一。偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

1.[2012]

求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程

解

令，則

從而切點(diǎn)的法向量為

從而切平面為

法線方程為

3、[07]曲線在點(diǎn)的切線方程為.4.[07]（化工類做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面與平面平行。

解：曲面的法向量應(yīng)與平面平面的法向量平行，從而有，由于切點(diǎn)在曲面上

因此切平面為

5.[2006]已知直線和平面則（B）

A、在內(nèi)

B、與平行，但不在內(nèi)

C、與垂直

D、不與垂直，不與平行

6.[2006]曲面在點(diǎn)處的法線方程是

7.[2006]（化工類做）

已知直線和，證明：，并求由所確定的平面方程。

證明：直線上任取兩點(diǎn)，則是的方向向量；的一個方向向量為，因為，所以

設(shè)所確定的平面方程為，它經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以

所求方程為

二。多元函數(shù)

1.【2012】設(shè)，則

0

2.【2012】設(shè),則

3.【2012】

函數(shù)在點(diǎn)處沿指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)

4.【2012】證明函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)

解

因為

與有關(guān)，故二重極限不存在，因而由連續(xù)定義函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。

又，或，或

于是函數(shù)在點(diǎn)存在有一階偏導(dǎo)數(shù)。

5.【2012】設(shè),求

解

令，則，于是用公式得

6.[2012]

在曲面上找一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離最短，并求最短距離。

解

設(shè)點(diǎn)為，則

等價于求在約束之下的最小值。令

且由

解得駐點(diǎn)，最短距離為

（令計算起來更加方便，舍去駐點(diǎn)，）

7.[2011]

8.[2011]

9.【2011】設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù).10.【2011】求二元函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點(diǎn)沿哪個方向減少得最快？沿哪個方向的值不變？

11.【2011】求函數(shù)的極值.12.[2010]

13.[2010]

14.[2010]

15.[2010]

16.[2009]

17.[2009]

18.[2009]

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。

解：

19.[2009]

求函數(shù)在圓域的最大值和最小值。

解：方法一：當(dāng)時，找駐點(diǎn)，得唯一駐點(diǎn)

當(dāng)時，是條件極值，考慮函數(shù)，解方程組

可得

所求最大值為，最小值為。

方法二：設(shè)，則且，這變成一個簡單的線性規(guī)劃問題。最大值為4，最小值為。

方法三：圓域可寫成最大值為4，最小值為。

20.[2009]

（化工類做）

求由方程組所確定的及的導(dǎo)數(shù)及。

21.[2009]

（化工類做）

求二元函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點(diǎn)沿哪個方向減少得最快？沿哪個方向值不變？

22、[2008]

函數(shù)在點(diǎn)處可微是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的必要

條件（填必要、充分或充要），又是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的充分

條件（填必要、充分或充要）

23、[2008]

設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

24、[2008]（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）給定曲面為常數(shù)，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面的切平面通過一個定點(diǎn)

證：令，則

從而曲面在點(diǎn)處的切平面為，其中為動點(diǎn)。

顯然時成立，故切平面均過。證畢

25、[2008]（化工類做，即不學(xué)級數(shù)一章的同學(xué)做）設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切向量，求函數(shù)在該點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)

解：方程組兩端對求導(dǎo)，得

把代入得，解得，于是在點(diǎn)處的切向量為，單位切向量為

所求方向?qū)?shù)為

26、[2008]

設(shè)，求

解：兩邊取微分，得

從而，27、[2008]

設(shè)，則它有極小值

28、[2008]

設(shè)長方形的長、寬、高滿足，求體積最小的長方體。

解：令

則，從而

再由即約束條件，可得，從而

由問題的實(shí)際意義可知，當(dāng)體積最小長方體的長、寬、高均為3。

29、[2007]

設(shè)，則

30、[2007]

已知，則

031、[2007]

函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)是

32、[2007]設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.解：

33、[2007]（化工類做）證明函數(shù)在原點(diǎn)處可微，但在點(diǎn)處不連續(xù)

解：由定義

同理

由于

從而函數(shù)在原點(diǎn)處可微。

當(dāng)

由于不存在，因此在點(diǎn)處由于不存在而不連續(xù)。

34、[2007]（化工類做）設(shè)是由方程所確定的函數(shù)，其中可導(dǎo)，求

解：對方程兩邊取微分得

即

35、[2007]求在約束條件下的最大值和最小值

解：令

則

由于最值一定存在，所以最大值為3，最小值為

36.[2006]

若在點(diǎn)處可微，則下列結(jié)論錯誤的是（B）

A、在點(diǎn)處連續(xù)

B、在點(diǎn)處連續(xù)

C、在點(diǎn)處存在D、曲面在點(diǎn)處有切平面

37.[2006]

二重極限值為（D）

A、0

B、1

C、D、不存在38.[2006]，則

39.[2006]

函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)為

40.[2006]

設(shè)函數(shù)

