第一篇：XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)教案

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立體幾何總復(fù)習(xí)

一、基本符號表示..點A在線m上：Am；

2.點A在面上：A

；

3.直線m在面內(nèi)：m

；

4.直線m與面交于點A：m

=A；

5.面與面相交于直線m：=m；

二、點A到面的距離.（第一步：作面的垂線）

①作法：過點A作Ao

于o，連結(jié)線段Ao,即所求。

②求法：

（一）直接法；

（二）等體法（等積法包括：等體積法和等面積法）；

（三）換點法。

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（II）求點A到平面PBc的距離.（例2）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（III）求點B到平面PcD的距離。

（例3）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（I）求點B到平面的距離.三、兩條異面直線m與n所成角.①作法：平移，讓它們相交.（若mn,則可證出mn所在的平面）

②求法：常用到余弦定理.③兩條異面直線所成角的范圍：

；任意兩

條異面直線所成角的范圍：

.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（II）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大小；

四、線m與面所成角.（第一步：作面的垂線）

①作法：在線m上任取一點P（異于A），作Po

于o,連結(jié)Ao，則Ao為斜線PA在面內(nèi)的攝影，m與面所成的角。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③線面角的范圍：

.已知正四棱柱中，AB＝2。（II）求直線與側(cè)面所成的角的正切值.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（III）求與平面所成角的最大值． 五、二面角（注：若所求的二面角為直二面角，一般轉(zhuǎn)化為求它的補角—銳角）.（一）定義法：

①作法：在棱c上取一“好”點P，在兩個半平面內(nèi)分別作c的垂線（射線）m、n,則角即二面角—c—的平面角。

②求法：一般根據(jù)余弦定理。

（二）三垂線法：（第一步：作面的垂線）

①作法：在面或面內(nèi)找一合適的點A,作Ao

于o，過A作ABc于B，則Bo為斜線AB在面內(nèi)的射影，為二面角—c—的平面角。

三垂線法的步驟：

1、作面的垂線；

2、作棱的垂線，并連結(jié)另一邊（平面角的頂點在棱上）；

3、計算。

②求法：一般根據(jù)直角三角形來解。

③二面角的取值范圍：

.如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（III）求二面角的正切值。

（例2）已知正四棱柱中，AB＝2。（III）求二面角的正切值。

（例3）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（II）求二面角D—Pc—A的大小；

（例4）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（III）求二面角B—PA—c的余弦值.（例5）如圖，直三棱柱中，Ac⊥cB，D是棱的中點。（II）求二面角的大小。

六、三垂線定理.（第一步：作面的垂線）

.定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，AomPAm.2.逆定理：PA為斜線，Po

于o，oA為射影，m，PAm

Aom.已知正四棱柱中，AB＝2。（I）求證：.七、線面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（I）求證：Bc//平面PAD.八、線面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

（例1）四棱錐P—ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB//cD，AD=cD=1，∠BAD=120°，PA=，∠AcB=

90°。（I）求證：Bc⊥平面PAc；

（例2）已知：四棱錐P—ABcD的底面ABcD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABcD，且PD=1。（II）若E、F分別為PB、AD的中點，求證：EF⊥平面PBc.九、面面平行（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

十、面面垂直（）..定義：

2.判定定理：

3.性質(zhì)定理：

如圖，三棱錐中，PA⊥AB，PA⊥Ac，AB⊥Ac，PA=Ac=2，AB=1，m為Pc的中點。

（I）求證：平面PcB⊥平面mAB.如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點的斜邊上．（I）求證：平面平面；

十一、有關(guān)對角線..平行四邊形：

對角線平分.2.菱形：

對角線垂直且平分.3.矩形：

對角線相等且平分.4.正方形：

對角線相等且垂直且平分.十二、平移的方法..三角形（或梯形）的中位線：

且等于底邊（上下兩底之和）的一半.2.平行四邊形：對邊

且相等.3.等比例線段：

十三、重要輔助線的添加方法..見到中點，考慮：①中位線；②

；③

.2.見到平行四邊形（菱形、矩形、正方形同理），考慮：①連結(jié)對角線；②對邊平行且相等.十四、求三角形面積的通用方法.十五、三棱錐的任何一個面都可以作為底面，方便使用等體法.十六、立體幾何解題策略（附加：在做立體幾何大題時，后以文經(jīng)常用到前一問的結(jié)論，平時注意）..由已知想性質(zhì)；

2.由結(jié)論想判定；

3.由需要做輔助線或輔助平面.十七、有關(guān)棱柱.棱柱——————————直棱柱—————————正棱柱..兩底面平行；

+1.側(cè)棱垂直于底面

+1.底面是正多邊形

2.側(cè)棱平行

十八、有關(guān)棱錐.棱錐——————————正棱錐..一面一點一連；

+1.底面是正多邊形；

2.頂點在底面的射影正好是底面正多邊形的中心.

第二篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題七 立體幾何教案 文

專題七 立體幾何

自查網(wǎng)絡(luò)

核心背記

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（一）多面體

1．棱柱可以看成是一個多邊形（包含圖形所圍成的平面部分）上各點都沿同一個方向移動____所形成的幾何體．

2．主要結(jié)構(gòu)特征：棱柱有兩個面互相平行，而其余 的交線都互相平行，其余的這些面都是四邊形．

3．側(cè)棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面為 的直棱柱叫做正棱柱． 4．有一個面是多邊形，而其余各面都 的三角形的多面體叫做棱錐．

5．如果棱錐的底面是 一，它的頂點又在過 且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐，正棱錐各側(cè)面都是 一的等腰三角形，這些等腰三角形____都相等，叫做棱錐的斜高．

6.棱錐被 一的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．一—— 7.由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些 一叫做棱臺的斜高．正棱臺中兩底面中心連線，相應(yīng)的邊心距和 ．組成一個直角梯形；兩底面中心連線，和兩底面相應(yīng)的外接圓半徑組成一個直角梯形．

（二）旋轉(zhuǎn)體

1．分別以

一、直角梯形中——、——____所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱、圓錐、圓臺．旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊叫做這個幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的 叫做這個幾何體的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線，’ 2．-個半圓繞著____所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面，球面所圍成的幾何體稱為 1

球．球面也可以看做空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合．

3．球的截面性質(zhì)：球的截面是 ；球心和截面（不過球心）圓心的連線 于截面；設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離d就是球心0到截面圓心0i的距離，它們的關(guān)系是 一．

4．球的大圓、小圓：球面被 的平面截得的圓叫做球的大圓；球面被 的平面截得的圓叫做球的小圓．

（三）投影

1．當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影具有如下性質(zhì)：①直線或線段的平行投影是____；②平行直線的平行投影是 ；③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段 ；④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形 ；⑤在同一直線或平行線上，兩條線段的平行投影的比等于____． 2.-個． 把一個圖形照射在一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影．空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但是平行線可能變成____．

