1-1
簡算巧算
四則運(yùn)算的運(yùn)算律
（1）交換律：
加法交換律用字母表示可以寫成.乘法交換律用字母表示可以寫成.（2）結(jié)合律：
加法結(jié)合律用字母表示可以寫成.乘法結(jié)合律用字母表示可以寫成.（3）分配律：
填空完成乘法分配律：
(a
+
b)′
c
=
(a
b)′
c
=
填空完成除法分配律：
(a
+
b)?
c
=
(a
b)?
c
=
（4）括號：
按照去括號規(guī)律完成這些去括號練習(xí)：
+
(25
37)
=
25′(4
?
5)
=
-(25
37)
=
125
?(5
?
4)
=
（5）帶符號搬家：
同級運(yùn)算時，可以帶符號搬家。加、減法為第一級運(yùn)算，乘、除法為第二級運(yùn)算。
按照帶符號搬家的原則改寫下面的算式：
54′39
?
=
+
=
（6）平方差公式
a2
b2
=
（x
+
y)（x
y)
=
例
19+199+1999+19999+199999=
.（2008
希望杯四年級二試）
例
計算:4×37×25=
.（2013
希望杯四年級一試）
例
計算：2468×629÷(1234×37)＝
.(2015
希望杯四年級一試)
例
(7777+8888)÷5-(888-777)×3
=
.（2011
希望杯四年級一試）
例
計算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝
.（2012
華杯賽決賽小中組）
例
計算[(55×45
–
37×43)
–
(3×221+1)]÷22=
.(2015
希望杯四年級二試)
1-2
等差數(shù)列
1.字母表示數(shù)
（1）用字母表示數(shù)能夠簡明表示出事物的規(guī)律和特征，如：
正方形的邊長為
a，周長可表示為，面積可表示為
.（2）同一個問題中，不同的數(shù)要用不同的字母表示，如：
長方形的長為
m，寬為
n，長方形的周長可表示為，面積可表示為
.含有字母的乘法中，乘號“×”寫作“·
”，或省略不寫，一般要把數(shù)值寫在字母的前
面。
用正確的寫法改寫下面的算式：
a×b×c
=
=
p×q
=
=
m×12×n
=
=
a×3×5=
=
2.定義新運(yùn)算
定義新運(yùn)算是一種特別設(shè)計的計算形式，它使用一些特殊的符號，并給這些符號一個新的運(yùn)算含義。
使用特殊符號是為了避免和熟悉的運(yùn)算符號產(chǎn)生混淆。
例
定義
a
?
b
=
a
+
b
+
ab，則
(2
?
3)
?
4的值為
.（2015
希望杯四年級一試）
3.簡單方程
方程是含有未知數(shù)的等式。等式又分為恒等式和非恒等式。可用任意數(shù)值代替式子中的字
母，等式永遠(yuǎn)成立的等式是恒等式。
按照方程的概念填空：
a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p
=1，3×a+3
其中，屬于方程的有：
.解方程的關(guān)鍵是等號兩邊要同時做相同的計算，等號左邊＋3，右邊也要同時＋3，左邊×
5，右邊也要×5.嘗試解下列方程：
x+5=8
x-5=8
x÷5=8
5x=80
(x+5)÷8=8
5x+8=33
x÷7
–
2=3
(x
–
3)×6=36
例
如果
8×(2＋1÷x)＝18，則
x＝
_.（2017
希望杯四年級一試）
4.等差數(shù)列
（1）等差數(shù)列的概念：
一列數(shù)，如果從第二項開始，后一項與前一項的差是同一個常數(shù)，我們就稱這個數(shù)列為
等差數(shù)列。這個常數(shù)被稱之為公差。這個數(shù)列的第一個數(shù)也就是第一項被稱之為首項，最后一
個數(shù)被稱之為末項。
判斷下面這些數(shù)列是否為等差數(shù)列：
1,2,3,4,5，……，99,100,101
1,3,5,7，……，97,99,101
1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（（（）））
（2）等差數(shù)列求和公式：
等差數(shù)列的和
=（首項+末項）×項數(shù)÷2
①
等差數(shù)列的和
=
項數(shù)×首項
+
項數(shù)×（項數(shù)－1）×公差÷2
②
用這個等差數(shù)列嘗試自己推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式①：
1+3+5+7+9+…+99+101+103=
例
計算:1
–
3+5
–
7+
–
11+13
–…–
39+41=
.(2009
希望杯四年級二試)
1-3
數(shù)謎
1.數(shù)字謎
數(shù)字謎解題方法歸納：
（1）末位分析法；
（2）進(jìn)位分析法；
（3）借位分析法；
（4）余數(shù)分析和位數(shù)分析；
（5）綜合分析法.例
如圖所示，5
個相同的兩位數(shù)
AB
相加得兩位數(shù)
MB，其中相同的字母表示相同的數(shù)字，不同的字母表示不同的數(shù)字，則
AB
=
.
