第一篇：湖北省襄陽市第四十七中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《8.2 消元——二元一次方程組的解法》導(dǎo)學(xué)案

《8.2 消元——二元一次方程組的解法》導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

學(xué)生積極思考、互相討論，經(jīng)歷探索事物之間的數(shù)量關(guān)系，形成方程模型。

二、閱讀感知

1.閱讀下列問題及其解法，回答有關(guān)問題：

（1）已知方程組??ax?by?4?x?2的解為?求2a?3b的值.ax?by?2y?1??析解：欲求2a?3b的值，最常見的方法是先求a、b的值，因此，應(yīng)設(shè)法先列出關(guān)于a、b的方程組.把??x?2代入方程組，可得關(guān)于a、b的方程組：_________________，解這個(gè)?y?1方程組得_________，所以2a?3b＝___________.（2）已知|x?2y?3|與(x?y)互為相反數(shù)，求x、y的值.析解：求字母值的一般方法是列方程（組），因此，設(shè)法將已知條件轉(zhuǎn)化為方程（組）.因?yàn)榛橄喾磾?shù)的和等于0，所以可得x、y之間的相等關(guān)系式|x?2y?3|＋(x?y)＝0.又|x?2y?3|與(x?y)都是非負(fù)數(shù)，故由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0），得|x?2y?3|＝0，且(x?y)＝0，從而可得方程組：__________________.解得x＝__________，y＝_________.（3）已知方程組?2222?x?y?2?k?x?y?2k?1①②的解滿足3x?y?6，求k的值.析解：欲求k的值，應(yīng)設(shè)法列出關(guān)于k所應(yīng)滿足的方程（組），再解之，由已知方程組k?1?x??3(k?1)3?3k?2解得?，然后把x、y的值代入3x?y?6，得 ??6，解得k＝2；

22?y?3?3k??2這是常規(guī)的解法，其思路是消去x、y，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的關(guān)系式后解之.根據(jù)這一思路，我們?nèi)裟苤苯訌姆匠探M中構(gòu)造出3x?y的關(guān)系式，則可以避開解方程組的麻煩.①＋②×2，得___________________，代入3x?y?6，得關(guān)于k的方程_______________,解之，得k＝___________.三、合作探究

?x?1探究1：已知?是方程ax?y?3的解，則a的取值是（）

y?2?

（A）5（B）－5（C）2（D）1 探究2： 若|m?2|?(n?1)?0, 則m?2n的值為（）

（A）－4（B）－1（C）0（D）4 探究3：已知代數(shù)式

21a?13xy與?3x?by2a?b是同類項(xiàng)，求a、b的值.2探究4：驢子和騾子一同走，它們馱著不同的袋數(shù)的貨物，每袋貨物都是一樣重的.驢子抱怨負(fù)擔(dān)太重，騾子說：“你抱怨干嗎？如果你給我一袋，那我所負(fù)擔(dān)的就是你的兩倍；如果我給你一袋，我們才恰好馱一樣多！”那么驢子和騾子原來所馱貨物分別為多少袋？

四、達(dá)標(biāo)測試（我鞏固，我提高）

1.若x?3,y?2滿足方程ax?2y?1?0，則a的值等于_________.2.已知關(guān)于x、y的方程3xa?b?2y2a?b?4?1是二元一次方程，求a、b的值.3.如果關(guān)于x、y的方程組??x?2y?3a?1的解滿足x?y?3，求a的值.?x?y?5 ?x?y?34.已知方程組?的解也是方程x?y?1的一個(gè)解，則m的值是（）

mx?3?5?（A）1（B）2（C）3（D）4 5.已知??x?1?x?0和?都是方程ax?2y?b的解，則a?b的值等于（）

?y?0?y?2（A）2（B）4（C）6（D）8 6.讀詩詞（通過列方程組，算出周瑜去時(shí)的年齡）：

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù).十位恰小個(gè)位三，個(gè)位六倍與壽符，哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？

4.如果3x2n?1ym與?5xmy3是同類項(xiàng)，則m和n的值是（）

（A）3的－2（B）－3和2（C）3和2（D）－3和－2

五、反思感悟

二元一次方程組解決字母系數(shù)問題最常見的方法，其一般思路是根據(jù)概念含義中的相等關(guān)系列出方程（組）.