3．在物體的平行投影中，如果投射線與投射面____，則稱這樣的平行投影為正投影． 4．除了平行投影的性質(zhì)正投影還具備如下性質(zhì)：

直于投射面的直線或線段的正投影是 ．②于投射霹的平面圖形的正投影是

（四）斜二測畫法與三視圖

1．斜二測畫法的作圖規(guī)則可以簡記為：水平方向方向長度 豎直方向線，變?yōu)?方線，長度

2.投射面與視圖：通常，總是選取三個____的平面作為投射面，來得到三個投影圖．一個投射面水平放 置，叫做水平投射面，投射到水平投射面內(nèi)的圖形叫做，一個投射面放置在正前方，這個投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面內(nèi)的圓形叫做 和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫做側(cè)立投射l面．投射到側(cè)立投射面內(nèi)的圓形叫做

3.三視圖定義：將空間圖形向水平投射面，直立投射 面、側(cè)立投射面作正投影．然后把這個投影按一定的布局放 在一個平面內(nèi)，這樣構(gòu)成的圖形叫做空悶圖形的三視圖．

4．三視圖的畫法要求；三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的 看到的物體的正投影圍成的平面圖形．

5.一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在 的下面，長度與 一樣；左視圖放在主視圖的，高度與____一樣，寬度與——的寬度—樣為了便于記憶．通常說：“長對正 高平齊、寬相等”或“主左一樣高、主俯—樣長、左俯—樣寬

6．畫三視圖時應(yīng)注意：被擋住的輪廓要畫成瘦線，尺寸線用細(xì)實線標(biāo)出；φ表示直徑，R表示半徑；單位不注明按mm計，二、空間幾何體的表面積與體積

（一）柱、錐、臺的表面積公式

1．設(shè)直棱柱的高為b，底面多邊形的周長為c，則直棱柱側(cè)面面積計算公式為——．設(shè)圓柱的底面半徑為r 周長為C，側(cè)面母線長為l，則圓柱的側(cè)面積是____． 2.設(shè)正棱錐的底面邊長為a，底面周長為C，斜高為h，則正n梭錐的側(cè)面積計算公式為一·如果圓錐底面半徑為r，周長為C，側(cè)面母線長為l，那么圓錐的側(cè)面積是一．

3.如果設(shè)正棱臺下底面邊長為a、周長為C，上底面邊長為a'、周長為C'斜高為h'，則正竹棱臺的側(cè)面積公式為____ ．如果圓臺的上下底面半徑分為r'，r，周長為C，C，側(cè)面母線長為l，那么圓臺的側(cè)面積是

（二）柱、錐、臺的體積公式

1.棱柱的底面面積為S，高為h，則體積為——’

底面半徑為r，高是h的圓柱體的體積計算公式是—一．

2.若一個棱錐的底面面積為S．高為h，那么它的體積公式為____．若圓錐的底面圓的半徑為r，高為h,則體積為____．

3.若臺體（棱臺、圓臺）上、下底面面積分別為S，S，高為h，則臺體的體積公式為一，若圓臺的上、下底面半徑分別為r，r，高為h．則圓臺的體積公式為

（三）球的表面積與體積公式設(shè)球的半徑為R．則球的表面積計算公式為-.即球面面積等于它的大圓面積的____．球的體積公 式為

三、平面的基本性質(zhì)與推論

（一）平面的定義平面是一個不加定義，只需理解的最基本的原始概 念．在生活中平靜的水面、鏡面、書桌面都給我們平面的印 象，立體幾何中的平面就是由此抽象出來的．平面是處處平直的面，它是向四面八方 一的．無大小、厚薄之 分，它是不可度量的．

（二）平面的基本性質(zhì)及推論 1．平面的基本性質(zhì) 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的 都在這個平面內(nèi)，這 時我們說：直線在平面內(nèi)或平面____直線．

2.平面的基本性質(zhì)2：經(jīng)過____的三點，有且只 有一個平面，即：____的三點確定一個平面．

3.推論1：經(jīng)過一條直線和____一點，有且只 有一個平面． 4.推論2：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面． 5.推論3：經(jīng)過兩條 直線有且只有一個平面．

6．面面相交：如果兩個平面有一條公共直線，則稱之 為兩平面相交，這條公共直線也叫做兩個平面的交線．平面口與p相交，交線是Z，符號表示為 ．

7．平面的基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們 一條經(jīng)過 一的公共直線．

（三）異面直線

1．_ ___的直線叫做異面直線．

2．異面直線的判定：與一平面相交于一點的直線與平面內(nèi)一 的直線是異面直線，用符號表示為：若ABn口-B，B垂z，Zc口，則直線AB與直線z是異面直線．

四、空間中的平行關(guān)系

（一）平面的基本性質(zhì)4與等角定理

1．平面的基本性質(zhì)4：平行子同一直線的兩條直線____．符號表示為：若直線?！?．c∥6，那么——．

2.等角定理：如果一個角的p邊與另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且一，那么這兩個角相等．

（二）空間四邊形順次連接____ 的四點A．B，C．D所梅成的圖形叫做空聞四邊形．其中，四個點A，B，C．D，每個點都Ⅱq它的____ ．所連接的相鄰頂點fa-的線段叫做它的____．連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的____．

（三）直線與平面平行

1.直線a和平面口只有一個公共點A，叫做 直線與平面____．這個公共點A叫做直線與平面的交點．記作____．

2．直線a與平面a沒有公共點，叫做直線與平面平行．記作一 一．

3.判定定理：如果____的一條直線和——的一條直線平行，那么這條直線與這個平面平行． 4．性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，____ 的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．

（四）平面與平面平行

1．兩不重合平面有公共點就叫兩平面相交，記作口n盧2 Z．若兩個平面 一，則稱這兩個平面為平行平面，“平面口平行于平面p"可以記作“口∥∥．

2．平面與平面平行的判定定理；如果一個平面內(nèi)有兩條 一直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．3．推論：如果—個平面內(nèi)有兩條____直線分別平行于另—個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行．

4．性質(zhì)定理：如果兩個____平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行．符號語言表示為：口//p，a(l y=a，pffy=b凈_，．。__．_一．

5．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的 一直線平行于另一個平面． 五，空間中的垂直關(guān)系

（一）直線與平面垂直

1．如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為 一，則稱這兩條直線互相垂直．

2．直線與平面垂直的定義：如果一條直線Z和一個平面口相交于點O，并且Z和這個平面內(nèi)過點0的直線都垂直，則該直線垂直于這個平面．這條直線叫做平面的——，這個平面叫做直線的____，交點叫做__-。_．。．-。-．．-．。_一．

3.點到平面的距離：垂線上任意一點到____間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到平面的距離．

4．判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． 5．推論：如果在兩條__— 直線中，有一條直線垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面?！?/p>

6.性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直予同一個平面，那么這兩條直線—__-7.如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的—一直線．

（二）平面與平面垂直

1*如果兩個相交平面的一與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條直線互相____．就稱這p個平面互相垂直．

