第一篇：平方差公式的運用

淺談平方差公式在初中數(shù)學中的運用

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個重要的公式，應用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測試中經常出現(xiàn)，所以要求學生掌握并運用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項之和與這兩項的差的乘積等于這個項的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項式、多項式?？捎霉降亩加袃蓚€共同特點：前一個因式與后一個因式中各有一項是相同，剩下的兩項是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個特點，可以根據(jù)公式的特點，應用加法加換律、結合律進行靈活變形，或者用提負號的方法把題轉化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡單的，是這兩個項的和與這兩個項的差的積等于這兩項的平方差，可直接用公式進行計算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個多項項式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點，看出前一個因式中與后一個因式中都是-2b，剩下的一個是-3a，一個3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調整位置，把它轉化為一般式；（2）提一個負號轉化成一般式，再用公式計算。

解法

1、加法加換律進行調整其位置

解法

2、提取負號

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個因式中都是三個或三個以上的項，所以先利用加法結合律，把一個因式中的多項式轉化成兩個式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點。前一個因式中的?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，后一個因式?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進行計算。

?2x?y?z??2x?y?z?

??2x?y?z??2x?y?z? ???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結：注意平方差進行乘法運算時，經常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對因式中各項的系數(shù)，符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運用平方差公式；的，所以當這個字母表示一個負數(shù)、或分數(shù)、或單項式與多項式，應加上括號，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤。

二、因式分解中的應用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項式，也可以是多項式。能用公式的共同特點：題目中都可以轉化成一項或一式的平方減去一項或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進行了分解因式。分解因式時，要求掌握好逆用冪的運算法則，弄清楚多項式中可轉化哪幾個數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進行分組成能轉化成平方差公式，前三項分在一組里，最后一項為一組，把x2?2xy?y2轉化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結：因式分解中的平方差公式的運用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應用，整式乘法中如果不會用公式，也可以用一般的多項式乘以多項式的方法來計算，只是復雜而已。分解因式中時常的錯誤有：（1）各項沒有轉化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運用

（一）、簡便運算中的運用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個數(shù)與另一個數(shù)都要都相差相同的一個數(shù)時，就可以把這兩數(shù)的乘積轉化成另外一個數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉化成100-2，102轉化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個數(shù)轉化成中間數(shù)減1，第三個數(shù)可以轉化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每兩組都要可以轉化成平方差公式，計算后會發(fā)現(xiàn)它是一個等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結：有關復雜的數(shù)字計算中，如能抓住數(shù)字特點，巧用平方差公式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運算會出現(xiàn)錯識有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計算及分母有理化中的運用

用平方差公式進行二次根式計算及分母有理化，是初三二次根式計算和化簡中的重點。它的方法在于分子分母同時乘以一個式子，使其分母轉化成一平方差公式，從而做到分母去根號（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計算，是這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進行計算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時乘以5?2，使分母轉化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點，想辦法使其轉化為平方差公式，做題時切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進行有理化。例如：

除了初中價段的應用外，以后的數(shù)學學科都有其有關的知識，可見平方差公式在數(shù)學領域中應用及其廣泛，值得一提的是這個公式從初中到大學都有不同程度的應用，教學上初中至關重要，因此我們應該從不同的角度去掌握并運用平方差公式。

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淺談平方差公式在初中數(shù)學中的運用

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和祺劍

提要：平方差公式(a?b)(a?b)?a2?b2是初中階段的一個重要的公式，應用也十分廣泛，必須引起教師的高度重視。

關鍵詞：平方差

整式乘法

因式分解

無理數(shù)

平方差公式在初中數(shù)學上占據(jù)了重要位置，在近幾年的中考和期末測試中經常出現(xiàn)，所以要求學生掌握并運用好平方差公式。

一、平方差公式乘法中的運用

平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2，其形式是：兩項之和與這兩項的差的乘積等于這個項的平方差，其中的a、b可以是具體數(shù)，也可以是單項式、多項式?？捎霉降亩加袃蓚€共同特點：前一個因式與后一個因式中各有一項是相同，剩下的兩項是互為相反數(shù)。有些形式上不符合公式，但只要符合這個特點，可以根據(jù)公式的特點，應用加法加換律、結合律進行靈活變形，或者用提負號的方法把題轉化成平方差公式。

