第一篇：概率小結

理科第二學段數學學習報告

概率全章小結

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【引語】

總結應做到“瞻前顧后”。一份認真的總結，應是對自己充分認識的基礎上的行動綱領的設計，應是避免盲目樂觀或自暴自棄的有效方法，應是過程的記錄，從過程的開始階段就已著手處理，應是復習過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)?？偨Y內容分以下幾個部分：

一．知識內容結構

二．重點知識梳理與注意事項 三．全章課程實錄

在此只需寫出: 每次課的序號;(如第幾次課)課上所講問題，習題(習題或問題的解答不用抄寫);強調的重點問題，知識，方法.四．典型例題解析 五．典型錯例分析

六．復習方法、效率總結

七．上階段注意事項修正情況(本內容在本章小結中不寫)八．下階段注意事項

【注意】

請大家認真為自己做事并珍惜自己的勞動成果。

【正文】

3.1 事件與概率 3.2 古典概型

3.3 隨機數的含義與應用 3.4 概率的應用

3.1 事件與概率

必然現象：一定條件下必然發(fā)生某種結果的現象。

隨即現象的特點：當在相同的條件下多次觀察同一現象，每次觀察到的結果不一定相同，事

先很難預料。-不可能事件：該結果始終不會發(fā)生。必然事件：每次實驗中一定會發(fā)生。

隨機事件：在實驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結果。

隨機事件一般簡稱為事件。

-基本事件：實驗中不能再分的最簡單的隨機事件。

所有基本事件構成的集合-->基本事件空間

概率的統(tǒng)計定義：一般地，在n次重復進行的實驗中，事件A發(fā)生的頻率m/n，當n很大時，總是在某個常數附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).頻率&概率：用頻率估計概率。

概率的理解：概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發(fā)生的可能性的度量。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發(fā)生該事件，而是指此事件發(fā)生的頻率接近于1/n這個數值。

* 降水概率70%的理解

概率的古典定義

如果一個試驗滿足兩條：

（1）試驗只有有限個基本結果

（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。

這樣的試驗，成為古典試驗。對于古典試驗中的事件A，它的概率定義為：P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。

概率的幾何概型

簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

比如：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一個點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到中述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點。這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等。用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.特點：(1)試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個.(2)每個基本事件出現的可能性相等.計算公式:

一般地,在幾何區(qū)域D中隨機地取一點,記事件“該點落在其內部一個區(qū)域d內”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為：

P(A)=構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)/ 實驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積)

這里要指出:D的測度不能為0,其中“測度”的意義依D確定.當D分別為線段,平面圖形,立體圖形時,相應的“測度”分別為長度,面積,體積等.#實例：1）投針求圓周率 >隨機數

概率的一般加法公式： 設AB是Ω的兩個事件，P(AUB)=A中基本事件個數+B中基本事件個數-A∩B中基本事件的個數/Ω的基本事件總數

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

* 對于兩個互為對立事件的A,B 則有：

P(B)=1-P(A)

概率例題

1.In how many distinguishable ways can the seven letters in the word MINIMUM be arranged, if all the letters are used each time? 答案：420 【詳解】

7個字母總的排列是: 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 需要剔除M、I重復的排列: 1/(2!*3!)=1/12 所以 結果為5040* 1/12=420

2.What is the probability of getting at least three heads when flipping four coins? 答案：5/16 【詳解】

Sample space：1/2*1/2*1/2*1/2=1/16 [思路1]

[思路2] At least three heads=至少三次頭朝上=3次頭朝上1次頭朝下+4次頭都朝上 分別計算“3次頭朝上1次頭朝下”“4次頭都朝上”，求和得結果。

