第一篇：概率試題

08~09（1）試題（2008.12.24）

一、填空（每題5分，共5題）

1、已知袋中有1個(gè)藍(lán)球、2個(gè)紅球、3個(gè)黑球、4個(gè)白球，從中不返回的取球，一次一個(gè)。則第一、二次都是紅球的概率是。

2、已知三個(gè)隨機(jī)變量?,?,?中，E??E??1,E???1,D??D??D??1,????????????0。令???????，則E??；D??

3、已知?服從參數(shù)為?的泊松分布，且E??E?2?3，則??

4、已知?~N?1,4?，??1,?,?4?是其樣本，則P?1?（計(jì)算到可查表為止）。

5、作5次獨(dú)立試驗(yàn)，且P?A???1，已知5次中事件A至少有1次不發(fā)生，則A發(fā)生3次的概率為

31?i?1,2,3?。用?表1?i

二、計(jì)算（每題8分，共5題）

1、一實(shí)習(xí)生用同一臺(tái)機(jī)器制造3個(gè)同種零件，第i個(gè)零件是不合格品的概率為pi?

示3個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)，求?的概率分布率。

2、已知??,??的聯(lián)合密度函數(shù)為f?x,y????8xy,0?y?x?1，試求?的邊緣密度函數(shù)。其他?0,3、某人打靶，得10分的概率為0.3，得9分的概率為0.4，得8分的概率為0.3?，F(xiàn)射擊100次，求總分多于900的概率（計(jì)算到可查表為止）。

4、已知?1,?,?n?m是取自總體N0,?2的容量為n?m的樣本，設(shè) ??

?1??i，??Cmi?n?1n?m??i?1n?m

i?n?1n2i???i??。

2已知?服從F?n1,n2?。求C以及n1?n2。

5、自動(dòng)包裝機(jī)裝包的每包重量服從正態(tài)分布N?,?2。據(jù)以往資料，??2.4，現(xiàn)在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間使用后，隨機(jī)的抽查9包，觀察得?100,s?3，在顯著性水平??0.05下，問(wèn)方差有無(wú)顯著差異。

三、（15分）

已知?,?相互獨(dú)立，且?為?0,3?上的均勻分布，?服從參數(shù)??0的指數(shù)分布。已知D??????1。

1、求??,??的聯(lián)合密度函數(shù)f?x,y?；

2、P?????；

3、求?????的密度函數(shù)f??z?。

四、（16分）

設(shè)總體?~N0,?2，?2有限且大于0，??1,?,?n?是其樣本，S2是樣本方差。????

?2；

2、上一問(wèn)中的??2與S2哪個(gè)更有效？

1、求?2的極大似然估計(jì)?

3、設(shè)?n??1,?,?n?是未知參數(shù)?的一個(gè)估計(jì)量，若對(duì)任意的??0，有l(wèi)imPn?????1，則我們稱(chēng)?nn????

?2是?2的一致估計(jì)。是?的一致估計(jì)量。試用切比雪夫不等式證明：?

五、（4分）

假設(shè)對(duì)于隨機(jī)變量?,?，有E??E??0,D??D??1,????22，試證明Emax?,??1.5。2??

08~09（2）試題（2009.6.22）

一、填空（共4題，每題4分）

1、若P?A??0.6,P?A?B??0.8，且A,B相互獨(dú)立，則P?

2、已知?~B?N,p?，且E??3,D??1.5，則N?，p?

3、連續(xù)扔n次硬幣，以?,?分別表示正面和反面的次數(shù)，則???,???

4、已知隨機(jī)變量?是服從?0,1?的均勻分布，??0.1，則?的?分位數(shù)等于

二、選擇（共4題，每題4分）??

x?0?0,?

1、已知?的分布函數(shù)F??x???0.5,。0?x?1，則?的取值為（）

?1??e??x?1?,x?1?

(A)???0,0.5?；(B)??0.5；(C)???0.5,1?；(D)???0,0.5?；(E)???0.5,1?。

2、在假設(shè)檢驗(yàn)中，若樣本容量保持不變，則當(dāng)發(fā)生第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率變小時(shí)，發(fā)生第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率將（）。

(A)不變；(B)變大；(C)變??；(D)無(wú)法確定。

3、已知?~N?1,1?,?~N?1,4?，a?0我常數(shù)，且P??a?0.5。則P??2a?（）。

(A)0.25；(B)0.5；(C)0.75；(D)1。

4、有如下四個(gè)命題：

⑴ 若T~t?n?，則T2~F?1,n?；⑵ 若?~N?0,1?，則a??b~Na?b,a2?b2； ⑶ 若?~N?0,1?,?~N?0,1?，則?2??2~?2?2?；⑷ 若?~N?0,1?,?~N?0,1?，則?/~t?1?。則以上命題正確的是（）。

(A)僅⑴、⑵；(B)僅⑴、⑶；(C)僅⑴、⑶、⑷；(D)全對(duì)；(E)(A)(B)(C)(D)都不對(duì)。

三、（10分）袋中有a個(gè)白球、b個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)抽取一球，看顏色后放回，再放入r個(gè)相同顏色的球，這是第一步。重復(fù)上面的步驟。求第二次取出白球的概率、以及第二次取到白球第三次取到黑球的概率。?????