2.如果-個平面過另一個平面的一，則這兩個平面互相垂直．

3．如果兩個平面互相垂直，那么在—一垂直予它們____

二、的直線垂直于另一個平面． 4.如果p個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的 一點垂直于第二AI平面的直線在——平面內(nèi)．

參考答案

一、（一）1．相同的距離 2．每相鄰兩個面 3.垂直正多邊形 4．有一個公共頂點

5．正多邊形底面中心全等底邊上的高 6．平行于底面

7．等腰梯形的高斜高側(cè)援

(=)1．矩形的一條邊 直焦三角形的一條直角邊垂直于底邊的腰圓面曲面

(=)1．所有點經(jīng)過

2．不在同一直線上不共線 3．直線外． ． 4．相交 5．平行 6．a(chǎn) 7．有且只有這個點 ’

（三）1．既不平行也不相交 2．不經(jīng)過該點

四、（一）1．互相平行a//c2．方向相同

（二）不共面頂點邊對角線

（三）1．相交ana=A 2.a//a3．不在一個平面內(nèi)平面內(nèi)4．經(jīng)過這條直線

（四）1．沒有公共點2．相交3．相交4．平行a//b 5．任意

五、（一）1-直角2．任何垂線垂面垂足3．垂足4．相交5．平行6．平行7．任意條

（二）1．交線垂直2．一條垂線3．_AI平面內(nèi)交線4．第一個

規(guī)律探究

1．在正棱錐中，要利用四個直角三角形（高、斜高及底 面邊心距組成一個直角三角形，高、側(cè)棱與底面外接圓的 半徑組成一個直角三角形，底面的邊心距、外接圓半徑及 底邊一半組成一個直角三角形，側(cè)棱、斜高與底邊一半組 成一個直角三角形）進行有關(guān)計算． 2.在正棱臺中，要充分利用三個直角梯形（高、斜高及上 下底面的邊心距組成一個直角梯形，側(cè)棱、斜高及上下底邊 的一半組成—個直角梯形，側(cè)梭、高及上下底面外接圓半徑組成—個直角梯形）、兩個直角三角形（上下底面的邊心距，外接圓半徑和邊的一半）進行有關(guān)計算．

3．解與直觀圖有關(guān)的問題時，應(yīng)熟練掌握斜二測畫法的規(guī)則，關(guān)鍵是確定宣觀圖的頂點或其他關(guān)鍵點．因此，盡量把頂點或其他關(guān)鍵點放在軸上或與軸平行的直線上．

4．學(xué)習(xí)三視圖應(yīng)會選取投射面，正確放置三視圖中三個圖的位置，掌握三視圖之間的聯(lián)系和規(guī)律：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相同．

5．棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積可以分別求各面面積，再求和．對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式，6．圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積就是其側(cè)面展開圖的面積，要熟記公式．

7．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的問題或球與多面體的切、接問題，特別要注意應(yīng)用軸截面． 8．有關(guān)體積的問題，要注意“等積變換”“分割求和” “拼補求差”等解題思路．

9．結(jié)合模型，在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握柱、錐、臺的表面積公式和體積公式．

10.球的體積公式和表面積公式是用無限分割的極限思想推導(dǎo)出來的．主要是記憶、掌握公式．

11.求柱、錐、臺體的表面積就是求它們的側(cè)面積和底面積之和，對于圓柱、圓錐、圓臺，已知上、下底面半徑和母線長可以用表面積公式直接求出；對于棱柱、棱錐、棱臺沒有一般計算公式，可以直接根據(jù)條件求各個面的面積．

12.求柱、錐、臺體的體積時，根據(jù)體積公式，需要具備已知底面積和高兩個重要條件，底面積一般可由底 面邊長或半徑求出，但當(dāng)高不知道時，求高比較困難，一般要轉(zhuǎn)化勾平面幾何知識求出高．

13．證明直線共面可通過先證明其中的兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在這個平面內(nèi)；也可以利用共面向量定理來證明．證明空間幾點共面，可先取不共線的三點確定—個平面，再證明其他的點都在這個平面內(nèi)’ 14.理解“有且只有一個”的含義，它強調(diào)存在性和唯一性兩個方面，也稱為“確定”平面． 15．求證三點及三點以上的點共線，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)3，只要證明這些點都是兩個平面的公共點' 那么它們都在這兩個平面的交線上；求證三條直線或三條以上的直線共點的一般方法是：首先證明其中兩條直線交于一點，再證明其余各直線都經(jīng)過這點-16．平面的基本性質(zhì)2及其推論是空間中確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法．

17．直線和平面平行時，注意把直線和平面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線和直線的位置關(guān)系，直線 6

和平面平行的性質(zhì)定理在應(yīng)用時，要特別注意“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面的一切直線”的錯誤結(jié)論．

18.以求角為背景考查兩個平行平面間的性質(zhì)，也可以是已知角利用轉(zhuǎn)化和降維的思想方法求鏘其他幾何參量．19.線面平行和面面平行的判定和性質(zhì) 20．轉(zhuǎn)化思想方法：直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的實質(zhì)就是線線平行與線面平行的轉(zhuǎn)化．

21.要能夠靈活地作出輔助線或輔助平面來解題．對 此需強調(diào)兩點；第一，輔助線、輔助面不能隨意作，要有理 論根據(jù)；第二，輔助線或輔助面有什么性質(zhì)，一定要以某一 性質(zhì)定理為依據(jù)，決不能憑主觀臆斷，否則謬誤難免．

22.直線與平面垂直，只需這條直線垂直于這個平面 內(nèi)的兩條相交直線，至于這兩條相交直線是否和已知直線 有公共點，這無關(guān)緊要．

23.三垂線定理及其逆定理是立體幾何中的重要定 理，復(fù)習(xí)運用時要注意：

①弄清定理中所指明的三種垂線，②定理中的直線a-定在某直線的射影所在的平面a內(nèi)，因此要熟練地掌握直線n在不同位置時的情況．

24.在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有直線的平面 中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中沒有明確給出，則 可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)，并 有利于證明，不能隨意添加，如有平面垂直時，一般要用性 質(zhì)定理，在一個面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直． 25．線面垂直的判定和性質(zhì)：①依定義，所成角為90。，②判定定理；③性質(zhì)定理；④其他結(jié)論，如，如果兩條平行 線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面．

26.應(yīng)用三垂線定理的難點主要是對非水平放置的圖 形的辨認(rèn)，在解證中可按照“一定平面，二定垂線，三找斜 線，射影可見，直線隨便”的原則去認(rèn)定圖形．其關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即把已知的線線垂直轉(zhuǎn)化為所需的線線垂直’也就是斜線和它在平面內(nèi)的射影的轉(zhuǎn)化，因此，尋找斜線、射影非常重要．

實際應(yīng)用

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AClBD，垂足為H，PH是四棱錐的高．(I)證明．平面PAC_1_平面PBD：，(Ⅱ)若AB-廂，/APB一/ADB= 60。，求四棱錐 P-ABCD的體積．