例題解析：

1、兩個事件互斥是兩個事件對立的（）條件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要

D.既不充分也不必要

答案：B

入選原因：該題所強調的概念需要牢記！

2.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現正面朝上的概率是（1/2）

入選原因：分清每一個時間與其他事件是否有聯系，如該題中的事件就為一獨立事件，與前998次所拋擲結果無關。

3.從一批產品中取出三件產品，設A=“三件產品全不是次品”，B=“三件產品全是次品”，C=“三件產品不全是次品”，則下列結論正確的是（）A.A與C互斥

B.B與C互斥

C.任何兩個均互斥

D.任何兩個均不互斥

答案：B

入選原因：概率的題里有許多“不全是”“全不是”之類的超級容易混淆的東西……所以看題時仔細?。?/p>

4.從一批羽毛球產品中任取一個，其質量小于4.8g的概率為0.3，質量小于4.85g的概率為0.32，那么質量在[4.8，4.85](g)范圍內的概率是（）A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

答案：C

入選原因：大多數時候兩個事件的概率都不能相加減，但是如果一個A事件完全包含在另一個B事件中，那么后者的概率減去前者的概率就為A事件在B事件中的補集發(fā)生的概率。

5.從甲、乙、丙、丁4人中選3人當代表，則甲被選中的概率是(3/4)

入選原因：有時，有些題目可能正著想會十分復雜，但如果倒著想便十分簡單，例如該題，如果算甲被選中肯定不如算甲未被選中簡單。又因為甲被選中與未被選中是對立事件，概率和為1，所以甲被選中的概率為1-1/4=3/4

6.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率是（1/2）

入選原因：該類題也有一個投機取巧的方法……由于第一次取出兩類球等概，取出后又放回了，使第二次取球也等概，所以可以忽略第一取出的是什么顏色得球，直接想第二次取出球的顏色即可?！痉椒ㄍ茝V】其實就算第一二次都不等概也沒有關系，只要兩次取球的情景相同（即紅白球比例未變,假如是x：n）則怎么算取出兩個相同顏色的概率都是x^2+n^2/(x+n)^2

7.對某種產品的5件不同正品和4件不同次品一一進行檢測，直到區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好經過五次檢測被全部發(fā)現，則這樣的檢測方法有（）

A．20種

B．96種

C．480種

D．600種

答案：D

解析：能五次檢測出所有次品的情況大致分兩類。A：檢驗了5個正品 B：檢驗了1正4次

A的檢測方法總數：5！

B的檢測方法總數：5*4*4?。ㄓ形宸N從正品中選一個的情況，正品有4個位臵可選擇被檢測出，正品不能最后一個被檢測出，否則僅需4次便可檢測出所有次品，4個不同次品的檢測順序是4！）

8、甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。

入選原因：唯一一道幾何概型的題目，不過集合概型的題目都差異不大，主要就是看能不能想出題目對應的幾何模型了。

答案：建立XY坐標系，將甲到達時間設定為X 乙到達時間設定為Y，畫出一條X-15=Y及X+15=Y的直線，然后大家肯定都會做了就不詳細說了……（畫不出圖T^T)

概率方法整體總結：做題前首先要看清題目，分辨清很多易混淆詞匯，然后要搞清所求事件是否為獨立事件，或者它與誰為對立事件，這樣有助于題目的求解，接著思考是否有能轉變題目所問的方法，有時求另一個東西然后再推出題目所求遠比直接求解題目要便利的多。最后就是認真計算，分清排列的組合，想清是否要考慮順序。