?a1?x2?y2,x2?y2?

1四、（10分）已知??,??的聯(lián)合密度函數(shù)為：f?x,y???，0,其他?

試求a及?的邊緣密度函數(shù)。

五、（10分）已知某種產(chǎn)品的次品率為1%，隨機(jī)抽取10000件這種產(chǎn)品。令事件A?{次品數(shù)介于91~109}。請(qǐng)用切比雪夫不等式估計(jì)P?A?、并用中心極限定理計(jì)算P?A?（計(jì)算到可查表為止）。

六、（8分）一種元件要求其使用壽命不低于1000小時(shí)?，F(xiàn)從某批元件中抽取25件，測(cè)得其平均壽命為950小時(shí)。已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為100的正態(tài)分布。試在顯著水平??0.01下確定這批元件是否合格？（提示：檢驗(yàn)假設(shè)H1:??1000）

七、（15分）在長(zhǎng)為1的線段上隨機(jī)的任取兩點(diǎn)，設(shè)為?1,?2。

2?0有實(shí)根的概率。⑴ 求?1??2的密度函數(shù)；⑵ 求E1??2；⑶ 求x2?2?1x??2????

?1??x???/?,x???e

八、（15分）設(shè)總體?的密度函數(shù)為f?x????，其中??0,??R。??1,?,?n?是其樣本，?其他?0,?x1,?,xn?是其觀察值。

?；⑵ 求?,?極大似然估計(jì)量??；⑶ 求E??m,E??L。?m,??L,?⑴ 求?,?的矩估計(jì)量?mL

第二篇：概率教案

概率的預(yù)測(cè)

一、教學(xué)目標(biāo)

掌握通過(guò)邏輯分析用計(jì)算的方法預(yù)測(cè)概率，知道概率的預(yù)測(cè)，概率的頻率含義，所有事件發(fā)生的概率和為1；經(jīng)歷各種疑問(wèn)的解決，體驗(yàn)如何預(yù)測(cè)一類(lèi)事件發(fā)生的概率，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力；

二、重點(diǎn)：通過(guò)邏輯分析用計(jì)算的辦法預(yù)測(cè)概率

三、難點(diǎn)：要能夠看清所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，并能指出其中你所關(guān)注的結(jié)果

四、教學(xué)方法：講練結(jié)合法

五、教學(xué)器具：多媒體、撲克

六、教學(xué)過(guò)程

（一）關(guān)注我們身邊的事：

1）如果天氣預(yù)報(bào)說(shuō)：“明日降水的概率是95%，那么你會(huì)帶雨具嗎？” 2）有兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)足球，甲廠產(chǎn)品的次品率為0.001，乙廠產(chǎn)品的次品率是0.01． 若兩廠的產(chǎn)品在價(jià)格等其他方面的條件都相同，你愿意買(mǎi)哪個(gè)廠的產(chǎn)品？

上述事例告訴我們知道了一件事情發(fā)生的概率對(duì)我們工作和生活有很大的指導(dǎo)作用.（二）熱身運(yùn)動(dòng)：

我們?nèi)?）班有21位同學(xué)，其中女同學(xué)11名，老師今天早上正好看見(jiàn)我們班一位同學(xué)在操場(chǎng)鍛煉身體，問(wèn)：我遇到男同學(xué)的機(jī)會(huì)大，還是女同學(xué)的機(jī)會(huì)大？

遇見(jiàn)男生的概率大還是女生的概率大？我們需要做實(shí)驗(yàn)嗎？我們能否去預(yù)測(cè)？

復(fù)習(xí)上節(jié)課概率的計(jì)算方法

（三）熱點(diǎn)探討：

問(wèn)題 2006年10月6日，經(jīng)過(guò)三年的建設(shè),由世界建筑大師貝聿銘老先生設(shè)計(jì)的蘇州市博物館新館在百萬(wàn)蘇州市民的熱切期盼中正式開(kāi)館.為了讓大家能一睹這一被貝老喻為“最親愛(ài)的小女兒”的方容，老師準(zhǔn)備帶一部分同學(xué)去參觀蘇博新館，那么帶哪些同學(xué)去呢？老師準(zhǔn)備這么做： 在我們班里有女同學(xué)11人，男同學(xué)10人。先讓每位同學(xué)都在一張小紙條上寫(xiě)上自己的名字，放入一個(gè)盒中攪勻。如果老師閉上眼睛從中隨便的取出一張紙條，想請(qǐng)被抽到的同學(xué)等會(huì)上講臺(tái)和老師一起去參觀，這個(gè)方法公平嗎?那么抽到男同學(xué)名字的概率大還是抽到女同學(xué)的概率大？