（2012
希望杯
試）
例
“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的漢字代表
0
至
中的相同數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)
字，且“大”＞“二”，則所有滿足條件的“熊兄弟”代表的三位數(shù)之和是
.（2013
華杯賽小中組
B
卷）
2.數(shù)陣圖
（1）數(shù)陣圖分類：輻射型，封閉型，復(fù)合型
（2）數(shù)陣圖問題本質(zhì)：在數(shù)陣中填入可保證特定線上（特定區(qū)域內(nèi)）的數(shù)的之間的關(guān)系。
（3）解題關(guān)鍵：
區(qū)分普通位和關(guān)鍵位
→確定特定線（區(qū)域）計算線和及數(shù)和
→判斷關(guān)鍵位可填入的數(shù)
→運(yùn)用已有信息進(jìn)行嘗試
例
將
到
這
個自然數(shù)排成如圖的形狀，使每條斜線上的4
個數(shù)的和相等，則
a-b-c+d+e+f-
g=
.（2013
希望杯
試）
例
將六個數(shù)
1，3，5，7，9，11
分別填入下圖中的圓圈內(nèi)（每個圓圈內(nèi)僅填一個數(shù)），使每邊
上三個數(shù)的和都等于
19，則三角形三個頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為
.（2012
華杯賽小中組
B
卷）
2-1
時間相關(guān)問題
1.日歷問題
（1）能被
整除同時不能被
整除或者能被
400
整除的年份為閏年。四年一閏，百年不
閏，四百年再閏。閏年有
366
天，非閏年有
365
天。
（2）1、3、5、7、8、10、12
月有
天，4、6、9、11
有
天，閏年
月
天，非閏年
月
天。
（3）一周7
天，7
天為一個周期。
很多時候日歷問題都可以用周期問題或余數(shù)問題來思考。
例
如果今天是星期五，那么從今天算起，57
天后的第一天是星期
.（2012
希望杯
試）
2.時間問題
鐘面上的時針、分針?biāo)诘哪骋惶囟ㄎ恢脮r的那一瞬間是時刻（時刻是從鐘面看出來的）；
從一個時刻到另一個時刻之間經(jīng)過的間隔是時間（時間是計算出來的），終止時刻-起始時刻=
經(jīng)過的時間。
時間單位：時、分、秒（年、月、日等）。
計時法有兩種：12
時計時法和
時計時法。
天=24
小時，1
小時=60
分鐘=3600
秒，1
分鐘=60
秒。
例
如圖所示的電子鐘可顯示從
00:00:00
到
23:59:59的時間，在一晝夜內(nèi)(24
小時)鐘表上顯示的時間恰好由數(shù)字
1，2，3，4，5，6
組成的共有
秒.（2012
希望杯
試）
例
12:00的時候時針和分針的夾角是
0°，此后時針和分針第6
次成90°夾角的時刻是
:
.（12
小時制）
（2013
希望杯
試）
3.年齡問題
年齡問題通常以和倍、差倍或者和差等問題的形式出現(xiàn)。有些年齡問題往往是和、差、倍
數(shù)等問題的綜合，需要靈活的加以解決。
解答年齡問題，要靈活運(yùn)用以下三條規(guī)律：
（1）無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的；
（2）隨著時間的向前或向后推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數(shù)量。（你長我也長）
（3）隨著時間的變化，兩人的年齡之間的倍數(shù)關(guān)系也會發(fā)生變化。（倍數(shù)隨年齡的增加而
變小）
例
今年，李林和他爸爸的年齡的和是
歲，4
年后，他爸爸的年齡比他的年齡的3
倍小
歲，則李林的爸爸比他大
歲.（2011
希望杯
試）
例
今年丹丹
歲，丹丹的爸爸
歲，a
年后，爸爸年齡是丹丹年齡的3
倍，則
a的值是
.（2016
希望杯
試）
2-2
行程問題初步
行程問題的常用公式
（1）基本公式：速度×?xí)r間=路程
（2）相遇問題
：速度和×相遇時間=相遇路程
（3）
追及問題
