第一篇：2010屆高考數(shù)學(xué)總結(jié)精華版第十五章復(fù)數(shù)
高中數(shù)學(xué)第十五章 復(fù)數(shù)
考試內(nèi)容：
復(fù)數(shù)的概念．
復(fù)數(shù)的加法和減法．
復(fù)數(shù)的乘法和除法．
數(shù)系的擴(kuò)充．
考試要求：
（1）了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義．
（2）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算．
（3）了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想．
§15.復(fù) 數(shù)知識(shí)要點(diǎn)
1.⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：
① 復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；
② 實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；
③ 虛數(shù)—當(dāng)b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；
④ 純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）⑥ 復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復(fù)數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）
②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(dāng)(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時(shí)，上式成立）
2.⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)z1和z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程
（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對(duì)值不等式：
設(shè)z1，z2是不等于零的復(fù)數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：
z?zz1?z2?z1?z2
z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2
z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2
?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?
n???z??z??z?...z(n?N)?
n注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的] 4 ⑴①?gòu)?fù)數(shù)的乘方：z
②對(duì)任何z，z1,z2?C及m,n?N?有
③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12
42(i)?12注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如i2??1,i4?1若由i?2?1就會(huì)得到?1?1的錯(cuò)誤結(jié)論.②在實(shí)數(shù)集成立的|x|?x2.當(dāng)x為虛數(shù)時(shí)，|x|?x2，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：
i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)
(1?i)2??2i,若
31?i1?i?i,??i 1?i1?i11?2是的2立n方n?1虛n?2數(shù)根，即????123i2，,?,1?????0,??????0(n?Z)則?? 1 ,??? ?.5.⑴復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：
①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同
一復(fù)數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復(fù)數(shù)的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時(shí)，argz可取[0,2?)內(nèi)任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數(shù)倍.③設(shè)a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?
⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化：
a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??.22ab,sin??.rr
⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：
r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]
?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22
7.復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：
在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時(shí)，應(yīng)注意下述問(wèn)題： ①當(dāng)a,b,c?R時(shí)，若?＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根x1,2?
根x1,2???b?；若?=0，則有二相等實(shí)數(shù)2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復(fù)數(shù)）.2a2a
②當(dāng)a,b,c不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.8.復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：
r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2
棣莫弗定理：[r(cos?
?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)
第二篇：XX屆高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案
XX屆高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案
本資料為woRD文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址第十五章 復(fù) 數(shù)高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其運(yùn)算的幾何意義.4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想，體會(huì)理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.本章重點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.本章難點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查無(wú)論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢(shì)，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算放在首位.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)15.1 復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算
典例精析
題型一 復(fù)數(shù)的概念【例1】如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝
；在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限；復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為＝
.【解析】＝m2－m＋i是實(shí)數(shù)?1＋m3＝0?m＝－1.因?yàn)椋剑?－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.因?yàn)閦＝1＋3i，所以＝1－3i.【點(diǎn)撥】運(yùn)算此類題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi，并注意復(fù)數(shù)分為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.【變式訓(xùn)練1】如果z＝為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于A.0