（一）、整式乘法中的運用 例1.(2x?3)(2x?3)

分析：本題是整式乘法中的最簡單的，是這兩個項的和與這兩個項的差的積等于這兩項的平方差，可直接用公式進行計算。

(2x?3)(2x?3)?(2x)2?32?4x2?9例2．(?3a?2b)(3a?2b)

分析：本類題是屬于兩個多項項式的乘積，這類題形首先要觀察是否符合公式特點，看出前一個因式中與后一個因式中都是-2b，剩下的一個是-3a，一個3a，它們互為相反數(shù)，可以用公式。計算本題有兩種方法（1）是利用加法加換律調整位置，把它轉化為一般式；（2）提一個負號轉化成一般式，再用公式計算。

解法

1、加法加換律進行調整其位置

解法

2、提取負號

(?3a?2b)(3a?2b)

(?3a?2b)(3a?2b)

???2b?3a?(?2b?3a)

??(3a?2b)(3a?2b)

??(9a2?4b2)

22=??2b???3a?

例

3、?2x?y?z??2x?y?z? ?4b2?9a??9a?4b

分析：本類題每一個因式中都是三個或三個以上的項，所以先利用加法結合律，把一個因式中的多項式轉化成兩個式子的和差形式，再觀察是否符合公式特點。前一個因式中的?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，后一個因式?2x?y?z?結合成[(2x?y)?z]，(2x?y)與(2x?y)為相等，z與-z互為相反數(shù)，可用公式進行計算。

?2x?y?z??2x?y?z?

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???2x?y??z???2x?y??z?

??2x?y??z2 2?4x2?4xy?y2?z2

小結：注意平方差進行乘法運算時，經常出現(xiàn)的的誤區(qū)有（1）對因式中各項的系數(shù)，符號要仔細觀察、比較，不能誤用公式，如(3a?2b)(2a?3b)、如（2）公式中的字母是多種形式(?3a?2b)(3a?2b)，此類題目不能運用平方差公式；的，所以當這個字母表示一個負數(shù)、或分數(shù)、或單項式與多項式，應加上括號，避免出現(xiàn)只把字母平方，而系數(shù)忘了平方的錯誤。

二、因式分解中的應用

因式分解我們一般采用的方法是：一提（提取公因式）、二套（套用公式）、三分組，其中套用平方差公式，也就是整式乘法中(a?b)(a?b)?a2?b2的逆用：a2?b2?(a?b)(a?b)，其題可以是二項式，也可以是多項式。能用公式的共同特點：題目中都可以轉化成一項或一式的平方減去一項或一式的平方。如有這種形式的都能用平方差公式進行了分解因式。分解因式時，要求掌握好逆用冪的運算法則，弄清楚多項式中可轉化哪幾個數(shù)組成平方差，清楚題形中的a、b各代表什么式。

例

1、分解因式x2?y2

分析：本題與公式是一樣的，可直接套用公式。

x2?y2?(x?y)(x?y)

例

2、分解因式x4y?16y

分析：此題先提公因式y(tǒng)，所剩下的x4?16轉化成(x2)2?42，其中a為x2、b為4，本題用平方差公式到各因式不能再分解為止。

x4y?16y?y(x4?16)

?y(x2?4)(x2?4)

?y(x2?4)(x?2)(x?2)例

3、因式分解x2?2xy?y2?9

分析：本題我們先要進行分組成能轉化成平方差公式，前三項分在一組里，最后一項為一組，把x2?2xy?y2轉化成(x?y)2，從而形成(x?y)2?32

x2?2xy?y2?9?(x?y)2?32?(x?y?3)(x?y?3)

