第一篇：用反證法證明不等式

用反證法證明不等式

一、反證法的含義

反證法是指“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實(shí)（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果．這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立．”這種證明的方法，叫做反證法．

二、反證法的嚴(yán)密性

數(shù)學(xué)證明方法可分為直接證法和間接證法，從原命題所給的條件出發(fā)，根據(jù)已有的公理、定義、法則、公式，通過一系列的推理，一直推到所要證明的命題的結(jié)論，這種證法叫做直接證法．有些命題不易用直接證法去證明，這時可通過證明它的等價命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法．?dāng)?shù)學(xué)中常用的間接證法有反證法．

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題的．

三、反證法證題的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1、假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

2、從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3、由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．

即：提出假設(shè)——推出矛盾——肯定結(jié)論．

四、反證法的分類

反證法中有歸謬法和窮舉法兩種．

原命題的結(jié)論的否定只有一種情況，只要把這種情況推翻，就可以肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做歸謬法；如果原命題的結(jié)論的否定不止一種情況，那么就必須把這幾種情況一一否定，才能肯定原命題結(jié)論成立，這種反證法叫做窮舉法．

五、反證法中常見的矛盾形式

（1）與已知條件即題設(shè)矛盾；

（2）與假設(shè)即反設(shè)矛盾；

（3）與已知的定義、公理和定理矛盾，即得出一個恒假命題；`

（4）自相矛盾．

六、反證法的適用范圍

（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結(jié)論很少；

（2）命題的結(jié)論以否定形式出現(xiàn)時；

（3）命題的結(jié)論以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時；

（4）命題的結(jié)論以“唯一”的形式出現(xiàn)；

（5）命題的結(jié)論以“無限”的形式出現(xiàn)時；

（6）關(guān)于存在性命題；

（7）某些定理的逆定理．

總之，正難則反，直接的東西較少、較抽象、較困難時，其反面常會較多、較具體、較容易．

反證法有進(jìn)也用于整個命題論證過程的某個局部環(huán)節(jié)上．

七、用反證法證明不等式舉例

例 已知、、、，且

.求證：、、、中至少有一個是負(fù)數(shù).選題意圖：本題考查利用反證法證明不等式.證明：假設(shè)、、、都是非負(fù)數(shù)，∵

∴

又

∴

這與已知

.矛盾.，.∴、、、中至少有一個是負(fù)數(shù).

第二篇：專題：不等式的證明——反證法

專題：不等式的證明問題 ——反證法

反證法證明不等式 ? 方法介紹：

從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理導(dǎo)出矛盾，證實(shí)否定的結(jié)論是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的。? 規(guī)律點(diǎn)撥：

① 必須先否定結(jié)論，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，要分類討論各種可能的情況。

② 否定結(jié)論之后，必須要從否定的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾。

③ 推導(dǎo)出的矛盾多種多樣?？赡芘c已知矛盾、與假設(shè)矛盾、與公理事實(shí)相矛盾等等。動筆前先審視題目中可能利用的矛盾類型，可以令思路更清晰。

④ 當(dāng)結(jié)論是：“都是。?！薄ⅰ岸疾皇?。?！薄ⅰ爸辽?。。”、“至多。?！钡刃问綍r常用反證法。? 典型題例

1.設(shè)a，b，c?R，且a?b?c?0，ab?bc?ac?0，abc?0。求證：

1?ba、1?ab

中至少有一個小于2。

4.已知a、b、c?(0,1)，求證：

(1?a)b、(1?b)c、(1?c)a不能同時大于1/4.5.a，b，c?R，求證：

a?2c、b?2a、c?2b三個式子中至

少有一個不小于?1。

a，b，c均大于零。

2.設(shè)

f(x)?x?px?q(p,q?R)

證明：f(1)、f(2)、f(3)中至少有一個不小于1/2。

3.已知a?0，b?0且a?b?2，求證：學(xué)林家教

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***（黃老師）

第三篇：放縮法、反證法證明不等式10

放縮法、反證法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)：

掌握放縮法和反證法證明不等式 教學(xué)難點(diǎn)：

放縮法和反證法 教學(xué)過程：

一、簡要回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾種不等式證明的方法

提出課題：放縮法與反證法

二、放縮法： 例

一、若a, b, c, d?R+，求證：1?證：記m =

abcd????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?cabcd???