參考答案 1．【答案lD【命題立意】本題考查幾何體的直觀圖和三視圖的有關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力．【解題思路】由已知條件和直觀圖（斜二測）可知D正確． 2．【答案】D【命題立意】本題考查空間想象能力及平行與垂直關(guān)系的推理與論證．【解題思路】A錯，平行直線的平行投影仍可平行；B錯'平行于同～直線的兩平面可平行或相交；c錯，垂直于同一平面的兩平面可平行或相交；D正確，空間想象易知垂直于同一平面的兩直線平行，

第三篇：2013屆高考數(shù)學(xué)第一輪立體幾何初步專項復(fù)習(xí)教案

§3 三視圖

【課時目標(biāo)】 1．初步認(rèn)識簡單幾何體的三視圖．2．會畫出空間幾何體的三視圖并會由空間幾何體的三視圖畫出空間幾何體．

1．空間幾何體的三視圖是指__________、__________、__________．

2．三視圖的排列規(guī)則是__________放在主視圖的下方，長度與主視圖一樣，__________放在主視圖的右面，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．

3．三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從________、__________、________觀察同一個幾何體，畫出空間幾何體的圖形．

一、選擇題

1．下列說法正確的是（）A．任何幾何體的三視圖都與其擺放的位置有關(guān) B．任何幾何體的三視圖都與其擺放的位置無關(guān) C．有的幾何體的三視圖與其擺放的位置無關(guān) D．正方體的三視圖一定是三個全等的正方形

2．如圖所示的一個幾何體，哪一個是該幾何體的俯視圖()

3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是()

A．①②

B．①③

C．①④

D．②④ 4．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的主視圖與左視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()

5．實物圖如圖所示．無論怎樣擺放物體，如圖所示中不可能為其主視圖的是()

6．一個長方體去掉一角的直觀圖如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是()

二、填空題

7．根據(jù)如圖所示俯視圖，找出對應(yīng)的物體．

(1)對應(yīng)________；(2)對應(yīng)________；(3)對應(yīng)________；(4)對應(yīng)________；(5)對應(yīng)________．

8．若一個三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長分別是________和________．

9．用小正方體搭成一個幾何體，如圖是它的主視圖和左視圖，搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多為________個．

三、解答題

10．在下面圖形中，圖(b)是圖(a)中實物畫出的主視圖和俯視圖，你認(rèn)為正確嗎？如果不正確，請找出錯誤并改正，然后畫出左視圖(尺寸不作嚴(yán)格要求)．

11．如圖是截去一角的長方體，畫出它的三視圖．

能力提升

12．如圖，螺栓是棱柱和圓柱的組合體，畫出它的三視圖．

13．用小立方體搭成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個小立方體？最少要幾個小立方體？

在繪制三視圖時，要注意以下三點：

1．若兩相鄰物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓都用實線畫出，不可見輪廓用虛線畫出．

2．一個物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度和主視圖一樣．左視圖放在主視圖的右面，高度和主視圖一樣，寬度和俯視圖一樣，簡記為“長對正，高平齊，寬相等”．

3．在畫物體的三視圖時應(yīng)注意觀察角度，角度不同，往往畫出的三視圖不同．

§3 三視圖

答案

知識梳理

1．主視圖 左視圖 俯視圖 2．俯視圖 左視圖

3．正前方 正上方 左側(cè) 作業(yè)設(shè)計

1．C [球的三視圖與其擺放位置無關(guān)．] 2．C

3．D [在各自的三視圖中，①正方體的三個視圖都相同；②圓錐有兩個視圖相同；③三棱臺的三個視圖都不同；④正四棱錐有兩個視圖相同．] 4．C

[由三視圖中的正、左視圖得到幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的俯視圖為C．] 5．D [A圖可看做該物體槽向前時的主視圖，B圖可看做槽向下時的主視圖，C圖可看做槽向后時的主視圖．] 6．A

7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B 8．2 4 解析 三棱柱的高同左視圖的高，左視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長為4．

9．7 10．解 圖(a)是由兩個長方體組合而成的，主視圖正確，俯視圖錯誤，俯視圖應(yīng)該畫出不可見輪廓線(用虛線表示)，左視圖輪廓是一個矩形，有一條可視的交線(用實線表示)，正確畫法如圖所示．

11．解 該圖形的三視圖如圖所示．

12．解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面，左視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合)．它的三視圖如圖所示．

13．解 由于主視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的情況是每個方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種情況共用小立方塊17塊．

而搭建這樣的幾何體用方塊數(shù)最少的情況是每列只要有一個最大的數(shù)字，其他方框內(nèi)的數(shù)字可減少到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊．

第四篇：XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項復(fù)習(xí)教

案

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件004km.cn 第六章不等式

●網(wǎng)絡(luò)體系總覽

●考點目標(biāo)定位

.理解不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.2.掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單地應(yīng)用.3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●復(fù)習(xí)方略指南

本章內(nèi)容在高考中，以考查不等式的性質(zhì)、證明、解法和最值方面的應(yīng)用為重點，多數(shù)是與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題.借助不等式的性質(zhì)及證明，主要考查函數(shù)方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法.含參數(shù)不等式的解法與討論，不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等內(nèi)容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點.本章內(nèi)容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：

.復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時，要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準(zhǔn)則和實數(shù)的運算法則為依據(jù).2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主.3.解（證）某些不等式時，要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來.4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質(zhì)，充分利用絕對值的幾何意義.7.要強化不等式的應(yīng)用意識，同時要注意到不等式與函數(shù)方程的對比與聯(lián)系.6.1不等式的性質(zhì)

●知識梳理

.比較準(zhǔn)則：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性質(zhì)：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0

＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性質(zhì)成立的條件.例如，重要結(jié)論：a＞b，ab＞0

＜，不能弱化條件得a＞b

＜，也不能強化條件得a＞b＞0

＜.4.要正確處理帶等號的情況.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b且b=c時，才會有a=c.5.性質(zhì)（3）的推論以及性質(zhì)（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式.6.性質(zhì)（5）中的指數(shù)n可以推廣到任意正數(shù)的情形.特別提示

不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區(qū)別.●點擊雙基

.若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是

A.＞

B.2a＞2b

c.|a|＞|b|

D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a?＜b?，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是減函數(shù)，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B

2.（XX年春季北京，7）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是

A.0

B.1

c.2

D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，兩端同除以ab，得－＞0.同樣由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D

3.設(shè)α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范圍是

A.（0，）

B.（－，）

c.（0，π）

D.（－，π）

解析：由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，的由大到小的順序是____________.解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.設(shè)a=2－，b=－2，c=5－2，則a、b、c之間的大小關(guān)系為____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范圍.剖析：∵a+b，a－b的范圍已知，∴要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，a－b表示出來.可設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系數(shù)法求出x、y.解：設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得

∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.評述：解此題常見錯誤是：－1＜a+b＜3，①

2＜a－b＜4.②

①+②得1＜2a＜7.③

由②得－4＜b－a＜－2.④

①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤

③+⑤得－＜2a+3b＜.思考討論

.評述中解法錯在何處?