分析 全班21個(gè)學(xué)生名字被抽到的機(jī)會(huì)是均等的．

11解

P（抽到女同學(xué)名字）=，2110

P（抽到男同學(xué)名字）=，所以抽到女同學(xué)名字的概率大． 請(qǐng)思考以下幾個(gè)問(wèn)題：，表示什么意思？ 21如果抽一張紙條很多次的時(shí)候，平均21次就能抽到11次女同學(xué)的名字。

2、P(抽到女同學(xué)名字)+P(抽到男同學(xué)名字)=100%嗎？

如果改變男、女生的人數(shù)，這個(gè)關(guān)系還成立嗎？ 請(qǐng)學(xué)生回答

所有等可能事件發(fā)生的概率之和是1

1、抽到女同學(xué)名字的概率是

四、你能中獎(jiǎng)嗎：

1.一商場(chǎng)搞活動(dòng)促銷(xiāo)，規(guī)定購(gòu)物滿(mǎn)一百元可以抽一次獎(jiǎng)，規(guī)則如下，在一只口袋中放著8只紅球和16只黑球，抽到紅球即獲獎(jiǎng)，這兩種球除了顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別．袋中的球已經(jīng)攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球與紅球的概率分別是多少？

162解 P（取出黑球）＝=, 2

431 P（取出紅球）＝1－P（取出黑球）＝，321所以，取出黑球的概率是，取出紅球的概率是． 想一想：

33如果商場(chǎng)換成以下的抽獎(jiǎng)方案：甲袋中放著20只紅球和8只黑球，乙袋中則放著20只紅球、15只黑球和10只白球，這三種球除了顏色以外沒(méi)有任何區(qū)別．兩袋中的球都已經(jīng)各自攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球才能獲獎(jiǎng)，你選哪個(gè)口袋成功的機(jī)會(huì)大呢？

解題過(guò)程見(jiàn)課件

下面三位同學(xué)的說(shuō)法，你覺(jué)得這些同學(xué)說(shuō)的有道理嗎？

1．A認(rèn)為選甲袋好，因?yàn)槔锩娴那虮容^少，容易取到黑球；

2．B認(rèn)為選乙袋好，因?yàn)槔锩娴那虮容^多，成功的機(jī)會(huì)也比較大。3．C則認(rèn)為都一樣，因?yàn)橹幻淮?，誰(shuí)也無(wú)法預(yù)測(cè)會(huì)取出什么顏色的球．

幸運(yùn)抽獎(jiǎng)：老師手上有兩組撲克，一組有7張，其中兩張A，另一組16 張，其中四張A，現(xiàn)在老師抽一名同學(xué)上來(lái)選擇一組抽一張，抽到A獲獎(jiǎng)。

小試身手

在分別寫(xiě)有1到20的20張小卡片中，隨機(jī)地抽出1張卡片.試求以下事件的概率.（1）該卡片上的數(shù)字是5的倍數(shù)；（2）該卡片上的數(shù)字不是5的倍數(shù)；

（3）該卡片上的數(shù)字是素?cái)?shù)；（4）該卡片上的數(shù)字不是素?cái)?shù).學(xué)生上黑板書(shū)寫(xiě)，糾正學(xué)生的不規(guī)范書(shū)寫(xiě)

注意關(guān)注所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果和所需要關(guān)注的事件個(gè)數(shù) 試一試

1、任意翻一下2005年日歷，翻出1月6日的概率為_(kāi)_______;翻出4月31日的概率為_(kāi)__________。翻出2號(hào)的概率為_(kāi)__________。

2、擲一枚普通正六面體骰子，求出下列事件出現(xiàn)的概率：（1）點(diǎn)數(shù)是3；（2）點(diǎn)數(shù)大于4；（3）點(diǎn)數(shù)小于5；（4）點(diǎn)數(shù)小于7；（5）點(diǎn)數(shù)大于6；（6）點(diǎn)數(shù)為5或3．

3、李琳的媽媽在李琳上學(xué)時(shí)總是叮嚀她：“注意，別被來(lái)往的車(chē)輛碰著”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300萬(wàn)人口，每天的交通事故只有幾十件，事件發(fā)生的可能性太小，概率為0?！蹦阏J(rèn)為她的想法對(duì)不對(duì)？

4、小強(qiáng)和小麗都想去看電影，但只有一張電影票，你能用手中的撲克牌為他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)公平游戲決定誰(shuí)去看電影嗎？（方法多種多樣，讓學(xué)生自己分析）

