第一篇：無網(wǎng)格數(shù)值求解方法學習小結(jié)

無網(wǎng)格數(shù)值求解方法

——學習小結(jié)

一、無網(wǎng)格法的介紹

有限元法存在的那些問題都來源于網(wǎng)格，在用有限元方法處理諸如金屬沖壓成型、高速沖擊、動態(tài)裂紋擴展、流固耦合等涉及大變形和移動邊界的問題時，由于網(wǎng)格可能發(fā)生嚴重扭曲，往往需要網(wǎng)格重構(gòu)，不但精度受到了嚴重影響，計算也大幅度提高，因此有限元方法在這些領(lǐng)域的應用遇到了困難。

直接在有限元基礎(chǔ)上對其進行改進，效果自然不會達到最好，于是研究者把革命的對象鎖定在了網(wǎng)格上。幾經(jīng)嘗試以后，一種基于點集的插值方法被研究者廣泛采用，現(xiàn)今的無網(wǎng)格方法，一般就指的是這一類基于點集的數(shù)值方法。

無網(wǎng)格方法的位移函數(shù)是在點的領(lǐng)域內(nèi)構(gòu)造的，并且這些區(qū)域是可以重疊的，因此在處理大變形和移動邊界等問題時，沒有網(wǎng)格的初始劃分和重構(gòu)問題，這不僅有利于這類問題計算精度的提高，還可以減少數(shù)值計算難度。

目前已存在十余種無網(wǎng)格方法，它們之間的區(qū)別主要在于試函數(shù)的選擇和微分方程的等效形式。雖然無網(wǎng)格方法對于大變形和移動邊界問題具有優(yōu)勢，但其存在收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性和效率等問題，因此無網(wǎng)格方法還只能作為有限元方法的補充。

無網(wǎng)格方法基本思想是將有限元法中的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)去除，完全代之以一系列的結(jié)點排列。

二、求解方法方法

基于位移最小二乘(MLS)近似方法—EFG(Element-free Galerkin Method, Belytschko, 1994)。EFG方法計算穩(wěn)定，精度較高，是無網(wǎng)格方法中較為成熟的一種 方法。

無網(wǎng)格法就目前來說，仍沒有有限元法發(fā)展得那么快。而且，大規(guī)模地使用無網(wǎng)格法將大大增加計算時間。因此通常只需要在那些不連續(xù)、大變形或應力集中區(qū)域使用無網(wǎng)格法進行離散，如沖擊區(qū)域、裂紋擴展區(qū)域、大變形區(qū)域等，其余區(qū)域仍然可采用其他數(shù)值方法。

微分方程組

?A

(u)=?A1(u)??A?2(u)??0 在 ?內(nèi) ? ?...??

邊界條件

?B1(u)B

(u)???? ?B(u)?2??0 在?上...???

等效積分形式? U TA?u?d???VTB ???u?d??0(*)等效積分弱形式

?CT?U?D?u?d???ET???V?F?u?d??0

2.1加權(quán)余量法

求解域Ω中，若場函數(shù)是精確解，則在域Ω中任一點都滿足微分方程，同時在邊界上任一點都滿足邊界條件式，此時等效積分形式或等效積分弱形式必

(**)

然嚴格地得到滿足。但是對于復雜的實際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此, 人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。設(shè)u是一個近似解，即為試函數(shù)，它可以表示成為一組已知函數(shù)或Ritz基函數(shù)?i的線性組合，即

u?x????iTai??Ta

i?1n式中ai為待定系數(shù)或Ritz基坐標。

將權(quán)函數(shù)代入加權(quán)余量積分式，由于系數(shù)?bj的任意性，有

??TTT?TR?ad???R????jA?jBa?d??0,j?1,2,?,m

?上式給出了m個方程。用于求解n個待定系數(shù)ai。如果m?n，則上式是超定的，需要借助于最小二乘法解。對上式進行分部積分得到等效積分弱形式的近似形式

?C???D??a?d???E???F??a?d??0

?TjT?TjT2.2伽遼金法

按照對權(quán)函數(shù)的不同選擇就得到不同的加權(quán)余量的計算方法并賦以不同的名稱。如果取權(quán)函數(shù)與試函數(shù)相同，則稱為Galerkin方法。

?nT??nT?T?iai?d????jRB???iai?d??0 ????RA???i?1??i?1?Tj我們將會看到，在很多情況下，采用伽遼金法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，這是在用加權(quán)余量法建立有限元格式時幾乎毫不例外地采用伽遼金法的主要原因，而且當存在相應的泛函數(shù)時，伽遼金法與變分法往往導致同樣的結(jié)果。

2.3移動最小二乘近似

構(gòu)造方法：考慮求解域?，其中共有N個結(jié)點xi(i?1,2,?,N)，在各個結(jié)