B.－1
c.1
D.－1或1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限
B.第二象限
c.第三象限
D.第四象限【解析】設(shè)z＝xi，x≠0，則xi＝?1＋ax－i＝0??或故選D.z＝＝＝－1－i，該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選c.題型二 復(fù)數(shù)的相等【例2】已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足z·z0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝
；已知＝1－ni，其中m，n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝
；已知關(guān)于x的方程x2＋x＋2＋ki＝0有實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根為
，實(shí)數(shù)k的值為
.【解析】設(shè)z＝x＋yi，又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0得＝3＋3＋2i，整理得＋i＝0，則由復(fù)數(shù)相等的條件得解得所以z＝1－.由已知得m＝＝＋i.則由復(fù)數(shù)相等的條件得所以m＋ni＝2＋i.設(shè)x＝x0是方程的實(shí)根，代入方程并整理得由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得或所以方程的實(shí)根為x＝或x＝－，相應(yīng)的k值為k＝－2或k＝2.【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi的形式，再由相等得實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等.【變式訓(xùn)練2】設(shè)i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi，則a＋b的值是A.－
B.－2
c.2
D.若i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝
.【解析】c.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b＝2.題型三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算【例3】若復(fù)數(shù)z＝－＋i，則1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝
；設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝
.【解析】由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i＝z.所以zn具有周期性，在一個(gè)周期內(nèi)的和為0，且周期為3.所以1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝1＋z＋＋…＋＝1＋z＝＋i.設(shè)z＝x＋yi，則x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.【點(diǎn)撥】解時(shí)要注意x3＝1?＝0的三個(gè)根為1，ω，其中ω＝－＋i，＝－－i，則1＋ω＋ω2＝0，1＋＋2＝0，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.解時(shí)要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.【變式訓(xùn)練3】復(fù)數(shù)＋等于A.B.c.－
D.已知復(fù)數(shù)z＝＋XX，則復(fù)數(shù)z等于A.0
B.2
c.－2i
D.2i【解析】D.計(jì)算容易有＋＝.A.總結(jié)提高復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算：①加減法按合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行；②乘法展開、除法須分母實(shí)數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問(wèn)題只需設(shè)z＝a＋bi代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.第十六章 幾何證明選講高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解平行線截割定理.2.會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.3.會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理，圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明.4.會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理，并會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行幾何計(jì)算與證明.5.了解平行投影的含義，通過(guò)圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證明平面與圓柱面的截線是橢圓.6.了解下面的定理.定理：在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點(diǎn)o，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以o為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l的交角為β，則：①β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；②β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；③β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線.7.會(huì)利用丹迪林雙球證明上述定理①的情形：當(dāng)β＞α?xí)r，平面π與圓錐的交線為橢圓.8.會(huì)證明以下結(jié)果：①在7.中，一個(gè)丹迪林球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行.記這個(gè)圓所在的平面為π′.②如果平面π與平面π′的交線為m，在6.①中橢圓上任取點(diǎn)A，該丹迪林球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.9.了解定理6.③中的證明，了解當(dāng)β無(wú)限接近α?xí)r，平面π的極限結(jié)果.本章重點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)，與圓有關(guān)的若干定理及其運(yùn)用，并將其運(yùn)用到立體幾何中.本章難點(diǎn)：對(duì)平面截圓柱、圓錐所得的曲線為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，應(yīng)較好地把握.本專題強(qiáng)調(diào)利用演繹推理證明結(jié)論，通過(guò)推理證明進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，進(jìn)一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運(yùn)用幾何方法解決問(wèn)題的能力.第一講與第二講是傳統(tǒng)內(nèi)容，高考中主要考查平行線截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關(guān)的性質(zhì)和判定，考查邏輯推理能力.第三講內(nèi)容是新增內(nèi)容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