以上兩題組織學(xué)生討論

幸運(yùn)笑臉：有一個(gè)幸運(yùn)翻板，參與同學(xué)回答老師一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)可以獲得一次翻板機(jī)會(huì)，20個(gè)板塊中有5個(gè)后面試笑臉，翻到笑臉可獲得獎(jiǎng)品。（是否公平，為下節(jié)課埋個(gè)伏筆）

五、小 結(jié)

1． 要清楚所有等可能結(jié)果； ．要清楚我們所關(guān)注的是發(fā)生哪個(gè)或哪些結(jié)果； 3 ． 概率的計(jì)算公式：

六、布置作業(yè)

教學(xué)反思：

用樣本估計(jì)總體(1)知識(shí)技能目標(biāo)

1.進(jìn)一步體會(huì)隨機(jī)抽樣是了解總體情況的一種重要的數(shù)學(xué)方法,抽樣是它的一個(gè)關(guān)鍵； 2.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出合理的判斷和預(yù)測(cè)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能比較清晰地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，并進(jìn)行交流．

重點(diǎn)和難點(diǎn)

通過(guò)隨機(jī)抽樣選取樣本，繪制頻數(shù)分布直方圖、計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差并與總體的頻數(shù)分布直方圖、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，得出結(jié)論．

教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)情境

有這么一個(gè)笑話：媽媽讓一個(gè)傻兒子去買(mǎi)一盒火柴，走的時(shí)候特別囑咐這個(gè)傻兒子：“寶貝，買(mǎi)火柴的時(shí)候要注意買(mǎi)好火柴，就是一劃就著的火柴，別買(mǎi)那劃不著的火柴啊．”傻兒子答應(yīng)了媽媽?zhuān)腿ベI(mǎi)火柴了．回來(lái)的時(shí)候，他興高采烈地喊：“媽媽?zhuān)瑡寢專(zhuān)鸩褓I(mǎi)回來(lái)了，我已經(jīng)把每一根火柴都劃過(guò)了，根根都是一劃就著的好火柴！” 這雖然是一個(gè)笑話，但告訴了我們抽樣的必要性． 再請(qǐng)看下面的例子：

要估計(jì)一個(gè)湖里有多少條魚(yú)，總不能把所有的魚(yú)都撈上來(lái)，再去數(shù)一數(shù)，但是可以捕撈一部分作樣本，把魚(yú)作上標(biāo)記，然后放回湖中，過(guò)一段時(shí)間后，等帶有標(biāo)記的魚(yú)完全混入魚(yú)群后，然后再捕撈一網(wǎng)作第二個(gè)樣本，并計(jì)算出在這個(gè)樣本中，帶標(biāo)記的魚(yú)的數(shù)目，根據(jù)帶標(biāo)記的魚(yú)所占的第二個(gè)樣本的比例就可以估計(jì)出湖中有多少條魚(yú)．

在剛才講的笑話中，傻兒子其實(shí)只要抽取一盒火柴中的一部分來(lái)考察火柴是否一劃就著就可以了．

二、探究歸納

像這樣，抽取一部分作為樣本進(jìn)行考查，用樣本的特性去估計(jì)總體的相應(yīng)特性，就是用樣本估計(jì)總體．為了更好地學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，我們來(lái)回顧一下：什么是平均數(shù)、總體平均數(shù)、樣本平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差？

平均數(shù)：一般地，如果有幾個(gè)數(shù)X1、X2、、X3、??、Xn，那么x?1(x1?x2?x3???xn)，n叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)．

總體平均數(shù)：總體中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)． 樣本平均數(shù)：樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)．

方差：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，在某些情況下，我們不僅要了解它們的平均水平，還要了解它們波動(dòng)的大?。雌x平均數(shù)的大?。@就是方差．

s2?1(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2 n??標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根．

s?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2? ?n?

三、例題解析

讓我們?nèi)砸陨弦还?jié)300名學(xué)生的考試成績(jī)?yōu)槔疾煲幌鲁闃诱{(diào)查的結(jié)果是否可靠．

假設(shè)總體是某年級(jí)300名學(xué)生的考試成績(jī)，它們已經(jīng)按照學(xué)號(hào)順序排列如下（每行有20個(gè)數(shù)據(jù)）：

如圖1所示，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，我們?nèi)菀椎玫娇傮w的頻數(shù)分布直方圖、平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差．

總體的平均成績(jī)?yōu)?8.1分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.8分

圖1 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，得到第一個(gè)樣本，如5個(gè)隨機(jī)數(shù)是111，254，167，94，276，這5個(gè)學(xué)號(hào)對(duì)應(yīng)的成績(jī)依次是80，86，66，91，67，圖2是這個(gè)樣本的頻數(shù)分布直方圖、平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差．重復(fù)上述步驟，再取第二和第三個(gè)樣本．

第一個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?8分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.1分

圖2 圖3是根據(jù)小明取到的第二和第三個(gè)樣本數(shù)據(jù)得到的頻數(shù)分布直方圖．

第二個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?4.2分，標(biāo)準(zhǔn)差為3.8分

