第一篇：關注反證法在立體幾何證明題中的應用

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關注反證法在立體幾何證明題中的應用 作者：王健

來源：《數(shù)理化學習·高三版》2012年第10期

第二篇：分析法在立體幾何問題中應用

分析法在立體幾何問題中應用

立體幾何在高中是一個難點，特別是添輔助線，讓很多同學無從下手.雖然證明題的思路是非常明確的，比如要證明線面平行，只要在平面中找到一條直線與已知直線平行即可；要證明兩條異面直線垂直，只要構造一個包含其中一條直線的平面與另一條直線垂直即可，但是如何去尋找所需要的直線與平面呢？幸好空間向量的引入，使得立體幾何也可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題進行計算，不需要添加輔助線，只要能建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算即可解決立體幾何的問題.但事與愿違，那些沒有數(shù)量關系的幾何問題不可能利用空間向量來解決，因此如何添加輔助線的可操作性的方法便呼之欲出.接下來，利用分析法討論兩類問題：如何添加輔助線和建立適當空間直角坐標系.一、分析法解決輔助線問題

例1 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，求證：B1D?平面ACD1.分析：要證明B1D?平面ACD1，只要證明B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的兩條相交直線.利用分析法，可以將B1D?平面ACD1看成是已知條件，則根據(jù)線面垂直的定義，有B1D垂直于平面ACD1內(nèi)的所有直線，所以只要選取其中的兩條來證明即可.接下來問題就轉(zhuǎn)化成為證明B1D?AC和B1D?CD1，即兩條異面直線垂直，常用的方法就是構造線面垂直.先來證明B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知條件，由于A、C、D處于下底面，只要過D有一條垂直垂直于AC的直線即可，因為底面是一個正方形，故對角線互相垂直，所以只要連接BD，就應有AC?平面BB1D.這樣問題就轉(zhuǎn)化為證明AC?平面

BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可證明.然后同理可證B1D?CD1.證明過程略.A

D1 C

1B1

A1

D

C

B

評注：其實這個題，如果用三垂線定理，應該是比較容易想到連接BD，因為BD是B1D在下表面內(nèi)的射影。但由于課改后，在必修2中對三垂線定理只字不提，增大了此類題目的難度.類似地，《普通高中課程標準實驗教科書》（人教版）數(shù)學必修2的73頁上有這樣一個探究題：如圖，直四棱柱ABCD?ABCD（側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，AC?BD?

'

'

'

'

'

'

'

'

'B

D

B

分析：連接A'C'，只要A'C'?B'D'，就有A'C?B'D'.C

例2 如圖，ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點，M為SC的中點.求證：SA//平面MDB.S

M

D C

A

B

分析：要證明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一條直線與SA平行.利用分析法，可以將SA//平面MDB看成已知條件，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，過SA的平面只要與平面MDB相交，則SA與交線平行.題目中包含SA有兩個平面只有平面SAB和平面SAD，而這兩個平面與平面MDB的交線在這個幾何體的外面，不太好找.我們可以改變策略，在四棱錐中構作一個包含SA的平面.根據(jù)確定平面的公理2的推論：一條直線和直線外一點可以唯一確定一個平面，我們選取點C，連接AC交BD于O，構作平面SAC，它與平面MDB的交線是OM，故只要證明SA//OM.由于底面是平行四邊形，M是SC的中點，易得

SA//OM.證明過程略.評注：由于線面平行的話，直線上所有點到平面的距離相等，而且垂直于同一個平面的兩條直線平行，兩條平行直線也可確定一個平面，有時也利用平行四邊形構作平面.如下題.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別是A1B、AC上的點，A1M?AN.求證：MN//平面BB1C1C.二、分析法建立空間直角坐標系

利用空間向量解決立體幾何問題有著無比的優(yōu)越性，因此逐漸成為高考的熱點之一.新課改也處處體現(xiàn)向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介紹了空間直角坐標系，重點要求掌握空間直角坐標系中點的坐標的確定，以及空間向量的模長，從而掌握空間向量的數(shù)量積來解決長度與角度的問題.而空間直角坐標系是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的關鍵，所以如何建立空間直角坐標系就顯得猶為重要.接下來，利用分析法談談建立空間直角坐標系的問題.例3 四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45?，AB?

2，BC?

SA?SB?