第二篇：8.2 消元——二元一次方程組的解法導(dǎo)學(xué)案

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）第八章二元一次方程組 8.2 消元——二元一次方程組的解法（3）

教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)點(diǎn)：

列二元一次方程在解應(yīng)用題（加減消元法）重點(diǎn)：

1、會(huì)用加減消元法解二元一次方程組，并掌握加減法解二元一次方程組的步驟；

2、理解加減消元法解二元一次方程組的過程，領(lǐng)會(huì)消元法所體現(xiàn)的“化未知為已知”的思想方法；

難點(diǎn)：運(yùn)用加減法解相同未知數(shù)的系數(shù)不成整數(shù)倍的二元一次方程組； 預(yù)習(xí)與檢測

（1）若a=b，則a±c____b±c，這是利用了______________（2）若a=b，c=d，則a±c____b±d這是利用了______________ 合作探究 探究一：

解方程組?x?y?221????2x?y?40?2? 解：（2）-（1），得

x=____ 把x=_____代入（1），得

2×18+y=40 解得：y=_____ 所以原方程組的解是?x?____??y?____

思考：（1）用（2）-（1）后，消去了未知數(shù)____，那么用（1）-（2）也可以達(dá)到這樣的目的嗎？

（2）加減消元法：________________________________________________ 探究二：

觀察方程組?3x?4y?16??5x?6y?33

（1）根據(jù)方程組中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，能直接用加減法求解嗎?(2)若要求未知數(shù)x的系數(shù)相同，兩個(gè)方程應(yīng)分別作怎樣變化？若要求未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，又怎么辦？

（3）求出方程組的解 探究三：

2臺(tái)大收割機(jī)和5臺(tái)小收割機(jī)均工作2小時(shí)共收割小麥3.6公頃，3臺(tái)大收割機(jī)和2臺(tái)小收割機(jī)均工作5小時(shí)共收割小麥8公頃。1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥多少公頃？

問題一：題目中存在的等量關(guān)系：

_________________________ ________________________

問題二：若設(shè)1臺(tái)大收割機(jī)和1臺(tái)小收割機(jī)每小時(shí)各收割小麥x公頃和y公頃，那么2臺(tái) 大收割機(jī)和5臺(tái)小收割機(jī)均工作1小時(shí)共收割小麥______________公頃，3臺(tái)大收割機(jī)和2臺(tái)小收割機(jī)均工作1小時(shí)共收割小麥________________公頃。問題三：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，可列方程組為：

___________________________

問題四：解上面的方程組，解為________________

拓展與提升

?2x?3y?5?（1）要使方程組?4x-2y?1中未知數(shù)

x的系數(shù)相同，你的方法是_______________；要

使y的系數(shù)互為相反數(shù)，你的方法是________________。

?2x?3y?a?（2）已知方程組?4x?3y?a?4的解

x與y的和是2，則a=________________。

（3）若方程3x-13y=10的解也是x-3y=2的解，則x=______,y=_________。（4）已知a、b的值同時(shí)滿足方程a+2b=8和2a+b=7，則a+b=_________。

（5）若二元一次方程2x+y=3，3x-y=2和2x-my=－1有公共解，則m的值為（）A、－2

B、－1

C、3

D、4 達(dá)標(biāo)測試

（1）運(yùn)輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車皮與15輛汽車；運(yùn)輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車皮與10輛汽車，每節(jié)火車皮與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M：

?2x?14y?3?x?y?7

（1）??3?2?2

（2）???23 ??3(2x?1)?2(4y?3)?5?x??3?y4??1課堂反思：

第三篇：8.2 消元──二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計(jì)

“8.2 消元──二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要：“目標(biāo)引領(lǐng)，問題設(shè)計(jì)，學(xué)案教學(xué)”是在“基于問題設(shè)計(jì)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究”中探索出的一種模式。在這種模式下的教學(xué)設(shè)計(jì)是教師在認(rèn)真研讀教材、深刻理解教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)情，靈活地整合、重組教學(xué)內(nèi)容，制定恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)，編制科學(xué)的、讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)、敏于思考、敢于分享的學(xué)案，并在課堂上以問題為主線展開教學(xué)。問題如何設(shè)計(jì)、如何恰時(shí)恰點(diǎn)地提出、如何用好該問題，則是一節(jié)課成敗的關(guān)鍵。該教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處在于最初的問題是由學(xué)生自己提出的，學(xué)生自然會(huì)以很高的興致去嘗試解決，從而積極主動(dòng)認(rèn)真地完成一節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)。

關(guān)鍵詞：提出問題；解決問題；消元思想；體味文化

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)“8.2 消元──二元一次方程組的解法”。

內(nèi)容解析

現(xiàn)實(shí)生活中存在大量問題涉及多個(gè)未知數(shù)，其中許多問題中的數(shù)量關(guān)系是一次（也稱線性）的，而方程組則是解決這些問題的有力工具.學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了解簡易方程，在七年級(jí)上學(xué)期系統(tǒng)學(xué)習(xí)了解一元一次方程。解二元一次方程組的教學(xué)是在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上對(duì)方程的進(jìn)一步研究和學(xué)習(xí)“元增多”(一元→二元)，而到九年級(jí)將解決“次增高”（一次→二次）。