2.該類問題用線性規(guī)劃能解嗎?并試著解決如下問題：

已知函數(shù)f（x）=ax2－c，滿足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1

【例2】（XX年福建，3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則

A.“p或q”為假

B.“p且q”為真

c.p真q假

D.p假q真

剖析：只需弄清命題p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命題p為假.又函數(shù)y=的定義域為|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q為真.答案：D

【例3】比較1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比較的兩個數(shù)都是對數(shù)，我們聯(lián)系到對數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.當(dāng)或即0＜x＜1或x＞時，有l(wèi)ogx＞0，1+logx3＞2logx2.當(dāng)①或②時，logx＜0.解①得無解，解②得1＜x＜，即當(dāng)1＜x＜時，有l(wèi)ogx＜0，1+logx3＜2logx2.當(dāng)x=1，即x=時，有l(wèi)ogx=0.∴1+logx3=2logx2.綜上所述，當(dāng)0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2；

當(dāng)1＜x＜時，1+logx3＜2logx2；

當(dāng)x=時，1+logx3=2logx2.評述：作差看符號是比較兩數(shù)大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復(fù)、不遺漏.深化拓展

函數(shù)f（x）=x2+（b－1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.當(dāng)t＜x1時，比較t2+bt+c與x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c與x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實基礎(chǔ)

.（XX年遼寧，2）對于0＜a＜1，給出下列四個不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是

A.①③

B.①④

c.②③

D.②④

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，從而1+a＜1+.∴l(xiāng)oga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②與④成立.答案：D

2.若p=a+（a＞2），q=2，則

A.p＞q

B.p＜q

c.p≥q

D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=則A、B、c、D按從小到大的順序排列起來是____________.解析：取特殊值a=－，計算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，試比較a+b與ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.設(shè)A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當(dāng)x∈R+，n∈N時，求證：A≥B.證明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得

當(dāng)x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

當(dāng)x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B.培養(yǎng)能力

7.設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①當(dāng)3a＞1，即a＞時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②當(dāng)0＜3a＜1，即0＜a＜時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.設(shè)a1≈，令a2=1+.（1）證明介于a1、a2之間；

（2）求a1、a2中哪一個更接近于；

（3）你能設(shè)計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.（1）證明：（－a1）（－a2）=（－a1）?（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之間.（2）解：|－a2|=|－1－|=||

=|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究創(chuàng)新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比較（1+x）n與1+nx的大小.解：設(shè)f（x）=（1+x）n－（1+nx），則（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.當(dāng)x∈（－1，0）時，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上遞減.當(dāng)x∈（0，+∞）時，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增.∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.評述：理科學(xué)生也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.●思悟小結(jié)

.不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對任意兩實數(shù)a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，這是比較兩數(shù)（式）大小的理論根據(jù)，也是學(xué)習(xí)不等式的基石.2.一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.●教師下載中心

教學(xué)點睛

.加強化歸意識，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算.2.通過復(fù)習(xí)要強化不等式“運算”的條件.如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd.3.強化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯(lián)系.拓展題例

【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比較m+n與0的大??；

（2）比較f（）與f（）的大小.剖析：本題關(guān)鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴l(xiāng)og22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）?log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴l(xiāng)og2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.當(dāng)m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）時，由函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性知x∈（－1，0］時，f（x）為減函數(shù)，x∈［0，+∞）時，f（x）為增函數(shù)，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m?n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？

解：設(shè)該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴當(dāng)x＞1.25時，y1＜y2；

當(dāng)x＜1.25時，y1＞y2.又因x為正整數(shù)，所以當(dāng)x=1，即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社；

當(dāng)x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.課

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第五篇：XX屆高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案

本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址第十五章 復(fù) 數(shù)高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義.4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴充中的作用.本章重點：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念；2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.本章難點：運用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題.近幾年高考對復(fù)數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運算放在首位.知識網(wǎng)絡(luò)15.1 復(fù)數(shù)的概念及其運算

典例精析

題型一 復(fù)數(shù)的概念【例1】如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m＝

；在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第 象限；復(fù)數(shù)z＝3i＋1的共軛復(fù)數(shù)為＝

.【解析】＝m2－m＋i是實數(shù)?1＋m3＝0?m＝－1.因為＝＝1－i，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.因為z＝1＋3i，所以＝1－3i.【點撥】運算此類題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi，并注意復(fù)數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.【變式訓(xùn)練1】如果z＝為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于A.0

B.－1

c.1

D.－1或1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝對應(yīng)的點位于A.第一象限

B.第二象限

c.第三象限

D.第四象限【解析】設(shè)z＝xi，x≠0，則xi＝?1＋ax－i＝0??或故選D.z＝＝＝－1－i，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限.故選c.題型二 復(fù)數(shù)的相等【例2】已知復(fù)數(shù)z0＝3＋2i，復(fù)數(shù)z滿足z·z0＝3z＋z0，則復(fù)數(shù)z＝

；已知＝1－ni，其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝

；已知關(guān)于x的方程x2＋x＋2＋ki＝0有實根，則這個實根為

，實數(shù)k的值為

.【解析】設(shè)z＝x＋yi，又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0得＝3＋3＋2i，整理得＋i＝0，則由復(fù)數(shù)相等的條件得解得所以z＝1－.由已知得m＝＝＋i.則由復(fù)數(shù)相等的條件得所以m＋ni＝2＋i.設(shè)x＝x0是方程的實根，代入方程并整理得由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得或所以方程的實根為x＝或x＝－，相應(yīng)的k值為k＝－2或k＝2.【點撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z＝a＋bi的形式，再由相等得實部與實部相等、虛部與虛部相等.【變式訓(xùn)練2】設(shè)i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi，則a＋b的值是A.－

B.－2

c.2

D.若i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝

.【解析】c.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.3.2＋ai＝b＋i?a＝1，b＝2.題型三 復(fù)數(shù)的運算【例3】若復(fù)數(shù)z＝－＋i，則1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝

；設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，那么z＝

.【解析】由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i＝z.所以zn具有周期性，在一個周期內(nèi)的和為0，且周期為3.所以1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝1＋z＋＋…＋＝1＋z＝＋i.設(shè)z＝x＋yi，則x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.【點撥】解時要注意x3＝1?＝0的三個根為1，ω，其中ω＝－＋i，＝－－i，則1＋ω＋ω2＝0，1＋＋2＝0，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.解時要注意|z|∈R，所以須令z＝x＋yi.【變式訓(xùn)練3】復(fù)數(shù)＋等于A.B.c.－