：速度差×追及時間=相差路程
（4）火車過橋
：橋長＋車長=路程
速度×過橋時間=路程
（5）
流水行船
：順?biāo)?船速＋水速=逆水船速＋水速×2
例
小東和小榮同時從甲地出發(fā)到乙地.小東每分鐘行
米，小榮每分鐘行
米.小榮到達(dá)乙地
后立即返回.若兩人從出發(fā)到相遇用了
分鐘，則甲、乙兩地相距
米.（2014
希望杯
試）
例
甲、乙兩個機(jī)器人分別從
A、B
兩點(diǎn)同時、同向出發(fā)，甲到達(dá)
B
點(diǎn)時，乙走了
288
米，甲追
上乙時，乙走了
336
米，則
A、B
兩點(diǎn)間的距離是
米．
（2016
希望杯
試）
例
一個車隊以
米/秒的速度緩慢通過一座長
298
米的大橋，共用
115
秒，已知每輛車長
米，相臨兩車間隔
米，則這個車隊一共有
輛車.（2012
華杯賽小中組
A
卷）
例
一條河上有
A，B
兩個碼頭，A
在上游，B
在下游.甲、乙兩人分別從
A，B
同時出發(fā)，劃船相
向而行，4
小時后相遇.如果甲、乙兩人分別從
A，B
同時出發(fā)，劃船同向而行，乙
小時后
追上甲.已知甲在靜水中劃船的速度為每小時
千米，則乙在靜水中劃船每小時行駛
千米.（2015
華杯賽小中組）
例
有一座高樓，小紅每登上一層需
1.5
分鐘，每走下一層需半分鐘，她從上午
8:45
開始不停地
從底層往上走，到了最高層后立即往下走，中途也不停留，上午
9:17
第一次返回底層，則這
座樓共有
層.（2008
希望杯
試）
例
如圖，一個邊長為
米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從
A，C
沿圍墻按順時針方向同時出
發(fā)，已知甲每秒走
米，乙每秒走
米，至少經(jīng)過
秒甲、乙在同一條邊上．
（2010
希望杯
試）
例
甲、乙兩人在一條長
120
米的直路上來回跑，甲的速度是
米/秒，乙的速度是
米/秒.若他們同時從同一端出發(fā)跑了
分鐘，則他們在這段時間內(nèi)共迎面相遇
次（端點(diǎn)
除外）.（2016
華杯賽小中組
A
卷）
2-3
典型應(yīng)用題綜合1.基本應(yīng)用題
一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒有明顯的結(jié)構(gòu)特征和
解題規(guī)律可循。
解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發(fā)，找出
必須的兩個條件（分析法）。在實際解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運(yùn)用這兩種方法。
例
甲、乙、丙
人一起購買學(xué)習(xí)用品．已知甲和乙共支付了
元，乙和丙共支付了
元，甲
和丙共支付了
元，那么，甲支付了
元．
（2016
希望杯四年級
試）
2.和差倍應(yīng)用題
和差問題
和倍問題
差倍問題
已知條件
幾個數(shù)的和與差
幾個數(shù)的和與倍數(shù)
幾個數(shù)的差與倍數(shù)
公式
(和－差)÷2=較小數(shù)
(和＋差)÷2=較大數(shù)
和÷(倍數(shù)＋1)=較小數(shù)
差÷(倍數(shù)-1)=較小數(shù)
例
甲、乙兩個油桶中共有
千克油，將乙桶中的15
千克油注入甲桶，此時甲桶中的油是乙
桶中的油的4
倍.那么，原來甲桶中的油比乙桶中的油多
千克．
（2014
希望杯四年級
試）
3.盈虧問題
一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。
盈虧問題就是在已知的情況下確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。解答盈虧問題的關(guān)鍵是弄清盈、虧與兩次分得的關(guān)系。
盈虧問題的數(shù)量關(guān)系是：
（1）（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)
（大盈—小盈）÷兩次分配差=份數(shù)