本節(jié)教學(xué)的核心是“消元”，從討論解方程組的需要出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的基本策略的角度（轉(zhuǎn)化思想：多元（新問題）→一元（舊問題）），實(shí)現(xiàn)問題的解決.這里的轉(zhuǎn)化亦即消元化歸思想，認(rèn)知策略是逐步減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，以使方程組化歸為一元方程，即先解出一個(gè)未知數(shù)，然后逐步解出其他未知數(shù).這對(duì)學(xué)生的能力提升以及后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要.在這種思想的指導(dǎo)下，結(jié)合學(xué)生對(duì)同一個(gè)問題的不同解方法對(duì)照，發(fā)現(xiàn)用代入的方法能夠?qū)崿F(xiàn)消元，不僅對(duì)消元思想的理解由抽象到具體，而且找出了解二元一次方程組的一種基本方法──代入消元法.教學(xué)重點(diǎn)

解決問題的一般思路：轉(zhuǎn)化（化繁為簡，化難為易，化新為舊）；對(duì)消元化歸思想的初步理解；用代入法解二元一次方程組.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）經(jīng)歷由實(shí)際問題抽象為方程組的過程，讓學(xué)生體會(huì)其中蘊(yùn)含的符號(hào)化、模型化的思想，進(jìn)一步了解建模思想.數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的，學(xué)生對(duì)思想方法的理解和掌握是循序漸進(jìn)的.在一元一次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)建模思想有了初步的了解，通過本節(jié)的教學(xué)，學(xué)生能更進(jìn)一步地理解和體會(huì)這一思想，為本章第3節(jié)“實(shí)際問題與二元一次方程組”的順利學(xué)習(xí)及分析問題、解決問題能力的提高奠定基礎(chǔ).（2）通過對(duì)不同解題思路及方法的對(duì)照、比較，發(fā)現(xiàn)二元到一元的轉(zhuǎn)化，理解消元思想的內(nèi)涵.數(shù)學(xué)教學(xué)承載著啟迪學(xué)生智慧的重任，智慧的啟迪源自學(xué)生對(duì)問題的主動(dòng)探究（如觀察、注意、思維、想象、記憶等），繼而使問題得以解決.這一目標(biāo)旨在消除部分學(xué)生對(duì)消元化歸思想的模糊認(rèn)識(shí)，真正理解消元思想，使學(xué)生能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，激活思維，學(xué)會(huì)思考.（3）經(jīng)歷二元到一元的轉(zhuǎn)化過程，理解代入消元的本質(zhì)；通過對(duì)代入法解二元一次方程組過程的提煉、歸納、整理，掌握這一方法的基本解題過程并會(huì)靈活應(yīng)用.對(duì)本節(jié)的教學(xué)不能僅停留在具體題目的具體解題過程上，而應(yīng)不斷加深學(xué)生對(duì)思想方法的領(lǐng)悟，讓學(xué)生從思想方法的高度認(rèn)識(shí)、理解所學(xué)內(nèi)容。這樣，我們和學(xué)生分享的才是能活學(xué)活用、能解決問題、真正意義上的知識(shí)，而非“死”知識(shí).（4）讓學(xué)生閱讀一次方程組的古今表示及解法，使學(xué)生了解一些有關(guān)數(shù)學(xué)史的知識(shí)，感受我國古代數(shù)學(xué)的光輝成就.數(shù)學(xué)的應(yīng)用不是數(shù)學(xué)價(jià)值的全部體現(xiàn).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決問題的能力，更承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的責(zé)任.這就要求我們的課堂教學(xué)在傳播知識(shí)的同時(shí)傳播文化.三、教學(xué)問題診斷分析

數(shù)學(xué)思想方法是具體的數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)一個(gè)人的影響往往要大于具體的數(shù)學(xué)知識(shí).在本章教材中，實(shí)際問題情境貫穿全章，本節(jié)對(duì)方程組解法的討論也是在解實(shí)際問題的過程中進(jìn)行的，因此建模的數(shù)學(xué)思想（方程思想）在這里得以充分體現(xiàn)。盡管在教學(xué)中教師會(huì)有意識(shí)地進(jìn)行滲透、明確，但學(xué)生對(duì)這一思想的理解和體會(huì)也許并不會(huì)深刻.或許，他們依舊不會(huì)有意識(shí)地、主動(dòng)地在這種數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下對(duì)問題進(jìn)行分析，必將導(dǎo)致分析問題的盲目性，就會(huì)不可避免地走彎路.用代入消元法解二元一次方程如果僅停留在模仿、生搬硬套的水平上的話，方法本身并不難，經(jīng)過大量題組的機(jī)械訓(xùn)練，相信絕大部分學(xué)生都能掌握這個(gè)方法，但對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展、學(xué)習(xí)能力的提高毫無益處.以后在其他的問題情境中遇到需要代入或消元的方法時(shí)，學(xué)生會(huì)感到茫然、束手無策.因此，本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，尤其是對(duì)用代入的方法實(shí)現(xiàn)消元的主動(dòng)理解.突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是給學(xué)生充足的思考、探索、交流的時(shí)間，讓他們的思維自然流淌，使消元“水到渠成”，從而“悟”出消元的必然.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）情景導(dǎo)課

背景材料：老師在我們學(xué)校代三個(gè)班的數(shù)學(xué)，所教學(xué)生共143人.問題1：你能提出什么數(shù)學(xué)問題？如何解決？ 學(xué)生可能提出的問題：