第三個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?0.8分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.5分

圖3 思考 圖2、3與圖1相像嗎？平均數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)差與總體的接近嗎？

發(fā)現(xiàn) 不同樣本的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差往往差異較大．原因可能是因?yàn)闃颖咎。?/p>

用大一些的樣本試一試，繼續(xù)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，選取兩個(gè)含有10名學(xué)生的樣本，圖4是根據(jù)小明取到的兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)得到的頻數(shù)分布直方圖．

第一個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?9.7分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.4分

第二個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?3.3分，標(biāo)準(zhǔn)差為11.5分

圖4 發(fā)現(xiàn) 此時(shí)不同樣本的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差似乎比較接近總體的平均成績(jī)78.1分和標(biāo)準(zhǔn)差10.8分．

猜想 用大一些的樣本來(lái)估計(jì)總體會(huì)比較可靠一點(diǎn)．

讓我們用更大一些的樣本試一試，這次每個(gè)樣本含有40個(gè)個(gè)體．圖5是根據(jù)小明取到的兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)得到的頻數(shù)分布直方圖．

第一個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?5.7分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.2分

第二個(gè)樣本的平均成績(jī)?yōu)?7.1分，標(biāo)準(zhǔn)差為10.7分

圖4 發(fā)現(xiàn) 圖4中樣本的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差與總體的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差的差距更小了． 結(jié)論 樣本大更容易認(rèn)識(shí)總體的真面目． 下面請(qǐng)同學(xué)們也用自己的抽樣數(shù)據(jù)分析一下．

四、交流反思

隨著樣本容量的增加，由樣本得出的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差會(huì)更接近總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差． 樣本大更容易認(rèn)識(shí)總體的真面目．因此，可以通過(guò)選取恰當(dāng)?shù)臉颖緛?lái)估計(jì)總體．

五、檢測(cè)反饋

1．某校50名學(xué)生的體重記錄如下（按學(xué)號(hào)順序從小到大排列）（單位：kg）

試用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取5個(gè)、15個(gè)、30個(gè)體重的樣本各兩個(gè)并計(jì)算樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差．把它們與總體平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差作比較，看哪個(gè)樣本的平均數(shù)和方差較為接近．

2．某校九年級(jí)(1)班45名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

(1)請(qǐng)你用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣方法選取2個(gè)樣本容量為10的樣本，2個(gè)樣本容量為20的樣本，2個(gè)樣本容量為30的樣本，并將你選取的各樣本的數(shù)據(jù)和相應(yīng)的樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差填入下表（精確到0.1）

(2)求出九年級(jí)(1)班45名學(xué)生數(shù)學(xué)的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差．分別將表格中不同樣本容量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，從比較中你發(fā)現(xiàn)些什么？

六：教學(xué)反思：

第三篇：概率教案

一、授課題目

1.4等可能概型（古典概型）

二、目的要求

教學(xué)目的：（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）會(huì)用枚舉法求解簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題；

教學(xué)要求：要求學(xué)生熟練掌握等可能概率, 會(huì)計(jì)算古典概率

三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率；

教學(xué)難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型，分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。

四、授課內(nèi)容

等可能概型

1．基本事件：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)基本結(jié)果稱(chēng)為基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱(chēng)這些基本事件為等可能基本事件；

3．古典概型：滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱(chēng)為古典概型

①所有的基本事件只有有限個(gè)；

②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的； 具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)是大量存在的，這種試驗(yàn)稱(chēng)為等可能概型（古典概型）。計(jì)算公式：

若事件A包含k個(gè)基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪?∪{eik},這里i1,i2,?ik是1,2，?，n中某k個(gè)不同的數(shù)，則有

P?A??kn?A包含的基本事件數(shù)

S包含的基本事件數(shù)例題1：將一枚硬幣拋擲3次。（1）設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P（A1）（2）事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求P（A2）。解：（1）我們考慮樣本空間：

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.而A1={HTT,THT,TTH}.S2中包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱(chēng)性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，故由古典概率的計(jì)算公式可得 P（A1）=

（2）由于A2={TTT},于是 P(A2)=1-P(A2)=1-=

當(dāng)樣本空間的元素較多時(shí)，我們一般不再將S中的元素一一列出，而只需分別求出S中與A中包含的元素的個(gè)數(shù)（即基本事件的個(gè)數(shù)），再由公式求出A的概率。

例題2：一個(gè)口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只，第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，這種取球方式叫做放回抽樣。試分別就上面的情況求（1）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解：放回抽樣的情況。

以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的的兩只球中至少有一只是白球”。易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即時(shí)A∪B，而C=B.在袋中依次取兩只球，每一種取法為一個(gè)基本事件，顯然此時(shí)樣本空間中僅包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱(chēng)性知每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，由此可計(jì)算出事件的概率。