小結：因式分解中的平方差公式的運用是必要的，有些題目只有用平方差公式才能分解因式，它的作用更大于整式乘法中的應用，整式乘法中如果不會用公式，也可以用一般的多項式乘以多項式的方法來計算，只是復雜而已。分解因式中時常的錯誤有：（1）各項沒有轉化為平方就用公式，如4x2?y2?(4x?y)(4x?y)；（2）誤用公式，如x2?y2?(x?y)(x?y)

三、平方差公式在一些特殊題中的運用

（一）、簡便運算中的運用

如某兩數(shù)的乘積，如果這兩個數(shù)與另一個數(shù)都要都相差相同的一個數(shù)時，就可以把這兩數(shù)的乘積轉化成另外一個數(shù)與相同數(shù)的和與差的乘積，從而做到轉化成平方差公式。

例1、98×102

分析：98與102都與100相差2，98轉化成100-2，102轉化成100+2。98×102 =（100-2）（100+2）=1002?22 =9996 例2、2563?255?256?257

分析：本題的技巧在于三個連續(xù)的整數(shù)，我們可以將第一個數(shù)轉化成中間數(shù)減1，第三個數(shù)可以轉化中間數(shù)加1。

(3)2563?255?256?257?2563?256?256?1??256?1? ?2563?256(2562?12)?2563?2563?256?256例3、1002?992?982?972???22?12

分析：本題中每兩組都要可以轉化成平方差公式，計算后會發(fā)現(xiàn)它是一個等差數(shù)列。

1002?992?982?972???22?12?(100?99)(100?99)?(98?97)(98?97)???(2?1)(2?1)?100?99?98?97???2?1100(100?1)?2?5050小結：有關復雜的數(shù)字計算中，如能抓住數(shù)字特點，巧用平方差公式，可簡化運算過程，提高運算效率，培養(yǎng)良好的數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)字中的平方差公式的運算會出現(xiàn)錯識有：98×102=（100-2）（100+2）=1002?22?982

（二）、二次根式計算及分母有理化中的運用

用平方差公式進行二次根式計算及分母有理化，是初三二次根式計算和化簡中的重點。它的方法在于分子分母同時乘以一個式子，使其分母轉化成一平方差公式，從而做到分母去根號（有理化）的效果。

例1：(6?2)(6?2)

分析：本類題是二次根式的計算，是這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，用公式6為a，2為b進行計算。

(6?2)(6?2)?(6)2?(2)2?6?2?4

例2化簡 45?2

分析：觀察此題分母中含有二次根式，要進行有理化，分母本身是5?2，分子分母同時乘以5?2，使分母轉化成平方差公式。

45?2?4(5?2)(5?2)(5?2)?45?4245?42?223(5)?(2)

小結：這種類型題分母有理化中要抓住分母的特點，想辦法使其轉化為平方差公式，做題時切記，如果是單用完全平方去分母是起不到有理化的效果，所以要用平方差公式進行有理化。例如：

除了初中價段的應用外，以后的數(shù)學學科都有其有關的知識，可見平方差公式在數(shù)學領域中應用及其廣泛，值得一提的是這個公式從初中到大學都有不同程度的應用，教學上初中至關重要，因此我們應該從不同的角度去掌握并運用平方差公式。

44216 ??25?2(5?2)5?210?2

第二篇：運用平方差公式因式分解求值

運用平方差公式因式分解求值

【知識點】

①

利用平方差公式分解因式

②

整體代入求值

③

聯(lián)立方程組，解方程組

【練習題】

1.已知，則

2.已知，則

3.已知，則

4.已知，則

5.已知，則

6.已知，則

7.已知，則，8.已知，則，9.已知，則，10.已知，則，11.已知，則，12.已知，則，13.已知，則

14.已知，則

15.已知，則

16.已知，則

17.已知，則

答案

1.2

2.3

3.4

4.2

5.4

6.3

7.2；

8.5；1

9.5；

10.4；

11.-1；2

12.2；1

13.21

14.7

15.2

16.4

17.4

第三篇：4.3《運用平方差公式因式分解》說課稿

4.3《運用平方差公式因式分解》說課稿

今天我說課的內容是九年義務教育北師大版八年級下冊第四章——分解因式，第三節(jié)——“運用公式法”。本著以學生為主體，教師為主導的教學原則，我將從教材分析、學法與教法、教學設計、板書設計四個方面進行說明，教學設計是我闡敘的重點。首先我們來看 教材分析