點處有u0(xi)?ui，但u(xi)?ui?？紤]計算點x（對于無網(wǎng)格配點法為結(jié)點；對于伽遼金無網(wǎng)格方法為高斯積分點），其鄰域?x內(nèi)的近似函數(shù)可以寫為

?)??pi(x?)ai(x)?pT(x?)a(x)u(x,xi?1m

??[x?)為Rits基函數(shù)，ai(x)為Rits基坐標或待求系數(shù)，x式中：pi(x計算點x鄰域?x內(nèi)任意點的坐標，它包括x，m是基函數(shù)的個數(shù)。而

yz]是?)?[p1(x?)pT(x?)?pm(x?)]p2(x，aT(x)?[a1(x)a2(x)?am(x)]

值得注意的是，在經(jīng)典Ritz方法中，Ritz基坐標是常數(shù)，并且基函數(shù)要滿足位移邊界條件。在式(1)中，基函數(shù)要滿足如下條件：

?)?1p1(x ?)?Cn(?)pi(x

式中：i?1,2,?,m，Cn(?)表示在域?內(nèi)具有直到n階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)空間。2.4邊界條件

無網(wǎng)格方法的結(jié)點形函數(shù)多數(shù)都不滿足關(guān)系Nj?xi???ij，因此位移邊界條件的處理是比較困難的。若采用緊支徑向基函數(shù)來構(gòu)造形函數(shù)，則可以像一般有限元方法那樣來處理位移邊界條件。在MLS近似中，若選奇異函數(shù)為權(quán)函數(shù)，則近似函數(shù)具有插值特性即Nj?xi???ij，因此可以直接施加本質(zhì)邊界條件。對與其他情況，可以借助拉格朗日乘子方法來處理邊界條件。

拉格朗日乘子法包括兩種，一種是利用邊界積分中直接引入邊界條件，即

???ε?Tσ??uTf?d????uTpd??????u??uTλ+?λT?u-u??d??0

三、具體算例

左端固定的懸臂梁，右端面受拋物線剪切載荷作用

主程序：

tic clear;Lx = 20;Ly = 10;young = 210;nu=0.3;q =-1;a = 0;nx = 30;ny = 20;ndivl=10;ndivw=6;dmax=2.89;Dmat =(young/(1-nu^2))*[1 nu 0;nu 1 0;0 0(1-nu)/2];[x,numnod,dm] = mesh1(Lx,Ly,nx,ny,dmax);figure hold on plot(x(1,1:(ny+1)),x(2,1:(ny+1)),'k-','linewidth',3);axis equal;plot(x(1,(ny+1):(ny+1):numnod),x(2,(ny+1):(ny+1):numnod),'k-','linewidth',2);plot(x(1,numnod:-1:(numnod-ny)),x(2,numnod:-1:(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);plot(x(1,1:(ny+1):(numnod-ny)),x(2,1:(ny+1):(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);%plot(x(1,:),x(2,:),'k.');___axis off;plot(x(1,:),x(2,:),'k.');axis equal;axis off;hold off [xc,conn,numcell,numq] = mesh2(Lx,Ly,ndivl,ndivw);

[nnu,nnt,numT1,numT2] = mesh3(numq,xc,Lx,Ly,a);% nnu---% nnt---% numT1--% numT2--% numq-----quado = 4;[gauss] = gauss2(quado);numq2 = numcell*quado^2;gs = zeros(4,numq2);[gs] = egauss(xc,conn,gauss,numcell);[k]=kjuzhen(numnod,gs,x,dm,dmax,Dmat);rfa=400e12;[ka]=kajuzhen(numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa);K=k+ka;[f] = fjuzhen(numnod,nnt,numT2,xc,gauss,x,dm,dmax,q,Ly);%fa = zeros(2*numnod,1);%[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Ly);[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Lx,Ly)F=f+fa;u=zeros(2*numnod,1);for i=1:numnod u2(1,i)= u(2*i-1);u2(2,i)= u(2*i);end nx1=2;ny1=10;I = Ly^3/12;

=

=

for i=1:(ny1+1)xjm(1,i)= Lx/2;xjm(2,i)=-(Ly)/ny1*(i-1)+Ly;yjm(i)=-(Ly/ny1)*(i-1)+Ly/2;stress11ex(i)=-q*(Lx-xjm(1,i))* yjm(i)/I;stress12ex(i)= q/(2*I)*(Ly^2/4-yjm(i)^2);end ind = 0;enorm=0;for gg=xjm ind = ind+1;gpos = gg(1:2);v = domain(gpos,x,dm,numnod);L = length(v);en = zeros(1,2*L);[phi,dphix,dphiy] = shape(gpos,dmax,x,v,dm);Bmat=zeros(3,2*L);for j=1:L Bmat(1:3,(2*j-1):2*j)= [dphix(j)0;0 dphiy(j);dphiy(j)dphix(j)];end for i=1:L en(2*i-1)= 2*v(i)-1;en(2*i)= 2*v(i);end

stress(1:3,ind)= Dmat*Bmat*u(en);%stressex(1,ind)=;% stressex(2,ind)= 0;

