．

①直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式；

②直線上有兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，分別過，兩點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于，兩點(diǎn)．若以，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．

（2）如圖（2），若，求的值．

11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸于交于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，的外接圓圓心為（如圖，①求點(diǎn)的坐標(biāo)及的半徑；

②過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)（如圖，設(shè)為上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說明理由．

12、如圖，二次函數(shù)的圖象與軸、軸交于點(diǎn)、、三點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線位于一象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，求四邊形面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，連接線段，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，試求當(dāng)為直角三角形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

13、如圖所示：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，．

（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1，若點(diǎn)為拋物線上線段右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，連接，．求面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

14、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點(diǎn)是拋物線第一象限上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接、、，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，若，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

15、已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)．直線經(jīng)過，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

①如圖1，連接，再將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，若點(diǎn)恰好落在拋物線上，求的值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖2，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使與相似．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．