概率這方面的題目難度并不特別大，主要就是靠認真= =！

【臨終吐槽】這分明就是小學奧數里的排列組合啊……………………

附注：合作人 郭靜茹！

第二篇：隨機事件及其概率小結

隨機事件及其概率小結

一、知識點網絡圖

隨機事件及其概率??樣本空間、樣本點、事件的定義??事件的關系及運算?事件的關系及運算（?、=、、、-、互斥、對立）??算律（重點：對偶率的靈合運用）?????統(tǒng)計定義、古典定義、幾何定義、主觀概率?概率定義及性質???性質：定義中三條基本性質?5條性質???(B?A)?P(A?B)?P(A)?P(B)?減法公式???(一般情況）?P(A?B)?P(A)?P(AB)????P(A?B)?P(A)?P(B)（A，B互斥）??加法公式????P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)(一般情況）???(A，B獨立)?P(AB)?P(A)P(B)??乘法公式?????P(AB)?P(A)P(B|A)（一般情況）??L(A)?概率的計算?古典概率P(A)?m/n,幾何概率P(A)???L(?)???P(AB)?條件概率P(B|A)???P(A)??????全概公式P(A)??P(Bi)P(A|Bi)?i=1???P(B)P(A|Bi)?逆概公式P(Bi||A)??ik?1,2,3,...???P(Bi)P(A|Bi)????i=1???兩個事件獨立P(AB)?P(A)P(B)?多個事件獨立?獨立試驗??kkn?k?貝努里概型P(k)?Cp(1?p)k?0,1,2,......n.??nn?

二、解題基本思路和技巧

1、掌握事件關系和運算的概率語言，斟酌題目中的“字眼”，準確的用字母表示問題中事件關系與運算.如：（1）“至少有一個”、“或”，就是事件的和；（2）“同時”、“且”、“都”表明是事件的積；（3）“有返回”、“彼此無關”、“重復”等都說明事件獨立；（4）重復實驗中帶個“恰”，往往是貝努里概型；（5）在問題中隱含著“包含關系”、“先后關系”、“主次關系”的就要考慮條件概率。??

2、解決復雜事件的方法有：利用事件的運算性質化簡成簡單事件之和（或積）；

考慮它的對立事件或者等價事件.勤動手，畫個韋恩圖給出直觀想象，往往會得到事半功倍的效果.3、在古典概型、幾何概型計算中，首先判斷樣本點是否具有等概性，計算古典概型中的分子與分母時，思路必須一致

4、減法公式、加法公式、乘法公式都有兩個，一般和特殊，用時注意條件。

5、條件概率有兩種計算方法；利用古典概型直接計算；利用定義中公式計算.6、全概公式與逆概公式是綜合利用加法公式、條件概率、乘法公式解決復合事件概率問題的，關鍵是分析找出“結果”事件與影響結果的“原因”事件，且諸“原因”事件構成完備事件組。

求“結果”發(fā)生的概率，用全概公式；

“結果”已發(fā)生，求“原因”事件概率的，用逆概公式。

第三篇：第25章概率初步單元小結教案

本章歸納總結

【知識與技能】

掌握本章重要知識點，會求事件的概率，能用概率的知識解決實際問題.【過程與方法】

通過梳理本章知識，回顧解決生活中的概率問題，培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力.【情感態(tài)度】

在用本章知識解決具體問題的過程中，進一步增強數學的應用意識，感受數學的應用價值，激發(fā)學習興趣.【教學重點】

本章知識結構梳理及其應用.【教學難點】

利用概率知識解決實際問題.一、知識框圖，整體把握

【教學說明】通過展示本章知識結構框圖，可以系統(tǒng)地了解本章知識及它們之間的關系.教學時，教師可邊回顧邊建立結構框圖.二、釋疑解惑，加深理解

1.通過實例，體會隨機事件與確定事件的意義，并能估計隨機事件發(fā)生可能性的大小.2.結合具體情境了解概率的意義，會用列舉法（列表和樹狀圖法）求一些隨機事件發(fā)生的概率.P（A）=m/n（n是事件發(fā)生的所有的結果，m是滿足條件的結果.）

3.對于事件發(fā)生的結果不是有限個，或每種可能的結果發(fā)生的可能性不同的事件，我們可以通過大量重復試驗時的頻率估計事件發(fā)生的概率.三、典例精析，復習新知

例1一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖的座位上，B、C、隨機坐在其他三個座位上，求A與B不相鄰的概率.D三人分析：按題意，可列舉出各種可能的結果，在依次計算A與B不相鄰的概率.解：按順時針方向依次對B、C、D進行排位，如下：