% stressex(3,ind)= 0;% err = stress(1:3,ind)-stressex(1:3,ind);% err2 = weight*jac*(0.5*(inv(Dmat)*err)'*(err));% enorm = enorm + err2;end %uex=zeros(2,numnod);I = Ly^3/12;ind4 = 0;for i=1:numnod if(x(2,i)==Ly/2)ind4=ind4+1;uex2(ind4)

= q/(6*young*I)*(3*nu*(x(2,i)-Ly/2)^2*(Lx-x(1,i))+(4+5*nu)*(Ly/2)^2*x(1,i)+(3*Lx-x(1,i))*x(1,i)^2);end figure hold on plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),u2(2,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),'r.');plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),uex2,'-');%plot(xz,u2jy,'o');xlabel('x/m','fontweight','bold');ylabel('ux/m','fontweight','bold');legend('Uynode','Exact Solution');hold off % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(1,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress11ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');

% % xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');% % hold off % % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(3,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress12ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');% xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');hold off Toc 矩形區(qū)域內(nèi)均勻節(jié)點布置：

解析解與無網(wǎng)格近似的比較：

第二篇：數(shù)值分析第六章學習小結(jié)

第六章

數(shù)值積分

--------學習小結(jié)

姓名

班級

學號

一、本章學習體會

本章主要講授了數(shù)值積分的一些求積公式及各種求積公式的代數(shù)精度，重點應掌握插值型求積公式，什么樣的求積公式可以被稱為插值型求積公式，Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性，復化求積公式和高斯求積公式，在本章的學習過程中也遇到不少問題，比如本章知識點多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對Newton-Cotes求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性理解不夠透徹，處理一個實際問題時，不知道選取哪一種求積公式，來達到最精確的結(jié)果。

二、本章知識梳理

6.1求積公式及其代數(shù)精度

代數(shù)精度的概念：如果求積公式(6.1)當f(x)為任何次數(shù)不高于m的多項式時都成為等式,而當f(x)為某個m+1次多項式時(6.1)不能成為等式,則稱求積公式(6.1)具有m次代數(shù)精度。6.2插值型求積公式

（1）求積公式： Rn??abf(n?1)(?)?n?1(x)dx

(n?1)!（2）重要的定理：n+1個節(jié)點的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)度。（3）求積系數(shù)：

?k?0nAk?b?a

6.3Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性

(n)f(xk)（1）公式：?f(x)dx???f(xk)?(b?a)?cka(n)kk?0k?0bnnnhn?2n(n?1)（2）截斷誤差：Rn?f(?)?(t?tj)dt

(n?1)!?0j?0（3）重要的定理：當n為偶數(shù)時,n+1個節(jié)點的Newton-Cotes求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度。

（4）常用的Newton-Cotes求積公式

n=1 梯形公式：?bab?af(x)dx?[f(a)?f(b)]

2(b?a)3f??(?),??(a,b)，具有一次精度。

余項：R1??12n=2 Simpson公式：?f(x)dx?abb?aa?b[f(a)?4f()?f(b)] 62(b?a)5(4)f(?),??(a,b)，具有三次精度。余項：R2??28806.4復化求積法

（1）復化梯形公式：

?

截斷誤差： ban?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?2?f(a?kh)]2k?1

RT??b?a2hf??(?),??[a,b]12

（2）復化Simpson公式：

?bamm?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?4?f(x2k?1)?2?f(x2k)]3k?1k?1

截斷誤差：

Rs??b?a4(4)hf(?),??[a,b]180

6.5Gauss型求積公式

（1）定義：若n個節(jié)點的插值型求積公式(6.23)具有2n-1 次代數(shù)精度,則稱它為Gauss型求積公式。

（2）定理：n個節(jié)點的 Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n-1。

（3）定理：設(shè){gk(x),k?0,1,?}是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)?(x)的正交多項式系,則求積公式(6.23)、式(6.24)是Gauss型求積公式的充分必要條件是它的求積節(jié)點是n次正交多項式gn(x)的n個零點。（4）求積系數(shù) 公式：

Ak??b?(x)gn(x)?(xk)(x?xk)gnadx,k?1,2,?,n

性質(zhì)：1.Ak?0,k?1,2,?,n

2.k?0?Ak???(x)dxanb

（5）求積公式的構(gòu)造 第一步：找高斯點

2g(x)?1,g(x)?x?a,g(x)?x?bx?c,?由正交性確定121）待定系數(shù)法：設(shè)0待定系數(shù)a,b,c,…..2）利用遞推公式 第二步：確定求積系數(shù)Ak 1）解線性方程組 2）Ak???(x)lk(x)dx,k?1,2,?,nab

lk(x)??