D.已知復(fù)數(shù)z＝＋XX，則復(fù)數(shù)z等于A.0

B.2

c.－2i

D.2i【解析】D.計算容易有＋＝.A.總結(jié)提高復(fù)數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算：①加減法按合并同類項法則進行；②乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問題只需設(shè)z＝a＋bi代入原式后，就可以將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決.第十六章 幾何證明選講高考導(dǎo)航考試要求重難點擊命題展望

1.了解平行線截割定理.2.會證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.3.會證明并應(yīng)用圓周角定理，圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，并會運用它們進行計算與證明.4.會證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理，并會運用它們進行幾何計算與證明.5.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會證明平面與圓柱面的截線是橢圓.6.了解下面的定理.定理：在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點o，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以o為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l的交角為β，則：①β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；②β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；③β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線.7.會利用丹迪林雙球證明上述定理①的情形：當(dāng)β＞α?xí)r，平面π與圓錐的交線為橢圓.8.會證明以下結(jié)果：①在7.中，一個丹迪林球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行.記這個圓所在的平面為π′.②如果平面π與平面π′的交線為m，在6.①中橢圓上任取點A，該丹迪林球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.9.了解定理6.③中的證明，了解當(dāng)β無限接近α?xí)r，平面π的極限結(jié)果.本章重點：相似三角形的判定與性質(zhì)，與圓有關(guān)的若干定理及其運用，并將其運用到立體幾何中.本章難點：對平面截圓柱、圓錐所得的曲線為圓、橢圓、雙曲線、拋物線的證明途徑與方法，它是解立體幾何、平面幾何知識的綜合運用，應(yīng)較好地把握.本專題強調(diào)利用演繹推理證明結(jié)論，通過推理證明進一步發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，進一步提高空間想象能力、幾何直觀能力和綜合運用幾何方法解決問題的能力.第一講與第二講是傳統(tǒng)內(nèi)容，高考中主要考查平行線截割定理、直角三角形射影定理以及與圓有關(guān)的性質(zhì)和判定，考查邏輯推理能力.第三講內(nèi)容是新增內(nèi)容，在新課程高考下，要求很低，只作了解.知識網(wǎng)絡(luò)

6.1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 典例精析題型一 相似三角形的判定與性質(zhì)【例1】如圖，已知在△ABc中，D是Bc邊的中點，且AD＝Ac，DE⊥Bc，DE與AB相交于點E，Ec與AD相交于點F.求證：△ABc∽△FcD；若S△FcD＝5，Bc＝10，求DE的長.【解析】因為DE⊥Bc，D是Bc的中點，所以EB＝Ec，所以∠B＝∠1.又因為AD＝Ac，所以∠2＝∠AcB.所以△ABc∽△FcD.過點A作Am⊥Bc，垂足為點m.因為△ABc∽△FcD，Bc＝2cD，所以＝2＝4，又因為S△FcD＝5，所以S△ABc＝20.因為S△ABc＝Bc·Am，Bc＝10，所以20＝×10×Am，所以Am＝4.又因為DE∥Am，所以＝，因為Dm＝Dc＝，Bm＝BD＋Dm，BD＝Bc＝5，所以＝，所以DE＝.【變式訓(xùn)練1】如右圖，在△ABc中，AB＝14cm，＝，DE∥Bc，cD⊥AB，cD＝12cm.求△ADE的面積和周長.【解析】由AB＝14cm，cD＝12cm，cD⊥AB，得S△ABc＝84cm2.再由DE∥Bc可得△ABc∽△ADE.由＝2可求得S△ADE＝cm2.利用勾股定理求出Bc，Ac，再由相似三角形性質(zhì)可得△ADE的周長為15cm.題型二 探求幾何結(jié)論【例2】如圖，在梯形ABcD中，點E，F(xiàn)分別在AB，cD上，EF∥AD，假設(shè)EF做上下平行移動.若＝，求證：3EF＝Bc＋2AD；若＝，試判斷EF與Bc，AD之間的關(guān)系，并說明理由；請你探究一般結(jié)論，即若＝，那么你可以得到什么結(jié)論？【解析】過點A作AH∥cD分別交EF，Bc于點G、H.因為＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，從而EF＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即3EF＝Bc＋2AD.EF與Bc，AD的關(guān)系式為5EF＝2Bc＋3AD，理由和類似.因為＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即EF＝mBc＋nAD.【點撥】在相似三角形中，平行輔助線是常作的輔助線之一；探求幾何結(jié)論可按特殊到一般的思路去獲取，但結(jié)論證明應(yīng)從特殊情況得到啟迪.【變式訓(xùn)練2】如右圖，正方形ABcD的邊長為1，P是cD邊上中點，點Q在線段Bc上，設(shè)BQ＝k，是否存在這樣的實數(shù)k，使得以Q，c，P為頂點的三角形與△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.【解析】設(shè)存在滿足條件的實數(shù)k，則在正方形ABcD中，∠D＝∠c＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QcP或Rt△ADP∽Rt△PcQ得＝或＝，由此解得cQ＝1或cQ＝.從而k＝0或k＝.題型三 解決線的位置或數(shù)量關(guān)系【例3】如圖，在四邊形ABcD中，△ABc△BAD，求證：AB∥cD.【證明】由△ABc≌△BAD得∠AcB＝∠BDA，所以A、B、c、D四點共圓，所以∠cAB＝∠cDB.再由△ABc≌△BAD得∠cAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠cDB，即AB∥cD.【變式訓(xùn)練3】如圖，AA1與BB1相交于點o，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AoB的外接圓的直徑為1，則△A1oB1的外接圓的直徑為