三個座位被B、C、D三人隨機坐的可能性共有6種，由圖可知： P（A與B不相鄰）=2/6=1/3 例2有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A、B，分別被分成4等份，3等份，并在每份內均標有數字，如圖所示：

王揚和劉菲同學用這兩個轉盤做游戲，游戲規(guī)①分別轉動轉盤A與B：

②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指的數字相

加（如果則如下：

指針恰好停在等分線上，那么重轉一次，直到指針指向某一份為止）.若和為0，則王揚獲勝；若和不為0，則劉菲獲勝.問：（1）用樹狀圖法求王揚獲勝的概率.（2）你認為這個游戲公平嗎？說明理由.解：（1）由題意可畫樹狀圖為：

這個游戲有12種等可能性的結果，其中和為0的有三種.∴王揚獲勝的概率為：3/12=1/4.（2）這個游戲不公平.∵王揚獲勝的概率為1/4，劉菲獲勝的概率為3/4.∴游戲對雙方不公平.例3一個口袋中放有20個球，其中紅球6個，白球和黑球各若干個，每個球除了顏色外沒有任何區(qū)別.（1）小王通過大量反復試驗（每次取一個球，放回攪勻后再取第二個）發(fā)現，取出黑球的頻率穩(wěn)定在1/4左右，請你估計袋中黑球的個數.（2）若小王取出的第一個球是白球，將它放在桌上，閉上眼睛從袋中余下的球中再任意取一個球，取出紅球的概率是多少？

分析：利用頻率估計概率，建立方程.解：（1）設黑球的個數為x個，則：x/20=1/4，解得：x=5.所以袋中黑球的個數為5個.（2）小王取出的第一個球是白球，剩下19個球中有6個紅球.∴P（紅球）=6/19 【教學說明】師生共同回顧本章主要知識點，教師適時給予評講，加深學生理解.對于例題既可學生自主完成，也可合作交流獲得答案.教師適當點撥，達到鞏固所學知識的目的.四、復習訓練，鞏固提高

1.“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形，如圖，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形兩直角邊分別是2和4，小明同學距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），一次飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域（含邊線）的概率是（）

2.如圖，一轉盤被等分成三個扇形，上面分別標有-1，1，2中的一個數，指針位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，這時，某個扇形會恰好停止在指針所指的位置，并相應得到這個扇形上的數（若指針恰好指在等分線上，當做指向右邊的扇形）.（1）若小靜轉動轉盤一次，求得到負數的概率；

（2）小宇和小靜分別轉動轉盤一次，若兩人得到的數相同，則稱兩人“不謀而合”.用列表法（或畫樹狀圖）求兩人“不謀而合”的概率.則投擲

2.解：（1）1/3；（2）畫樹狀圖如下：

共9種等可能結果，其中數字相同的結果有3種，故其概率為13.五、師生互動，課堂小結

本堂課你對本章內容有一個全面的了解與掌握嗎？你有哪些困惑與疑問?說說看.【教學說明】教師先選派幾名學生就上述問題進行回答，教師再予以補充和點評.1.布置作業(yè)：練習冊P57

本節(jié)課一方面對全章知識進行系統(tǒng)歸納與總結后，提升學生的整體觀念，另一方面是對前面新課學習的回顧.本節(jié)課重點復習了用列舉法求概率、用頻率估計概率.通過實際問題的解答，提高學生分析問題的能力，增強了用數學的意識.同時學生通過本課的復習，掌握運用概率知識的一些基本方法和步驟.