教材的地位及作用分析: 它主要讓學生經歷通過整式乘法的平方差公式的逆向運用得出因式分解的平方差公式的過程，發(fā)展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．同時，本節(jié)課還體現(xiàn)了數(shù)學的眾多思想，如：“類比”思想、“整體”思想、“換元”思想等。它既是對前面所學知識的應用，又是為后續(xù)學習作鋪墊，因此本節(jié)課在教材中起到了承上啟下的重要的作用。

為此我確定了以下本著課程標準，在吃透教材的基礎上，我確立如下

【教學目標】

（1）使學生了解運用公式法分解因式的意義；

（2）會用平方差公式進行因式分解；

（3）使學生了解提公因式法是分解因式首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式．

【教學重點】

會用平方差公式進行因式分解

【教學難點】

準確理解和掌握公式的結構特征

學生是學習的主體，只有學生真正融入到課堂教學中，學生才會深切地感受到數(shù)學帶給他們的樂趣。這節(jié)課，我主要采用以下 教法學法

教法分析：根據(jù)新《課標》的要求，結合本班學生的知識水平，本堂課主要采用觀察、分析、啟發(fā)、誘導的方法，引導學生把握平方差公式分解因式的基本思路，靈活地運用“換元”和“化歸”思想把問題中的多項式轉化成適當?shù)墓叫问?。學法分析：

（1）、由于運用平方差公式分解因式，因此指導學生學會運用比較、類比的學習方法記憶、理解知識。

（2）指導學生采用練習法以達到鞏固、熟練知識的目的。

（3）對于換元法要求較靈活，應該指導學生注意運用觀察、分析、類比的學習方法。教學設計

（一）、創(chuàng)設情景，導入新課

看誰算得快： 1、992 —1= 2、10032—10022= 你想知道怎樣算得快嗎？（學生討論）

我們知道（a+b）（a—b）=a2-b2，是否有結論a2-b2=（a+b）（a—b）？引出課題。

【設計意圖】 調動學生的學習興趣。

（二）、合作交流，探索新知

學生相互討論下列問題：

1、公式有什么特點？

2、用語言敘述公式。

3、公式中的a，b可以表示什么？

4、根據(jù)你對公式的理解，請舉出幾個用平方差公式分解因式的例

子，并指出多項式中誰相當于公式中的a，誰相當于公式中的b？

以上問題，盡量讓學生探索、發(fā)現(xiàn)?！驹O計意圖】鞏固平方差公式。

【說明】強調公式中的a和b，可以是數(shù)或代數(shù)式

（三）、指導運用，鞏固知識。

1、判斷正誤：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)

（）

（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)

（）

（3）x2–y2=（x+y）(x–y)

（）

（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)

（）2.例題講解

［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;

1（2）9a2－4b2.［例2］把下列各式分解因式:（1）9(m+n)2－(m-n)2;（2）2x3－8x.(3)x4 –16

以上例題進一步讓學生理解平方差公式中的字母a、b不僅可以表示數(shù)而且可以表示代數(shù)式，引導學生體會多項式中若含于公因式，就要先提取公因式，然后進一步分解，直至不能再分解為止?！痉治觥慨敹囗検绞嵌検綍r，要考慮用平方差公式分解因式；如果多項式有公因式，要先提取公因式。抓住公式的特征，靈活應用公式。應用公式時要把問題中的數(shù)或式子看作公式中的a和b，這就是換元思想，而將問題中多項式轉化為公式的形式，這就是化歸思想。

【設計意圖】讓學生掌握分解因式的解題步驟和思路。

（四）、強化訓練，深化知識。

利用學案，引導學生自主學習，完成習題

（五）、整理知識，形成結構。

從今天的課程中，你學到了哪些知識？ 掌握了哪些方法？

（六）布置作業(yè)