（1）求證：SA?BC；

（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小.S

C

B

D

A

分析：要建立空間直角坐標系，最好有一個線面垂直.先來分析下底面，由于下底面是?ABC?45?的平行四邊形，且AB?

2，BC?故連接AC，有?ABC是已?CAB為直角的等腰直角三角形.取BC的中點為O，連接AO，則AO?BC

.利用分析法，將SA?BC看成已知條件，所以應有BC?平面SAO，則SO?BC.因為側面SBC?底面ABCD，根據(jù)面面垂直的定義，有SO?底面ABCD.故可取O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OS所在的直線為z軸建立空間直角坐標系.證明過程略.附：分析法得到意想不到的結果

1.設a,b,c都為正數(shù)，求證：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).分析：由于a,b,c都為正數(shù)，當a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0時，可以將a,b,c看成是三角形的三邊.由不等式的右邊聯(lián)想到海倫公式，有

abc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S

abca?b?c?16?r()

4R2

得R?2r（其中R,r分別為三角形的外接圓與內(nèi)切圓的圓心）2.在數(shù)列{an}中，已知an?ln2.解Sn?ln下先證明ln

12?ln1

23?ln1

nn?1，Sn是{an}的前n項和，求證：Sn?

n

1n

.???ln

12n1

?ln(??)?ln，n?123n?1n?11，只證lnx?x，令f(x)?lnx?x(0?x?1)，n?1n?1n?111?x

?0，又0?x?1，得f?(x)?0，∴f(x)為增函數(shù)，則f?(x)??1?

xx

?，令x?

得f(x)?f(1)?ln1?1??1?0，即lnx?x?0，有l(wèi)nx?x，于是ln

1n?1

?

1n?1

?

1n

.3.設函數(shù)f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點；

（2）當p?0時，若對于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；（3）證明：當n?N，n?2時，ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

解：（1）f(x)的定義域為(0,??)。當p?0時，f?(x)?

1x

?p?0，f(x)在其定義域上是增函數(shù)，故沒有極值點。

當p?0時，若x?(0,)，則f?(x)?

p1p

11?pxx

?0

；若x?(,??)，則f?(x)?

p

11?pxx

?0，于

是f(x)有極小值點x?。

1p

（2）由（1）知，p?0時，f(x)有極小值點f()?ln

p

1p，由于f(x)在其定義域上只

1p

有一個極值點，因此f(x)的最大值為f()?ln

p

。所以f(x)?0?ln?0?p?1。

1x

（3）由（2）知，當p?1，x?0時，f(x)?0?lnx?x?1?

于是

ln22

lnxx

?1?。

?

ln33

???

lnnn

?(1?

12)?(1?

13)???(1?

1n

1n)

?(n?1)?(又當n?N，n?2時，12

?

???)。

1n

?

?

1(n?1)n

13?14

?

1n

?

1n?1

1n131，于是

1n?1)?1n

?

???

1n

?（12

13)?()???（12

?

12)

?

1n?1，∴

ln22

?

ln33

???

lnnn

?(n?1)?(????

?(n?1)?(?

n?1)?

2n?n?12(n?1)，即

ln22

?

ln33

???

lnnn

?

2n?n?12(n?1)。

評析：導數(shù)進入中學數(shù)學后，為中學不等式證明提供了一個強大工具。正因為如此，通過構造函數(shù)并利用導數(shù)證明不等式已成為高考數(shù)學試題中一道亮麗的風景線。本題第（2）問實際上已經(jīng)作出暗示，對比待證不等證式與第（2）問所得結論，證明思路自然生成。

第三篇：法向量在立體幾何解題中的應用

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法向量在立體幾何解題中的應用

作者：魏慶鼎

來源：《理科考試研究·高中》2013年第08期

高中數(shù)學教材引進了向量知識以后，為我們解決數(shù)學問題提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問題中，是行之有效的方法，它解決了以前舊版教材立幾中的這兩個難點.在舊版教材中，運用幾何法解決這兩類問題，要通過“作”、“證”、“求”，既要有較強的空間想象能力，又要求學生對空間中，線、面之間的判定、性質(zhì)等定理非常熟悉并能熟練應用，對學生，特別是中下水平的學生是一大難點.而現(xiàn)在向量法則很好解決了這個難點，所以它對人們研究立幾問題有著普及的意義.同時向量法對立幾中的線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關系的證明，也非常簡便.空間向量的引入使立體幾何的解題變得直觀、易懂.而“法向量”的靈活應用，給解決空間問題提供了一個很方便、實用的工具，會使我們在高考中快捷地解決立體幾何問題.以下是本人在教學過程中總結出來的關于“法向量”在立體幾何中的一些應用.現(xiàn)把教學中得到的這些方法進行歸類，供同行參考.4.用法向量求二面角平面角的大小