第四篇：概率教案

概率的預測

一、教學目標

掌握通過邏輯分析用計算的方法預測概率，知道概率的預測，概率的頻率含義，所有事件發(fā)生的概率和為1；經歷各種疑問的解決，體驗如何預測一類事件發(fā)生的概率，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力；

二、重點：通過邏輯分析用計算的辦法預測概率

三、難點：要能夠看清所有機會均等的結果，并能指出其中你所關注的結果

四、教學方法：講練結合法

五、教學器具：多媒體、撲克

六、教學過程

（一）關注我們身邊的事：

1）如果天氣預報說：“明日降水的概率是95%，那么你會帶雨具嗎？” 2）有兩個工廠生產同一型號足球，甲廠產品的次品率為0.001，乙廠產品的次品率是0.01． 若兩廠的產品在價格等其他方面的條件都相同，你愿意買哪個廠的產品？

上述事例告訴我們知道了一件事情發(fā)生的概率對我們工作和生活有很大的指導作用.（二）熱身運動：

我們三（1）班有21位同學，其中女同學11名，老師今天早上正好看見我們班一位同學在操場鍛煉身體，問：我遇到男同學的機會大，還是女同學的機會大？

遇見男生的概率大還是女生的概率大？我們需要做實驗嗎？我們能否去預測？

復習上節(jié)課概率的計算方法

（三）熱點探討：

問題 2006年10月6日，經過三年的建設,由世界建筑大師貝聿銘老先生設計的蘇州市博物館新館在百萬蘇州市民的熱切期盼中正式開館.為了讓大家能一睹這一被貝老喻為“最親愛的小女兒”的方容，老師準備帶一部分同學去參觀蘇博新館，那么帶哪些同學去呢？老師準備這么做： 在我們班里有女同學11人，男同學10人。先讓每位同學都在一張小紙條上寫上自己的名字，放入一個盒中攪勻。如果老師閉上眼睛從中隨便的取出一張紙條，想請被抽到的同學等會上講臺和老師一起去參觀，這個方法公平嗎?那么抽到男同學名字的概率大還是抽到女同學的概率大？

分析 全班21個學生名字被抽到的機會是均等的．

11解

P（抽到女同學名字）=，2110

P（抽到男同學名字）=，所以抽到女同學名字的概率大． 請思考以下幾個問題：，表示什么意思？ 21如果抽一張紙條很多次的時候，平均21次就能抽到11次女同學的名字。

2、P(抽到女同學名字)+P(抽到男同學名字)=100%嗎？

如果改變男、女生的人數，這個關系還成立嗎？ 請學生回答

所有等可能事件發(fā)生的概率之和是1

1、抽到女同學名字的概率是

四、你能中獎嗎：

1.一商場搞活動促銷，規(guī)定購物滿一百元可以抽一次獎，規(guī)則如下，在一只口袋中放著8只紅球和16只黑球，抽到紅球即獲獎，這兩種球除了顏色以外沒有任何區(qū)別．袋中的球已經攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球與紅球的概率分別是多少？

162解 P（取出黑球）＝=, 2

431 P（取出紅球）＝1－P（取出黑球）＝，321所以，取出黑球的概率是，取出紅球的概率是． 想一想：

33如果商場換成以下的抽獎方案：甲袋中放著20只紅球和8只黑球，乙袋中則放著20只紅球、15只黑球和10只白球，這三種球除了顏色以外沒有任何區(qū)別．兩袋中的球都已經各自攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球才能獲獎，你選哪個口袋成功的機會大呢？