（大虧—小虧）÷兩次分配差=份數(shù)
（2）每次分的數(shù)量×份數(shù)+盈=總數(shù)量
每次分的數(shù)量×份數(shù)—虧=總數(shù)量
例
某地希望杯組委會給當(dāng)?shù)貐⒓酉Ｍ荚嚨目忌才趴紙觯總€考場
名考生，則會余下
名考生獨(dú)用一個考場；每個考場
名考生，則會余下
名考生獨(dú)用一個考場，并且要比前
一種方案多用
個考場。則該地區(qū)參加考試的考生有
名。
（2015
希望杯四年級
試）
4.雞兔同籠問題
解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：
（1）
如果假設(shè)全是兔，則有：
雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）
兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)
（2）
如果假設(shè)全是雞，那么就有：
兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）
雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)
例
雞兔同籠，共有
個頭，兔腳的數(shù)目比雞腳的數(shù)目的10
倍少
只，那么兔有
只.（2013
華杯賽小中組
B
卷）
5.牛吃草問題
基本公式:
（1）
設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”；
（2）草的生長速度＝草量差÷時間差；
（3）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；
（4）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；
（5）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。
例
一個大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不斷流入，若安排
臺污水處理設(shè)備，36
天
可將池中的污水處理完；若安排
臺污水處理設(shè)備，27
天可將池中的污水處理完；若安排
臺污水處理設(shè)備，天可將池中的污水處理完。
（2016
希望杯四年級
試）
3-1
簡單圖形
常見問題
（1）
圖形分割
（2）線段問題
（3）圖形計數(shù)
（4）軸對稱問題
例
長方形
MNPQ
中，MN=
3，MQ=
4，過它的中心
O(對角線
MP
和
NQ的交點(diǎn))畫一條直線，長方形
MNPQ
被分成兩個相同的圖形，它們的形狀分別是
.（2012
希望杯四年級
試）
例
A，B，C，D
四個點(diǎn)從左向右依次排在一條直線上，以這四個點(diǎn)為端點(diǎn)，可以組成6
條線段.已知這
條線段的長度分別是
12，18，30，32，44，62(單位：厘米)，那么線段
BC的長度
是
厘米.（2013
希望杯四年級
試）
例
下圖由
個方格組成，其中含有
A的正方形有
個.
（2017
希望杯四年級
試）
例
如圖，在5×5的方格紙的20
個格點(diǎn)處各釘有
枚釘子，以這些釘子中的某四個為頂點(diǎn)用橡皮
筋圍成正方形，一共可以圍成個正方形.（2013
希望杯四年級
試）
例
如圖是
4×4的方格圖，有
個小正方形有陰影，若再將一個小正方形涂陰影，使方格圖成為
軸對稱圖形，則不同的涂法有
種.（2014
希望杯四年級
試）
3-2
幾何計算
1.角度問題
（1）角的分類：銳角、直角、鈍角、平角、周角。
（2）特殊三角形的分類：等腰三角形、等邊三角形那、直角三角形。
（3）直角等于
90°，平角等于
180°，周角等于
360°，三角形的內(nèi)角和為
180°，四邊
形的內(nèi)角和為
360°。
例
如圖，已知直線
AB
和
CD
交于點(diǎn)
O，若∠
AOC
=
°，∠
EOD
=60
°，則∠
AOE
=
°，∠BOC
=
°.