（1）每個(gè)班有多少個(gè)學(xué)生？

（2）男生、女生各多少個(gè)？ …… 針對(duì)問題（2），增加條件：男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)的3倍少14人.學(xué)生活動(dòng)：解決問題；展示方法.教師點(diǎn)撥：（1）用建模思想引領(lǐng)思維，實(shí)際問題－數(shù)學(xué)問題.（2）一元一次方程會(huì)解但難列，因?yàn)橐C合考慮問題中的各種等量關(guān)系；二元一次方程組易列，因?yàn)榭梢苑謩e考慮兩個(gè)等量關(guān)系，但不會(huì)解。從而產(chǎn)生了新問題。方程組對(duì)于解含多個(gè)未知數(shù)的問題很有效，它的優(yōu)越性會(huì)隨著問題中未知數(shù)的增加而體現(xiàn)得更加明顯 【設(shè)計(jì)意圖】（1）由于是借班上課，以此形式開課既能創(chuàng)造輕松的氛圍、拉近師生之間的距離，又可以巧妙引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.（2）問題是學(xué)生自己提出的，因此他們解決這個(gè)問題的積極性更高，思維更開闊，各種方法的出現(xiàn)便會(huì)成為必然.（3）讓學(xué)生體會(huì)到方程組在解決實(shí)際問題中的優(yōu)越性.（二）解決問題

問題2：怎么解二元一次方程組呢？ 追問：為什么要這樣做？依據(jù)是什么？ 你的解題思路是什么？

你的解題方法的名稱是什么？為什么可以這樣歸納？（學(xué)生思考、交流.）

教師明確：轉(zhuǎn)化思想──新問題轉(zhuǎn)化成舊問題； 消元思想──將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決.（學(xué)生展示自己的方法.）

師生交流，達(dá)成共識(shí)，明確思路：變形—代入—求解—寫解。教師規(guī)范解題過程，進(jìn)而形成概念：

代入消元法──把二元一次方程組中的一個(gè)方程變形成用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.【設(shè)計(jì)意圖】我們一直強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生“知其然，而且要知其所以然”.但學(xué)生往往停留在對(duì)知識(shí)或方法的表層理解的水平上，究其原因，還是沒有形成較強(qiáng)的問題意識(shí)，不習(xí)慣于多問個(gè)“為什么是這樣的”、“這樣做的依據(jù)是什么”等問題.因此，教學(xué)應(yīng)不失時(shí)機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的問題意識(shí).在問題的引導(dǎo)下，鼓勵(lì)學(xué)生投入到活動(dòng)中，并留給學(xué)生足夠的獨(dú)立思考和自主探索的時(shí)間和空間，從而讓學(xué)生積極、主動(dòng)地思考，隨著思維的自然流淌，“順勢”自然地理解消元思想，解決問題的思路逐漸清晰.通過探索實(shí)踐，體驗(yàn)知識(shí)方法的形成過程，發(fā)現(xiàn)代入消元法的由來及過程，真正體會(huì)消元思想.練習(xí)1 你能把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式嗎？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。

【設(shè)計(jì)意圖】變形其實(shí)是解含字母系數(shù)的方程，是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，這個(gè)問題的設(shè)置是為代入法做準(zhǔn)備.練習(xí)2 解方程組

【設(shè)計(jì)意圖】這一環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生趁熱打鐵——熟悉自己發(fā)現(xiàn)的方法。通過學(xué)生板書、學(xué)生批閱對(duì)錯(cuò)、教師規(guī)范，不僅可以讓學(xué)生明確代入消元法解方程組的一般過程，再次規(guī)范解題的步驟.總結(jié)：用代入法解二元一次方程組的一般步驟。

【設(shè)計(jì)意圖】我們不應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生對(duì)某一方法的死記硬背，但必要的歸納、提煉、反思，能讓學(xué)生體會(huì)解方程組過程中的程序化思想，能幫助學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法有清晰的認(rèn)識(shí)，尤其是對(duì)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生.（三）鞏固拓展

A組：必做題

B組：選做題

【設(shè)計(jì)意圖】理解了思路，明確了方法，還要通過一定量的練習(xí)才能切實(shí)掌握方法，融會(huì)貫通，領(lǐng)悟思路，啟迪智慧，靈活應(yīng)用.另外，上課時(shí)可以請(qǐng)兩名學(xué)生選擇同一道題目進(jìn)行板演，主要是對(duì)比代入的字母不同，簡易程度也不同。同時(shí)應(yīng)指出，在方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為±1時(shí)，應(yīng)用代入法求解起來很簡便，如果不是，就比較麻煩，所以在“變形”這一步中，要注意觀察，同時(shí)為后面的加減法的學(xué)習(xí)做了伏筆。

（四）反思提高

這節(jié)課，我學(xué)到的知識(shí)方法、思想有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

