第一篇：高考數(shù)列常用知識(shí)點(diǎn)及解題方法總結(jié)

高考數(shù)列常用知識(shí)點(diǎn)及解題方法總結(jié)

一、基本公式：
1.

二、求通項(xiàng)公式 an 的方法：
1.

三、求前 n 項(xiàng)和 S 的方法：
n

1.

第二篇：數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

文德教育

知識(shí)框架

?列?數(shù)列的分類?數(shù)???數(shù)列的通項(xiàng)公式?函數(shù)?的概念角度理解???數(shù)列的遞推關(guān)系????等差數(shù)列的定義an?an?1?d(n?2)?????等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an?a1?(n?1)d???等差數(shù)列??n???等差數(shù)列的求和公式Sn?2(a1?an)?na1?n(n?1)d?????2??等差數(shù)列的性質(zhì)an?am?ap?aq(m?n???p?q)?兩個(gè)基??等比數(shù)列的定義an?q(n??本數(shù)列???a2)n?1??????等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an?1?n?a1q數(shù)列??等比數(shù)列???a1?anq?aqn1(1?)???等比數(shù)列的求和公式S(q?1)n???1?q1?q????????na1(q?1)????等比數(shù)列的性質(zhì)anam?apaq(m?n?p?q)????公式法??分組求和????錯(cuò)位相減求和?數(shù)列??求和?裂項(xiàng)求和??倒序相加求和????累加累積???歸納猜想證明???數(shù)列的應(yīng)用?分期付款???其他

掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可

能在高考中順利地解決數(shù)列問題。

一、典型題的技巧解法

1、求通項(xiàng)公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。

對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。

(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數(shù)）例

1、已知{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解 ∵an+1-an=2為常數(shù) ∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{a1n}滿足an?1?2an，而a1?2，求an=？

（2）遞推式為an+1=an+f（n）

例

3、已知{a?12，a1n}中a1n?1?an?4n2，求?1an.解： 由已知可知an?1?an?1(2n?1)(2n?1)?12(12n?1?12n?1)

令n=1，2，?，（n-1），代入得（n-1）個(gè)等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+?

+（an-an-1）

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an?a1?12(1?12n?1)?4n?34n?2

★ 說明 只要和f（1）+f（2）+?+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，?，（n-1）代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。

(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）

例

4、{an}中，a1?1，對(duì)于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）

因此數(shù)列{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an-1 n+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3n-1-1 解法二： 上法得{an+1-an}是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a23n-24-a3=4·3，?，an-an-1=4·，把n-1個(gè)等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數(shù)）

b2n?1?bn?3(b題的解法，得：b2nn?bn?1)由上n?3?2(3)∴

abnn?2?3(1n1nn2)?2(3)

(5)遞推式為an?2?pan?1?qan

思路：設(shè)an?2?pan?1?qan,可以變形為：an?2??an?1??(an?1??an)，想

于是{an+1-αan}是公比為β的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。求

an。

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(6)遞推式為Sn與an的關(guān)系式

關(guān)系；2）試用n表示an。

∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(12n?2?12n?1)

∴a1n?1?an?an?1?2n?

1∴a1n?1?2an?1n

2上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則{2nan}是公差為2的等差數(shù)列。

∴2nan= 2+（n-1）·2=2n

數(shù)列求和的常用方法：

1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。

2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比數(shù)列）

即把每一項(xiàng)都乘以?bn?的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次

項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。

?

適用于數(shù)列??1???1??a?和?n?an?1???a?an?a?（其中 n?1?n?等差）

?

可裂項(xiàng)為：

1a?1d(1a?1，n?an?1na)n?11?1an?an?1d(an?1?an)

等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：（文德教育

1、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最大值。（?。┤粢阎?xiàng)a，則S?a?n?0nn最大??a；

n?1?0（ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，則當(dāng)n取最靠近?q2p的非零自然數(shù)時(shí)Sn最大；

2、若等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)a1?0，公差d?0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值（?。┤粢阎?xiàng)aS?an?0n，則n最小??；

?an?1?0（ⅱ）若已知S?pn2n?qn，則當(dāng)n取最靠近?q2p的非零自然數(shù)時(shí)Sn最小；

數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。

⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：a??S,(n?1)nS1。

n?Sn?1,(n?2)?f(1),(n?已知a?af(n)求a?1)12???an?n，用作商法：an??f(n)。?(n?1),(n?

