第一篇：立體幾何證明與解答

必修2第一章《立體幾何初步》單元教學(xué)分析

1、本章節(jié)在整個教材體系中的地位和作用

本章教材是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點之一，通過研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖、表面積和體積等，運用直觀感知、操作確認(rèn)、度量計算等方法，認(rèn)識和探索空間圖形及其性質(zhì)，使學(xué)生建立空間概念，掌握思考空間幾何體的分類方法，在認(rèn)識空間點、直線、平面位置的過程中，進一步提高學(xué)生的空間想像能力，發(fā)展推理能力，通過對實際模型的認(rèn)識，學(xué)會將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言；以具體的長方體中的點、線、面之間的關(guān)系作為載體，使學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識空間中點、線、面之間的位置關(guān)系；通過對圖形的觀察和實驗，使學(xué)生進一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方法，學(xué)會準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言表述幾何對象的位置關(guān)系，并能解決一些簡單的推理論證及應(yīng)用。本章內(nèi)容在每年的高考中都必考，在選擇題、填題2.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?CC1，AC?BC，點D是AB的中點．（Ⅰ）求證：CD?平面A1ABB1；（Ⅱ）求證：AC1//平面CDB1；

（Ⅲ）線段AB上是否存在點M，使得A1M?平面

CDB1 ？

空題和解答題中均能出現(xiàn)，分值約20分左右，主要考查線、面之間的平行、垂直關(guān)系。

2.本章節(jié)的知識結(jié)構(gòu)和框架體系

題3.如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求證：AE⊥BE；

（Ⅱ）求三棱錐D－AEC的體積；

（Ⅲ）設(shè)M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.題4：如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成角為450，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=900，2PA=2BC=AD。（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB？若存在，請確定點E的位置，若不存在，說明理由。

題5：．如下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°，且邊長為a的菱形，側(cè)面

PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；（2）求證：AD⊥PB；

主視圖 左視圖（3）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找一點F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論.俯視圖

8．如圖所示，點S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分別是SC和AB的中點，則EF的長是.CB

9．已知平面M、N

互相垂直，棱l上有兩點A、B，F(xiàn)

AC

?M，BD?N，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，A

BD＝24 cm，則CD＝_________．

10.l是直線, ?、?是平面, 給出下列命題:①若l垂直于?內(nèi)的兩條相交直線, 則l??;②若l平行于?, 則l平行?內(nèi)所有直線;③若m??,l??，且l?m,則???;④若l??,且l??，則???;

⑤若m??,l??，且?∥?,則m∥l．

其中正確的命題的序號是(注: 把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)．

立體幾何綜合檢測試卷

11.已知三棱錐S?ABC的三視圖如圖所示，1.一個直角梯形的兩底長分別為2和5，高為4，繞其較長的底旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體的表面積為.在原三棱錐中給出下列命題：①BC?平面SBC； 2．在陽光下一個大球放在水平面上, 球的影子伸到距球與地面接觸點10米處, 同一時刻, 一根長1米一端接觸地面且與地面垂直的竹竿的影子長為2米, 則該球的半徑等于.②平面SBC?平面SAB；③SB?AC.其中所有 3.表面積為52?14．長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，則一只小蟲從A點沿長方體的表面爬到C1正確命題的序號是.點的最短距離是．

4.已知球面上的四點P、A、B、C，PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩

垂直，則這個球的表面積為.5.直徑為10cm的一個大金屬球，熔化后鑄成若干個直徑為2cm的削球，如果不計損耗，可鑄成這樣的小球的個 數(shù)為.C

A(B)C

主視圖

左視圖

6．已知正三棱錐的側(cè)面積為18 cm

2,高為3cm.S

則它的體積為．

7.一個幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是等腰直角三角形（如圖），根據(jù)圖中標(biāo)注的長度，俯視圖 可以計算出該幾何體的表面積是.12.已知?、? 是兩個不同的平面，m、n 是平面? 及? 之外的兩條不同直線，給出四個論斷：（1）m ⊥n

2）

（? ⊥?（3）n ⊥?（4）m ⊥?

以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題___________． 13.三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F 分別為AB、AC 的中點，平面EB1C1 將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2= _____．

14.已知ABCD是空間四邊形形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，如果對角線AC＝4，BD＝2，那么EG2＋HF2的值等于．

15.(8分)已知：正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2,E為棱CC1的中點.（1）求證：B1D1?AE；（2）求證：AC//平面B1DE；（3）求三棱錐A?BDE的體積.17.如圖1，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB?AD,?ABC?60?,E是BC的中點，如圖2，將?ABE沿