.【解析】因為AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AoB∽△A1oB1因為兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比.所以△A1oB1的外接圓直徑為2.總結(jié)提高1.相似三角形的判定與性質(zhì)這一內(nèi)容是平面幾何知識的重要組成部分，是解題的工具，同時它的內(nèi)容滲透了等價轉(zhuǎn)化、從一般到特殊、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想與方法，在學(xué)習(xí)時應(yīng)以它們?yōu)橹笇?dǎo).相似三角形的證法有：定義法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性質(zhì)主要有對應(yīng)線的比值相等，對應(yīng)角相等，面積的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行輔助線是常作的輔助線之一，遇到困難時應(yīng)?？紤]此類輔助線.16.2 直線與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的性質(zhì)典例精析題型一 切線的判定和性質(zhì)的運用【例1】如圖，AB是⊙o的直徑，Ac是弦，∠BAc的平分線AD交⊙o于點D，DE⊥Ac，交Ac的延長線于點E，oE交AD于點F.求證：DE是⊙o的切線；若＝，求的值.【解析】證明：連接oD，可得∠oDA＝∠oAD＝∠DAc，所以oD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥oD，又oD為半徑，所以DE是⊙o的切線.過D作DH⊥AB于H，則有∠DoH＝∠cAB，＝cos∠DoH＝cos∠cAB＝＝，設(shè)oD＝5x，則AB＝10x，oH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DoF可得AF∶DF＝AE∶oD＝，所以＝.【變式訓(xùn)練1】已知在直角三角形ABc中，∠AcB＝90°，以Bc為直徑的⊙o交AB于點D，連接Do并延長交Ac的延長線于點E，⊙o的切線DF交Ac于點F.求證：AF＝cF；若ED＝4，sin∠E＝，求cE的長.【解析】方法一：設(shè)線段FD延長線上一點G，則∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDo＝，所以∠ADF＋∠BDo＝，又因為在⊙o中oD＝oB，∠BDo＝∠oBD，所以∠ADF＋∠oBD＝.在Rt△ABc中，∠A＋∠cBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF.所以AF＝cF.方法二：在直角三角形ABc中，直角邊Bc為⊙o的直徑，所以Ac為⊙o的切線，又FD為⊙o的切線，所以FD＝cF，且∠FDc＝∠FcD.又由Bc為⊙o的直徑可知，∠ADF＋∠FDc＝，∠A＋∠FcD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝cF.因為在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝Fc，所以cE＝2.題型二 圓中有關(guān)定理的綜合應(yīng)用【例2】如圖所示，已知⊙o1與⊙o2相交于A、B兩點，過點A作⊙o1的切線交⊙o2于點c，過點B作兩圓的割線，分別交⊙o1、⊙o2于點D、E，DE與Ac相交于點P.求證：AD∥Ec；若AD是⊙o2的切線，且PA＝6，Pc＝2，BD＝9，求AD的長.【解析】連接AB，因為Ac是⊙o1的切線，所以∠BAc＝∠D，又因為∠BAc＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥Ec.方法一：因為PA是⊙o1的切線，PD是⊙o1的割線，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·，所以PB＝3.在⊙o2中，由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，所以PE＝4.因為AD是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：設(shè)BP＝x，PE＝y(tǒng).因為PA＝6，Pc＝2，所以由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，即xy＝12.①因為AD∥Ec，所以＝，所以＝.②由①②可得或，所以DE＝9＋x＋y＝16.因為AD是⊙o2的切線，DE是⊙o2的割線，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【變式訓(xùn)練2】如圖，⊙o的直徑AB的延長線與弦cD的延長線相交于點P，E為⊙o上一點，DE交AB于點F，且AB＝2BP＝4.求PF的長度；若圓F與圓o內(nèi)切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度.【解析】連接oc，oD，oE，由同弧對應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系，結(jié)合題中已知條件可得∠cDE＝∠Aoc.又∠cDE＝∠P＋∠PFD，∠Aoc＝∠P＋∠ocP，從而∠PFD＝∠ocP，故△PFD∽△Pco，所以＝.由割線定理知Pc·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.若圓F與圓o內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因為oF＝2－r＝1，即r＝1，所以oB是圓F的直徑，且過點P的圓F的切線為PT，則PT2＝PB·Po＝2×4＝8，即PT＝2.題型三 四點共圓問題【例3】如圖，圓o與圓P相交于A、B兩點，圓心P在圓o上，圓o的弦Bc切圓P于點B，cP及其延長線交圓P于D，E兩點，過點E作EF⊥cE，交cB的延長線于點F.求證：B、P、E、F四點共圓；若cD＝2，cB＝2，求出由B、P、E、F四點所確定的圓的直徑.【解析】證明：連接PB.因為Bc切圓P于點B，所以PB⊥Bc.又因為EF⊥cE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F(xiàn)四點共圓.因為B，P，E，F(xiàn)四點共圓，且EF⊥cE，PB⊥Bc，所以此圓的直徑就是PF.因為Bc切圓P于點B，且cD＝2，cB＝2，所以由切割線定理cB2＝cD·cE，得cE＝4，DE＝2，BP＝1.又因為Rt△cBP∽Rt△cEF，所以EF∶PB＝cE∶cB，得EF＝.在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B，P，E，F(xiàn)四點確定的圓的直徑為.【變式訓(xùn)練3】如圖，△ABc是直角三角形，∠ABc＝90°.以AB為直徑的圓o交Ac于點E，點D是Bc邊的中點.連接oD交圓o于點m.求證：o，B，D，E四點共圓；2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.【證明】連接BE，則BE⊥Ec.又D是Bc的中點，所以DE＝BD.又oE＝oB，oD＝oD，所以△oDE≌△oDB，所以∠oBD＝∠oED＝90°，所以D，E，o，B四點共圓.延長Do交圓o于點H.因為DE2＝Dm·DH＝Dm·＝Dm·Do＋Dm·oH＝Dm·＋Dm·，所以2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.總結(jié)提高1.直線與圓的位置關(guān)系是一種重要的幾何關(guān)系.本章在初中平面幾何的基礎(chǔ)上加以深化，使平面幾何知識趨于完善，同時為解析幾何、立體幾何提供了多個理論依據(jù).2.圓中的角如圓周角、圓心角、弦切角及其性質(zhì)為證明相關(guān)的比例線段提供了理論基礎(chǔ)，為解決綜合問題提供了方便，使學(xué)生對幾何概念和幾何方法有較透徹的理解.第十七章 坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考導(dǎo)航 考試要求重難點擊命題展望

一、坐標(biāo)系1.了解在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的方法，理解坐標(biāo)系的作用.2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間點的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別.二、參數(shù)方程1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數(shù)方程.4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實際中應(yīng)用的實例；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用.本章重點：1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標(biāo)系；坐標(biāo)法思想；平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換；極坐標(biāo)系；直線和圓的極坐標(biāo)方程.2.根據(jù)問題的條件引進適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.本章難點：1.對伸縮變換中點的對應(yīng)關(guān)系的理解；極坐標(biāo)的不唯一性；曲線的極坐標(biāo)方程.2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程.坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標(biāo)系，以便使建立的方程更加簡單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標(biāo)系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便.本專題要求通過坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生更全面地理解坐標(biāo)法思想；能根據(jù)曲線的特點，選取適當(dāng)?shù)那€方程表示形式，體會解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活性.高考中，參數(shù)方程和極坐標(biāo)是本專題的重點考查內(nèi)容.對于柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系，只要求了解即可.知識網(wǎng)絡(luò)17.1 坐標(biāo)系典例精析題型一 極坐標(biāo)的有關(guān)概念【例1】已知△ABc的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A，B，c，試判斷△ABc的形狀，并求出它的面積.【解析】在極坐標(biāo)系中，設(shè)極點為o，由已知得∠AoB＝，∠Boc＝，∠Aoc＝.又|oA|＝|oB|＝5，|oc|＝4，由余弦定理得|Ac|2＝|oA|2＋|oc|2－2|oA|·|oc|·cos∠Aoc＝52＋2－2×5×4·cos＝133，所以|Ac|＝.同理，|Bc|＝.所以|Ac|＝|Bc|，所以△ABc為等腰三角形.又|AB|＝|oA|＝|oB|＝5，所以AB邊上的高h＝＝，所以S△ABc＝××5＝.【點撥】判斷△ABc的形狀，就需要計算三角形的邊長或角，在本題中計算邊長較為容易，所以先計算邊長.【變式訓(xùn)練1】點A在條件：①ρ＞0，θ∈下極坐標(biāo)為

