2020屆省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學（理）試題

一、單選題

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】化簡集合,即可求出.【詳解】

由題意得，∵B中，∴，∴，故選B.【點睛】

本題考查集合間的運算,屬于基礎題.2．設：，：，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】解不等式，求出命題,成立的解集,把是的必要不充分條件轉化為解集間的集合關系，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】

由不等式，解得，由得，是的必要不充分條件，可知,所以，故實數(shù)的取值范圍是.故選C.【點睛】

本題考查命題的必要不充分條件,轉化為集合間真子集關系,屬于基礎題

3．已知向量，若，則實數(shù)（）

A．

B．5

C．4

D．

【答案】A

【解析】先由題意，得到，再根據(jù)向量垂直，即可列出方程求解，得出結果.【詳解】

因為，所以，又，所以，即，解得：.故選：A

【點睛】

本題主要考查由向量垂直求參數(shù)，熟記向量數(shù)量積的坐標運算即可，屬于?？碱}型.4．若是三角形的一個內角，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據(jù)已知條件,求出,再利用誘導公式化簡所求式子,即可得出結果.【詳解】

∵，，又∵，∴，.故選C.【點睛】

本題考查同角間的三角函數(shù)關系,以及誘導公式,屬于基礎題.5．曲線在點處的切線與直線平行，則（）

A．

B．

C．1

D．2

【答案】A

【解析】求出，即為切線的斜率，可求出.【詳解】

因為，所以，因此，曲線在處的切線斜率為，又該切線與直線平行，所以，∴.故選A.【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.6．等比數(shù)列的前項和為，公比為，若，則（）

A．50

B．100

C．146

D．128

【答案】C

【解析】根據(jù)已知條件，先求出，再應用等比數(shù)列前項和為的性質，即可求出結果.【詳解】

由題意得∵，∴，根據(jù)等比數(shù)列的性質可

知，，構成等比數(shù)列，故，∴，故.故選C.【點睛】

本題考查等比數(shù)列前項和的性質，對等比數(shù)列的性質的熟練掌握是解題的關鍵，屬于基礎題.7．已知函數(shù)，設，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先判斷的奇偶性，再證明單調性，判斷出對應自變量的大小關系，利用單調性比，即可得出答案.【詳解】

∵，∴，∴，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴當時，易得

為增函數(shù)，故在上單調遞增，∵，，∴，∴.故選D.【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，單調性及單調性的應用，困難在于要想到證明函數(shù)奇偶性，屬于中檔題.8．關于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）

A．是奇函數(shù)

B．是周期函數(shù)

C．有零點

D．在上單調遞增

【答案】B

【解析】根據(jù)奇偶性定義可判斷選項A正確；依據(jù)周期性定義，選項B錯誤；，選項C正確；求，判斷選項D正確.【詳解】，則為奇函數(shù)，故A正確；

根據(jù)周期的定義，可知它一定不是周期函數(shù)，故B錯誤；

因為，在上有零點，故C正確；

由于，故在上單調遞增，故D正確.故選B.【點睛】

本題考查函數(shù)的性質，涉及到奇偶性、單調性、周期性、零點，屬于基礎題.9．已知偶函數(shù)的圖象經過點，且當時，不等式恒成立，則使得成立的的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先由題意，得到點也在函數(shù)圖象上，函數(shù)在上為減函數(shù)，將不等式化為，根據(jù)函數(shù)單調性，即可得出結果.【詳解】

根據(jù)題意，為偶函數(shù)，且經過點，則點也在函數(shù)圖象上，又當時，不等式恒成立，則函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，所以

解得或.故選：C

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)單調性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)奇偶性與單調性的概念即可，屬于常考題型.10．已知實數(shù)，滿足不等式組，目標函數(shù)的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可求出目標函數(shù)最大值.【詳解】

不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：

表示過可行域內的點與

點的直線的斜率的最大值，由，解得，這時，故目標函數(shù)的最大值是.故選D.【點睛】

本題考查非線性目標函數(shù)最優(yōu)解，對目標函數(shù)的幾何意義理解是解題的關鍵，屬于基礎題.11．的內角，的對邊為，，若，且的面積為，則的最大值為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】D

【解析】根據(jù)余弦定理，以及題中三角形的面積，得到，求出，再由，結合基本不等式，即可求出結果.【詳解】

由余弦定理可得：，又，因此，故.所以，即，即，當且僅當時，等號成立，故的最大值為4.故選：D

【點睛】

本題主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟記余弦定理，三角形面積公式，以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.12．已知函數(shù)，令函數(shù)，若函數(shù)