?f2)⑶已知條件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求an；有時(shí)也可直接求an。⑷若an?1?an?f(n)求

an用累加法：

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1(n?2)。

⑸已知

an?1a?f(n)求an，用累乘法：an?anna?an?1???a2n?1an?2a?a1(n?2)。

1⑹已知遞推關(guān)系求an，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。

特別地，（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形

如ann?kan?1?k的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求

an。

（2）形如a1n?an?ka

n?1?b的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。（3）形如akn?1?an的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。

（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納法。（8）當(dāng)遇到an?1?an?1?d或an?1a?q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可

n?1能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。

（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是

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等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.（5）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①1?1?1； ②1?1n(n?1)nn?1n(n?k)k(1n?1n?k)； ③1k2?1k2?1?12(1k?1?1k?1)，11k?1k?1?1(k?1)k?111k2?(k?1)k?k?1?； k④111 ；⑤

n11n(n?1)(n?2)?12[n(n?1)?(n?1)(n?2)](n?1)!?n!?；(n?1)!⑥2(n?1?n)?212n?n?1?n?n?n?1?2(n?n?1)

二、解題方法：

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：

1、公式法

2、由Sn求an

（n?1時(shí)，a1?S1，n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1）

3、求差（商）法

如：?a1n?滿足12a1?22a2????12nan?2n?5?1?

解：n?1時(shí)，12a1?2?1?5，∴a1?14 n?2時(shí)，12a11?22a12????2n?1an?1?2n?1?5?2?

?1???2?得：12nan?2

∴an?1n?

2∴an??14(n?1)??2n?1(n?2)

［練習(xí)］

數(shù)列?a5n?滿足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an

（注意到a?1n?1?Sn?1?Sn代入得：SnS?4

n 又S是等比數(shù)列，Sn1?4，∴?Sn?n?4

n?2時(shí)，an?1n?Sn?Sn?1????3·4

4、疊乘法

例如：數(shù)列?aan?1n?中，a1?3，a?nnn?1，求an

解：a2·a3??an?1·2a1a2an?123??n?1n，∴ana?11n

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又a31?3，∴an?n

5、等差型遞推公式

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2時(shí)，a2?a1?f(2)? a?3?a2?f(3)??兩邊相加，得：

?????an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)［練習(xí)］

數(shù)列?a?3n?1n?，a1?1，an?an?1?n?2?，求an（a1nn?2?3?1?）

6、等比型遞推公式

an?can?1?d?c、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0? 可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x?

?an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?dc?1

∴??ad?n?c?1?是首項(xiàng)為?ad?1?c?1，c為公比的等比數(shù)列 ∴add?n?c?1????an?11?c?1??·c ∴a?d?n?1n???a1?c?1??c?d c?1［練習(xí)］

數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

n?1（an?8??4???3???1）

7、倒數(shù)法

例如：a2an1?1，an?1?an?2，求an

由已知得：1a?an?2?1n?12a?1n2a

n ∴11a?1?2

n?1an ???1??a?為等差數(shù)列，1?1，公差為1 n?a126

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?111a?1??n?1?·n2?2?n?1?

∴an?2n?1

2．?dāng)?shù)列求和問題的方法（1）、應(yīng)用公式法

等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說是有益的。

1＋3＋5＋??＋(2n-1)=n2

【例8】 求數(shù)列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），?前n項(xiàng)的和。

解 本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+?+n=12n(n?1)個(gè)奇數(shù)，∴最后一個(gè)奇數(shù)為：1+[12n(n+1)-1]×2=n

2+n-1 因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為

（2）、分解轉(zhuǎn)化法

對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。

【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+?+n（n2-n2）

解 S=n2（1+2+3+?+n）-（13+23+33+?+n3）

（3）、倒序相加法

適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。

例

10、求和：S16C2nn?3Cn?n???3nCn

例

10、解 S012nn?0?Cn?3Cn?6Cn???3nCn

∴ Sn=3n·

2n-1

（4）、錯(cuò)位相減法

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如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和．

例

11、求數(shù)列1，3x，5x2,?,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和．

解 設(shè)Sn=1+3+5x2+?+(2n-1)xn-1． ①

(2)x=0時(shí)，Sn=1．

(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，在式①兩邊同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+?+(2n-1)xn，②

①-②，得(1-x)S23+?+2xn-1-(2n-1)xnn=1+2x+2x+2x．

(5)裂項(xiàng)法：

把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：

例

12、求和111?5?13?7?5?9??1(2n?1)(2n?3)

注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。

在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。

二、常用數(shù)學(xué)思想方法 1．函數(shù)思想

運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決。

【例13】 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，前n項(xiàng)的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時(shí)Sn最大？

此函數(shù)以n為自變量的二次函數(shù)?！遖1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數(shù)的圖像開口向下

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∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。分析 本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。

解 ∵依題意可知q≠1。

∵如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應(yīng)推出a1=0與等比數(shù)列不符。