（2011
希望杯四年級
試）
2.巧求長方形周長
（1）基本公式：
①長方形的周長=2×(長+寬)，面積=長×寬．
②正方形的周長=4×邊長，正方形的面積=邊長×邊長．
（2）對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些
不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形，我們可以采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法割補(bǔ)成基本圖形，利用
長方形、正方形周長及面積計算的公式求解．
例
把一個邊長是
5cm的正方形紙片沿虛線分成5
個長方形，然后按照箭頭標(biāo)記的方向和長度移
動其中的4
個長方形，則所得圖形的周長是
cm.（2017
希望杯四年級
試）
3.面積、周長轉(zhuǎn)化問題
常用轉(zhuǎn)化方法：
（1）平移；（2）割補(bǔ)；（3）對稱；（4）代換。
例
一個長方形的長和寬都增加
厘米后，面積增加了
平方厘米，則原長方形的周長是
厘米。
（2015
希望杯四年級
試）
4.格點(diǎn)面積問題
利用格點(diǎn)求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個面積單位，然后通過
計算有多少個面積單位來求圖形面積；二是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長方形的面積來求。當(dāng)然還可以
將這兩種方法結(jié)合起來，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。
例
下圖由
5×4
個邊長為
1的小正方形組成，其中陰影部分的面積是
．
（2016
希望杯四年級
試）
5.正方形面積問題
正方形的面積=邊長×邊長=對角線×對角線÷2
例
如圖，陰影小正方形的邊長是
2，最外面的大正方形的邊長是
6，則
正方形
ABCD的面積是
.（2014
希望杯四年級
試）
3-3
立體圖形初步
1.正方體展開圖
正方體的平面展開圖中相對的兩個面的特點(diǎn)是：
相對的兩個面中間一定隔著一個小正方
形，且沒有公共的頂點(diǎn)，且相距最近。
通過正方體展開圖形找相對面，首先在同層中隔一面尋找，再在不同層中隔兩面尋找，剩下的兩面是相對的面。
2.立方體
正方體的特征
：
正方體有
個面，8
個頂點(diǎn)，12
條棱。
正方體
個面是大小相同的正方形，12
條棱長度相等。
正方體是特殊的長方體。
例
如圖，將數(shù)字
4，5，6
填入正方體的展開圖中，使正方體相對的兩個面上數(shù)字的和都相等，則
A
處應(yīng)該填，B
處應(yīng)該填，C
處應(yīng)該填
.（2013
希望杯四年級
試）
例
將棱長為
米的正方體木塊分割成棱長為
厘米的小正方體積木，設(shè)想孫悟空施展神力將所
有的小積木一個接一個地疊放起來，成為一根長方體“神棒”，直指藍(lán)天.已知珠穆朗瑪峰的海
拔高度為
8844
米，則“神棒”的高度超過珠穆朗瑪峰的海拔高度
米.（2012
華杯賽小中組）
例
如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)
A
出發(fā)，沿正方體的棱爬到頂點(diǎn)
B，要求行走的路線最
短，那么螞蟻有
種不同的走法.（2012
華杯賽小中組
A
卷）
4-1
加乘原理
1.加法原理
一般地，如果完成一件事有
k
類方法，第一類方法中有
m1
種不同的做法，第二類方法中
有
m2
種不同的做法，……，第k
類方法中有
mk
種不同的做法，則完成這件事共有
m1+
m2+…
+mk
種不同的方法。
加法原理解題三部曲
1.完成一件事分類情況
2.類類獨(dú)立（每類都能單獨(dú)完成該件事）
3.類類相加
例
陽光小學(xué)四年級有
個班，各班分別有男生
人、20
人、16
人.從中任意選一人當(dāng)升旗手，有多少種選法？
2.乘法原理
一般地，如果完成一件事可以分成n
個必要步驟，第一步有
m1
種不同的做法，第二步有
m2
種不同的做法，……，第n
步有
mn
種不同的做法，則完成這件事共有
m1×m2×…×mn
種不同的方法。
乘法原理解題三部曲
1.完成一件事分
n
個必要步驟
2.步步相關(guān)（每步都不能單獨(dú)完成該件事）
3.步步相乘
例
按照下表給出的詞造句，每句必須包括一個人，一個交通工具，以及一個目的地，請問可以
造出多少個不同的句子？
爸爸
乘
飛機(jī)
去
北京
媽媽
火車
拉薩
我汽車
臺北
例
希希去花店買花來裝飾客廳，花店里有
盆黃色的花，7
盆紅色的花，以及
盆粉色的花，希
希想從中選擇
盆不同顏色的話，那么她有多少種不同的選法？
例
用
0
–
這七個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
例
甲、乙、丙、丁四人各有一個作業(yè)本混放在一起，四人每人隨便拿了一本，求滿足下列條件的拿法各有多少種：
（1）甲拿到自己的作業(yè)本；