證明：1）在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在2）在點(diǎn)處不可微

證明：1）因為

所以在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在2）因為

當(dāng)取時

隨之不同極限值也不同，即

所以此函數(shù)在處不可微。

41.[2006]

設(shè)，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求

解：，42.[2006]

在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：設(shè)為橢球面上在第一象限的一點(diǎn)，過此點(diǎn)的切平面方程為

化成截距式方程

此切平面與坐標(biāo)面圍成四面體的體積為。（下面我們?nèi)サ粝聵?biāo)0）

要求滿足條件的最小值，只需求滿足條件的最大值。

由拉格朗日乘數(shù)法，只需求以下函數(shù)的駐點(diǎn)

得

由此得，所以

當(dāng)時，有最小體積，最小體積為。

切點(diǎn)坐標(biāo)為。

三。二重積分

1.[2012]

設(shè)是所圍成的區(qū)域,則

2.[2012]

計算二重積分，其中

解

被積函數(shù)有

而積分區(qū)域關(guān)于對稱，取

從而

3.[2012]設(shè)函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足。求

解

用極坐標(biāo)

兩邊求導(dǎo)得，標(biāo)準(zhǔn)化為

于是

由得，故

4.[2011]

5.[2011]

交換二次積分的積分次序：。

6.[2009]

求錐面被柱面割下部分曲面面積。

解：

7.[2009]（化工類做）

計算二重積分，其中為圓域。

8、[2008]

交換二次積分的積分次序

9、[2008]

求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積

解：上半球面的部分為

10、[2007]

計算二重積分.是由所圍成的閉區(qū)域

解：作圖知

11.[2006]

交換積分次序后，12.[2006]

計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域。

解：原式

四。三重積分

1.[2012]

設(shè)為兩球的公共部分，計算三重積分

解

由

當(dāng)時用垂直于軸的平面截區(qū)域得到截面為圓域，當(dāng)時用垂直于軸的平面截區(qū)域得到截面為圓域，于是分段先二后一積分，得

2.【2011】對于任何不自交的光滑閉曲面上的單位外法向量,所圍成的區(qū)域,證明:

3.[2010]

計算三重積分

4.[2009]

計算。

解：此三重積分積分區(qū)域在面上的投影為，即圓域的上半部分，設(shè)此部分為，則

原式

5、[2008]

計算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區(qū)域

解：由對稱性

從而

6、[2007]

計算三重積分，其中.由所確定

解：由交線（舍去）

于是投影區(qū)域為，柱坐標(biāo)下為

7.[2006]

計算三重積分，其中是由柱面及平面圍成的閉區(qū)域。

解：方法一：利用柱面坐標(biāo)計算,原式

方法二、截片法,原式

五。曲線積分

1.[2012]

設(shè)是拋物線介于點(diǎn)與點(diǎn)之間的那一段弧段，則曲線積分

2.[2012]

計算曲線積分，其中為擺線從點(diǎn)到點(diǎn)的弧。

解

由于

補(bǔ)兩條直線是逆向的閉曲線，故

原式

或由曲線積分與路徑無關(guān)，直接得

原式得

或取，由曲線積分與路徑無關(guān)，直接得，原式

或者由是全微分表達(dá)式，湊微分，因

及

得

原式

3.[2011]

4.【2011】計算

5.[2011]

6.[2010]

7.[2010]

計算

8.[2010]

(化工類做)計算

9.[2009]

10.[2009]

計算曲線積分，其中表示包含點(diǎn)在內(nèi)的簡單閉曲線，沿逆時針方向。

解：在的內(nèi)部作圓并取逆時針方向，的參數(shù)方程為

由格林公式有

11、[2008]

計算曲線積分，其中表示第四象限內(nèi)以為起點(diǎn)為終點(diǎn)的光滑曲線。

解：由于，從而只要路徑不經(jīng)過直線，該曲線積分就與路徑無關(guān)

取路徑，12、[2007]

設(shè)為取逆時針方向的圓周，則曲線積分

13、[2007]設(shè)L為直線上由點(diǎn)到點(diǎn)之間的一段，則曲線積分.14.[2006]

曲線為原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段，則曲線積分的值等于

15.[2006]

計算，其中為從點(diǎn)沿橢圓到點(diǎn)的一段。

解：原式

16.[2006]

設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中連續(xù)可導(dǎo)，且，計算。

解：，由得，所以

六。曲面積分

1.[2012]

計算曲面積分，式中是上半球面的上側(cè).解

補(bǔ)一個平面，取下側(cè)，則原式

另法（看看:

歸一化，多次換元夠煩的）

即，上半球面指向上側(cè)法線為，從而,原式=

2.[2012]

求曲面包含在圓柱面內(nèi)那部分（記為）的面積。

解

記為在部分的面積，或者

3.【2011】計算

4.【2011】計算曲面積分

5.[2010]

計算

6.[2010]

計算曲面積分

7.[2009]

向量場的散度為。

8.[2009]

