2019-2020學(xué)年湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中、龍泉中學(xué)三校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知全集，函數(shù)的定義域為，集合，則下列結(jié)論正確的是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．

【詳解】

由題意，∴．

故選A．

【點睛】

本題考查集合的運算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．

2．復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由已知求得z，然后逐一核對四個選項得答案．

【詳解】

由（z﹣2）?i＝z，得zi﹣2i＝z，∴z，∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，．

故選：B．

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．

3．下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】函數(shù)的定義域和值域均為，定義域值域都是，不合題意；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域和值域均為，滿足要求，故選C.4．三個數(shù)的大小順序是

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由題意得，故選D.5．已知等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式進行判斷即可．

【詳解】

若公比q＝1，則當(dāng)a1＞0時，則S2019＞0成立，若q≠1，則S2019，∵1﹣q與1﹣q2019符號相同，∴a1與S2019的符號相同，則“a1＞0”?“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要條件，故選：C．

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式是解決本題的關(guān)鍵．

6．在邊長為2的等邊三角形中，若，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】運用向量的加減運算和向量數(shù)量積的定義計算可得所求值．

【詳解】

在邊長為2的等邊三角形ABC中，若，則（）?（）

＝（）?（）

22?

故選：D

【點睛】

本題考查向量的加減運算和向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

7．《九章算術(shù)·均輸》中有如下問題：“今有五人分十錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）

A．錢

B．錢

C．錢

D．錢

【答案】C

【解析】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由題意求得a＝﹣6d，結(jié)合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，則答案可求．

【詳解】

解：依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，則由題意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，則a﹣2d＝a．

故選：C．

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查實際應(yīng)用，正確設(shè)出等差數(shù)列是計算關(guān)鍵，是基礎(chǔ)的計算題．

8．2019年1月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內(nèi)容包括：(1)個稅起征點為5000元；(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除；(3)專項附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費用

②子女教育費用

③繼續(xù)教育費用

④大病醫(yī)療費用等，其中前兩項的扣除標準為：①贍養(yǎng)老人費用：每月共扣除2000元

②子女教育費用：每個子女每月扣除1000元．新個稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下：

級數(shù)

全月應(yīng)納稅所得額

稅率

不超過3000元的部分

3%

超過3000元至12000元的部分

10%

超過12000元至25000元的部分

20%

現(xiàn)有李某月收入18000元，膝下有兩名子女，需要贍養(yǎng)老人，(除此之外，無其它專項附加扣除，專項附加扣除均按標準的100%扣除)，則李某月應(yīng)繳納的個稅金額為（）

A．590元

B．690元

C．790元

D．890元

【答案】B

【解析】由題意分段計算李某的個人所得稅額；

【詳解】

李某月應(yīng)納稅所得額（含稅）為：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元，不超過3000的部分稅額為3000×3%＝90元，超過3000元至12000元的部分稅額為6000×10%＝600元，所以李某月應(yīng)繳納的個稅金額為90+600＝690元．

故選：B．

【點睛】

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計算，準確理解題意是關(guān)鍵，屬于中檔題．

9．已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】求導(dǎo)f′（x）＝2x，轉(zhuǎn)化為f′（x）＝2x在有變號零點，再分離參數(shù)求值域即可求解

【詳解】

∵f′（x）＝2x，在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故2x在存在變號零點，即在存在有變號零點，∴2

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，依題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)存在變號零點是關(guān)鍵，也是難點所在，屬于中檔題．

10．已知函數(shù)，若方程的解為

()，則=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知可得，結(jié)合x1＜x2求出x1的范圍，再由求解即可．

【詳解】

因為0＜x，∴，又因為方程的解為x1，x2（0＜x1＜x2＜π），∴，∴，∴，因為，∴0＜x1，∴，∴由，得，∴，故=

故選：C．

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬中檔題．

11．若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】利用分段函數(shù)的表達式，分別求出x>1和x1時，對應(yīng)的函數(shù)的值域，結(jié)合最小值之間的關(guān)系進行求解即可．