這節(jié)課，讓我頗受啟發(fā)的是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.這節(jié)課，我的收獲還有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.這節(jié)課，讓我感到難理解是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.【設(shè)計(jì)意圖】我們的教學(xué)不僅僅是和學(xué)生分享知識(shí)和方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提高他們的學(xué)習(xí)能力，而勤于總結(jié)、善于反思則是能力提高的快車道.（五）體味文化

學(xué)生把自己搜集到的關(guān)于我國古代解方程組的資料互相交流 【設(shè)計(jì)意圖】教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面得到提高，還要關(guān)注數(shù)學(xué)文化的傳承，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶.五、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)

1.把下列方程寫成用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)的形式。(1)3x-y=4；

(2)-2x+y+3=0；

(3)2x+3y=4。2.解下列方程組。(1)

(2)（3）

如何上好方程組解法的第一課

──對(duì)兩節(jié)“消元──二元一次方程組的解法”課的思考

湖北省荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王用華

摘 要：如何在轉(zhuǎn)化、消元等思想方法的引領(lǐng)下上好方程組解法的第一課，是一個(gè)值得深入研究的問題?，F(xiàn)結(jié)合同課異構(gòu)的兩個(gè)課例，從“情景引入”、“解法探究”，“技能訓(xùn)練”、“小結(jié)反思”等四個(gè)方面進(jìn)行研究與探討，認(rèn)為在課堂中，應(yīng)把基本的數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)、技能融于一體，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)、技能的同時(shí)，也悟到一定的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).關(guān)鍵詞：二元一次方程組；解法；轉(zhuǎn)化；消元

“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”課題組第六次課題研討會(huì)于今年四月中旬在江蘇南通召開，課題會(huì)上，北京五中分校的曹老師和山西陽泉十九中的翟老師就“消元——二元一次方程組的解法”這一內(nèi)容以同課異構(gòu)的方式各上了一節(jié)研究課，兩位老師對(duì)該課不同的教學(xué)設(shè)計(jì)與處理引發(fā)了我們對(duì)“如何上好方程組解法第一課”的思考，并形成本文，與同行們商榷.一、關(guān)于新課導(dǎo)入

課例A

師：在上一節(jié)課，我們研究了一個(gè)與籃球賽有關(guān)的應(yīng)用問題，還記得嗎？

（學(xué)生未作回答。）師：在那一節(jié)課，我們列出了一個(gè)二元一次方程組（板書方程組），并通過對(duì)這一問題的研究，學(xué)習(xí)了什么叫二元一次方程組及二元一次方程組解的定義.大家列方程組解應(yīng)用題，最關(guān)注的是什么？會(huì)解這個(gè)二元一次方程組嗎？

（學(xué)生未作回答。）

師：在探究一個(gè)新問題之前，大家先想一想，我們有沒有學(xué)過與之相關(guān)聯(lián)的知識(shí)？

生1：學(xué)過解一元一次方程.師：解一元一次方程的依據(jù)是什么？

生2：等式性質(zhì).師：這一節(jié)課我們就來共同探究一下，能不能運(yùn)用等式性質(zhì)和一元一次方程的相關(guān)知識(shí)解決今天新的問題——二元一次方程組（板書課題）.??

課例B

媒體先播放引言：在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中，提出問題的藝術(shù)比解答問題的藝術(shù)更為重要.──德國數(shù)學(xué)家 康托爾

師：得知我到這個(gè)地方來上課，我的學(xué)生特意讓我?guī)硭麄儗?duì)你們的問候。

媒體同時(shí)播放背景材料：老師在我們學(xué)校帶3個(gè)班的數(shù)學(xué)，所教學(xué)生共143人.師：就這個(gè)背景，你能提出哪些問題？

生1：平均每班人數(shù)為多少？ 生2：男生和女生人數(shù)分別為多少？

師：問題提得好不好？想不想知道問題的答案？想知道就需要老師增加條件.媒體接著播放增加的條件：男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)的3倍少14.師：如何解決這個(gè)問題？

隨后，教師與學(xué)生開始共同探討問題及求解方法（未出示課題）.??

良好的開端是成功的一半.如何在上課伊始將學(xué)生的“心”、“思”緊緊抓住，讓他們?nèi)硇?、主?dòng)地參與到數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中來？這需要我們對(duì)課堂的引入做精心的設(shè)計(jì).從兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)看，課例A以問題串為紐帶，通過師生對(duì)話，以期實(shí)現(xiàn)以舊引新.課例B欲通過創(chuàng)設(shè)問題情境，創(chuàng)造輕松氛圍，拉近師生距離，同時(shí)引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.但從具體實(shí)施效果看，都不夠理想.引入和情境創(chuàng)設(shè)的方法較多，無論采用哪種方式和手段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，都必須基于所授課的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生具體的學(xué)情.同時(shí)，作為課堂教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，還必須做到簡明扼要、緊扣主題.作為方程組解法的第一課，我們欣賞并提倡使用教材精心編排的引入，以章頭圖所涉問題為背景，從討論解方程組的需要出發(fā)，通過對(duì)比、類比，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的基本策略的角度先歸納出“將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決”的消元思想，然后在這種思想指導(dǎo)下從具體到抽象，從特殊到一般地認(rèn)識(shí)代入消元法.這樣做，開門見山、直奔主題、重點(diǎn)突出、切中要害，學(xué)生很快就能將注意力集中在教學(xué)內(nèi)容最本質(zhì)、最核心、最重要的問題上來.二、關(guān)于解法探究