i?0i?knx?xi,k?1,2,?,nxk?xi

三、本章思考題

1.插值型求積公式有何特點？

答：插值型求積公式主要用于計算定積分的值。數(shù)學推導中用拉格朗日插值函數(shù)代替被積函數(shù)，其表現(xiàn)形式是有限個函數(shù)值的線性組合，而組合系數(shù)恰好是拉格朗日插值基函數(shù)的定積分。(n+1)個結(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度一般不超過n。用數(shù)值求積公式計算定積分可以克服牛頓—萊布尼茲公式的弱點，但是數(shù)值計算結(jié)果帶有誤差。在用數(shù)值求積公式設(shè)計算法時，一般要考慮到誤差估計，還應該使所求的數(shù)據(jù)結(jié)果的誤差得到控制。2.復化求積公式的誤差是如何估計的？

答：對于復化梯形公式可根據(jù)其截斷誤差公式，首先求得h?b?a，然后求nf(x)的二階倒數(shù)，判斷f(x)的二階倒數(shù)的單調(diào)性，然后在積分區(qū)間上求得f(x)的二階倒數(shù)的最大值就可以估計復化求積公式的誤差，利用估計出的復化求積公式的誤差還可以求得用復化梯形公式近似求解某一積分的有效數(shù)字有多少位。對于復化Simpson公式方法同估計復化梯形公式的誤差，只是截斷誤差公式有所改變，此時需求出f(x)的四階倒數(shù)然后判斷其最大值。

四、本章測驗題

1問題：如果用復化梯形公式計算定積分?e?xdx，要求截斷誤差不超過

00.5?10?4，試問n至少取多少？

解：復化的梯形公式的截斷誤差為：RT??b?a3''hf??? 12RT?1b?a3hmaxf''(?)，而maxf''(?)?max(e?x)?1，h?

0?x?10?x?10?x?1n12將以上各式代入RT?b?a3hmaxf''(?)可得： 0?x?112b?a31?4 hmaxf''(?)??0.5?1020?x?11212nRT?解上述方程得n?40.8，取n?41，所以n至少取41。

第三篇：數(shù)值分析第五章學習小結(jié)

第五章

插值與逼近

--------學習小結(jié)

姓名

班級

學號

一、本章學習體會

本章為插值與逼近，插值與逼近都是指用某個簡單的函數(shù)在滿足一定的條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復雜或者解析表達式未給出的函數(shù)，以便于簡化對后者的各種計算或揭示后者的某些性質(zhì)。通過對本章的學習熟練的掌握了幾種常用的正交多項式的應用問題并且學會了利用遞推關(guān)系式和一些性質(zhì)，可以快速的寫出最佳平方逼近多項式，還有就是曲線擬合，通過本章的學習能夠熟練的使用最小二乘法去擬合所給的數(shù)據(jù)，并且能夠通過構(gòu)造正交多項式去擬合所給的數(shù)據(jù)。在本章的學習過程中也遇到不少問題，比如本章知識點多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對正交多項式的性質(zhì)理解不夠透徹，這些問題在做題時就能夠體現(xiàn)出來，所以說通過做題才能發(fā)現(xiàn)問題所在。

二、本章知識梳理

5.1 Lagrange插值和Newton插值：

x?xj①Lagrange插值基函數(shù)lk(x)??,k?0,1,2，n；

j?0xk?xjnx?xj②Lagrange插值多項式pn(x)??yklk(x)??[?]yk；

x?xk?0k?0j?0kjnnj?kj?kn③節(jié)點選取原則：居中原則；

④Lagrange插值多項式的特點：直觀對稱，易建立插值多項式；但無繼承性。Newton插值主要是差商的理解與應用，在做題過程中首先應根據(jù)已知條件構(gòu)造差商表，然后根據(jù)差商表構(gòu)造插值多項式；

⑤截斷誤差的求?。?f(n?1)(?)f(n?1)(?)Rn(x)?w(n?1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]?w(n?1)(x)，計算時一(n?1)!(n?1)!般采用截斷誤差的估計式：Rn(x)?5.2 Hermite插值

插值公式：Hm?n?1(x)?pn(x)?qm(x)wn?1(x)，其中pn(x)應根據(jù)已知條件，使用Newton插值法構(gòu)造Newton插值多項式，最后根據(jù)已知條件求解

Mn?1wn?1(x)。

(n?1)!Hm?n?1(x)。5.3 樣條插值

①定義在[a,b]上對應與分劃?的K次樣條函數(shù)總可表示為：

1n?1s(x)??ajx??cj(x?xj)k?，所以要想確定s(x)，需要n+k個條件；

k!j?0j?1jk②三次樣條插值問題

（1）第一種邊界條件：

'''''''' y0?f''(x0),yn?f''(xn)并且s''(x0)?y0,s''(xn)?yn（2）第二種邊界條件：

'''' y0?f'(x0),yn?f'(xn)并且s'(x0)?y0,s'(xn)?yn（3）第三種邊界條件：

????s'(x0)?s'(xn),s''(x0)?s''(xn)

5.5正交多項式

b(f,g)???(x)f(x)g(x)dx

a學習本節(jié)要熟練掌握權(quán)函數(shù)和內(nèi)積的一些性質(zhì) 1.正交多項式的概念與性質(zhì)

①權(quán)函數(shù)：?(x)

b②內(nèi)積：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx

ab③正交：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx?0

a?0,i?j④正交函數(shù)系：(?i,?j)???(x)?i(x)?j(x)dx??