計算曲面積分，其中是半球面的上則。

解：設(shè)為，并取下則，是圍成的區(qū)域，由高斯公式得

原式

9、[2008]

向量場的散度為.向量場的旋度為.10、[2008]

設(shè)曲面為柱面介于平面與部分的外側(cè)，則曲面積分

0，11、[2008]計算曲面積分，其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側(cè)

解：取上側(cè)

則原式

12、[2007]

計算，其中為半球的上側(cè)

解：令取下側(cè)。則為半球體的外側(cè)，由高斯公式

原式

（用對稱性可以簡化計算）

13、[2007]

計算，其中為拋物面

解：，投影區(qū)域為

由對稱性，原式

14.[2006]已知曲面的方程為，則（B）

A、B、C、1

D、分析：

15.[2006]計算，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面的上側(cè)。

解：方法一、利用兩類曲面積分的聯(lián)系

對應(yīng)側(cè)的法向量為

原式=

方法二、利用高斯公式，補(bǔ)充曲面并取下側(cè)

原式

七。微分方程

1.[2012]

求定解問題的解

解

標(biāo)準(zhǔn)化，由標(biāo)準(zhǔn)方程的解的公式，得

由初值條件，有，于是特解為

2.[2012]

求微分方程的通解

解

對應(yīng)的齊次方程為，解得特征根

非齊次項，與標(biāo)準(zhǔn)形式比較，從而得是單根，從而，可設(shè)特解為，從而，代入原來的微分方程，得

即

于是根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理得，所求通解為

3.[2012]

設(shè)函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足。求

解

用極坐標(biāo)

兩邊求導(dǎo)得，標(biāo)準(zhǔn)化為

于是

由得，故

4.【2011】求微分方程的通解.5.[2011]

6.【2011】(化工類做)求微分方程的通解.7.[2010]

8.[2010]

9.[2010]

.[2010]

(化工類做)求微分方程

11.[2010]

(化工類做)

12.[2009]

求如下初值問題的解

解：此為可降階微分方程第三種類型。

設(shè)，則，原方程化為

變量分離兩邊積分得

由可得

解可得，由可得

所求解為：。

13.[2009]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解為

因為是單特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解為

14、[2008]

求微分方程的通解

解：，15、[2008]

計算滿足下述方程的可導(dǎo)函數(shù)，解：原方程兩端求導(dǎo)得

即，這是標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程

原方程令得，代入通解得，從而

16、[2008]（化工類做）求解初值問題

解：方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對應(yīng)通解為

容易看出的一個特解為，因此原方程的通解為

從而，由初值條件可得。

因此

17、[2007]

求微分方程的通解.解：原式可以化為一階線性微分方程

由公式

18、[2007]

設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。

解：由全微分方程的條件知

有特解有形式，代入原方程得

從而通解

由初值條件

因此

原方程即為

即

19.[2006]

用待定系數(shù)法求微分方程的一個特解時，應(yīng)設(shè)特解的形式（B）

A、B、C、D、20.[2006]

設(shè)是微分方程的一個解，求此微分方程的通解。

解：因為，原方程為

這是一個一階線性微分方程，其通解為

八。級數(shù)

1.[2012]

判別無窮級數(shù)的收斂性。

解

由于，故

而是收斂的的級數(shù)的常數(shù)倍，從而收斂。由正項級數(shù)的比較判別法可知無窮級數(shù)收斂。

2.[2012]

求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。

解

比較標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)，得，從而收斂半徑為，收斂區(qū)間為

當(dāng)時冪級數(shù)化為正項級數(shù)，由于，從而與調(diào)和級數(shù)一樣發(fā)散；當(dāng)時冪級數(shù)化為交錯級數(shù)，不絕對收斂，但，前一部分條件收斂，而后一部分減去的級數(shù)為正項級數(shù)，由于而收斂，從而由收斂級數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時冪級數(shù)收斂。

3.[2012]

將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

解

利用，從而

4.【2011】(非化工類做)

5.【2011】(非化工類做)

6.【2011】(非化工類做)

7.[2010]

(非化工類做)

8.[2010]

(非化工類做)

9.[2010]

(非化工類做)

10.[2009]

（非化工類做）

證明阿貝爾定理：如果冪級數(shù)收斂，則適合不等式的一切冪級數(shù)都絕對收斂；如果冪級數(shù)發(fā)散，則適合不等式的一切使冪級數(shù)發(fā)散。

11.[2009]

（非化工類做）

將函數(shù)展成余弦級數(shù)。

12.[2009]

（非化工類做）

求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。

13.[2008]

設(shè)且，試根據(jù)的值判定級數(shù)的斂散性。

14.[2008]

設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，試將展開成傅里葉級數(shù)。

15.[2008]

設(shè)，證明滿足微分方程，并求。

16.[2007]（非化工類做）

求冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)。

17、[2007]（非化工類做）

將函數(shù)展成的冪級數(shù)。

18、[2007]（非化工類做）

證明:在區(qū)間上等式