每一次從袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取。由組合法的乘法原理，共有6×6種取法，即樣本空間中元素總數(shù)為6×6。對(duì)于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4×4個(gè)元素。同理B中包含2×2個(gè)元素。于是

4?44 P（A）= =

6?69

P(B)=

2?21= 6?69

由于AB=?，得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(C)=P(B)=1-P(B)=

9例題3：將一個(gè)骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)。

問(wèn)：⑴兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？ 兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？

⑵兩數(shù)之和不低于10的結(jié)果有多少種？ 兩數(shù)之和不低于10的的概率是多少？

分析：建立模型，畫(huà)出可能出現(xiàn)結(jié)果的點(diǎn)數(shù)和表

解：由表可知，等可能的基本事件的總數(shù)是36種

(1)設(shè)“兩次向上點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事件A，事件A的結(jié)果有12種，故121P(A)??

363(2)設(shè)“兩次向上點(diǎn)數(shù)之和不低于10”為事件B，事件B的結(jié)果有6種，故61P(B)??

366思考：對(duì)于此題，我們還能得到哪些相關(guān)結(jié)論呢? 變式一：總數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的概率是多少？

變式二：點(diǎn)數(shù)之和是多少時(shí)，概率最大且概率是多少？

變式三：如果拋擲三次，問(wèn)拋擲三次的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)的概率，以及拋擲三次得點(diǎn)數(shù)之和等于16的概率分別是多少？

例題4：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黃球，從中一次摸出兩個(gè)球

(1)共有多少個(gè)基本事件？

(2)求摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率；(3)求摸出的兩個(gè)球都是黃球的概率；(4)求摸出的兩個(gè)球一紅一黃的概率。

分析：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分別對(duì)紅球編號(hào)為1、2、3、4、5號(hào)，對(duì)黃球編號(hào)6、7、8號(hào)，從中任取兩球，有

如下等可能基本事件，枚舉如

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）

（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）

（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）

（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）

（5，6）、（5，7）、（5，8）

（6，7）、（6，8）

（7，8）

共有28個(gè)等可能基本事件

（2）上述28個(gè)基本事件中只有10個(gè)基本事件是摸到兩個(gè)紅球（記為事件A）的事件

m105?? n2814(3)設(shè)“摸出的兩個(gè)球都是黃球”為事件B，事件B包含的基本事件有3個(gè)，m3故P(B)??

n28(4)設(shè)“摸出的兩個(gè)球是一紅一黃”為事件C，事件C包含的基本事件有15m15個(gè)，故P(C)??

n28故 P(A)?思考：通過(guò)對(duì)摸球問(wèn)題的探討，你能總結(jié)出求古典概型概率的方法和步驟嗎？

五、授課小結(jié)

1.學(xué)生反映古典概率比較難求。2．古典概型、等可能事件的概念；

六、布置作業(yè)

Page26習(xí)題19

第四篇：概率復(fù)習(xí)

第一章、概率論的基本概念

考點(diǎn)：

事件的關(guān)系及運(yùn)算，概率的公理化定義及其性質(zhì)，古典概型，條件概率的定義及貝葉斯公式，n重伯努利

試驗(yàn)及二項(xiàng)概率公式。

參考：例1.4、例1.6、例1.26、習(xí)題一28

第二章、隨機(jī)變量

考點(diǎn)：

隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，概率分布（密度）及兩者的性質(zhì)，分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，三大離散分布的定義及記號(hào)以及相關(guān)計(jì)算，三大連續(xù)分布的定義及記號(hào)以及相關(guān)計(jì)算。

參考：例3.1、例3.15、習(xí)題三1

3第三章，隨機(jī)向量

考點(diǎn)：

二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，邊緣分布，條件分布，獨(dú)立的充要條件，二維離散型隨機(jī)變量的函

數(shù)。

參考：例3.1、例3.15、習(xí)題三1

3第四章，隨機(jī)變量的數(shù)字特征

考點(diǎn)：

均值、方差的定義及其性質(zhì)，六大常見(jiàn)分布的均值及方差、計(jì)算過(guò)程。

參考：習(xí)題四1、5。

第五章，大數(shù)定律與中心極限定理

考點(diǎn)：

獨(dú)立同分布中心極限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

參考：例5.4、例5.6、第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

考點(diǎn)：

簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的定義，常用統(tǒng)計(jì)量，三大統(tǒng)計(jì)分布定義及其性質(zhì)和相關(guān)計(jì)算（上?分位點(diǎn)），正態(tài)總體抽樣分布定理。

本部分主要考查對(duì)概念及性質(zhì)的理解。特別注意：

若E(X)??,D(X)??2,則E(Xi)??,D(Xi)??