【詳解】

當(dāng)x>1時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則f（x）＝ex﹣a∈（e﹣a,+）

當(dāng)x≤1時，f（x）＝則f′（x）＝-3x2+6x＝-3x（x﹣2），則由f′（x）<0得或x＜0或x＞2（舍去），此時函數(shù)為減函數(shù)，由f′（x）>0

得0＜x＜2，此時0

要使函數(shù)f（x）有最小值，則e﹣a≥0，即a≤e，即實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，e]，故選：B

【點睛】

本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用分段函數(shù)的解析式分別求出對應(yīng)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．

12．為等差數(shù)列，公差為，且，，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關(guān)于對稱，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】推導(dǎo)出sin4d＝1，由此能求出d，可得函數(shù)解析式，利用在上單調(diào)且存在，即可得出結(jié)論．

【詳解】

∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．

∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)

∴，∴ω；

又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點，即，得到ω．

故答案為

故選：D

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準確求解數(shù)列的公差是本題關(guān)鍵，考查推理能力，是中檔題．

二、填空題

13．已知則_______.【答案】

【解析】因為，所以

14．已知命題，命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍為_______________．

【答案】

【解析】【詳解】

若為假命題，則、均為假命題，則，與，均為真命題．

根據(jù)，為真命題可得，根據(jù)，為真命題可得，解得或．

綜上，．

15．在中，角的對邊分別，滿足，則的面積為_____．

【答案】

【解析】由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求B，進而可求a，然后結(jié)合余弦定理可求c，代入S△ABCacsinB，計算可得所求．

【詳解】

把a2﹣2a（sinBcosB）+4＝0看成關(guān)于a的二次方程，則△≥0，即8（sinBcosB）2﹣16≥0，即為8（sin（B））2﹣16≥0，化為sin2（B）≥1，而sin2（B）≤1，則sin2（B）＝1，由于0＜B＜π，可得B，可得B，即B，代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos，解可得，c＝2

∴S△ABCacsinB2×2．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

16．若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)的取值范圍是__________．

【答案】

【解析】設(shè)兩個切點分別為,兩個切線方程分別為，化簡得兩條切線為同一條.可得，,令，所以g(x)在遞增，遞減。

所以，填。

三、解答題

17．已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，若.（1）求證：；

（2）若，求邊上的高.【答案】（1）見解析;（2）.【解析】【試題分析】（１）先運用正弦定理建立關(guān)于三角形內(nèi)角的方程，再運用誘導(dǎo)公式將其化為角的關(guān)系進行求解；（２）依據(jù)題設(shè)借助余弦定理求出另外兩邊，再運用三角形面積相等建立方程求解：

（1）因為，所以，因為，所以

所以

即，即，因為，所以，所以或，故；

（2）由及得，由余弦定理：得，解得：，由得，設(shè)邊上的高為，則，即，所以.點睛：本題是解三角形問題的典型問題。求解第一問時，先運用正弦定理建立關(guān)于三角形內(nèi)角的方程，再運用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將其化為角的關(guān)系進行求解，從而使得問題獲解；解答第二問時，先依據(jù)題設(shè)借助余弦定理求出另外兩邊：，再運用三角形面積相等建立方程，求出解使得問題獲解。

18．已知數(shù)列中，其前項的和為，且當(dāng)時，滿足．

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）證明：．

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】（1）當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1?Sn﹣Sn﹣1＝Sn?Sn﹣1（n≥2），取倒數(shù)，可得1，利用等差數(shù)列的定義即可證得：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

（2）利用進行放縮并裂項求和即可證明

【詳解】

（1）當(dāng)時，，即

從而構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．

（2）由（1）可知，．

則當(dāng)時．

故當(dāng)時

又當(dāng)時，滿足題意，故．

法二：則當(dāng)時，那么

又當(dāng)時，當(dāng)時，滿足題意，【點睛】

本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的判定，考查等價轉(zhuǎn)化思想，突出裂項法、放縮法應(yīng)用的考查，屬于難題．