6.1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 典例精析題型一 相似三角形的判定與性質(zhì)【例1】如圖，已知在△ABc中，D是Bc邊的中點(diǎn)，且AD＝Ac，DE⊥Bc，DE與AB相交于點(diǎn)E，Ec與AD相交于點(diǎn)F.求證：△ABc∽△FcD；若S△FcD＝5，Bc＝10，求DE的長(zhǎng).【解析】因?yàn)镈E⊥Bc，D是Bc的中點(diǎn)，所以EB＝Ec，所以∠B＝∠1.又因?yàn)锳D＝Ac，所以∠2＝∠AcB.所以△ABc∽△FcD.過(guò)點(diǎn)A作Am⊥Bc，垂足為點(diǎn)m.因?yàn)椤鰽Bc∽△FcD，Bc＝2cD，所以＝2＝4，又因?yàn)镾△FcD＝5，所以S△ABc＝20.因?yàn)镾△ABc＝Bc·Am，Bc＝10，所以20＝×10×Am，所以Am＝4.又因?yàn)镈E∥Am，所以＝，因?yàn)镈m＝Dc＝，Bm＝BD＋Dm，BD＝Bc＝5，所以＝，所以DE＝.【變式訓(xùn)練1】如右圖，在△ABc中，AB＝14cm，＝，DE∥Bc，cD⊥AB，cD＝12cm.求△ADE的面積和周長(zhǎng).【解析】由AB＝14cm，cD＝12cm，cD⊥AB，得S△ABc＝84cm2.再由DE∥Bc可得△ABc∽△ADE.由＝2可求得S△ADE＝cm2.利用勾股定理求出Bc，Ac，再由相似三角形性質(zhì)可得△ADE的周長(zhǎng)為15cm.題型二 探求幾何結(jié)論【例2】如圖，在梯形ABcD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，cD上，EF∥AD，假設(shè)EF做上下平行移動(dòng).若＝，求證：3EF＝Bc＋2AD；若＝，試判斷EF與Bc，AD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；請(qǐng)你探究一般結(jié)論，即若＝，那么你可以得到什么結(jié)論？【解析】過(guò)點(diǎn)A作AH∥cD分別交EF，Bc于點(diǎn)G、H.因?yàn)椋?，所以＝，又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，從而EF＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即3EF＝Bc＋2AD.EF與Bc，AD的關(guān)系式為5EF＝2Bc＋3AD，理由和類似.因?yàn)椋剑裕?，又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即EF＝mBc＋nAD.【點(diǎn)撥】在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一；探求幾何結(jié)論可按特殊到一般的思路去獲取，但結(jié)論證明應(yīng)從特殊情況得到啟迪.【變式訓(xùn)練2】如右圖，正方形ABcD的邊長(zhǎng)為1，P是cD邊上中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段Bc上，設(shè)BQ＝k，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得以Q，c，P為頂點(diǎn)的三角形與△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)k，則在正方形ABcD中，∠D＝∠c＝90°，由Rt△ADP∽R(shí)t△QcP或Rt△ADP∽R(shí)t△PcQ得＝或＝，由此解得cQ＝1或cQ＝.從而k＝0或k＝.題型三 解決線的位置或數(shù)量關(guān)系【例3】如圖，在四邊形ABcD中，△ABc△BAD，求證：AB∥cD.【證明】由△ABc≌△BAD得∠AcB＝∠BDA，所以A、B、c、D四點(diǎn)共圓，所以∠cAB＝∠cDB.再由△ABc≌△BAD得∠cAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠cDB，即AB∥cD.【變式訓(xùn)練3】如圖，AA1與BB1相交于點(diǎn)o，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AoB的外接圓的直徑為1，則△A1oB1的外接圓的直徑為
.【解析】因?yàn)锳B∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AoB∽△A1oB1因?yàn)閮扇切瓮饨訄A的直徑之比等于相似比.所以△A1oB1的外接圓直徑為2.總結(jié)提高1.相似三角形的判定與性質(zhì)這一內(nèi)容是平面幾何知識(shí)的重要組成部分，是解題的工具，同時(shí)它的內(nèi)容滲透了等價(jià)轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)以它們?yōu)橹笇?dǎo).相似三角形的證法有：定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性質(zhì)主要有對(duì)應(yīng)線的比值相等，對(duì)應(yīng)角相等，面積的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時(shí)應(yīng)常考慮此類輔助線.16.2 直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的性質(zhì)典例精析題型一 切線的判定和性質(zhì)的運(yùn)用【例1】如圖，AB是⊙o的直徑，Ac是弦，∠BAc的平分線AD交⊙o于點(diǎn)D，DE⊥Ac，交Ac的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，oE交AD于點(diǎn)F.求證：DE是⊙o的切線；若＝，求的值.【解析】證明：連接oD，可得∠oDA＝∠oAD＝∠DAc，所以oD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥oD，又oD為半徑，所以DE是⊙o的切線.過(guò)D作DH⊥AB于H，則有∠DoH＝∠cAB，＝cos∠DoH＝cos∠cAB＝＝，設(shè)oD＝5x，則AB＝10x，oH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DoF可得AF∶DF＝AE∶oD＝，所以＝.【變式訓(xùn)練1】已知在直角三角形ABc中，∠AcB＝90°，以Bc為直徑的⊙o交AB于點(diǎn)D，連接Do并延長(zhǎng)交Ac的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，⊙o的切線DF交Ac于點(diǎn)F.求證：AF＝cF；若ED＝4，sin∠E＝，求cE的長(zhǎng).【解析】方法一：設(shè)線段FD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G，則∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDo＝，所以∠ADF＋∠BDo＝，又因?yàn)樵凇裲中oD＝oB，∠BDo＝∠oBD，所以∠ADF＋∠oBD＝.在Rt△ABc中，∠A＋∠cBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF.所以AF＝cF.方法二：在直角三角形ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF，且∠FDc＝∠FcD.又由Bc為⊙o的直徑可知，∠ADF＋∠FDc＝，∠A＋∠FcD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝cF.因?yàn)樵谥苯侨切蜦ED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝Fc，所以cE＝2.題型二 圓中有關(guān)定理的綜合應(yīng)用【例2】如圖所示，已知⊙o1與⊙o2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙o1的切線交⊙o2于點(diǎn)c，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙o1、⊙o2于點(diǎn)D、E，DE與Ac相交于點(diǎn)P.求證：AD∥Ec；若AD是⊙o2的切線，且PA＝6，Pc＝2，BD＝9，求AD的長(zhǎng).【解析】連接AB，因?yàn)锳c是⊙o1的切線，所以∠BAc＝∠D，又因?yàn)椤螧Ac＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥Ec.方法一：因?yàn)镻A是⊙o1的切線，PD是⊙o1的割線，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·，所以PB＝3.在⊙o2中，由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，所以PE＝4.因?yàn)锳D是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：設(shè)BP＝x，PE＝y(tǒng).因?yàn)镻A＝6，Pc＝2，所以由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，即xy＝12.①因?yàn)锳D∥Ec，所以＝，所以＝.②由①②可得或，所以DE＝9＋x＋y＝16.因?yàn)锳D是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【變式訓(xùn)練2】如圖，⊙o的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦cD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙o上一點(diǎn)，DE交AB于點(diǎn)F，且AB＝2BP＝4.求PF的長(zhǎng)度；若圓F與圓o內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長(zhǎng)度.【解析】連接oc，oD，oE，由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，結(jié)合題中已知條件可得∠cDE＝∠Aoc.又∠cDE＝∠P＋∠PFD，∠Aoc＝∠P＋∠ocP，從而∠PFD＝∠ocP，故△PFD∽△Pco，所以＝.由割線定理知Pc·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.若圓F與圓o內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因?yàn)閛F＝2－r＝1，即r＝1，所以oB是圓F的直徑，且過(guò)點(diǎn)P的圓F的切線為PT，則PT2＝PB·Po＝2×4＝8，即PT＝2.題型三 四點(diǎn)共圓問(wèn)題【例3】如圖，圓o與圓P相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P在圓o上，圓o的弦Bc切圓P于點(diǎn)B，cP及其延長(zhǎng)線交圓P于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥cE，交cB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：B、P、E、F四點(diǎn)共圓；若cD＝2，cB＝2，求出由B、P、E、F四點(diǎn)所確定的圓的直徑.