課本習題2.4：1（1）（3）（5）（7）2（1）（3）（5）板書設計

§2.3 運用平方差公式因式分解 定義：

1、平方差公式

2、運用平方差公式分解因式 例1 把下列各式因式分解：

1b2（1）25–16x2

（2）9a2–4

例2 運用平方差公式分解因式

（1）9（x–y）2–（x+y）2（2）2x3–8x

(3)x4 –16

第四篇：運用公式法——平方差公式教案

運用公式法——平方差公式教案

教學目標

（一）知識認知要求

1.使學生了解運用公式法分解因式的意義； 2.使學生掌握用平方差公式分解因式.3.使學生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.（二）能力訓練要求

1.通過對平方差公式特點的辨析，培養(yǎng)學生的觀察能力.2.訓練學生對平方差公式的運用能力.（三）情感與價值觀要求

在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法.教學重點

讓學生掌握運用平方差公式分解因式.教學難點

將單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學生多步驟分解因式的能力.教學過程

一、創(chuàng)設問題情境,引入新課

在前兩節(jié)課中我們學習了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學習了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式.如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來學習另外的一種因式分解的方法——公式法.二、新課講解

1.請看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？

符合因式分解的定義，因此是因式分解.對，是利用平方差公式進行的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解

請大家觀察式子a2－b2,找出它的特點.公式的特點

下面按公式分類，一一進行闡述．(1)平方差公式：

a2?b2?(a?b)(a?b)這里a，b可以表示數(shù)、單項式、多項式． 公式的特點是： ①左側為兩項； ②兩項都是平方項； ③兩項的符號相反．

（是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例題講解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.補充例題3：判斷下列分解因式是否正確.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正確.本題錯在對分解因式的概念不清，左邊是多項式的形式，右邊應是整式乘積的形式，但（1）中還是多項式的形式，因此，最終結果是未對所給多項式進行因式分解.（2）不正確.錯誤原因是因式分解不到底，因為a2－1還能繼續(xù)分解成（a+1）（a－1）.應為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9a?b；

（2）?4n?m；

2212a?9b2；

（4）16a2?25b2c4； 16122（5）?xy?0.09。

4（3）思路分析

（這是平方差公式的特征）

通過變形，二項都是完全平方形式，且符號相反。解：（1）9a2?b2?(3a)2?b2?(3a?b)(3a?b)；

（2）?4n2?m2?m2?(2n)2

（加法交換律）

=(m+2n)(m－2n)；

1?a?（3）a2?9b2????(3b)2

16?4??a??a????3b???3b?； ?4??4?（比較兩種分解方法）

或

2121a?9b2?(a2?144b2)16161?[a2?(12b)2] 161?(a?12b)(a?12b)； 16（與??a??a??3b???3b?相等嗎？）?4??4?224222（4）16a?25bc?(4a)?(5bc)（注意變形）

?(4a?5bc2)(4a?5bc2)；

1?1?（5）?x2y2?0.09?(0.3)2??xy?

4?2?（加法交換律）

21??1????0.3?xy??0.3?xy?。

2??2?? 點評：平方差公式的特征。

①公式左邊的多項式形式上是二項式，且兩項的符號相反； ②第一項都可化成某個數(shù)或某式的平方的形式；

③右邊是這兩個數(shù)或兩個式子的和與它們的差的積，相當于分解為兩個一次二項式的積；

④公式中所說的兩個數(shù)或兩個式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是數(shù)字，是字母，也可以是單項式、多項式。

應用平方差公式分解多項式關鍵是把多項式構建成符合公式特征的形式，然后明確多項 式和公式中的字母如何對應。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(m?n)2?1；

（2）?(a?1)2?9(a?2)2；（3）?(a?b)2?(a?b)2；

（4）4x2?(x?y)2；（5）?1?16x；

思路分析

通過觀察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(m?n)2?1?(m?n)2?1（把m－n看做一個整體）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）?(a?1)?9(a?2)?[3(a?2)]?(a?1)