?ai?0,i?ja

克萊姆-施密特正交化方法：

b????0(x)?1?k?k?1??k?1(x)?x??akj?j(x)(k?0,1,)

j?0??k?1(x,?j)?其中a?(j?0,1，k)kj?(?,?)jj?2.幾種常用的正交多項式 ①Legendre多項式

?L0(x)?1??1dn2n?Ln(x)?n?n[(x?1)],n?1,2,2n!dx?

②Chebyshev多項式

Tn(x)?cos(narccosx),?1?x?1

③Laguerre多項式

dn(xne?x)Un(x)?e,n?0,1,dxnx

④Hermite多項式

dn(e?x)nHn(x)?(?1)e,n?0,1,dxnx22

5.6 函數(shù)的最佳平方逼近

①最佳平方逼近概念(f??,f??)?min(f??,f??)

??Hn??②最佳平方逼近的條件(f?p,?j)?0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)?**?c?(x)，求系數(shù)c*kkk?0n*k ⑤最佳平方逼近誤差??(f?p?,f?p?)

5.6.4曲線擬合

①曲線擬合的最小二乘法②擬合曲線的求法

[?(x)?y]?[?(x)?y]?min??*2iiiii?0?Di?0mm2

D?span{?0(x),?1(x)，?n(x)},n?m

?(x)??c*j?j(x)?D *j?0nA?[?0,?1，?n]，c?[c0,c1，cn]T

法方程為ATAc?ATy

還可以通過構(gòu)造正交多項式作為基函數(shù)組，然后去擬合給定的數(shù)據(jù)，此種方法不用求解矩陣，而是直接求解方程解出相應的系數(shù)。

三、本章思考題

問題1：在使用最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)時，是不是多項式的次數(shù)越高，擬合的精度越高？

解：擬合的精度可以用誤差平方和?來描述，通常來說，如果能用一次項公式來擬合的，用二次公式或三次公式來擬合則方差會更??；同理，能用二次公式來擬合的，用三次公式則方差會更小。因此如果能用這三種之一來擬合的話，則通常是三次公式的方差蕞小。當然如果三種擬合方式的均方差都小于預先所設(shè)定的范圍時，可以隨便選一種，通常是選越簡單的式子（比如一次公式），如果方差都比較大，那說明這幾種擬合方式都不太好，需尋找更合適的擬合。

問題2：插值與擬合的異同？

解：相同點：都需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)，可使用得到的函數(shù)來計算未知點的函數(shù)值。不同點：插值需要構(gòu)造的函數(shù)正好通過各插值點,擬合則不要求,只要均方差最小即可，對實驗數(shù)據(jù)進行擬合時,函數(shù)形式通常已知,僅需要擬合參數(shù)值，擬合是給定了空間中的一些點，找到一個已知形式未知參數(shù)的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點，而插值是找到一 個連續(xù)曲面來穿過這些點。

四、本章測驗題

1問題描述：定義內(nèi)積：(f,g)??f(x)g(x)dx，試在H1?span1,x,x2中尋求

0??對于f(x)?x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：?0(x)?1，?1(x)?x，?2(x)?x，(?0,?0)??1dx?1，(?1,?1)??x2dx?

30021111(?2,?2)??xdx?，(?2,?0)??x2dx?

530041111(?2,?1)??xdx?，(?1,?0)??xdx?

4200311222(?0,f)??xdx?，(?1,f)??x2dx?，(?2,f)??x2dx?

579000??1?1??2?1??31213141??2?3??c0??5??21641????2?,c1?,c2? ?.c1???，解的：c0?1053574????7???c1??2??2??5???9??1321517所求的最佳平方逼近的元素為：

p(x)??2164?x?x2 105357

第四篇：數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計—超定方程組的求解

《數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計》

專業(yè)： 信息與計算科學

班級： 13405011 學號： 1340501123 姓名： 實驗日期：報告日期：實驗地點：邢耀光 數(shù)理學院五樓機房

2016.05.09

2015.05.13

超定方程組的求解

邢耀光

（班級：13405011 學號1340501123）

摘要：在實驗數(shù)據(jù)處理和曲線擬合問題中，求解超定方程組非常普遍。比較常用的方法是最小二乘法。形象的說，就是在無法完全滿足給定條件的情況下，求一個最接近的解。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