求二面角的平面角的大小可先求出兩個平面的法向量；則兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補.此時，觀察二面角的平面角為銳角還是鈍角，視情況而定.（注：在證明面面平行或面面垂直時，也可采用此法.如兩面的法向量共線，即兩平面平行；如兩平面的法向量垂直，即兩平面垂直）從以上的一些例題中，我們不難看出“法向量”這一特殊工具在立體幾何的解題中的優(yōu)越性.但在具體做題中，我們還應對不同的題型選擇更便捷的方法去做，視自己對知識掌握的情況而定.

第四篇：解剖學在幾何證明題中的應用

“解剖學”在幾何證明題中的應用

咸安區(qū)白鶴中學游明勇

幾何的正面，是學生感到很難的一部分內(nèi)容。它需把定理與圖形

靈活地結合起來，一些簡單的幾何圖形，孩比較容易找到切入點，但

對一些組合圖形，或圖形中的線，圖形較多時，我就采取“解剖學”

中的方法，把圖形先提出來，分析探究有關結論，再放進去，把不熟

悉的圖形，變成成熟的，學生就很容易找到切入點。

案例1》：如圖,?O1與?O2外切于P，AB切?O1于A，切?O2于

B，R1=4,R2=2，求AB的長。

老師提出問題：怎樣求AB的長呢？請學生邊讀題邊結合圖形，你能讀出哪些結論？有哪些輔助線？

生：（1）點O1,P,O2三點共線。

（2）連O1A,O2B 輔助線。

師：試連線，結合題中已知，你能得到哪些線段長？

生：O1O2=6,AO1=4,BO2=

2結合題中問題，觀察思考：題中怎樣求線的AB的長？讓學生自己動

手做后，老師再用另一種思路解:AB師：請把圖中點A,B,O1,O2四點對應的圖形

4提出來，結合初二基本圖形，你有所發(fā)現(xiàn)。O1 6

生：它就是：初二梯形中，已知上、下底長—腰長，求另一腰長。

反思：歸納：這樣，在幾何題證明中，避免其它線對思維的影響，可O2

適當?shù)匕巡糠謭D像從原題中提出來進行分析，得出結論，還放回原題

進行解答。

案例2>：如圖，?O1與?O2都經(jīng)過A, B兩點，過點A的直線CD

與?O1交于C，與?O2交于D，過點B的直線EF與?O1交與E，交?

M

E?圖（1）N（1）求證：CE//DF.（2）在圖（1）中，若CD與EF可以繞點A, B 轉(zhuǎn)動，當點C與點

E重合時，過點E作直線MN//DF。判斷直線MN與?O1的位

置關系，并證明你的結論。與?O2師：案例（1）中靈活應用，把題中部分“器官”提出來，進行分析，然后再放進去，你能用上述方法對案例（2）中第1小題進行分析嗎？

試試看。

生：抓住兩圓相交的基本輔助線，在不同圓中分別進行剖析，應用圓

內(nèi)接四邊形性質(zhì)，和平行線的判定方法，易證。CA

師：對于第（2）小題，圖形變了，已知，結論也有所改變：你能用

以上“解剖”的方法，把它們分開分拆，提出來，再放進去找聯(lián)系嗎？

生：可作如圖分解 ：

在圖（b）中可證：

再在圖（a）中，就是已知< ABE=

師生反思：因此，在幾何證明題中，當圖中的線較多或圖形較復雜時，可以使當?shù)匕巡糠謭D形提出來，單個研究，防止，其他圖對思維的影

響，阻礙了思維的發(fā)展。因此，使當?shù)夭扇　敖馄实姆椒ā保y為

易，化繁為簡，化不熟悉為常規(guī)，采取“各個擊破”的思想，大大降

低了解題的難度，改變了大部分學生認為幾何難學的思想，在某一定

程度上，激發(fā)了學生求學的興趣。

第五篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關系與垂直關系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質(zhì)定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標準只要求對于四個性質(zhì)定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很