【解析】證明：連接PB.因?yàn)锽c切圓P于點(diǎn)B，所以PB⊥Bc.又因?yàn)镋F⊥cE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.因?yàn)锽，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，且EF⊥cE，PB⊥Bc，所以此圓的直徑就是PF.因?yàn)锽c切圓P于點(diǎn)B，且cD＝2，cB＝2，所以由切割線定理cB2＝cD·cE，得cE＝4，DE＝2，BP＝1.又因?yàn)镽t△cBP∽R(shí)t△cEF，所以EF∶PB＝cE∶cB，得EF＝.在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B，P，E，F(xiàn)四點(diǎn)確定的圓的直徑為.【變式訓(xùn)練3】如圖，△ABc是直角三角形，∠ABc＝90°.以AB為直徑的圓o交Ac于點(diǎn)E，點(diǎn)D是Bc邊的中點(diǎn).連接oD交圓o于點(diǎn)m.求證：o，B，D，E四點(diǎn)共圓；2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.【證明】連接BE，則BE⊥Ec.又D是Bc的中點(diǎn)，所以DE＝BD.又oE＝oB，oD＝oD，所以△oDE≌△oDB，所以∠oBD＝∠oED＝90°，所以D，E，o，B四點(diǎn)共圓.延長(zhǎng)Do交圓o于點(diǎn)H.因?yàn)镈E2＝Dm·DH＝Dm·＝Dm·Do＋Dm·oH＝Dm·＋Dm·，所以2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.總結(jié)提高1.直線與圓的位置關(guān)系是一種重要的幾何關(guān)系.本章在初中平面幾何的基礎(chǔ)上加以深化，使平面幾何知識(shí)趨于完善，同時(shí)為解析幾何、立體幾何提供了多個(gè)理論依據(jù).2.圓中的角如圓周角、圓心角、弦切角及其性質(zhì)為證明相關(guān)的比例線段提供了理論基礎(chǔ)，為解決綜合問(wèn)題提供了方便，使學(xué)生對(duì)幾何概念和幾何方法有較透徹的理解.第十七章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考導(dǎo)航 考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
一、坐標(biāo)系1.了解在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，理解坐標(biāo)系的作用.2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別.二、參數(shù)方程1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.3.了解平擺線和漸開線的生成過(guò)程，并能寫出它們的參數(shù)方程.4.了解其他擺線的生成過(guò)程；了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例；了解擺線在刻畫行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用.本章重點(diǎn)：1.根據(jù)問(wèn)題的幾何特征選擇坐標(biāo)系；坐標(biāo)法思想；平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換；極坐標(biāo)系；直線和圓的極坐標(biāo)方程.2.根據(jù)問(wèn)題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.本章難點(diǎn)：1.對(duì)伸縮變換中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解；極坐標(biāo)的不唯一性；曲線的極坐標(biāo)方程.2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程.坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標(biāo)系，以便使建立的方程更加簡(jiǎn)單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標(biāo)系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.本專題要求通過(guò)坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生更全面地理解坐標(biāo)法思想；能根據(jù)曲線的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)那€方程表示形式，體會(huì)解決問(wèn)題中數(shù)學(xué)方法的靈活性.高考中，參數(shù)方程和極坐標(biāo)是本專題的重點(diǎn)考查內(nèi)容.對(duì)于柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系，只要求了解即可.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)17.1 坐標(biāo)系典例精析題型一 極坐標(biāo)的有關(guān)概念【例1】已知△ABc的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A，B，c，試判斷△ABc的形狀，并求出它的面積.【解析】在極坐標(biāo)系中，設(shè)極點(diǎn)為o，由已知得∠AoB＝，∠Boc＝，∠Aoc＝.又|oA|＝|oB|＝5，|oc|＝4，由余弦定理得|Ac|2＝|oA|2＋|oc|2－2|oA|·|oc|·cos∠Aoc＝52＋2－2×5×4·cos＝133，所以|Ac|＝.同理，|Bc|＝.所以|Ac|＝|Bc|，所以△ABc為等腰三角形.又|AB|＝|oA|＝|oB|＝5，所以AB邊上的高h(yuǎn)＝＝，所以S△ABc＝××5＝.【點(diǎn)撥】判斷△ABc的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長(zhǎng)或角，在本題中計(jì)算邊長(zhǎng)較為容易，所以先計(jì)算邊長(zhǎng).【變式訓(xùn)練1】點(diǎn)A在條件：①ρ＞0，θ∈下極坐標(biāo)為
，②ρ＜0，θ∈下極坐標(biāo)為
；點(diǎn)P與曲線c：ρ＝cos的位置關(guān)系是
.【解析】；.點(diǎn)P在曲線c上.題型二 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化【例2】⊙o1和⊙o2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.把⊙o1和⊙o2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；求經(jīng)過(guò)⊙o1和⊙o2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.【解析】以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同單位長(zhǎng).因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙o1的直角坐標(biāo)方程.同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙o2的直角坐標(biāo)方程.由解得或即⊙o1，⊙o2的交點(diǎn)為和兩點(diǎn)，故過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0.【點(diǎn)撥】互化的前提條件：原點(diǎn)對(duì)應(yīng)著極點(diǎn)，x軸正向?qū)?yīng)著極軸.將互化公式代入，整理可以得到.【變式訓(xùn)練2】在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ＝3上的點(diǎn)到直線ρ＝2的距離為d，求d的最大值.【解析】將極坐標(biāo)方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9，ρ＝2可化為x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一點(diǎn)A，則點(diǎn)A到直線的距離為d＝＝，它的最大值為4.題型三 極坐標(biāo)的應(yīng)用【例3】過(guò)原點(diǎn)的一動(dòng)直線交圓x2＋2＝1于點(diǎn)Q，在直線oQ上取一點(diǎn)P，使P到直線y＝2的距離等于|PQ|，用極坐標(biāo)法求動(dòng)直線繞原點(diǎn)一周時(shí)點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】以o為極點(diǎn)，ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，如右圖所示，過(guò)P作PR垂直于直線y＝2，則有|PQ|＝|PR|.設(shè)P，Q，則有ρ0＝2sinθ.因?yàn)閨PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即為點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4或x＝0.