課例A

學(xué)生自主探究方程組（5分鐘后。）的解法（教師不加任何解釋和引導(dǎo)）.生1：由②－①，得x=18。把x=18代入①，得y=4.生2：由①得：x=22－y③，將③代入②得：y=4，??，x=18.接下來，師生共同探討并學(xué)習(xí)解二元一次方程組的兩種方法——代入消元法、加減消元法.??

課例B

師：怎樣解二元一次方程組？

配合教師的問題，媒體播放“問題2：怎么解二元一次方程組呢？”以及“追問：為什么要這樣做？依據(jù)是什么？你的解題思路是什么？你的解法的名稱是什么？為什么可以這樣歸納？”

（學(xué)生思考、交流.）生1：由①得，代入②，得，??

生2：我有不同意見，先把②式算出來x=143－y，然后代入①得3(143－y)－2y=14，?? 然后，師生依照“問題2”展開對(duì)代入消元法的探討與學(xué)習(xí).??

課例A，先充分放手，讓學(xué)生自主探究方程組的解法，待學(xué)生找到了二元一次方程組的兩種解法──代入消元法、加減消元法后，同時(shí)對(duì)這兩種解法展開學(xué)習(xí).課例B先出示引導(dǎo)性問題，再組織學(xué)生探究解決這些問題，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)代入消元法.在方程組解法的起始課上，同時(shí)呈現(xiàn)兩種解法并加以學(xué)習(xí)，這一做法我們?cè)谝粩?shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班中做過嘗試，但效果欠佳.這樣處理是否妥當(dāng)，還有待于進(jìn)一步探討與研究.課例B的解法探究，由于所提供問題情景中方程組的數(shù)據(jù)偏大，且計(jì)算稍顯復(fù)雜（就剛接觸方程組解法的學(xué)生而言），給學(xué)生的認(rèn)知與探究帶來了一定的障礙（如生

1、生2變形后均未能及時(shí)求出對(duì)應(yīng)未知數(shù)的值），從而影響了解法探究的順暢進(jìn)行，導(dǎo)致整個(gè)解法探究不夠自主與不夠徹底等現(xiàn)象的出現(xiàn).代入消元法與加減消元法都屬于解二元一次方程組最基本的方法，但加減消元法的求解過程中包含有大量“代入”的過程，同時(shí)，代入消元法與加減消元法的“實(shí)施程序”基本相同，因此，先學(xué)好代入消元法將有助于學(xué)生認(rèn)知的同化，并對(duì)加減消元法的學(xué)習(xí)與掌握產(chǎn)生有力的推動(dòng)作用.因此，我們主張方程組解法的第一課，應(yīng)先進(jìn)行代入消元法的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生切實(shí)掌握代入消元法.同時(shí)，在解法學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)力求做到以下三點(diǎn).（1）自主.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是自己去發(fā)現(xiàn)”.另外，根據(jù)本章所涉內(nèi)容的特點(diǎn)，在本章內(nèi)容的呈現(xiàn)和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上，教材編寫者也有意加強(qiáng)了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究性.就本節(jié)課而言，其內(nèi)容與設(shè)計(jì)的目的是讓學(xué)生確定解題方向，找到一個(gè)在本階段有能力解決問題的方法，來解二元一次方程組.而在二元一次方程組的求解過程中，讓學(xué)生感到困難的地方是：有兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù).怎樣才能把難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)？如果能夠把兩個(gè)未知數(shù)變成一個(gè)未知數(shù)，即成為一元一次方程，問題將迎刃而解.而通過比較二元一次方程組和一元一次方程，學(xué)生可以找到兩者間的聯(lián)系，由此自然聯(lián)想到將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，并在此基礎(chǔ)上找到消去一個(gè)未知數(shù)的方法：用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù).進(jìn)而展開對(duì)代入消元法更深入的學(xué)習(xí).“目標(biāo)發(fā)現(xiàn)”—“遇困”—“問題解決”，這是一個(gè)自主學(xué)習(xí)的“好”過程，只要教師引導(dǎo)、組織、合作得當(dāng)，學(xué)生將在此過程中自主、自然地感受消元思想，流暢、徹底地掌握代入消元法.（2）深刻

在學(xué)生已有的認(rèn)知和發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)代入消元法的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生切實(shí)掌握用代入消元法解二元一次方程組的全過程.以方程組為例.在學(xué)生了解了代入消元法后，必須思考并處理好以下6個(gè)問題：