解題過程見課件

下面三位同學的說法，你覺得這些同學說的有道理嗎？

1．A認為選甲袋好，因為里面的球比較少，容易取到黑球；

2．B認為選乙袋好，因為里面的球比較多，成功的機會也比較大。3．C則認為都一樣，因為只摸一次，誰也無法預測會取出什么顏色的球．

幸運抽獎：老師手上有兩組撲克，一組有7張，其中兩張A，另一組16 張，其中四張A，現在老師抽一名同學上來選擇一組抽一張，抽到A獲獎。

小試身手

在分別寫有1到20的20張小卡片中，隨機地抽出1張卡片.試求以下事件的概率.（1）該卡片上的數字是5的倍數；（2）該卡片上的數字不是5的倍數；

（3）該卡片上的數字是素數；（4）該卡片上的數字不是素數.學生上黑板書寫，糾正學生的不規(guī)范書寫

注意關注所有機會均等的結果和所需要關注的事件個數 試一試

1、任意翻一下2005年日歷，翻出1月6日的概率為________;翻出4月31日的概率為___________。翻出2號的概率為___________。

2、擲一枚普通正六面體骰子，求出下列事件出現的概率：（1）點數是3；（2）點數大于4；（3）點數小于5；（4）點數小于7；（5）點數大于6；（6）點數為5或3．

3、李琳的媽媽在李琳上學時總是叮嚀她：“注意，別被來往的車輛碰著”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300萬人口，每天的交通事故只有幾十件，事件發(fā)生的可能性太小，概率為0?！蹦阏J為她的想法對不對？

4、小強和小麗都想去看電影，但只有一張電影票，你能用手中的撲克牌為他們設計一個公平游戲決定誰去看電影嗎？（方法多種多樣，讓學生自己分析）

以上兩題組織學生討論

幸運笑臉：有一個幸運翻板，參與同學回答老師一個問題，答對可以獲得一次翻板機會，20個板塊中有5個后面試笑臉，翻到笑臉可獲得獎品。（是否公平，為下節(jié)課埋個伏筆）

五、小 結

1． 要清楚所有等可能結果； ．要清楚我們所關注的是發(fā)生哪個或哪些結果； 3 ． 概率的計算公式：

六、布置作業(yè)

教學反思：

用樣本估計總體(1)知識技能目標

1.進一步體會隨機抽樣是了解總體情況的一種重要的數學方法,抽樣是它的一個關鍵； 2.根據統(tǒng)計結果作出合理的判斷和預測，體會統(tǒng)計對決策的作用，能比較清晰地表達自己的觀點，并進行交流．

重點和難點

通過隨機抽樣選取樣本，繪制頻數分布直方圖、計算樣本平均數和標準差并與總體的頻數分布直方圖、平均數和標準差進行比較，得出結論．

教學過程

一、創(chuàng)設情境

有這么一個笑話：媽媽讓一個傻兒子去買一盒火柴，走的時候特別囑咐這個傻兒子：“寶貝，買火柴的時候要注意買好火柴，就是一劃就著的火柴，別買那劃不著的火柴啊．”傻兒子答應了媽媽，就去買火柴了．回來的時候，他興高采烈地喊：“媽媽，媽媽，火柴買回來了，我已經把每一根火柴都劃過了，根根都是一劃就著的好火柴！” 這雖然是一個笑話，但告訴了我們抽樣的必要性． 再請看下面的例子：

要估計一個湖里有多少條魚，總不能把所有的魚都撈上來，再去數一數，但是可以捕撈一部分作樣本，把魚作上標記，然后放回湖中，過一段時間后，等帶有標記的魚完全混入魚群后，然后再捕撈一網作第二個樣本，并計算出在這個樣本中，帶標記的魚的數目，根據帶標記的魚所占的第二個樣本的比例就可以估計出湖中有多少條魚．

在剛才講的笑話中，傻兒子其實只要抽取一盒火柴中的一部分來考察火柴是否一劃就著就可以了．

二、探究歸納

像這樣，抽取一部分作為樣本進行考查，用樣本的特性去估計總體的相應特性，就是用樣本估計總體．為了更好地學習本節(jié)知識，我們來回顧一下：什么是平均數、總體平均數、樣本平均數、方差、標準差？

平均數：一般地，如果有幾個數X1、X2、、X3、??、Xn，那么x?1(x1?x2?x3???xn)，n叫做這幾個數的平均數．

總體平均數：總體中所有個體的平均數叫做總體平均數． 樣本平均數：樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數．

方差：對于一組數據，在某些情況下，我們不僅要了解它們的平均水平，還要了解它們波動的大小（即偏離平均數的大?。@就是方差．

s2?1(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2 n??標準差：方差的算術平方根．

s?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2? ?n?