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c∵a, b, c, d?R+

∴m?abcd????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?cabcd????2 a?ba?bc?dd?c

∴1 < m < 2

即原式成立

m?例

二、當(dāng) n > 2 時，求證：logn(n?1)logn(n?1)?

1證：∵n > 2

∴l(xiāng)ogn(n?1)?0,logn(n?1)?0

?logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)? ∴l(xiāng)ogn(n?1)logn(n?1)???

???22????2?log?nn????1

2??22

2∴n > 2時, logn(n?1)logn(n?1)?1 例

三、求證：

證：

∴1111??????2 122232n21111??? n2n(n?1)n?1n1111111111??????1?1????????2??2 2222223n?1nn123n

三、反證法：

1例

四、設(shè)0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

4111證：設(shè)(1 ? a)b >,(1 ? b)c >,(1 ? c)a >, 4441則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <

①

641?(1?a)?a?又∵0 < a, b, c < 1

∴0?(1?a)a?? ??24??同理：(1?b)b?11,(1?c)c? 4

與①矛盾 642以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤∴原式成立

例

五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0

證：設(shè)a < 0，∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 則b + c = ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c)+ bc < 0

與題設(shè)矛盾

又：若a = 0，則與abc > 0矛盾，∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0

四、作業(yè)：證明下列不等式：

1． 設(shè)x > 0, y > 0,a?2． lg9?lg11 < 1

x?yxy?, b?，求證：a < b

1?x?y1?x1?y3．logn(n?1)logn(n?1)?1

114???0 a?bb?cc?a1111????2?1(n?R?,n?2)5．?nn?1n?2n1111?????1 6．?2n?1n?22n7．設(shè)0 < a, b, c < 2，求證：(2 ? a)c,(2 ? b)a,(2 ? c)b,不可能同時大于1 4．若a > b > c, 則8．若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個小于2 xy

第四篇：用均值不等式證明不等式

用均值不等式證明不等式

【摘要】：不等式的證明在競賽數(shù)學(xué)中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個不等式，我們在證明不等式時，常用到均值不等式。要求我們要認(rèn)真分析題目，本文通過幾個國內(nèi)外競賽數(shù)學(xué)的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關(guān)鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

設(shè) a1、a2、?、an 是 n 個 正數(shù)，則不等式H(a)?G(a)?A(a)?Q(a)稱為均值不等式[1]．其中

H(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，G(a)?

a1a2a1a?an，A(n)?

a1?a2???an

n

22，2

Q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調(diào)和不等式，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均分別稱為 a1、a2、值．

例1設(shè)a1、a2、…、an均為正，記

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證：?(n)??(n?1)，并求等號成立的條件．

證明由所設(shè)條件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 將G(a)?A(a)應(yīng)用于n個正數(shù)：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1個

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，當(dāng)且僅當(dāng)an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?時等號成1

此題不只是公式的直接應(yīng)用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題． 息找a1、a2、例2設(shè)x?y?z?0，求證：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 證明當(dāng)x?y?z?0時不等式顯然成立．

除此情況外，x、y、z中至少有一正一負(fù)．不妨設(shè)xy?0，因?yàn)?/p>

z??(x?y)，所以

I?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用G(a)?A(a)(n?3)，只能得到較粗糙的不等式

I?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)?A(a)，便得

I?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲證的不等式．

此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的常考類題． 例3設(shè)x?0，證明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競賽試題[2])

證明此不等式的外形有點(diǎn)像均值不等式． 由G(a)?A(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要證的不等式．

結(jié)語

有些不等式則可以利用某個已經(jīng)證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來證明等等．而且在一個題目的證明過程中，也往往不止應(yīng)用一種方法，而需要靈活運(yùn)用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳傳理等編．?dāng)?shù)學(xué)競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設(shè)，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等編．高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座[M]．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987．38-49

第五篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運(yùn)用它們證明一些不等式．

2．了解綜合法的意義．

3．通過對定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理論證的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實(shí)數(shù)）．

2．請問：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x．

師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū)別嗎？請大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？

生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時答不出也沒關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問問寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來的．

