第一篇：2018考研數(shù)學(xué)：16種極限求解的方法總結(jié)

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2018考研數(shù)學(xué)：16種極限求解的方法總

結(jié)

學(xué)好高數(shù)，極限基礎(chǔ)必須要打好，極限求解也是必要解決的問題，下面總結(jié)了16種可用的方法，大家學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)，可靈活應(yīng)用。

1、等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小)。

2、洛必達(dá)法則(大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法)。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無疑于找死！)必須是0比0無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時(shí)候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成

第二篇：2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

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2018考研數(shù)學(xué)：數(shù)列極限方法總結(jié)歸納

極限是考研數(shù)學(xué)每年必考的內(nèi)容,在客觀題和主觀題中都有可能會(huì)涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實(shí)上，由于這一部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性，每年間接考查或與其他章節(jié)結(jié)合出題的比重也很大。極限的計(jì)算是核心考點(diǎn)，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵。下面凱程考研就分享一下數(shù)列極限方法，大家注意學(xué)習(xí)。

極限無外乎出這三個(gè)題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無法進(jìn)行運(yùn)算。以下我們就極限的內(nèi)容簡(jiǎn)單總結(jié)下：

極限的計(jì)算常用方法：四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調(diào)有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。

四則運(yùn)算、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要極限是常用方法，在基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，考生應(yīng)該已經(jīng)非常熟悉，進(jìn)入強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段這些內(nèi)容還應(yīng)繼續(xù)練習(xí)達(dá)到熟練的程度;在強(qiáng)化復(fù)習(xí)階段考生會(huì)遇到一些較為復(fù)雜的極限計(jì)算，此時(shí)運(yùn)用泰勒公式代替洛必達(dá)法則來求極限會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達(dá)到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計(jì)算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進(jìn)行計(jì)算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進(jìn)行計(jì)算;單調(diào)有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。

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第三篇：數(shù)學(xué)中常用極限方法總結(jié)

【1】 忽略高階無窮小方法。

很多極限看起來很復(fù)雜，而且也不好使用洛必達(dá)法則，但是如果忽略掉次要部分，則會(huì)很容易計(jì)算。

比如

再比如斐波那契數(shù)列，忽略掉比x低的無窮小項(xiàng)后為√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要項(xiàng)后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))當(dāng)x->∞的時(shí)候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高階無窮小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取對(duì)數(shù)與洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則是求極限的時(shí)候用的最多的方法，但是很多題目都會(huì)饒下彎子，需要先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行一些變形，否則計(jì)算起來會(huì)越來越煩，常見的的代換包括取對(duì)數(shù)，等價(jià)無窮小代換，省略高階無窮小部分，在用完這些方法后，再使用洛必達(dá)法則，可以有效的解決這類問題。

比如

這個(gè)直接用等價(jià)無窮小代換后會(huì)因?yàn)閾p失了高階無窮小導(dǎo)致結(jié)果不正確，取對(duì)數(shù)后就會(huì)化成容易計(jì)算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式極限為e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限 這個(gè)極限是0^∞的形式

直接取對(duì)數(shù)得 ln(tanx)/ lnx，現(xiàn)在是∞/∞的形式

用洛必達(dá)法則得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的時(shí)候的極限為e

【3】 常用等價(jià)無窮小

經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0處的極限，這個(gè)可以使用多次洛必達(dá)求得，或提取sinx后用兩個(gè)等價(jià)無窮小代換，也可以用tanx和sinx的級(jí)數(shù)代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0處的冪級(jí)數(shù)展開為x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0處的極限 用泰勒公式就比較簡(jiǎn)單

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0處的級(jí)數(shù)展開為1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些極限用常見的方法處理比較困難，但是可以很容易的看出這是某個(gè)函數(shù)在兩個(gè)很近的點(diǎn)處的割線的斜率或兩個(gè)點(diǎn)之間的面積，那么這個(gè)時(shí)候可以考慮使用微分中值定理或積分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞處的極限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取極限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式極限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(積分限為[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定積分的數(shù)值公式

有些求和的極限用夾擠定理只能得到級(jí)數(shù)收斂，但不能求出具體的極限值，而一些題剛好是利用定積分的數(shù)值公式（主要是矩形公式）分解而來，這個(gè)時(shí)候可以考慮湊定積分的方式來對(duì)級(jí)數(shù)求和。

比如求

可以寫成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以這個(gè)剛好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定積分 所以極限為Pi/4

再如上面出現(xiàn)過的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)這個(gè)可以寫成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定積分 所以極限是1/(k+1)

【9】 利用級(jí)數(shù)展開

某些涉及到求和的極限可能剛好是某個(gè)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開的特殊值 比如交錯(cuò)級(jí)數(shù) 1-1/2+1/3-1/4+...這個(gè)剛好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1處的值 所以極限是ln2 而對(duì)于其他一些級(jí)數(shù)也可能是函數(shù)展開的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考慮正弦函數(shù)的無窮積展開為 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)數(shù)得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以計(jì)算出來的，結(jié)果留給你們算