三、例題解析

讓我們仍以上一節(jié)300名學生的考試成績?yōu)槔?，考察一下抽樣調查的結果是否可靠．

假設總體是某年級300名學生的考試成績，它們已經按照學號順序排列如下（每行有20個數據）：

如圖1所示，根據已知數據，我們容易得到總體的頻數分布直方圖、平均成績和標準差．

總體的平均成績?yōu)?8.1分，標準差為10.8分

圖1 用簡單隨機抽樣方法，得到第一個樣本，如5個隨機數是111，254，167，94，276，這5個學號對應的成績依次是80，86，66，91，67，圖2是這個樣本的頻數分布直方圖、平均成績和標準差．重復上述步驟，再取第二和第三個樣本．

第一個樣本的平均成績?yōu)?8分，標準差為10.1分

圖2 圖3是根據小明取到的第二和第三個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第二個樣本的平均成績?yōu)?4.2分，標準差為3.8分

第三個樣本的平均成績?yōu)?0.8分，標準差為6.5分

圖3 思考 圖2、3與圖1相像嗎？平均數以及標準差與總體的接近嗎？

發(fā)現 不同樣本的平均成績和標準差往往差異較大．原因可能是因為樣本太?。?/p>

用大一些的樣本試一試，繼續(xù)用簡單隨機抽樣方法，選取兩個含有10名學生的樣本，圖4是根據小明取到的兩個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第一個樣本的平均成績?yōu)?9.7分，標準差為9.4分

第二個樣本的平均成績?yōu)?3.3分，標準差為11.5分

圖4 發(fā)現 此時不同樣本的平均成績和標準差似乎比較接近總體的平均成績78.1分和標準差10.8分．

猜想 用大一些的樣本來估計總體會比較可靠一點．

讓我們用更大一些的樣本試一試，這次每個樣本含有40個個體．圖5是根據小明取到的兩個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第一個樣本的平均成績?yōu)?5.7分，標準差為10.2分

第二個樣本的平均成績?yōu)?7.1分，標準差為10.7分

圖4 發(fā)現 圖4中樣本的平均成績和標準差與總體的平均成績和標準差的差距更小了． 結論 樣本大更容易認識總體的真面目． 下面請同學們也用自己的抽樣數據分析一下．

四、交流反思

隨著樣本容量的增加，由樣本得出的平均數、標準差會更接近總體的平均數、標準差． 樣本大更容易認識總體的真面目．因此，可以通過選取恰當的樣本來估計總體．

五、檢測反饋

1．某校50名學生的體重記錄如下（按學號順序從小到大排列）（單位：kg）

試用簡單的隨機抽樣的方法，分別抽取5個、15個、30個體重的樣本各兩個并計算樣本平均數和標準差．把它們與總體平均數和標準差作比較，看哪個樣本的平均數和方差較為接近．

2．某校九年級(1)班45名學生數學成績如下（單位：分）

(1)請你用簡單的隨機抽樣方法選取2個樣本容量為10的樣本，2個樣本容量為20的樣本，2個樣本容量為30的樣本，并將你選取的各樣本的數據和相應的樣本的平均數和標準差填入下表（精確到0.1）

(2)求出九年級(1)班45名學生數學的平均成績和標準差．分別將表格中不同樣本容量的平均數、標準差與總體的平均數、標準差進行比較，從比較中你發(fā)現些什么？

六：教學反思：

第五篇：概率教案

一、授課題目

1.4等可能概型（古典概型）

二、目的要求

教學目的：（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）會用枚舉法求解簡單的古典概型問題；

教學要求：要求學生熟練掌握等可能概率, 會計算古典概率

三、重點、難點

教學重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率；

教學難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。

四、授課內容

等可能概型

1．基本事件：在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次試驗中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件；