關(guān)鍵字：最小二乘問題，殘量，超定方程組，正則化方程組，Cholesky分解定理。

正文：

最小二乘法的背景：

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。最小二乘法經(jīng)常運用在交通運輸學中。

交通發(fā)生預測的目的是建立分區(qū)產(chǎn)生的交通量與分區(qū)土地利用、社會經(jīng)濟特征等變量之間的定量關(guān)系，推算規(guī)劃年各分區(qū)所產(chǎn)生的交通量。因為一次出行有兩個端點，所以我們要分別分析一個區(qū)生成的交通和吸引的交通。

最小二乘問題：

最小二乘問題多產(chǎn)生于數(shù)據(jù)擬合問題。例如，假定給出m個點t1,...,tm和這m個點上的實驗或觀測數(shù)并假定給出在ti上取值的n個已知函數(shù)?1(t),...,?n(t)?？紤]?i 的線性組合，f(x;t)?x1?1(t)?x2?2(t)?...?xn?n(t)，（1）

我們希望在t1,...,tm點上f(x;t)能最佳的逼近y1,...,ym這些數(shù)據(jù)。為此，若定義殘量 據(jù)y1,...,ymj?1

則問題成為：估計參數(shù)x1,...,xn，使殘量r1,...,rm盡可能地小。（2）式可用矩陣-向量形式表示為

ri(x)?yi??xj?j(ti)，i?1,...,m，（2）

n r(x)?b?Ax，（3）其中

??1(t1)??n(t1)??y1?????A?????, b????，??(t)??(t)??y?1mnm???m?

TT)r(x?(x,...x，x)?(r(x),...,r(x)).1nm1

當m?n時，我們可以要求r(x)?0，則估計x的問題就可以用第一章中討論的方法解決。當m?n時，一般不可能使所有殘量為零，但我們可要求殘向量r(x)在某種范數(shù)意義下最小。最小二乘問題就是求x使殘向量r(x)在2范數(shù)意義下最小。

定義1：給定矩陣A?Rm?n及向量b?Rm，確定x?Rn，使得

b?Ax2?r(x)2?minr(y)2?minAy?b2.（4）

y?Rny?Rn這就是所謂的最小二乘問題，簡稱為LS問題，其中的r(x)常常被稱為殘向量。

在所討論的最小二乘問題中，若r線性依賴于x，則稱其為線性最小二乘問題：若r非線性依賴于x，則稱其為非線性最小二乘問題。

最小二乘問題的解x又可稱做線性方程組

Ax?b,A?Rm?n

（5）的最小二乘解，即x在殘向量r(x)?b?Ax的2范數(shù)最小的意義下滿足方程組（5）。當m?n時稱（5）式為超定方程組。

定理1:（Cholesky分解定理）若A?Rn?n對稱正定，則存在一個對角元均為正數(shù)的下三角陣L?Rn?n，使得

A?LL.（6）（6）式稱為Cholesky分解，其中的L稱作A的Cholesky因子。

因此，若線性方程組Ax?b的系數(shù)矩陣是對稱正定的，則我們自然可按如下的步驟求其解：

（1）計算A的Cholesky分解：A?LL ；

（2）求解Ly?b得y ；

（3）求解Lx?y得x； 簡單而實用的方法是直接比較A?LL兩邊的對應元素來計算L。設(shè)

TTTT?l11???ll2122?.L?????????ll?lnn??n1n2T比較A?LL兩邊對應的元素，得關(guān)系式

aij? 首先，由a11?l11，得

l11?再由ai1?l11li1，得

li1?ai1l11，i?1,...,n.這樣便得到了矩陣L的第一列元素。假定已經(jīng)算出L的前k?1列元素，由

akk?得 2?lp?1jipjpl，1?j?i?n（7）

a11.?lp?1k2kp，12?2? lkk??akk??lkp?.（8）

p?1??k?1再由

得

aik??liplkp?liklkk，i?k?1,...,n，p?1k?1k?1?? lik??aik??liplkp?lkk，i?k?1,...,n.（9）

p?1??這樣便求出了L的第k列元素。這種方法稱為平方根法。

記最小二乘解的解集為?LS，即

定理 ATAx?ATb.（10）

方程組（10）常常被稱為最小二乘問題的正則化方程組或法方程組，它是一個含有n個變量和n個方程的線性方程組。在A的列向量線性無關(guān)的條件下，AA對稱正定，故可用平方根法求解方程組（6），這樣，我們就得到了求解最小二乘問題最古老的算法———正則化方法，其基本步驟如下：

（1）計算C?AA, d?Ab;

（2）用平方根法計算C的Cholesky分解：C?LL;（3）求解三角方程組Ly?d和Lx?y.TTTTT

2：x??LS 當且僅當

?LS??x?Rn:x是LS問題(3)的解?，實驗 ：

一：超定方程組的求解

原理：設(shè)A是m?n階矩陣?m?n?，則線性方程組Ax?b為超定方程組，這里x?R,b?R。如

mm果A的秩為n，則稱A為列滿秩矩陣。超定方程組的解滿足法方程AAx?Ab，該解使得

TTb?Ax 22?min，稱之為最小二乘解。

?1??1 題目： ?1??1?1?TT1.11.12??1???2?1.21.22???2?1.31.3x??3?