（2）恰有一人拿到自己的作業(yè)本；
（3）至少有一人沒拿到自己的作業(yè)本；
（4）誰也沒有拿到自己的作業(yè)本.4-2
簡單數(shù)論
什么是數(shù)論
數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)，簡單說其實就是“有關(guān)數(shù)的理論”。
小
學(xué)階段的課本里可能并沒有把數(shù)論這個概念提出來，但是相關(guān)的知識卻無處不在。尤其是四年
級，同學(xué)們還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)之前，主要學(xué)習(xí)的就是整數(shù)的性質(zhì)。對于整數(shù)的一些基
本性質(zhì)，同學(xué)們要熟練掌握并靈活運(yùn)用。如奇數(shù)、偶數(shù)、連續(xù)數(shù)、平均數(shù)，反序數(shù)，位值原理
等等。
例
個連續(xù)的自然數(shù)從小到大排列，若最后
個數(shù)的和比前
個數(shù)的和的2
倍大
15，則這
個
數(shù)中最小的數(shù)是。
（2017
四年級希望杯
試——第12
題）
例
有
個數(shù)，它們的平均數(shù)是
17，加入
個數(shù)后，平均數(shù)變成20，則加入的數(shù)是。
（2017
四年級希望杯
試——第2
題）
例
三位數(shù)
abc
與
cba
是一個三位反序數(shù)對（如
123
與
321，778
與
877）。如果三位反序數(shù)對中兩
個數(shù)的和是
1069，這樣的反序數(shù)對一共有
對。
（2015
四年級希望杯
試——第18
題）
例
某個兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字的和是
12,個位數(shù)字和十位數(shù)字交換后所得兩位數(shù)比原數(shù)
小
36,則原數(shù)是
.（2011
四年級希望杯
試——第15
題）
例
如果
a
表示一個三位數(shù),b
表示一個兩位數(shù),那么
a+b
最小是,a+b
最大是,a
–
b
最小是,a
–
b
最大是
.（2012
四年級希望杯
試——第3
題）
知識精講
a
?
b
=
c......d
4-3
整除與余數(shù)
在這個除法算式中，整數(shù)
a
除以非零整數(shù)
b，商為整數(shù)
c，余數(shù)為
d。余數(shù)
d
=
0
時，我們稱
a
能被
b
整除，或
b
整除
a，記為
b|a，“|”是整除符號，同學(xué)們不妨先記起來。
在整除的情況下，稱
a
為
b的倍數(shù)，b
為
a的約數(shù)（或因數(shù)）。
能被整除的數(shù)的特征：
（1）被
整除的數(shù)：所有偶數(shù)都可以被
整除，即末
位是
0,2,4,6,8.（2）被
整除的數(shù)：一個整數(shù)的數(shù)字和能被
整除，這個整數(shù)可以被
整除。
（3）被
整除的數(shù)：末兩位可以被
整除的整數(shù)即可被
整除。
（4）被
整除的數(shù)：末位是
0
或
5的整數(shù)可以被
整除。
（5）被
整除的數(shù)：末三位可以被
整除的整數(shù)可以被
整除。
（6）被
整除的數(shù)：數(shù)字和能被
整除的整數(shù)可以被
整除。
（7）被
7,11,13
整除的數(shù)：因為
7×11×13=1001，所以用三位截斷法可判斷一個數(shù)是否
可以被這三個數(shù)整除。
在不能整除的除法中，就會產(chǎn)生余數(shù)。
同余定理：給定一個正整數(shù)
m，如果兩個整數(shù)
a
和
b
滿足
a－b
能夠被
m
整除，那么就稱
a
和
b
對模
m
同余，標(biāo)記方式為
a
o
b
（mod
m）。
例
有一個除法算式，被除數(shù)和除數(shù)的和是
136，商是
7，則除數(shù)是
.（2015
四年級希望杯
試——第2
題）
例
為使下面算式中五個數(shù)的乘積的末尾有六個
0,□里的數(shù)最小是
.8×10×15×25×□
（2007
四年級希望杯
試——第3
題）
例
有一筐桃子,4
個
個地數(shù),多
個;
個
個地數(shù),多
個;
個
個地數(shù),少
個.已知這筐
桃子的個數(shù)不少于
120,也不多于
150,則這筐桃子共有
個.（2012
四年級希望杯
試——第14
題）
例
在1
到
這
個數(shù)中，被
2，3，5
除都有非零的余數(shù)，且余數(shù)彼此不等的數(shù)有
個。
（2016
四年級希望杯
試——第15
題）
5-1
找規(guī)律
知識精講
找規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本技能，是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷、探究圖形或
數(shù)字簡單的排列規(guī)律，通過比較從而理解并掌握找規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、操