2第七章 參數(shù)估計(jì)

考點(diǎn)：

矩估計(jì)法，極大似然估計(jì)法，估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)（無(wú)偏性及有效性），正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)。參考：例7.6、例7.8、例7.9、例7.12

第五篇：概率小結(jié)

理科第二學(xué)段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)報(bào)告

概率全章小結(jié)

班級(jí)：

姓名

評(píng)定：

【引語(yǔ)】

總結(jié)應(yīng)做到“瞻前顧后”。一份認(rèn)真的總結(jié)，應(yīng)是對(duì)自己充分認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上的行動(dòng)綱領(lǐng)的設(shè)計(jì)，應(yīng)是避免盲目樂(lè)觀或自暴自棄的有效方法，應(yīng)是過(guò)程的記錄，從過(guò)程的開(kāi)始階段就已著手處理，應(yīng)是復(fù)習(xí)過(guò)程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)。總結(jié)內(nèi)容分以下幾個(gè)部分：

一．知識(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

二．重點(diǎn)知識(shí)梳理與注意事項(xiàng) 三．全章課程實(shí)錄

在此只需寫(xiě)出: 每次課的序號(hào);(如第幾次課)課上所講問(wèn)題，習(xí)題(習(xí)題或問(wèn)題的解答不用抄寫(xiě));強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)問(wèn)題，知識(shí)，方法.四．典型例題解析 五．典型錯(cuò)例分析

六．復(fù)習(xí)方法、效率總結(jié)

七．上階段注意事項(xiàng)修正情況(本內(nèi)容在本章小結(jié)中不寫(xiě))八．下階段注意事項(xiàng)

【注意】

請(qǐng)大家認(rèn)真為自己做事并珍惜自己的勞動(dòng)成果。

【正文】

3.1 事件與概率 3.2 古典概型

3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.4 概率的應(yīng)用

3.1 事件與概率

必然現(xiàn)象：一定條件下必然發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。

隨即現(xiàn)象的特點(diǎn)：當(dāng)在相同的條件下多次觀察同一現(xiàn)象，每次觀察到的結(jié)果不一定相同，事

先很難預(yù)料。-不可能事件：該結(jié)果始終不會(huì)發(fā)生。必然事件：每次實(shí)驗(yàn)中一定會(huì)發(fā)生。

隨機(jī)事件：在實(shí)驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果。

隨機(jī)事件一般簡(jiǎn)稱(chēng)為事件。

-基本事件：實(shí)驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件。

所有基本事件構(gòu)成的集合-->基本事件空間

概率的統(tǒng)計(jì)定義：一般地，在n次重復(fù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率m/n，當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著n的增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).頻率&概率：用頻率估計(jì)概率。

概率的理解：概率，又稱(chēng)或然率、機(jī)會(huì)率或機(jī)率、可能性，是數(shù)學(xué)概率論的基本概念，是一個(gè)在0到1之間的實(shí)數(shù)，是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的度量。人們常說(shuō)某人有百分之多少的把握能通過(guò)這次考試，某件事發(fā)生的可能性是多少，這都是概率的實(shí)例。但如果一件事情發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發(fā)生該事件，而是指此事件發(fā)生的頻率接近于1/n這個(gè)數(shù)值。

* 降水概率70%的理解

概率的古典定義

如果一個(gè)試驗(yàn)滿(mǎn)足兩條：

（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)基本結(jié)果

（2）試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果出現(xiàn)的可能性是一樣的。

這樣的試驗(yàn)，成為古典試驗(yàn)。對(duì)于古典試驗(yàn)中的事件A，它的概率定義為：P(A)=m/n，n表示該試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的總數(shù)目。m表示事件A包含的試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù)。這種定義概率的方法稱(chēng)為概率的古典定義。

概率的幾何概型

簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型。

比如：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到中述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)。這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等。用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型.特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.計(jì)算公式:

一般地,在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn),記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為：

P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)/ 實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)

這里要指出:D的測(cè)度不能為0,其中“測(cè)度”的意義依D確定.當(dāng)D分別為線段,平面圖形,立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別為長(zhǎng)度,面積,體積等.#實(shí)例：1）投針求圓周率 >隨機(jī)數(shù)

概率的一般加法公式： 設(shè)AB是Ω的兩個(gè)事件，P(AUB)=A中基本事件個(gè)數(shù)+B中基本事件個(gè)數(shù)-A∩B中基本事件的個(gè)數(shù)/Ω的基本事件總數(shù)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

* 對(duì)于兩個(gè)互為對(duì)立事件的A,B 則有：

P(B)=1-P(A)

概率例題

1.In how many distinguishable ways can the seven letters in the word MINIMUM be arranged, if all the letters are used each time? 答案：420 【詳解】

7個(gè)字母總的排列是: 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 需要剔除M、I重復(fù)的排列: 1/(2!*3!)=1/12 所以 結(jié)果為5040* 1/12=420

2.What is the probability of getting at least three heads when flipping four coins? 答案：5/16 【詳解】

Sample space：1/2*1/2*1/2*1/2=1/16 [思路1]