19．在四棱錐中，．

（1）設(shè)與相交于點，且平面，求實數(shù)的值；

（2）若，且，求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，從而，由此能實數(shù)m的值．

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD為等邊三角形，推導(dǎo)出PD⊥DB，PD⊥AD，從而PD⊥平面ABCD，以D為坐標原點，的方向為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，由此能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

【詳解】

（1）因為,所以．

因為平面，平面，平面平面，所以．

所以，即．

（2）因為,可知三角形ABD為等邊三角形，所以，又，故，所有．

由已知，所以平面，如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)，則，所以,則，設(shè)平面的一個法向量為，則有

即

令，則，即，設(shè)平面的一個法向量為,則有

即令，則，即．

所以，設(shè)二面角的平面角為，則

【點睛】

本題考查實數(shù)值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

20．已知拋物線和直線，過直線上任意一點作拋物線的兩條切線，切點分別為．

（1）判斷直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，說明理由；

（2）求的面積的最小值．

【答案】(1)恒過定點；(2)

【解析】（1）設(shè)點，由兩邊同時對求導(dǎo)，求出切線方程，抽出直線的方程為，整理得定點；

（2）聯(lián)立方程利用韋達定理得弦長，結(jié)合點到直線的距離，表示面積，再利用二次函數(shù)求最值

【詳解】

（1）設(shè)點，由兩邊同時對求導(dǎo)，則拋物線在點處的切線方程為，又該切線方程經(jīng)過點，則，同理有，故均在直線上，又，則直線的方程為，整理得，恒過定點．

（2）由題聯(lián)立方程得，，點到直線：的距離為，則的面積，當(dāng)時，即時，的面積最小值為．

【點睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．

21．已知．

（1）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時，．

【答案】(1)

(2)證明見解析

【解析】（1）求導(dǎo)，討論與1的大小確定的正負，進而確定的最值即可證明

（2）由（1）取，得，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明即可證明

【詳解】

（1）法一：由題意，①

若，即時，則在單調(diào)遞增，則，則在單調(diào)遞增，故，滿足題意；

②

若，即時，存在，使得，且當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，此時，舍去；

③

若，即時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，舍去；

故．

法二：由題知，且，要使得在上恒成立，則必須滿足，即，．

①

若時，則在單調(diào)遞增，則，則在單調(diào)遞增，故，滿足題意；

②

若時，存在時，則在上單調(diào)遞減，則，則在單調(diào)遞減，此時，舍去；

故．

（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，．取，則

由（1），則，故，要證，只需證．

令，則，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，有，故在單調(diào)遞增，故，故，即有，得證

【點睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查構(gòu)造函數(shù)及變形轉(zhuǎn)化能力，是中檔題

22．在極坐標系下，方程的圖形為如圖所示的“幸運四葉草”，又稱為玫瑰線．

（1）當(dāng)玫瑰線的時，求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標；

（2）求曲線上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時的點M、N的極坐標（不必寫詳細解題過程）．

【答案】（1）和；（2）最小值為，M，N的極坐標分別為，【解析】（1）把與聯(lián)立，解方程組即得以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標；（2）曲線的直角坐標方程為再利用數(shù)形結(jié)合求出點M、N的極坐標.【詳解】

（1）以極點為圓心的單位圓為與聯(lián)立，得，所以，因為，所以或，從而得到以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標為和．

（2）曲線的直角坐標方程為．

玫瑰線極徑的最大值為2，且在點取得，連接O，與垂直且交于點，所以點M與點N的距離的最小值為，此時對應(yīng)的點M，N的極坐標分別為，．

【點睛】

本題主要考查曲線交點的極坐標，考查極坐標下曲線中的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.23．已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；

（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時，則

當(dāng)時，由得，解得；

當(dāng)時，恒成立；

當(dāng)時，由得，解得．

所以的解集為．

（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，所以．

因為，所以，且，①

當(dāng)時，①式等號成立，即．

又因為，②

當(dāng)時，②式等號成立，即．

所以，整理得，解得或，故的取值范圍為．