作、推理能力。
這類題型給出幾個具體的、特殊的數(shù)式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出
一般性的結(jié)論.解題的思路是特殊向一般的簡化，具體方法和步驟是：
（1）通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；
（2）猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；
（3）驗證或證明結(jié)論是否正確。
例
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010個1）×111…111（2010個1）的結(jié)果的末三位數(shù)
字是
.（2010四年級希望杯2試——第10題）
例
按照圖
中前
個圖中數(shù)的規(guī)律,在第5
個圖中填上適當(dāng)?shù)臄?shù).A=,B=
_,C=_,D=,E=,F=
.（2011
四年級希望杯
試——第7
題）
例
用
An
表示乘積
′
′
′?′
7的結(jié)果的個位數(shù)字,如:
A1=7,A2
=9,A3=3,…,則
n個7
A1+A2+A3+…+A2013=
.（2013
四年級希望杯
試——第21
題）
例
如圖,當(dāng)
n=1
時,有
個小星星;
當(dāng)
n=2
時,有
個小星星;
當(dāng)
n=3
時,有
個小星星;
當(dāng)
n=4
時,有
個小星星······
則當(dāng)
n=10
時,有
個小星星.（2013
四年級希望杯
試——第3
題）
5-2
數(shù)學(xué)方法
1.最不利原則
有一類題目，會出現(xiàn)一些變化的量，需要我們求最值。這類題目屬于非常規(guī)問題，沒有統(tǒng)一的方法，對不同的題目要用不同的策略和方法。就具體的題目而言，大致可以從以下幾個方
面思考：
（1）尋找極端情形；
（2）分析推理——確定最值；
（3）枚舉比較——確定最值；
（4）估計并構(gòu)造模型。
用這些分析方法時往往需要從最差的情況出發(fā)來分析問題，這就是最不利原則。
例
布袋中有
個彩球,每種顏色的球都有
個.蒙眼取球,要保證取出的球中有三個同色的球,至少要取出
個球.（2013
華杯賽小中組
B
卷）
例
在1
到
200
這
200
個自然數(shù)中任意選數(shù),至少要選出多少個才能確保其中必有
個數(shù)的乘積等
于
238？
（2016
華杯賽小中組
A
卷）
2.抽屜原理
抽屜原則，又稱為鴿巢原理，最早由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出，并在有關(guān)數(shù)論問題中得到
成功應(yīng)用。
最簡單的抽屜原則是這樣：有
個物品放到兩個抽屜里時，肯定有一個抽屜里的物品至少是
個。因為
個物品的分配只能是這兩種情形：0
和
3,1
和
2.也就是說當(dāng)一個抽
屜里有一個物品的時候，另一個抽屜里有兩個物品；當(dāng)一個抽屜里沒有物品的時候，另一個抽
屜里有三個物品。抽屜原則的另一個應(yīng)用是這樣：有
個物品放到兩個抽屜里的時候，肯定有
一個抽屜里沒有物品。
拓展到一般的情形，將
n+1
個物品放進(jìn)
n
個抽屜里時，必定有一個抽屜里有兩個以上的物
品。將
n
個物品放進(jìn)
n+1
個抽屜里，必定至少有一個抽屜里沒有物品。
利用抽屜原則的關(guān)鍵在于構(gòu)造抽屜，從而把討論的范圍縮小，是問題變得簡單明確。而運(yùn)
用抽屜原則解題的難點(diǎn)也在于抽屜的構(gòu)造。要從問題出發(fā)分析，弄清要進(jìn)行分類的元素特征及
規(guī)律，得到抽屜構(gòu)造思路。
利用抽屜原則解題的一般步驟是：
（1）分析特征規(guī)律，構(gòu)造抽屜；
（2）把元素放入所構(gòu)造的抽屜中；
（3）運(yùn)用抽屜原則，對問題進(jìn)行分析討論。
例
將
個球分別放在三個盒子里,使盒子里球的個數(shù)彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放
個球,至少要放
個球.（2012
四年級希望杯
試——第9
題）
3.容斥原理
在計數(shù)時，必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出
一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所
有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果即無
遺漏又無重復(fù)。這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。
在容斥問題中經(jīng)常會用到韋恩圖來快速解決問題。
例
在1~500
中不能被2
整除，也不能被3
整除，又不能被5整除的數(shù)有多少個?