有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】構造新函數(shù)，問題轉化為與有兩個交點，作出，利用數(shù)學結合思想，即可求得結果.【詳解】

令，當時，函數(shù)，由得得，得，由得得，得，當值趨向于正無窮大時，值也趨向于負無窮大，即當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，當時，是二次函數(shù)，在軸處取得最大值，作出函數(shù)的圖象如圖：

要使（為常數(shù)）有兩個不相等的實根，則或，即若函數(shù)有兩個不同零點，實數(shù)的取值范圍是．

故選C.【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，構造新函數(shù)，轉化為兩個函數(shù)的交點，考查數(shù)行結合思想，作出函數(shù)圖像是解題的關鍵，屬于較難題.二、填空題

13．若是偶函數(shù)，當時，則=.______.【答案】1

【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質，以及題中條件，結合對數(shù)運算，可直接得出結果.【詳解】

因為時，且函數(shù)是偶函數(shù)，所以.故答案為：

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)奇偶性求函數(shù)值，熟記偶函數(shù)性質，以及對數(shù)運算法則即可，屬于基礎題型.14．若關于的不等式的解集是，則_______.【答案】或

【解析】先由題意得到關于的方程的兩根分別是和，進而可求出結果.【詳解】

因為關于的不等式的解集是，所以關于的方程的兩根分別是和，所以有，解得：或.故答案為：或

【點睛】

本題主要考查由不等式的解集求參數(shù)，熟記三個二次之間關系即可，屬于常考題型.15．設為所在平面內一點，若，則=__________.【答案】

【解析】先由題意，作出圖形，根據(jù)平面向量的基本定理，得到，再由題意確定的值，即可得出結果.【詳解】

如圖所示，由，可知，、、三點在同一

直線上，圖形如右:

根據(jù)題意及圖形，可得:，，解得:，則

故答案為：

【點睛】

本題主要考查由平面向量基本定理求參數(shù)，熟記平面向量的基本定理即可，屬于?？碱}型.16．下列命題中：

①已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為；

②若集合中只有一個元素，則；

③函數(shù)在上是增函數(shù)；

④方程的實根的個數(shù)是1.所有正確命題的序號是______（請將所有正確命題的序號都填上）.【答案】②③

【解析】對于①根據(jù)復合函數(shù)與函數(shù)自變量的關系，即可判斷為正確；

對于②等價于方程有等根，故，求出的值為正確；對于對于③，可化為反比例函數(shù)，根據(jù)比例系數(shù)，可判斷為正確；對于④，作出，的圖象，根據(jù)圖像判斷兩函數(shù)有兩個交點，故不正確.【詳解】

對于①，因為函數(shù)的定義域

為，即，故的定義域應該是，故①正確；

對于②，故，故②正確；

對于③，的圖象由反比例函數(shù)

向右平移個單位，故其單調性與

函數(shù)單調性相同，故可判定

在上是增函數(shù)，③正確；

對于④，在同一坐標系中作出，的圖象，由圖可知有兩個交點.故方程的實根的個數(shù)為2，故④錯誤.故答案為①②③.【點睛】

本題考查復合函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調性、集合的元素、方程零點問題，要求全面掌握函數(shù)的性質，較為綜合.三、解答題

17．已知命題，不等式恒成立；命題:函數(shù)，；

(1)若命題為真，求的取值范圍；

(2)若命題是真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；（2）.【解析】（1）根據(jù)為真，得到時，即可，根據(jù)函數(shù)單調性，求出的最小值，進而可求出結果；

（2）若為真命題，根據(jù)題意得到，由函數(shù)單調性，求出在上的最大值，進而可求出結果.【詳解】

(1)

若為真，即，不等式恒成立;

只需時，即可，易知：函數(shù)在遞減，所以的最小值為，因此.(2)若為真命題，則，易知：在上單調遞減，所以；

因此，故或，因為命題是真命題，所以，均為真命題，故滿足或

解得：，因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】

本題主要考查由命題的真假求參數(shù)，以及由復合命題真假求參數(shù)，根據(jù)轉化與化歸的思想即可求解，屬于?？碱}型.18．已知函數(shù)

(1)求函數(shù)的最小正周期和單調遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，并求出取得最值時的值.【答案】(1),；(2)

最小值為，.【解析】（1）先將函數(shù)解析式化簡整理，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的周期與單調區(qū)間求解，即可得出結果；