【點(diǎn)撥】用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問(wèn)題得到很直接、簡(jiǎn)單的解法，但在解題時(shí)關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時(shí)也容易一些.【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)A在直線x＝5上移動(dòng)，等腰△oPA的頂角∠oPA為120°，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】取o為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線x＝5的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝5.設(shè)A，P，因?yàn)辄c(diǎn)A在直線ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因?yàn)椤鱫PA為等腰三角形，且∠oPA＝120°，而|oP|＝ρ，|oA|＝ρ0以及∠PoA＝30°，所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρcos＝5.題型四平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的伸縮變換【例4】定義變換T：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P變換成點(diǎn)P′.特別地，若曲線m上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P′與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線m在變換T下的不動(dòng)點(diǎn).若橢圓c的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2.求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出當(dāng)tanθ＝時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F1′和F2′的坐標(biāo)；當(dāng)tanθ＝時(shí)，求中的橢圓c在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，由橢圓定義知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，且橢圓c兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1和F2.對(duì)于變換T：當(dāng)tanθ=時(shí)，可得設(shè)F1′和F2′分別是由F1和F2的坐標(biāo)經(jīng)變換公式T變換得到.于是即F1′的坐標(biāo)為；又即F2′的坐標(biāo)為.設(shè)P是橢圓c在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)tanθ＝時(shí)，有?x＝3y，由點(diǎn)P∈c，即P∈c，得＋y2＝1?因而橢圓c的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.【變式訓(xùn)練4】在直角坐標(biāo)系中，直線x－2y＝2經(jīng)過(guò)伸縮變換
后變成直線2x′－y′＝4.【解析】總結(jié)提高1.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示方法.如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；反之也成立.2.熟練掌握幾種常用的極坐標(biāo)方程，特別是直線和圓的極坐標(biāo)方程.17.2 參數(shù)方程典例精析題型一 參數(shù)方程與普通方程互化【例1】把下列參數(shù)方程化成普通方程：
；
.【解析】所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.由題意可得所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.【變式訓(xùn)練1】把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形.【解析】x2＝2，－≤x≤，圖形為一段拋物線弧.x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.x2＋y2－3y＝0，圖形是一個(gè)圓，但是除去點(diǎn).－＝1，圖形是雙曲線.題型二 根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長(zhǎng)【例2】已知直線l的參數(shù)方程為，曲線c的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝1.求曲線c的普通方程；求直線l被曲線c截得的弦長(zhǎng).【解析】由曲線c：ρ2cos2θ＝ρ2＝1，化成普通方程為x2－y2＝1.①方法一：把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程.②把②代入①得2－2＝1，整理得t2－4t－6＝0.設(shè)其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，t1t2＝－6.從而弦長(zhǎng)為|t1－t2|＝＝＝＝2.方法二：把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y＝，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.設(shè)l與c交于A，B，則x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝2.【變式訓(xùn)練2】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為，若以o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線c的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos，求直線l被曲線c所截的弦長(zhǎng).【解析】將方程化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.將方程ρ＝cos化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.表示圓心為，半徑為r＝的圓，則圓心到直線的距離d＝，弦長(zhǎng)＝2＝2＝.題型三 參數(shù)方程綜合運(yùn)用【例3】已知曲線c1：
，c2：
.化c1，c2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；若c1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為c2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)m到直線c3：距離的最小值.【解析】c1：2＋2＝1，c2：＋＝1.c1是以為圓心，1為半徑的圓；c2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.當(dāng)t＝時(shí)，P，Q，故m.c3為直線x－2y－7＝0，m到c3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|，從而cosθ＝，sinθ＝－時(shí)，d取最小值.【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線c2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ－4sinθ.化曲線c1、c2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；設(shè)曲線c1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作曲線c2的切線l，求切線l的方程.【解析】曲線c1：＋＝1；曲線c2：2＋2＝5.曲線c1為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是4，短半軸長(zhǎng)是2的橢圓；曲線c2為圓心為，半徑為的圓.曲線c1：＋＝1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，因?yàn)閙＞0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.顯然切線l的斜率存在，設(shè)為k，則切線l的方程為y＝k.由曲線c2為圓心為，半徑為的圓得＝，解得k＝，所以切線l的方程為y＝.總結(jié)提高1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過(guò)程中，要保持化簡(jiǎn)過(guò)程的同解變形，避免改變變量x，y的取值范圍而造成錯(cuò)誤.2.消除參數(shù)的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段.3.參數(shù)的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應(yīng)用，要注意合理選參、巧妙消參.