①這個(gè)二元一次方程組如何轉(zhuǎn)化為一元一次方程？怎么轉(zhuǎn)化較簡便？

②哪個(gè)未知數(shù)的值可以先求出來？從哪里求？問題解完了嗎？

③另一個(gè)未知數(shù)的值如何求？

④可以把方程x=22－y代回x＋y=22求解嗎？為什么？

⑤先求出的一個(gè)未知數(shù)的值可以代回到方程x＋y=22或2x＋y=40中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值嗎？

⑥你能談?wù)劥胂ń舛淮畏匠探M的一般過程與步驟嗎？

以上問題的有效處理，將是消元、轉(zhuǎn)化思想的進(jìn)一步滲透，同時(shí)也是代入消元法學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步深刻.（3）優(yōu)化.“變形—消元—求解—回代—寫解”是代入消元法解二元一次方程組的一般過程.其中，在變形的過程中，選擇哪一個(gè)方程變形較為方便？在回代的過程中，選擇哪一個(gè)方程回代計(jì)算較簡便？如何使整個(gè)方程組的求解更為順暢、準(zhǔn)確、便捷？思考、解決好這些問題，幫助學(xué)生實(shí)施認(rèn)知的進(jìn)一步“協(xié)調(diào)”與“精致”，是學(xué)生解法學(xué)習(xí)與掌握的又一次飛躍.同時(shí)，在運(yùn)算中尋找最佳途徑，將復(fù)雜問題簡單化，這種優(yōu)化思想的滲透，對(duì)于學(xué)生良好思維習(xí)慣的培養(yǎng)有著較為重要的意義.三、關(guān)于技能訓(xùn)練

課例A 出示練習(xí)題，并要求全班學(xué)生求解.解方程組：

（1）（2）（3）（4）

課例B 出示練習(xí)題，并要求學(xué)生求解.A組：必做題

（1）（2）（3）B組：選做題

兩節(jié)課例在這一環(huán)節(jié)的處理方式上基本相同，均是在解法探究后進(jìn)行一定量的練習(xí).但練習(xí)的設(shè)計(jì)較為籠統(tǒng)，其針對(duì)性、系統(tǒng)性也較弱.認(rèn)知心理學(xué)家把知識(shí)分為陳述性知識(shí)與程序性知識(shí)，特殊領(lǐng)域程序性知識(shí)又被進(jìn)一步劃分為特殊領(lǐng)域的自動(dòng)化基本技能與特殊領(lǐng)域的策略性知識(shí)（認(rèn)知策略），數(shù)學(xué)基本技能屬于特殊領(lǐng)域的自動(dòng)化基本技能，是否達(dá)到自動(dòng)化是判斷是否掌握數(shù)學(xué)基本技能的標(biāo)準(zhǔn)之一.從基本技能的認(rèn)知階段開始，尤其是聯(lián)系階段和自動(dòng)化階段，必須強(qiáng)調(diào)訓(xùn)練的重要性，必須進(jìn)行有針對(duì)性、切實(shí)有效、一定數(shù)量的訓(xùn)練.聯(lián)系階段應(yīng)注重基礎(chǔ)訓(xùn)練和理解性訓(xùn)練，自動(dòng)化階段應(yīng)注重變式訓(xùn)練.代入消元法屬于典型的程序性技能知識(shí)，因此，在保證有適度訓(xùn)練“量”的前提下，還必須注意訓(xùn)練的“質(zhì)”.練習(xí)的使用必須注重選擇性與針對(duì)性，訓(xùn)練的方式也應(yīng)力求循序漸進(jìn)、層層遞進(jìn).課堂練習(xí)的改進(jìn)：

（1）（直接代入）（2）（簡單變形）

（3）（策略優(yōu)化）（4）

（5）（進(jìn)一步變式）

另外，一定量的訓(xùn)練對(duì)促進(jìn)學(xué)生有關(guān)技能的形成與獲得十分重要，但形式化的技能訓(xùn)練有時(shí)難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從教材的編排來看，教材力圖在后續(xù)各節(jié)中，將解方程組的技能訓(xùn)練與實(shí)際問題的解決融為一體，在實(shí)際問題的解決過程中提高學(xué)生的解題技能，這一點(diǎn)也需要我們注意.四、關(guān)于小結(jié)與反思

“編筐窩簍全在收口.”課堂小結(jié)是對(duì)知識(shí)進(jìn)一步加工、處理、和整合的過程，是教師幫助學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)、揭示知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律、由感知上升到理性思考的重要環(huán)節(jié).本課的小結(jié)，課例A注重了框圖的作用，這一點(diǎn)值得肯定和提倡。例如，用代入消元法解二元一次的過程可表示為如下圖所示的框圖。