3．古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型

①所有的基本事件只有有限個；

②每個基本事件的發(fā)生都是等可能的； 具有以上兩個特點的試驗是大量存在的，這種試驗稱為等可能概型（古典概型）。計算公式：

若事件A包含k個基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪?∪{eik},這里i1,i2,?ik是1,2，?，n中某k個不同的數，則有

P?A??kn?A包含的基本事件數

S包含的基本事件數例題1：將一枚硬幣拋擲3次。（1）設事件A1為“恰有一次出現正面”，求P（A1）（2）事件A2為“至少有一次出現正面”，求P（A2）。解：（1）我們考慮樣本空間：

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.而A1={HTT,THT,TTH}.S2中包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，故由古典概率的計算公式可得 P（A1）=

（2）由于A2={TTT},于是 P(A2)=1-P(A2)=1-=

當樣本空間的元素較多時，我們一般不再將S中的元素一一列出，而只需分別求出S中與A中包含的元素的個數（即基本事件的個數），再由公式求出A的概率。

例題2：一個口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機的取一只，第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，這種取球方式叫做放回抽樣。試分別就上面的情況求（1）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解：放回抽樣的情況。

以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的的兩只球中至少有一只是白球”。易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即時A∪B，而C=B.在袋中依次取兩只球，每一種取法為一個基本事件，顯然此時樣本空間中僅包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發(fā)生的可能性相同，由此可計算出事件的概率。

每一次從袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取。由組合法的乘法原理，共有6×6種取法，即樣本空間中元素總數為6×6。對于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4×4個元素。同理B中包含2×2個元素。于是

4?44 P（A）= =

6?69

P(B)=

2?21= 6?69

由于AB=?，得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(C)=P(B)=1-P(B)=

9例題3：將一個骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數。

問：⑴兩數之和是3的倍數的結果有多少種？ 兩數之和是3的倍數的概率是多少？

⑵兩數之和不低于10的結果有多少種？ 兩數之和不低于10的的概率是多少？

分析：建立模型，畫出可能出現結果的點數和表

解：由表可知，等可能的基本事件的總數是36種

(1)設“兩次向上點數之和是3的倍數”為事件A，事件A的結果有12種，故121P(A)??

363(2)設“兩次向上點數之和不低于10”為事件B，事件B的結果有6種，故61P(B)??

366思考：對于此題，我們還能得到哪些相關結論呢? 變式一：總數之和是質數的概率是多少？

變式二：點數之和是多少時，概率最大且概率是多少？

變式三：如果拋擲三次，問拋擲三次的點數都是偶數的概率，以及拋擲三次得點數之和等于16的概率分別是多少？

例題4：一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球

(1)共有多少個基本事件？

(2)求摸出的兩個球都是紅球的概率；(3)求摸出的兩個球都是黃球的概率；(4)求摸出的兩個球一紅一黃的概率。

分析：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分別對紅球編號為1、2、3、4、5號，對黃球編號6、7、8號，從中任取兩球，有

如下等可能基本事件，枚舉如

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）

（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）

（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）

（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）

（5，6）、（5，7）、（5，8）

（6，7）、（6，8）

（7，8）

共有28個等可能基本事件

（2）上述28個基本事件中只有10個基本事件是摸到兩個紅球（記為事件A）的事件

m105?? n2814(3)設“摸出的兩個球都是黃球”為事件B，事件B包含的基本事件有3個，m3故P(B)??

n28(4)設“摸出的兩個球是一紅一黃”為事件C，事件C包含的基本事件有15m15個，故P(C)??

n28故 P(A)?思考：通過對摸球問題的探討，你能總結出求古典概型概率的方法和步驟嗎？

五、授課小結

1.學生反映古典概率比較難求。2．古典概型、等可能事件的概念；

六、布置作業(yè)

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