第三篇：高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)：第15章_復(fù)數(shù)（推薦）
高中數(shù)學(xué)第十五章 復(fù)數(shù)
考試內(nèi)容：
復(fù)數(shù)的概念．
復(fù)數(shù)的加法和減法．
復(fù)數(shù)的乘法和除法．
數(shù)系的擴(kuò)充．
考試要求：
（1）了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義．
（2）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算．
（3）了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想．
§15.復(fù) 數(shù)知識(shí)要點(diǎn)
1.⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：
① 復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中a，b?R）；
② 實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；
③ 虛數(shù)—當(dāng)b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；
④ 純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且b?0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.⑤ 復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）⑥ 復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復(fù)數(shù)，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)] 2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）
②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(dāng)(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時(shí)，上式成立）
2.⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)z1和z2所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復(fù)平面內(nèi)以z0為圓心，r為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對(duì)值不等式：
設(shè)z1，z2是不等于零的復(fù)數(shù)，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號(hào)的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.3.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：
z?zz1?z2?z1?z2
z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）z?z?|z|2?|z|2
z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2
?z1??z2??z1??（z2?0）zn?(z)n ?z2?
注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù).（×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]⑴①?gòu)?fù)數(shù)的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N?)?
n
②對(duì)任何z，z1,z2?C及m,n?N?有
③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn?z12
注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就會(huì)得到?1?1的錯(cuò)誤結(jié)論.②在實(shí)數(shù)集成立的|x|?x2.當(dāng)x為虛數(shù)時(shí)，|x|?x2，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.⑵常用的結(jié)論：
i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)
(1?i)2??2i,若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1
1?是的立方虛數(shù)根，即????
則.5.⑴復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件： ①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數(shù)?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù).特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.6.⑴復(fù)數(shù)的三角形式：z?r(cos??isin?).輻角主值：?適合于0≤?＜2?的值，記作argz.注：①z為零時(shí)，argz可取[0,2?)內(nèi)任意值.②輻角是多值的，都相差2?的整數(shù)倍.③設(shè)a?R?,則arga?0,arg(?a)??,argai?
⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化： ?3?1,?2??,??,1????2?0,?n??n?1??n?2?0(n?Z)123i2，?3,arg(?ai)??.22
a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos??ab,sin??.rr
⑶幾類三角式的標(biāo)準(zhǔn)形式：
r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]
?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(sin??icos?)?r??)?isin(??)] 22
7.復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：
在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)時(shí)，應(yīng)注意下述問(wèn)題： ①當(dāng)a,b,c?R時(shí)，若?＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根x1,2?
x1,2???b??；若?=0，則有二相等實(shí)數(shù)根2a???b??|ib；若?＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根x1,2?（x1,2為共軛復(fù)數(shù)）.2a2a
②當(dāng)a,b,c不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.8.復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算：
r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2
棣莫弗定理：[r(cos?