上圖不僅展示了代入消元法和解方程組的具體步驟，而且展示了各步驟的作用，利用這一框圖進(jìn)行解題后的反思與回顧，一方面，可以滲透算法中程序化的思想，另一方面，有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高思考的深度.本節(jié)課的核心思想是消元與轉(zhuǎn)化，除此之外還涉及到了程序化思想和簡化、優(yōu)化思想，在教學(xué)中也應(yīng)注意適度滲透.同時(shí)，我們應(yīng)時(shí)刻在課堂中把基本的數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)、技能融于一體，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)、技能的同時(shí)，領(lǐng)悟到一定數(shù)學(xué)思想方法.在運(yùn)用思想方法的同時(shí)，鞏固知識(shí)、技能.這樣，思想方法就有了載體，知識(shí)技能就有了靈魂，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

第四篇：七年級(jí)數(shù)學(xué)8.2消元-解二元一次方程組同步測試題

8.2

消元-解二元一次方程組

同步測試題

班級(jí)：_____________姓名：_____________

一、選擇題

（本題共計(jì)7小題，每題

分，共計(jì)21分，）

1.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，則k的取值為（）

A.-3

B.3

C.-4

D.4

2.用加減消元法解方程組2x+3y=3，3x-2y=11，下列變形正確的是（）

A.4x+6y=3，9x-6y=11

B.6x+3y=9，6x-2y=22

C.4x+6y=6，9x-6y=33

D.6x+9y=3，6x-4y=11

3.二元一次方程組x+y=6，x=2y的解是（）

A.x=5，y=1

B.x=4，y=2

C.x=-5，y=-1

D.x=-4，y=-2

y=kx+b中，當(dāng)x=1時(shí)y=2；當(dāng)x=2時(shí)y=4，則k，b的值是（）

A.k=0b=0

B.k=2b=0

C.k=3b=1

D.k=0b=2

已知a，b滿足方程組a+2b=8,2a+b=7,則a+b的值為（）

A.3

B.4

C.5

D.6

已知方程組x-3y=4,①y=2x-1,②把②代入①整理，得（）

A.x-6x+3=4

B.x-6x-3=4

C.x-2x-1=4

D.x-2x+1=4

解方程組4x+3y=7,4x-3y=9,時(shí)，較為簡單的方法是（）

A.代入法

B.加減法

C.試值法

D.無法確定

二、填空題

（本題共計(jì)

小題，每題

分，共計(jì)21分，）

8.方程組x-y=12x+y=2的解是________．

9.用代入消元法解二元一次方程組

3x+y=2①2x-3y=8②?時(shí)，由①變形得

y=________.10.如果實(shí)數(shù)x，y滿足方程組2x-y=1x+y=2，那么-x+2y2021=________.11.已知2x+3y=5x+2y=2，則2021+x+y＝________．

12.已知m，n滿足方程組m+2n=5,2m+n=4,則m+nm-n=________.13.解方程組7x+5y=34x-5y=-4用________法解較簡便．

14.解方程組：3x-2y=11…①2x+3y=16…②，完成下列部分變形過程．

由①×3，得：________…③由②×2，得：4x+6y=32…④由④+③，得：________；

上述解此方程組用到的方法是________．

三、解答題

（本題共計(jì)

小題，共計(jì)78分，）

15.解方程組：2x+y=4??①，3x-y=1??②.16.解方程組.(1)x=1-y，2x-y=-4；

(2)3x+4y=19，x-y=4；

(3)8y+5x=2，4y-3x=-10；

(4)2x-3y=-12，x3+y4=4.17.解方程組：2x-y=43x+y=1．

解方程組：x+2y=-5x-4y=7?．

19.x3+y4=22x-y=6．

解下列方程組：

(1)x-3y=-4,x+12+y=1;

(2)x+y2+x-y3=1,x+y-2x-y=10.

第五篇：七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)二元一次方程組的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

2.3二元一次方程組的應(yīng)用

學(xué)生：班

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．會(huì)列二元一次方程組解簡單應(yīng)用題。

2．提高分析問題解決問題能力。3．進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔的意志。學(xué)習(xí)重點(diǎn)

根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組。學(xué)習(xí)難點(diǎn)

1．徹底把握題意。2．找等量關(guān)系。學(xué)習(xí)過程

一、學(xué)生自學(xué)

㈠、建立方程模型。

1、兩碼頭相距280千米，一船順流航行需14小時(shí)，逆流航行需20小時(shí)，求船在靜水中速度，水流的速度？

2、420個(gè)零件由甲、乙兩人制造。甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，還需3天完成。問：甲、乙每天各做多少個(gè)零件？

㈡、自學(xué)P30“動(dòng)腦筋”，完成書上的填空。

㈢、自學(xué)P31例2。說說用二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟是什么？哪一步是關(guān)鍵？

二、合作交流

三、拓展延伸[來源:

1、P32練習(xí)第1題

2、兩塊合金，一塊含金95%，另一塊含金80%，將它們與2克純金熔合得到含金90.6%的新合金25克，計(jì)算原來兩塊合金的重量？

四、課堂小結(jié)

說說用二元一次方程組解應(yīng)用題的基本步驟是什么？哪一步是關(guān)鍵？

五、達(dá)標(biāo)測試

必做題：第32頁習(xí)題2.3A組。第3題

學(xué)習(xí)反思