[思路2] At least three heads=至少三次頭朝上=3次頭朝上1次頭朝下+4次頭都朝上 分別計(jì)算“3次頭朝上1次頭朝下”“4次頭都朝上”，求和得結(jié)果。

例題解析：

1、兩個(gè)事件互斥是兩個(gè)事件對(duì)立的（）條件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要

D.既不充分也不必要

答案：B

入選原因：該題所強(qiáng)調(diào)的概念需要牢記！

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是（1/2）

入選原因：分清每一個(gè)時(shí)間與其他事件是否有聯(lián)系，如該題中的事件就為一獨(dú)立事件，與前998次所拋擲結(jié)果無(wú)關(guān)。

3.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A=“三件產(chǎn)品全不是次品”，B=“三件產(chǎn)品全是次品”，C=“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與C互斥

B.B與C互斥

C.任何兩個(gè)均互斥

D.任何兩個(gè)均不互斥

答案：B

入選原因：概率的題里有許多“不全是”“全不是”之類(lèi)的超級(jí)容易混淆的東西……所以看題時(shí)仔細(xì)?。?/p>

4.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè)，其質(zhì)量小于4.8g的概率為0.3，質(zhì)量小于4.85g的概率為0.32，那么質(zhì)量在[4.8，4.85](g)范圍內(nèi)的概率是（）A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

答案：C

入選原因：大多數(shù)時(shí)候兩個(gè)事件的概率都不能相加減，但是如果一個(gè)A事件完全包含在另一個(gè)B事件中，那么后者的概率減去前者的概率就為A事件在B事件中的補(bǔ)集發(fā)生的概率。

5.從甲、乙、丙、丁4人中選3人當(dāng)代表，則甲被選中的概率是(3/4)

入選原因：有時(shí)，有些題目可能正著想會(huì)十分復(fù)雜，但如果倒著想便十分簡(jiǎn)單，例如該題，如果算甲被選中肯定不如算甲未被選中簡(jiǎn)單。又因?yàn)榧妆贿x中與未被選中是對(duì)立事件，概率和為1，所以甲被選中的概率為1-1/4=3/4

6.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是（1/2）

入選原因：該類(lèi)題也有一個(gè)投機(jī)取巧的方法……由于第一次取出兩類(lèi)球等概，取出后又放回了，使第二次取球也等概，所以可以忽略第一取出的是什么顏色得球，直接想第二次取出球的顏色即可?！痉椒ㄍ茝V】其實(shí)就算第一二次都不等概也沒(méi)有關(guān)系，只要兩次取球的情景相同（即紅白球比例未變,假如是x：n）則怎么算取出兩個(gè)相同顏色的概率都是x^2+n^2/(x+n)^2

7.對(duì)某種產(chǎn)品的5件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行檢測(cè)，直到區(qū)分出所有次品為止.若所有次品恰好經(jīng)過(guò)五次檢測(cè)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的檢測(cè)方法有（）

A．20種

B．96種

C．480種

D．600種

答案：D

解析：能五次檢測(cè)出所有次品的情況大致分兩類(lèi)。A：檢驗(yàn)了5個(gè)正品 B：檢驗(yàn)了1正4次

A的檢測(cè)方法總數(shù)：5！

B的檢測(cè)方法總數(shù)：5*4*4?。ㄓ形宸N從正品中選一個(gè)的情況，正品有4個(gè)位臵可選擇被檢測(cè)出，正品不能最后一個(gè)被檢測(cè)出，否則僅需4次便可檢測(cè)出所有次品，4個(gè)不同次品的檢測(cè)順序是4?。?/p>

8、甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率。

入選原因：唯一一道幾何概型的題目，不過(guò)集合概型的題目都差異不大，主要就是看能不能想出題目對(duì)應(yīng)的幾何模型了。

答案：建立XY坐標(biāo)系，將甲到達(dá)時(shí)間設(shè)定為X 乙到達(dá)時(shí)間設(shè)定為Y，畫(huà)出一條X-15=Y及X+15=Y的直線，然后大家肯定都會(huì)做了就不詳細(xì)說(shuō)了……（畫(huà)不出圖T^T)

概率方法整體總結(jié)：做題前首先要看清題目，分辨清很多易混淆詞匯，然后要搞清所求事件是否為獨(dú)立事件，或者它與誰(shuí)為對(duì)立事件，這樣有助于題目的求解，接著思考是否有能轉(zhuǎn)變題目所問(wèn)的方法，有時(shí)求另一個(gè)東西然后再推出題目所求遠(yuǎn)比直接求解題目要便利的多。最后就是認(rèn)真計(jì)算，分清排列的組合，想清是否要考慮順序。

概率這方面的題目難度并不特別大，主要就是靠認(rèn)真= =！

【臨終吐槽】這分明就是小學(xué)奧數(shù)里的排列組合啊……………………

附注：合作人 郭靜茹！