??2?1.41.4??4??1.51.52??5???

用正則化方法求解，要求:（1）B?LL 不得使用MathCAD指令Cholesky；（2）B?LL使用MathCAD指令Cholesky。

?1??1解：（1）A??1??1?1? 1.11.12??6.58.55??51.21.22??T8.5511.375? 1.31.32? , 則 B?AA??6.5???1.41.42??8.5511.37515.298??1.51.52???15?B21?,20.5L??2.907 , g?ATb??L?B?2.236, 211111??L11??28.25??

L31? B312?3.824 , L22?B22??L21??0.316 , L11 4 LB32?L31L2132?L?0.822 , L??L2233?B3331??L32??0.037 , 22

?2.23600??2.2362.9073.824 即 L???2.9070.3160?0.037? , LT???00.3160.822????, ??3.8240.822???000.037??

?6.708??10 則y?L?1g???3.162?x??LT??1?y???10??? , ?? , ?9.273?10?13????2.478?10?11??

x即為所求的最小二乘解。

??11.11.12??11.21.22?（2）A????2.23600??11.31.32?cholesky(B)???2.9070.3160???11.41.42?????3.8240.8220.037???11.51.52??，?2.23600??2.2362.9073.824? 則 L???2.9070.3160???，LT??00.3160.822????3.8240.8220.037???000.037???，?6.708??10 則y?L?1g???3.162?x??LT??1?y???10??? , ??

?9.273?10?13????2.478?10?11??,x即為所求的最小二乘解。

二：已知如下數(shù)據(jù)： xi0.00.20.40.60.81.01.2yi0.91.92.83.34.05.76.5 利用最小二乘法擬合曲線 y?a1x?a2.??0.0??0.9??0.2??1.9?解：令B???0.00.20.40.60.81.01.2??0.4????2.8???0.91.92.83.34.05.76.5?? ,x???0.6???，y???3.3?? ?0.8??1.0??4.0?????5.7??????1.2?6.5????10.0??10.2??10.4???1 則A???10.6?X??ATA?ATy???0.843?4.571?，即p(x)?0.843?4.571x，?? , ?10.8????11.0????11.2??故最小二乘法擬合曲線為y?4.571x?0.843.程序附錄： 一；

??11.11.12????1??11.21.22???2??56.58.55A????11.31.32???b????3?Ax??bB??ATA g??AT?b, B???6.58.5511.375????11.41.42??8.5511.37515.298????,?4??5??, ，?11.51.52? ?f(B)??n?rows(B)

L?identityn()fork?1??nLk?k?Bk?kifk1k??1Lk?k?Bk?k??Lk?p?2otherwisep?1fori?k?1??nBL?ki?k?iLifk1k?k(break)ifknk?1Bi?k???Li?pLk?p?Li?k?p?1Lotherwisek?kL

?15?g???20.5?, ??, 28.25?，0?0??2.2360?2.2360?2.2362.9073.824?T?f(B)??2.9070.3160?L??2.9070.3160?L??00.3160.822??????00.037?3.8240.8220.037?,L??f(B),?3.8240.8220.037?,?0?，6.708?10????????3.16210y??x?????1?1?9.273?10?13??2.478?10?11?Ty??Lg , x???L?y ,??, ??，二；

?1??2?0.00.20.40.60.81.01.2??TT B???? , x???B? , y???B?, ?0.91.92.83.34.05.76.5?

?0??0.9?????0.2???1.9??0.4??2.8?x??0.6? ,y??3.3? , x?0, x?0.2,n??rows(x),n12?????0.8??4??1??5.7??1.2??6.5?????0?7,i??1??n , Ai?1??1，.?1??1?1A??x,AX??y,A??1i?2i??1?1?1?p(s)?0.843?4.571x.??0.2?0.4??1?0.843?,p(s)??XT??1?

T?T??Ay ,X??0.6,X??AA?????4.571??s?0.8?1??1.2?