（2）由得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質，即可得出結果.【詳解】

(1)因為

所以函數(shù)的最小正周期為.由，得

故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.(2)因為，所以當即時，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時.【點睛】

本題主要考查求正弦型函數(shù)的周期，單調區(qū)間，以及最值，熟記正弦函數(shù)的性質即可，屬于?？碱}型.19．已知二次函數(shù)滿足，且0為函數(shù)的零點.（1）求的解析式；

（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）

（2）

【解析】（1）根據(jù)已知條件可得的對稱軸方程，結合，即可求出;

（2）從不等式中分離，不等式恒成立轉為與函數(shù)的最值關系，即可求出結果.【詳解】

（1）設，由題意可知，得到，即得到，又因為0是函數(shù)的零點，即0是方程的根，即滿足，得，又∵，∴，∵，∴，∴.（2）當時，恒成立，即恒成立；

令，則，∴.【點睛】

本題考查用待定系數(shù)法求解析式，考查不等式恒成立問題，轉化為函數(shù)的最值問題，屬于中檔題題.20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列、的通項公式；

（2）記中，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）

【解析】對于根據(jù)已知條件求出公差，即可求得通項；對于利用已知前項和與通項關系，可求得通項；

（2）根據(jù)的通項公式，用裂項相消法，可求出的前項和.【詳解】

（1）由已知得，解得，所以，當時，∴，兩式相減得,以2為首項公比為2的等比數(shù)列，.（2）由（1）知，所以

∴.【點睛】

本題考查等差、等比數(shù)列的通項，考查已知前項和求通項，以及求數(shù)列的前項和，屬于中檔題.21．已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的最小值；

（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）當時，設函數(shù)，若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的最大值.【答案】（1）

（2）答案不唯一，見解析

（3）

【解析】（1）求導，接著單調區(qū)間，即可得出最小值；

（2）求導，對分類討論，可求出函數(shù)的單調區(qū)間；

（3）求出，通過分析，可得到在增函數(shù)，從而有，轉化為在上至少有兩個不同的正根，轉化為與至少有兩個交點，即可求出實數(shù)的最大值.【詳解】

（1）當時，這時的導數(shù)，令，即，解得，令得到，令得到，故函數(shù)在單調遞減，在單調遞增；

故函數(shù)在時取到最小值，故；

（2）當時，函數(shù)

導數(shù)為，若時，單調遞減，若時，當或時，當時，即函數(shù)在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.若時，當或時，當時，函數(shù)在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.綜上，若時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間，若時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（3）當時，設函數(shù).令，當時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，在區(qū)間上遞增，∵在上的值域是，所以在上至少有兩個不同的正根，令，求導得，令，則，所以在遞增，，當，∴，當，∴，所以在上遞減，在上遞增，∴，∴，∴的最大值為.【點睛】

本題考查函數(shù)的極值最值、單調性、值域、零點問題，其實質就是應用求導方法研究函數(shù)性質，關鍵是能結合題意構造函數(shù)，是一道綜合題.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為:

為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)求的極坐標方程；

(2)若直線與曲線相交于，兩點，求.【答案】(1)

；(2).【解析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得到普通方程，再轉化為極坐標方程即可；

（2）先將直線的極坐標方程化為參數(shù)方程，代入，根據(jù)參數(shù)方程下的弦長公式，即可求出結果.【詳解】

(1)曲線的參數(shù)方程為:

為參數(shù))，轉換為普通方程為:，轉換為極坐標方程為:

.(2)直線的極坐標方程為.轉換為參數(shù)方程為:

(為參數(shù)).把直線的參數(shù)方程代入，得到:，(和為，對應的參數(shù))，故:，所以.【點睛】

本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，以及求弦長的問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.23．已知.(1)當時，求不等式的解集；

(2)若時，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)

；（2）.【解析】（1）先由得，分別討論，三種情況，即可得出結果；

（2）先由題意，得到當時，不等式恒成立轉化為或恒成立，進而可求出結果.【詳解】

(1)當時，不等式可化簡為.當時，解得，所以

當時，無解；

當時，解得，所以；

綜上，不等式的解集為；

(2)當時，不等式可化簡為.由不等式的性質得或，即或.當時，不等式恒成立轉化為或恒成立;

則或.綜上，所求的取值范圍為.【點睛】

本題主要考查解含絕對值不等式，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，靈活運用分類討論法求解即可，屬于?？碱}型.