C1

A1B1

AE折起，使二面角B?AE?C成直二面角，連結(jié)BC,BD,F是CD的中點，P是棱BC的中點.（1）求證：AE?BD；

（2）求證：平面PEF?平面ABCD；

（3）判斷DE能否垂直于平面ABC？并說明理由.A

（圖1）

F AC

DA11

C1

18.（12分）在直角梯形ABCD中，?A??D?90?,AB?CD,，截面CDE與SB交于SD?平面ABCD,AB?CD?a,SD?2a，在線段SA上取一點E（不含端點）

E

點F.（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；（2）設(shè)SB的中點為M，當(dāng)

A

CD的值是多少時，能使?DMC為直角三角形？請給出證明.AB

S

16.（8分）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?點D為A1C1的中點.求證：（1）BC1//平面AB1D；（2）A1C?平面AB1D.2AA1, 1

E

A11

C

AB

A

第二篇：立體幾何證明技巧解答

南京市第六十六中學(xué)2012屆二輪復(fù)習(xí)

證明的通用技巧歸納與整理

2．1 線面平行的證明技巧。

2．1．1 把要證的直線平行移動到面內(nèi)確定平行線 1．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知底面

ABC是正三角形，且平面ABC?平面BCC1B1，點D是棱BC的中點． 求證：A1B//平面ADC1．

A

A

1B

D

C

C1

2．1．2 如果不能確定平行線，則構(gòu)造一個包含該直線且與要證平面平行的平面 2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分別為A1C1、BD的中點，D為棱CC1上任一點． 求證：EF∥平面A A1B1B．

2．3 證明由平面圖形經(jīng)過翻折升維為立體圖形時抓住翻折前后不變的邊角關(guān)系是證明的關(guān)鍵。例6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A’C的中點。（Ⅰ）求證：BF∥平面A’DE；

（Ⅱ）設(shè)M為線段DE的中點，求證：平面A’MC⊥平面BCDE。

A

C

D

A

1E

C1

B1

A'

F

M

C

A

E

B

2．2 證明在同一平面內(nèi)的線線平行或垂直技巧。

通常在證明同一平面內(nèi)的線線位置關(guān)系時，通常采取降維的做法，把問題從立體圖形轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形來研究，比較簡單且易于觀察。

D1

3．四棱柱ABCD?

A1BC11D1中，AB?BC?CA?

A1

A

C1

AD?CD?1,面AAC11C?面ABCD。

（1）求證：BD?AA1；

（2）若E為線段BC的中點，求證：A1E//平面DCC1D1。

C

2．4 直接證明有困難或不好證明時，借助于第三個量，通常在第一小問中有提示，進行轉(zhuǎn)化證明。

例7．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，點D，O分別為AA1，B1C的中點。（1）證明：OD∥平面ABC；

（2）證明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

A1

B

C1

2．5 運用公式，借助割補法、等體積代換對簡單幾何體側(cè)面積、體積等相關(guān)計算時，要注意計算與證明相結(jié)合。

例8．在四棱錐O-ABCD中，底面是邊長為2的菱形ABCD，?DAB?60°，OAD⊥底面ABCD．

求點A到平面OBC的距離．

三、實戰(zhàn)練習(xí)：

A

C

EF//AC，AB?，CE?EF?1 1．如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。

（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE．

2．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，點D,E,O分別為AA1,AC11,B1C的中點。（1）證明：OE∥平面AA1B1B；（2）證明：平面B1DC⊥平面BB1C1C．

A

D

A

1E

C

B

C1

3．已知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°,E、F分別為A1C1、BD的中點，D為棱CC1上任一點． 求證：（1）EF∥平面A AB1B；（2）BC?EF．

A

C

D

A1

E

C1

B1

AB?BC?2,CQ?4，?BCQ?60?,4．如圖，已知等腰梯形ABCQ中,AB//CQ，D是CQ的中點，將?QDA沿AD折起，點Q移動到點P位置，使平面PAD⊥平面ABCD.（1）求證：BC//平面PAD；（2）求三棱錐P?BCD的體積。

Q

C

AP

B

DA

C

?

5．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD中為菱形，?BAD?60，Q為AD的中點．

求證：“平面PQB?平面ABD”的充要條件是“PA?PD”．

P

D

A

C

第三篇：立體幾何證明

立體幾何證明

高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

四個判定定理：

①若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

②如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。

③如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

④如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

從平面拓展到空間的角相等或互補的判定定理：

空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

四個性質(zhì)定理：

①一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行。

②兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行。

③垂直于同一平面的兩條直線平行。

④兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

標(biāo)準(zhǔn)只要求對于四個性質(zhì)定理用綜合幾何的方法加以證明。對于其余的定理，在選修2的“空間向量與立體幾何”中利用向量的方法予以證明。

(2)立體幾何初步這部分，我們希望能使學(xué)生初步感受綜合幾何的證明。在處理證明時，要充分發(fā)揮幾何直觀的作用，而不是形式上的推導(dǎo)。例如，平行于同一平面的二直線平行的證明方法，有的老師就是采用了一種很

第四篇：立體幾何證明

1、（14分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點．（1）求證：EF∥平面CB1D1；

（2）求證：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

A

2.如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱

交B1C于點F，BB1的長為4，過點B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點E，（1）求證：A1C⊥平面BDE；

?