心得體會：

通過本次的課程設(shè)計，讓我學會了很多，學會了簡單的MathCAD 軟件的用法。讓我更加深刻了解最小二乘問題，和以往對知識的疏忽得以補充。不僅掌握了學習的知識，而其還可以培養(yǎng)和熟練使用資料，運用工具書的能力，把我們所學的課本知識與實踐結(jié)合起來，起到溫故而知新的作用。

參考文獻：

1，《數(shù)值線性代數(shù)》（第二版）北京大學出版社 徐樹方，高立，張平方，編著。2013.01

email：974671870qq.com

1340501123：邢耀光

2016.05.13

第五篇：社會調(diào)查方法學習小結(jié)

社會調(diào)查方法學習心得

學習了社會調(diào)查方法的課不僅讓我懂得了許多關(guān)于社會調(diào)查方法的理論，而且讓我思考了很多。作為一名現(xiàn)代大學生，大家是否對自己周圍的人、事、物做過深入的調(diào)查與分析?是否發(fā)現(xiàn)隱藏其中的內(nèi)在價值呢?其實，對我們身邊的每件小事進行一次調(diào)查，都會發(fā)現(xiàn)許多有價值的東西，對我們的學習、工作、生活都會有很大幫助。

理論學習和社會實踐應該是我們大學生活的兩個重要部分。大家都非?？释呦蛏鐣?，進行社會實踐活動，把所學知識與社會實際問題結(jié)合起來。《社會調(diào)查方法》課程就給了我們這樣一個鍛煉的機會。

整個學習過程分為如下幾個階段，先是大家分組，然后是大家討論實施方案匯報，老師給出改進建議，接著每人設(shè)計一份問卷，匯總出一份綜合的問卷，然后分別展開調(diào)查，整理結(jié)果，小組分析討論，最后寫出小組的調(diào)查報告。第一階段：設(shè)計實施方案。

“萬事開頭難”，我們小組會出現(xiàn)一些錯誤，如：格式不對，項目不夠，內(nèi)容不符，質(zhì)量欠缺等等。但是，所有這些錯誤，我們都認真地記錄了下來，并且小組討論解決，不懂得地方繼續(xù)詢問了老師，在李老師的認真指導下，都逐漸地改正過來。這部分是便由我設(shè)計總結(jié)并且匯報的。第二階段：設(shè)計問卷

設(shè)計問卷很艱難，因為問卷要明確目的和內(nèi)容，在不詢問受訪人隱私的情況下，盡可能多的了解我們組調(diào)查課題的情況。所以我們采取了頭腦風暴法，小組每個人都設(shè)計了一份問卷，然后我們討論整合，做出一份最為合理高效的問卷。接下來就是調(diào)查方法的問題了，調(diào)查方法很多，有問卷法，訪談法，觀察法，文獻法等。也有同時采用幾種方法的。而我們采用問卷星軟件發(fā)放問卷。我建議我們組選擇問卷星軟件進行隨機抽樣調(diào)查，小組成員一致同意。第三階段：展開調(diào)查。

問卷和提綱設(shè)計好以后，進入調(diào)查的展開階段。同學們紛紛利用自己的人脈關(guān)系，調(diào)查本校的本科生。因為我們采用的問卷星軟件，進行了內(nèi)部設(shè)置，所以很高效的保證了問卷的有效性，因為大家只是點開一個鏈接就可以填寫，所以受訪者很積極，問卷星給我們的工作提供了大量的幫助。第四階段：總結(jié)并寫出調(diào)查報告。

這是最后一步，但也是最難的一步了。小組成員經(jīng)過認真細致地觀察和分析，調(diào)查與研究，收集資料，整理數(shù)據(jù)，最后得出結(jié)論，提出建議，寫成報告?？梢哉f，我們小組在這一階段付出的努力更多，花費的時間也最多，由我整理匯總并寫出了十幾頁紙的報告。但是我們追求完美，不斷的反復研讀，完善報告，并請老師繼續(xù)指導我們，使我們的報告越來越完善。但是我對我的上臺報告并不太滿意，有些表述不清。

這門課程從開始到結(jié)束共用了10周左右的時間，最后在小組成員和老師的共同努力下，我們小組取得了圓滿成功。我們小組不但交出了一份完美的報告，而且大家收獲都很多。

我首先體會到了李老師的嚴謹認真，孜孜不倦，百教不厭，一絲不茍，和藹可親，熱情奉獻和全心負責。我們也體會到了小組成員的積極配合與努力上進。作為組長，我安排的任務都能得到執(zhí)行，完成的也非常出色。在學習、調(diào)查的過程中，我們感受到的不僅是在完成一項任務，更是在熱情追求完美和執(zhí)著探索知識。調(diào)查結(jié)束后，我收獲了很多我在課堂上學不到的東西，收獲了許多在學習，生活，工作都有價值和幫助的東西。真正體會到的是理論聯(lián)系實際的意義，體味到學有所用的樂趣。另外，我覺得老師設(shè)計課的流程很好，講課方式也很舒服，指導我們小組的學習也是孜孜不倦，所以我們覺得這個課和老師都非常好，如果課堂上增加小組討論那就更加完美了。馬上要和這門課說再見了，還真有點依依不舍。每個人在自己的一生中能夠認認真真地完成幾件事確實是很不容易的。所以，在我們決定去做一件事時一定要全身心投入。“要么不做，要做就要最好”。

公141 潘悅141392