生：我一看到是兩個“平方項(xiàng)”與它們的兩倍“交叉項(xiàng)”比大小，就首先想到了平方公式，這個完全平方一定是非負(fù)的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個思路進(jìn)行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說他是以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．

對于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推導(dǎo)

師：通過剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準(zhǔn)備好的課本中的這段證明投出來供大家一起閱讀．此處需實(shí)物投影儀）

證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號）．（板書）

師：這個定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和．

師：雖然語言欠準(zhǔn)確，但其含意是對的．這個定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項(xiàng)都是二次的，使用時不太方便，誰有辦法將它們的次數(shù)降下來？

師：大家都同意他的作法嗎？有什么不同意見嗎？

師：同學(xué)們思考問題已越來越嚴(yán)謹(jǐn)了，的確，從學(xué)生甲的方法應(yīng)得到學(xué)生乙的結(jié)論，學(xué)生丙提到的條件是不可缺少的．由于有這個條件，的情況單獨(dú)提出來，做為定理1的推論．

“＝”號）．（板書）

生?。何遗c學(xué)生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab對任意

師：學(xué)生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推論，這個推論十 的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)． 3．定理的初步應(yīng)用

師：看到這個問題，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以證明．

師：若想定理幫忙，首先要看是否符合定理的條件．

師：再看是否符合定理的結(jié)構(gòu)．

師：實(shí)際上，我們是用定理1的推論進(jìn)行證明的．

（教師把證明過程板演到黑板上）師：使用定理時，應(yīng)特別注意：等號何時成立，不過這只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推廣

師：我們已研究得到兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這個結(jié)論可以推廣到3，4，?，n（n∈N+）個正數(shù)，在中學(xué)只要掌握到三個正數(shù)的相應(yīng)結(jié)論．請問應(yīng)是什么？

生：應(yīng)該是：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 師：用符號語言應(yīng)如何表述？請寫到黑板上．（學(xué)生書寫在黑板上）

師：如何證明呢？ 生：??

使式子看起來較為復(fù)雜，能否做適當(dāng)變形使之簡化呢？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個命題大家能證明出來嗎？一時不能完全證出來也沒關(guān)系，想出多少說多少．

生甲：我覺得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點(diǎn)．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個分著不可能證出來，不過合起來的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點(diǎn)啟發(fā)：三次的問題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生?。何易C出來了．（學(xué)生口述，教師板書）

證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來的？

生?。何矣X得證這個題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗(yàn)，對a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個、成．

師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個問題是用什么方法加以證明的？

生：綜合法．

師：剛才的證明過程不僅幫我們把問題得以解決，而且還幫助我們加深了對綜合法的認(rèn)識，從中可體會到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

進(jìn)而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

師：正確，而且思路很清晰．這個思路你是怎么想出來的？

生：我是一看到這個題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號，題目也就證出來了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒分解出來．再試時，我看a3，b3，c3，3abc這四項(xiàng)都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來了．

師：數(shù)學(xué)中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實(shí)，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時成立，即a=b=c時等號成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號）．

時取“=”號）．

師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠(yuǎn)不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

“＝”號）．

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個練習(xí)與兩個定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對二者內(nèi)在聯(lián)系的思考． 由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明．

擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對于需用基本不等式證明的問題，直接用結(jié)論要比再從頭證一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對任意實(shí)數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級中學(xué)課本·代數(shù)·下冊（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2．

補(bǔ)充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計說明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點(diǎn)．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時又可采用綜合法．因此，我們在課前設(shè)計了兩個練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點(diǎn)撥起來也并不困難．而后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時地設(shè)計一系列問題，幫助學(xué)生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實(shí)際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個證明，起點(diǎn)要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對機(jī)會．我們認(rèn)為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過程．這里又是本節(jié)的一個難點(diǎn)，在此花點(diǎn)功夫、適當(dāng)展開是應(yīng)當(dāng)?shù)模煌瑫r學(xué)生對用綜合法證明不等式會有更深刻的體驗(yàn)．因此講透它比做幾個練習(xí)更有意義． 對于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會沖淡學(xué)生對綜合法的認(rèn)識，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無妨．一般來講，它同樣是要用到兩項(xiàng)的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實(shí)際，順其自然．