D3．(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90，BC?AC?2，AA1?4，為棱CC

1上的一動點，M、N分別為?ABD、?A1B1D的重心.（1）求證：MN?BC； ．

A

B

4.如圖，在三棱拄ABC?A1B1C1中，AB?側(cè)面BB1C1C1,?

1N 31 B1

（Ⅰ）求證：C1B?平面ABC；

?

A11

（Ⅱ）試在棱CC1(不包含端點C,C1)上確定一點E的位置,使得EA?EB1；.A

A1

B1

C

E

C15、如圖，P—ABCD是正四棱錐，ABCD?A

1BC11D1是正方體，其中AB?2,PA?

（1）求證：PA?B1D1；

6．（本小題滿分12分）

如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，7、如圖，在底面是矩形的四棱錐P?ABCD中，PA?面ABCD，PA=AB=1，BC=2（Ⅰ）求證：平面PDC?平面PAD；

8.正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：平面AB'D'//平面C'BD。

9..（14分）如圖所示，在斜邊為AB的Rt△ABC中，過A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.（1）求證：BC⊥面PAC；

P（2）求證：PB⊥面AMN.M

A10、已知E、F、G、H為空間四邊形ABCD的邊AB、BC、點，且ＥＨ∥ＦＧ． 求證：EH∥BD.(12分)

11、已知?ABC中?ACB?90，SA?面ABC，AD?SC，求證：AD?面S分)

12、已知正方體ABCD?A1BC11D1，O是底ABCD對角線的交點.求證：（１）C1O?面AB1D1；（2）AC?面AB1D1．(14分)

1?

CD、DA上的A

HD

SBC．(1

2A

F

C

BC

DAD

BC

1C

1．下列命題正確的是………………………………………………（）

B

A．三點確定一個平面B．經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面 C．四邊形確定一個平面D．兩條相交直線確定一個平面

2．若直線a不平行于平面?，且a??，則下列結(jié)論成立的是（）A．?內(nèi)的所有直線與a異面B．?內(nèi)不存在與a平行的直線 C．?內(nèi)存在唯一的直線與a平行D．?內(nèi)的直線與a都相交

3．平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系………………………（）A．平行B．相交C．異面D．平行、相交或異面

4．正方體ABCD?A'B'C'D'中，AB的中點為M，DD'的中點為N，異面直線B'M與CN所成的角

A．0?B．45?C．60?D．90?

5．平面?與平面?平行的條件可以是…………………………（）

A．?內(nèi)有無窮多條直線都與?平行C．直線a??，直線b??且a//?，b//? B．直線a//?,a//?且直線a不在?內(nèi)，也不在?內(nèi)D．?內(nèi)的任何直線都與?平行 6．已知兩個平面垂直，下列命題

①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線 ②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線 ③一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面

④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面 其中正確的個數(shù)是…………………………………………（）A．3B．2C．1D．0

7．下列命題中錯誤的是……………………………………（）A． 如果平面???，那么平面?內(nèi)所有直線都垂直于平面? B． 如果平面???，那么平面?一定存在直線平行于平面?

C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?內(nèi)一定不存在直線垂直于平面? D．如果平面???，???，????l，那么l??

8．直線a//平面?，P??，那么過點P且平行于?的直線…………（）A． 只有一條，不在平面?內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在?內(nèi)C．只有一條，且在平面?內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在?內(nèi) 9．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中

①BM與ED平行②CN與BE異面③CN與BM成60?

④DM與BN垂直 以上四個命題中，正確命題的序號是（）

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

1.若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是__________________ 3.平面內(nèi)一點與平面外一點連線和這個平面內(nèi)直線的關(guān)系是_______________ 4.已知直線a,b和平面?,且a?b,a??,則b與?的位置關(guān)系是______________

第五篇：立體幾何證明方法

立體幾何證明方法

一、線線平行的證明方法：

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線

3、如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。（線面平行的性質(zhì)定理）

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行的性質(zhì)定理）

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。（線面垂直的性質(zhì)定理）

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（線面平行的判定定理）

3、兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任何一條直線必平行于另一個平面。

三、面面平行的證明方法：

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的兩個平面平行

4、經(jīng)過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影。6利用向量來證明。

7、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內(nèi)任意的直線都垂直。

8、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線。

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內(nèi)任意直線都垂直。

2、點在面內(nèi)的射影。

3、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。（線面垂直的判定定理）

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。（面面垂直的性質(zhì)定理）

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直。

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直。