?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)
第四篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：復(fù)數(shù)
高考數(shù)學(xué)回歸課本教案
整理：盧立臻 第十五章 復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
21．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來(lái)表示。2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=a2?b2.如果用e表示cosθ+isinθ，則z=re，iθ
iθ稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則z?a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：
?z1（1）z1?z2?z1?z2；（2）z1?z2?z1?z2；（3）z?z?|z|；（4）??z?22?z1?；（5）???z2（6）||z1?z2|?|z1|?|z2|；22
22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|?z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，則z?4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z2?0,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ?z2r22)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2e
i(θ1+θ2),z1r1i(?1??2)?e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.開方：若w?r(cosθ+isinθ)，則w?nn
r(cos??2k?n?isin??2k?n)，k=0,1,2,?,n-1。
[cos(?2??)?isin(?2??)]n?cosn(?2??)?isin(?2??)?cos(?2?n?)?isin(?2?n?)，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。
02410013599例5 計(jì)算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,=1002505050
由二項(xiàng)式定理(1+i)=)+（***00C100?C100i?C100i???C100i?C100i024100(C100?C100?C100???C***9)i，比較實(shí)部和虛部，得C100=-2，?C100?C100???C100C100?C100?C100???C10013599=0。C100?C100?C100???C1005．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6 以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。
[證明] 設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=
z2?z3?ai,為2定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。
例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。
[證明] 用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當(dāng)且僅當(dāng)Arg(B?AB?CD?AB?C)?Arg()，即Arg()?Arg()=π，即A，B，C，D共圓D?AC?DB?AD?C時(shí)成立。不等式得證。6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8 ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x2?6(y?).3所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復(fù)數(shù)與三角。
例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
[證明] 以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取Q?三角形；又由C-Q=i(B-Q)得
C?iB，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角1?iDA?Q?i(?Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直ii角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。
例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞0中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。[證明] 令u=ei?3，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得
22p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
221．滿足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-
100=__________。z3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則z?__________。4．已知z??21?3i，則1+z+z+?+z
2199
2=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得z?1?的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。z?266．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程z-Λz=w的解為z=__________。
1?x1?x2?arcsin?__________。7.設(shè)0 ??29．若a,b,c∈C,則a+b>c是a+b-c>0成立的__________條件。 2210．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。 211．二次方程ax+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1?z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。 13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,?,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)222222 ?|z1|?|z2|?|z3|?1,?zz?z13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足?1?2?3?1,求 ?z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。 三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．已知復(fù)數(shù)z滿足|2z?1|?1.則z的輻角主值的取值范圍是__________。z2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為__________。3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,?,z20,則復(fù)數(shù)1995z1,z1995,?,z1995220所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。 4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為__________。5．設(shè)w??130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=90，?i，22|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。6．設(shè)w?cos?5?isinm?5n，則(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展開式為__________。 3797．已知(3?i)=(1+i)(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。 8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1?z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為?，則z2=__________。63?i7)?1]n的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。29.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)，[(10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足 z2z1??7?，且Argz1?，Argz2?，Argz3??，則 368z1z2Argz1?z2的值是__________。z318 4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問(wèn)：集合C中有多少個(gè)不同的元素？ 12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程(1?ixn)?A的所有根都是不相等的實(shí)根（n1?ix∈N+）.13.對(duì)于適合|z|≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問(wèn)：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？ 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 近五年（2017-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三、復(fù)數(shù) 一、單選題 1．（2021·全國(guó)）已知，則（） A． B． C． D． 2．（2021·浙江）已知，(i為虛數(shù)單位)，則（） A． B．1 C． D．3 3．（2021·全國(guó)（文））已知，則（） A． B． C． D． 4．（2021·全國(guó)（理））設(shè)，則（） A． B． C． D． 5．（2021·全國(guó)（文））設(shè)，則（） A． B． C． D． 6．（2020·海南）=（） A． B． C． D． 7．