第四篇：2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

東莞中公教育

2018考研數(shù)學(xué)：二重極限

以下是中公考研數(shù)學(xué)研究院的老師為大家整理了2018考研數(shù)學(xué):二重極限的題型講解，供大家復(fù)習(xí)參考。

高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是函數(shù)，而極限則是研究函數(shù)的最重要的工具，對(duì)于一元函數(shù)如此，對(duì)于多元函數(shù)亦是如此。那么在學(xué)習(xí)多元微分學(xué)之前，首先來認(rèn)識(shí)多重極限的概念，在此以二重極限為例進(jìn)行說明。東莞中公教育

2.考試要求會(huì)計(jì)算二重極限，最直接的想法就是一元函數(shù)求極限的方法中哪些還可以繼續(xù)使用，其中四則運(yùn)算法則，等價(jià)無窮小替換和夾逼定理及其推論(無窮小量乘以有界量等于無窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來驗(yàn)證函數(shù)的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計(jì)算。

2.考試不會(huì)直接考查二重極限的計(jì)算，而是在研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性和可微性的時(shí)候需要計(jì)算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第五篇：2018考研數(shù)學(xué)沖刺：求極限的16個(gè)方法

考研數(shù)學(xué)沖刺：求極限的16個(gè)方法

2018考研數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)進(jìn)行中，下面整理分享2018考研數(shù)學(xué)沖刺：求極限的16個(gè)方法，幫助大家更好的復(fù)習(xí)!

首先對(duì)極限的總結(jié)如下。極限的保號(hào)性很重要就是說在一定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的正負(fù)與極限一致。

1、極限分為一般極限，還有個(gè)數(shù)列極限

(區(qū)別在于數(shù)列極限是發(fā)散的，是一般極限的一種)。

2、解決極限的方法如下

1)等價(jià)無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時(shí)候使用，但是不是說一定在加減時(shí)候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價(jià)于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時(shí)候還原成無窮小)

2)洛必達(dá)法則(大題目有時(shí)候會(huì)有暗示要你使用這個(gè)方法)

首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對(duì)數(shù)列極限時(shí)候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點(diǎn)數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用無疑是死路一條)必須是0比0，無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。

洛必達(dá)法則分為三種情況

1)0比0無窮比無窮時(shí)候直接用

2)0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項(xiàng)之后這樣就能變成1中的形式了

3)0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方

對(duì)于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對(duì)數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無窮時(shí)候他的冪移下來趨近于0,當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時(shí)候ln(x)趨近于0)

3、泰勒公式

(含有e^x的時(shí)候，尤其是含有正余旋的加減的時(shí)候要特變注意!)e^x展開,sinx展開,cos展開,ln(1+x)展開對(duì)題目簡(jiǎn)化有很好幫助

4、面對(duì)無窮大比上無窮大形式的解決辦法。

取大頭原則最大項(xiàng)除分子分母!看上去復(fù)雜處理很簡(jiǎn)單。

5、無窮小與有界函數(shù)的處理辦法

面對(duì)復(fù)雜函數(shù)時(shí)候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時(shí)候，一定要注意這個(gè)方法。面對(duì)非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了!

6、夾逼定理

(主要對(duì)付的是數(shù)列極限)這個(gè)主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴(kuò)大。

7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用

(對(duì)付數(shù)列極限)(q絕對(duì)值符號(hào)要小于1)

8、各項(xiàng)的拆分相加

(來消掉中間的大多數(shù))(對(duì)付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡(jiǎn)函數(shù)。

9、求左右求極限的方式

(對(duì)付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應(yīng)為極限去掉有限項(xiàng)目極限值不變化。

10、兩個(gè)重要極限的應(yīng)用。

這兩個(gè)很重要!對(duì)第一個(gè)而言是x趨近0時(shí)候的sinx與x比值。第2個(gè)就如果x趨近無窮大無窮小都有對(duì)有對(duì)應(yīng)的形式(第二個(gè)實(shí)際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時(shí)候要特別注意可能是用第二個(gè)重要極限)

11、還有個(gè)方法，非常方便的方法。

就是當(dāng)趨近于無窮大時(shí)候，不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數(shù)函數(shù),快于冪數(shù)函數(shù),快于對(duì)數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)。當(dāng)x趨近無窮的時(shí)候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12、換元法

是一種技巧，不會(huì)對(duì)某一道題目而言就只需要換元，但是換元會(huì)夾雜其中

13、假如要算的話四則運(yùn)算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。

14、還有對(duì)付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對(duì)題目實(shí)在是沒有辦法走投無路的時(shí)候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調(diào)有界的性質(zhì)

對(duì)付遞推數(shù)列時(shí)候使用證明單調(diào)性。

16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限

(一般都是x趨近于0時(shí)候，在分子上f(x)加減某個(gè)值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時(shí)，f(0)的導(dǎo)數(shù)=0的時(shí)候就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!)