（加法交換律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必須化簡）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出錯）

（3）?(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x?(x?y)?(2x)?(x?y)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）?1?16x?16x?1 ***22?(4x2)2?1

?(4x2?1)(4x2?1)

（4x2?1符合平方差公式，還能再分解）?(4x2?1)(2x?1)(2x?1)； 例6： 計算：（1）?1???1??1??1??1?； 1?1??1??2??2??2?2?2??3??4??100?1??1??1??1?1?1??1???????? 22??32??42??1002?解：（1）?1???1??1??1??1??1??1????1???1???1???1????1???1?? ?2??2??3??3??100??100?31425310199??????? ***1101???； 2100200?例7

若(248?1)可以被60與70之間的兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)． 點悟：將(248?1)分解成幾個整數(shù)的積的形式，然后分析對照條件即得． 解：248?1?(224?1)(224?1)

?(224?1)(212?1)(212?1)?(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)，∵

2?1?65,2?1?63，∴

這兩個數(shù)分別為65和63．

三、課堂練習

（一）隨堂練習1.判斷正誤

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）補充練習：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.課時小結

我們已學習過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結構特點，若符合則繼續(xù)進行.第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續(xù)分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止.五.課后作業(yè)

習題2.4 六.活動與探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板書設計

運用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推導因式分解中的平方差公式.2.公式講解 3.例題講解

補充例題

第五篇：平方差公式教案

灰太狼開了租地公司,一天他把一邊長為a米的正方形土地租給懶羊羊種植.有一年,他對懶羊羊說:“我把這塊地的一邊增加5米,另一邊減少5米,繼續(xù)租給你, 你也沒吃虧,你看如何?”懶羊羊一聽覺得沒有吃虧,就答應了.同學們,你們覺得懶羊羊有沒有吃虧?

一、知識回顧:

多項式與多項式怎樣相乘的? 和學生拉近距離,引起學生的興趣。

二、自主探究:

1、計算下列多項式的積:

1、(x+1)(x-1)

2、(m+2)(m-2)=

= =

=

3、(2x+1)(2x-1)

4、(x+5y)(x-5y)=

= =

=

2、歸納: 觀察算式結構,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? ①算式中每個因式都有 項。

②算式都是兩個數(shù)的 與 的 _____ 的積。即兩個因式中,有一項 ,另一項。計算結果后,你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? 計算結果都是前項的 減去后項的。

三、合作交流:

1、猜想:

2、驗證:

3、得出:

(a+b)(a-b)= 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差。

四、例題精析

1、判斷下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

2、參照(a+b)(a-b)= a2-b2填空

3、運用平方差公式計算:(1)(2)

4、計算:(1)

(2)

鞏固提升(根據(jù)時間的變化而定)

1、下列多項式乘法中,能用平方差公式計算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)

2、運用平方差公式進行計算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

3、你能用簡便方法計算下列各題嗎?(1)51×49(2)998×1002 4.判斷對錯,如果有錯,如何改正? ⑴;⑵;⑶;

五、小結:平方差公式的特征:(1)左邊是兩個二項式相乘,這兩項中有一項

相同,另一項互為相反數(shù);(2)右邊是相同項的平方減去相反項的平方;(3)先平方,后相減。

公式中的可以表示單項式(數(shù)字,字母), 也可以表示多項式(如x+y)。

六、作業(yè)

教科書156頁-----1 小組交流、討論

讓學生通過計算,觀察每個算式的特點和結果的特點,挖掘題目之間的共性,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,猜想公式,從而經歷從-般到特殊、從具體到抽象的過程,體會歸納這-數(shù)學思想方法準確地運用數(shù)學語言表述公式以剖析a、b為目的,對于幫助學生認清公式的結構特征起到事半功倍的作用,在接下來的公式運用中,相信學生會更加得心應手.嘗試、交流、教師點撥進一步強化學生的知識對學生經常出現(xiàn)的錯誤進行預設,防微杜漸.