（2018四年級希望杯培訓(xùn)題）
5-3
邏輯與操作
1.邏輯問題
邏輯規(guī)律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四種。
（1）同一律即在同一思維過程中，每個思想必須保持其同一性。如：數(shù)
a
是質(zhì)數(shù)，那么在整個推理過程中，a
都自始至終是質(zhì)數(shù)，保持同一性。
（2）矛盾律是指在同一思維過程中，對同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又
非。如：在推理過程中若推出數(shù)
a
既是奇數(shù)又不是奇數(shù)就自相矛盾了。
（3）排中律指在同一思維過程中，兩個相互矛盾的思想，一個是真，另一個必假，不能同
時都真（或假）。如：自然數(shù)
a，它不可能既不是奇數(shù)，又不是偶數(shù)。假若做出了這樣的判斷，就違反了排中律。
（4）充足理由律是指在論證過程中，判斷某個事實為真時，必須有充足的理由。如：由條
件“自然數(shù)
a
不是合數(shù)”出發(fā)就做出了“
a
一定是質(zhì)數(shù)”這一結(jié)論，就違反了充足理由律。因
為其間忽略了“
a
還可能是
1”的這種情況。
例
甲、乙、丙、丁、戊
人猜測全班個人學(xué)科總成績的前
名:
甲:“第1
名是
D,第5
名是
E.”
乙:“第2
名是
A,第4
名是
C.”
丙:“第3
名是
D,第4
名是
A.”
丁:“第1
名是
C,第3
名是
B.”
戊:“第2
名是
C,第4
名是
B.”
若每個人都是只猜對
個人的名次,且每個名次只有
個人猜對,則第1,2,3,4,5
名分別
是
.（2011
四年級一試）
（2011
四年級希望杯
試——第20
題）
2.操作問題
所謂操作問題，實際上是對某個事物按一定要求進(jìn)行的一種變換，這種變換可以具體執(zhí)行。
操作問題往往是求連續(xù)進(jìn)行這種操作后可能得到的結(jié)果。常見的操作問題有以下幾類：
（1）與數(shù)字相關(guān)的操作問題；
（2）染色相關(guān)的操作問題；
（3）計數(shù)方面的操作問題。
例
A,B,C,D,4
個盒子中依次放有
8,6,3,1
個球.第1
個小朋友找到放球最少的盒子,然后從其
他盒子中各取一個球放入這個盒子;
第2
個小朋友也找到放球最少的盒子,然后也從其他盒子
中各取一個球放入這個盒子,……當(dāng)?shù)?0
位小朋友放完后,A
盒中球的個數(shù)是
.（2012
四年級希望杯
試——第16
題）
例
黑板上寫著一個九位數(shù)
222222222,對它做如下操作:擦掉末位數(shù)后又乘
4,再加上剛擦去的數(shù)
字,然后在黑板上寫下得到的數(shù);
……如此操作下去,直到在黑板上寫下的是一個一位數(shù),那
么,它是
.（2014
四年級希望杯
試——第20
題）
例
堆桃子的個數(shù)分別是
93，70，63，一只猴子在3
堆桃子間搬運(yùn)，已知猴子每次最多可搬
個桃子，并且在從一堆搬到另一堆的途中會吃掉
個，當(dāng)
堆桃子個數(shù)相等時，猴子至少吃
掉了
個桃子．
（2016
四年級希望杯
試——第14
題）
例
亞瑟王在王宮中召見
名騎士,這些騎士中每個騎士恰好有
名朋友.他們圍著一張圓
桌坐下（騎士姓名與座位如圖）,結(jié)果發(fā)現(xiàn)這種坐法,任意相鄰的兩名騎士恰好都是朋友.亞瑟
王想重新安排座位,那么亞瑟王有
種不同方法安排座位,使得每一個騎士都不與他的朋友相鄰
(旋轉(zhuǎn)以后相同的,算同一種方法).（2017
華杯賽小中組）
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