（2020·北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）． A． B． C． D． 8．（2020·浙江）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù)，則a=（） A．1 B．–1 C．2 D．–2 9．（2020·海南）（） A．1 B．?1 C．i D．?i 10．（2020·全國(guó)（文））若，則z=（） A．1–i B．1+i C．–i D．i 11．（2020·全國(guó)（文））若，則（） A．0 B．1 C． D．2 12．（2020·全國(guó)（理））復(fù)數(shù)的虛部是（） A． B． C． D． 13．（2020·全國(guó)（理））若z=1+i，則|z2–2z|=（） A．0 B．1 C． D．2 14．（2020·全國(guó)（文））（1–i）4=（） A．–4 B．4 C．–4i D．4i 15．（2019·北京（理））已知復(fù)數(shù)z=2+i，則 A． B． C．3 D．5 16．（2019·全國(guó)（理））若，則 A． B． C． D． 17．（2019·全國(guó)（文））設(shè)z=i(2+i)，則= A．1+2i B．–1+2i C．1–2i D．–1–2i 18．（2019·全國(guó)（文））設(shè)，則= A．2 B． C． D．1 19．（2019·全國(guó)（理））設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2019·全國(guó)（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則 A． B． C． D． 21．（2018·北京（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（2018·全國(guó)（理）） A． B． C． D． 23．（2018·全國(guó)（文）） A． B． C． D． 24．（2018·全國(guó)（理）） A． B． C． D． 25．（2018·全國(guó)（文））設(shè)，則 A． B． C． D． 26．（2018·浙江）若復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則 = A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i 27．（2017·全國(guó)（理））＝（） A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 28．（2017·全國(guó)（文））下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是 A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i) 29．（2017·全國(guó)（理））復(fù)數(shù)等于 （） A． B． C． D． 30．（2017·全國(guó)（文））下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（） A． B． C． D． 31．（2017·山東（理））已知，是虛數(shù)單位，若，則 A．1或 B．或 C． D． 32．（2017·山東（理））已知，是虛數(shù)單位，若，則 A．1或 B．或 C． D． 33．（2017·全國(guó)（理））(2017高考新課標(biāo)III，理3)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則∣z∣= A． B． C． D．2 34．（2017·全國(guó)（理））設(shè)有下面四個(gè)命題 ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為 A． B． C． D． 35．（2017·全國(guó)（文））復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(–2+i)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（2017·山東（文））已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則= A．-2i B．2i C．-2 D．2 37．（2017·北京（文））若復(fù)數(shù)（1–i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 38．（2017·全國(guó)（文））（2017新課標(biāo)全國(guó)卷II文科） A． B． C． D． 二、填空題 39．（2020·天津）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________． 40．（2020·江蘇）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是_____.41．（2020·全國(guó)（理））設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，則=__________.42．（2019·江蘇）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是_____.43．（2019·天津（文））是虛數(shù)單位，則的值為__________.44．（2019·浙江）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.45．（2019·上海）設(shè)為虛數(shù)單位，則的值為__________ 46．（2018·上海）已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則 ． 47．（2018·江蘇）若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實(shí)部為________． 48．（2018·天津（理））i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________.49．（2017·上海）已知復(fù)數(shù)滿足，則_____________． 50．（2017·天津（文））已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則的值為__________． 51．（2017·江蘇）已知復(fù)數(shù)z=（1+i）（1+2i）,其中i是虛數(shù)單位，則z的模是__________ 三、雙空題 52．（2017·浙江）已知a，b∈R，（i是虛數(shù)單位）則 ______，ab=________． 近五年（2017-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 三、復(fù)數(shù)（答案解析） 1．C 【解析】因?yàn)?，故，?/p> 故選：C.2．C 【解析】，利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：.故選：C.3．B 【解析】，.故選：B.4．C 【解析】設(shè)，則，則，所以，解得，因此，.故選：C.5．C 【解析】由題意可得：.故選：C.6．B 【解析】 故選：B 7．B 【解析】由題意得，.故選：B.8．C 【解析】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，故選：C 9．D 【解析】 故選：D 10．D 【解析】 因?yàn)椋?11．C 【解析】 因?yàn)?，所?/p> ． 故選：C． 12．D 【解析】 因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.13．D 【解析】 由題意可得：，則.故.故選：D.14．A 【解析】 .故選：A.15．D 【解析】∵ 故選D.16．D 【解析】．故選D． 17．D 【解析】，所以，選D． 18．C 【解析】 因?yàn)?，所以，所以，故選C． 19．C 【解析】由得則對(duì)應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C． 20．C 【解析】則．故選C． 21．D 【解析】的共軛復(fù)數(shù)為 對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.22．D 【解析】 故選D.23．D 【解析】，故選D.24．D 【解析】選D.25．C 【解析】，則，故選c.26．B 【解析】，選B.27．D 【解析】由題意，故選：D.28．A 【解析】 由題意，對(duì)于A中，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以正確； 對(duì)于B中，復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，所以不正確； 對(duì)于C中，復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，所以不正確； 對(duì)于D中，復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，所以不正確，故選A.29．D 【解析】＝2－i.故選D.30．C 【解析】，,所以選C.31．A 【解析】 由得，所以，故選A.32．A 【解析】 由得，所以，故選A.33．C 【解析】 由題意可得，由復(fù)數(shù)求模的法則可得，則故選C.34．B 【解析】 令，則由得，所以，故正確； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而知，故不正確； 當(dāng)時(shí)，滿足，但，故不正確； 對(duì)于，因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確，故選B.35．C 【解析】，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)位于第三象限.所以選C.36．A 【解析】 由得,即,所以,故選A.37．B 【解析】 試題分析：設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.38．B 【解析】由題意，故選B.39． 【解析】.故答案為：.40．3 【解析】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.41． 【解析】設(shè)，，又，所以，.42．2.【解析】，令得.43． 【解析】． 44．【解析】.45． 【解析】 由，得，即，46．5 【解析】由（1+i）z=1﹣7i，得，則|z|=．故答案為5． 47．2 【解析】因?yàn)椋瑒t，則的實(shí)部為.48．4–i 【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：.49． 【解析】由，得，設(shè)，由得，即，解得，所以，則． 50．-2 【解析】為實(shí)數(shù)，則.51． 【解析】復(fù)數(shù)z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i，∴|z|． 故答案為． 52．5,2 【解析】 由題意可得，則，解得，則．第五篇：近五年高考數(shù)學(xué)真題分類03 復(fù)數(shù)
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