，②ρ＜0，θ∈下極坐標(biāo)為

；點P與曲線c：ρ＝cos的位置關(guān)系是

.【解析】；.點P在曲線c上.題型二 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化【例2】⊙o1和⊙o2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.把⊙o1和⊙o2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；求經(jīng)過⊙o1和⊙o2交點的直線的直角坐標(biāo)方程.【解析】以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同單位長.因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙o1的直角坐標(biāo)方程.同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙o2的直角坐標(biāo)方程.由解得或即⊙o1，⊙o2的交點為和兩點，故過交點的直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0.【點撥】互化的前提條件：原點對應(yīng)著極點，x軸正向?qū)?yīng)著極軸.將互化公式代入，整理可以得到.【變式訓(xùn)練2】在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ＝3上的點到直線ρ＝2的距離為d，求d的最大值.【解析】將極坐標(biāo)方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9，ρ＝2可化為x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一點A，則點A到直線的距離為d＝＝，它的最大值為4.題型三 極坐標(biāo)的應(yīng)用【例3】過原點的一動直線交圓x2＋2＝1于點Q，在直線oQ上取一點P，使P到直線y＝2的距離等于|PQ|，用極坐標(biāo)法求動直線繞原點一周時點P的軌跡方程.【解析】以o為極點，ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y＝2，則有|PQ|＝|PR|.設(shè)P，Q，則有ρ0＝2sinθ.因為|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即為點P的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4或x＝0.【點撥】用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)，這樣可以簡化運算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時也容易一些.【變式訓(xùn)練3】如圖，點A在直線x＝5上移動，等腰△oPA的頂角∠oPA為120°，求點P的軌跡方程.【解析】取o為極點，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線x＝5的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝5.設(shè)A，P，因為點A在直線ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因為△oPA為等腰三角形，且∠oPA＝120°，而|oP|＝ρ，|oA|＝ρ0以及∠PoA＝30°，所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得點P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρcos＝5.題型四平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的伸縮變換【例4】定義變換T：可把平面直角坐標(biāo)系上的點P變換成點P′.特別地，若曲線m上一點P經(jīng)變換公式T變換后得到的點P′與點P重合，則稱點P是曲線m在變換T下的不動點.若橢圓c的中心為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，且焦距為2，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2.求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出當(dāng)tanθ＝時，其兩個焦點F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點F1′和F2′的坐標(biāo)；當(dāng)tanθ＝時，求中的橢圓c在變換T下的所有不動點的坐標(biāo).【解析】設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，由橢圓定義知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，且橢圓c兩個焦點的坐標(biāo)分別為F1和F2.對于變換T：當(dāng)tanθ=時，可得設(shè)F1′和F2′分別是由F1和F2的坐標(biāo)經(jīng)變換公式T變換得到.于是即F1′的坐標(biāo)為；又即F2′的坐標(biāo)為.設(shè)P是橢圓c在變換T下的不動點，則當(dāng)tanθ＝時，有?x＝3y，由點P∈c，即P∈c，得＋y2＝1?因而橢圓c的不動點共有兩個，分別為和.【變式訓(xùn)練4】在直角坐標(biāo)系中，直線x－2y＝2經(jīng)過伸縮變換

后變成直線2x′－y′＝4.【解析】總結(jié)提高1.平面內(nèi)一個點的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示方法.如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)表示；反之也成立.2.熟練掌握幾種常用的極坐標(biāo)方程，特別是直線和圓的極坐標(biāo)方程.17.2 參數(shù)方程典例精析題型一 參數(shù)方程與普通方程互化【例1】把下列參數(shù)方程化成普通方程：

；

.【解析】所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.由題意可得所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.【變式訓(xùn)練1】把下列參數(shù)方程化為普通方程，并指出曲線所表示的圖形.【解析】x2＝2，－≤x≤，圖形為一段拋物線弧.x＝1，y≤－2或y≥2，圖形為兩條射線.x2＋y2－3y＝0，圖形是一個圓，但是除去點.－＝1，圖形是雙曲線.題型二 根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長【例2】已知直線l的參數(shù)方程為，曲線c的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝1.求曲線c的普通方程；求直線l被曲線c截得的弦長.【解析】由曲線c：ρ2cos2θ＝ρ2＝1，化成普通方程為x2－y2＝1.①方法一：把直線參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程.②把②代入①得2－2＝1，整理得t2－4t－6＝0.設(shè)其兩根為t1，t2，則t1＋t2＝4，t1t2＝－6.從而弦長為|t1－t2|＝＝＝＝2.方法二：把直線的參數(shù)方程化為普通方程為y＝，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.設(shè)l與c交于A，B，則x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝2.【變式訓(xùn)練2】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為，若以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線c的極坐標(biāo)方程為ρ＝cos，求直線l被曲線c所截的弦長.【解析】將方程化為普通方程為3x＋4y＋1＝0.將方程ρ＝cos化為普通方程為x2＋y2－x＋y＝0.表示圓心為，半徑為r＝的圓，則圓心到直線的距離d＝，弦長＝2＝2＝.題型三 參數(shù)方程綜合運用【例3】已知曲線c1：

，c2：

.化c1，c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；若c1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為c2上的動點，求PQ中點m到直線c3：距離的最小值.【解析】c1：2＋2＝1，c2：＋＝1.c1是以為圓心，1為半徑的圓；c2是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓.當(dāng)t＝時，P，Q，故m.c3為直線x－2y－7＝0，m到c3的距離d＝|4cosθ－3sinθ－13|，從而cosθ＝，sinθ＝－時，d取最小值.【變式訓(xùn)練3】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點o為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，得曲線c2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ－4sinθ.化曲線c1、c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；設(shè)曲線c1與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P，經(jīng)過點P作曲線c2的切線l，求切線l的方程.【解析】曲線c1：＋＝1；曲線c2：2＋2＝5.曲線c1為中心是坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長半軸長是4，短半軸長是2的橢圓；曲線c2為圓心為，半徑為的圓.曲線c1：＋＝1與x軸的交點坐標(biāo)為和，因為m＞0，所以點P的坐標(biāo)為.顯然切線l的斜率存在，設(shè)為k，則切線l的方程為y＝k.由曲線c2為圓心為，半徑為的圓得＝，解得k＝，所以切線l的方程為y＝.總結(jié)提高1.在參數(shù)方程與普通方程互化的過程中，要保持化簡過程的同解變形，避免改變變量x，y的取值范圍而造成錯誤.2.消除參數(shù)的常用方法有：①代入消參法；②三角消參法；③根據(jù)參數(shù)方程的特征，采用特殊的消參手段.3.參數(shù)的方法在求曲線的方程等方面有著廣泛的應(yīng)用，要注意合理選參、巧妙消參.