∵q≠1

整理得 q3（2q6-q3-1）=0 ∵q≠0

此題還可以作如下思考：

S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），∴由S336633+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．換元思想

【例15】 已知a，b，c是不為1的正數(shù)，x，y，z∈R+，且

求證：a，b，c順次成等比數(shù)列。

證明 依題意令ax=by=cz=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac ∴a，b，c成等比數(shù)列（a，b，c均不為0）

數(shù)學(xué)5（必修）第二章：數(shù)列

一、選擇題

1．?dāng)?shù)列?a1n?的通項(xiàng)公式an?，則該數(shù)列的前（）項(xiàng)之和等于9。n?n?1A．98 B．99

C．96 D．97

2．在等差數(shù)列?an?中，若S4?1,S8?4，則a17?a18?a19?a20的值為（）A．9 B．12

C．16 D．17

3．在等比數(shù)列?an?中，若a2?6，且a5?2a4?a3?12?0，則an為（）A．6 B．6?(?1)n?2 C．6?2n?2 D．6或6?(?1)n?2或6?2n?2

二、填空題

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1．已知數(shù)列?an?中，a1??1，an?1?an?an?1?an，則數(shù)列通項(xiàng)an?___________。

2．已知數(shù)列的Sn?n2?n?1，則a8?a9?a10?a11?a12=_____________。3．三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則a:b:c?_________。

三、解答題

1． 已知數(shù)列?aSnn?的前n項(xiàng)和n?3?2，求an

2． 數(shù)

列l(wèi)g1000,lg(1000?cos600),lg(1000?cos2600),...lg(1000?cosn?1600),?的前多少項(xiàng)和為最大？

3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an-2n(n∈N?)（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2(an+2),Tn為數(shù)列{

bna}的前n項(xiàng)和，求

n?2證T1n≥

2;

第三篇：高中數(shù)列解題方法

數(shù)

1.公式法：

等差數(shù)列求和公式:Sn?

n(a1?an)n(n-1)?na1?d 2

2Sn?na1(q?1)

等比數(shù)列求和公式：a1(1-qn)(a1-anq)Sn??(q?1)1?q1?q

等差數(shù)列通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d

等比數(shù)列通項(xiàng)公式：an?a1qn?

12.錯(cuò)位相減法

適用題型：適用于通項(xiàng)公式為等差的一次函數(shù)乘以等比的數(shù)列形式 和等差等比數(shù)列相乘{(lán)an},{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.Sn?a1b1?a2b2?a3b3?...?anbn

例題：

已知an?a1?(n?1)d,bn?a1qn?1,cn?anbn,求{cn}的前n項(xiàng)和Sn

3.倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)(a1?an)

例題：已知等差數(shù)列{an}，求該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn

4.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.5.裂項(xiàng)法

適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩個(gè)或多個(gè)的差的形式，即然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)。

常用公式：

111??n(n?1)nn?1

1111(2)?(?)(2n?1)(2n?1)22n?12n?1 11(3)?(a?)a?ba?(1)

例題：求數(shù)列an?1的前n項(xiàng)和S

n n(n?1)

小結(jié)：此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。

注意： 余下的項(xiàng)具有如下的特點(diǎn)

1余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的。

2余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的。

6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n的第一個(gè)值，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

例題：求證： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)= n(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)5

7.通項(xiàng)化歸

先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求和。

8.（備用）a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)

a?b?(a?b)(a?ab?b)3322

第四篇：數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)列知識(shí)總結(jié)

一、基本概念

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．

?數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)?

?

?表示數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式??通項(xiàng)公式：不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式??? ?

??符號(hào)控制器：如（?1）n、（?1）n+1

??遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．

?有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．

?

?無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．?dāng)?shù)列分類???

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列． ?遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．??常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列．??擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．

二、等差數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．a(chǎn)n?an?1?d,n?2且n?Z，或an?1?an?d,n?1且n?Z

?

??

an?a1??n?1?d?am??n?m?d?kn?b1、若等差數(shù)列?a?

a?a1an?amn?的首項(xiàng)是a1，公差是d，則有?d?n ?

n?1?

n?m ???

n?an?a1d?1??

等差中項(xiàng)：三個(gè)數(shù)a，G，b組成的等差數(shù)列，則稱G為a與b的等差中項(xiàng)?2G=a?b

?

??2n性質(zhì)：??若{a?p?q?2an?ap?aqn}是等差數(shù)列，則?

??m?n?p?q?a?

m?an?ap?aq

?若{an}是等差數(shù)列，則am、am?k、am?2k、am?3k、構(gòu)成公差公差kd的等差數(shù)列??

若{an}、{bn}是等差數(shù)列,則{?an+?}、{?an+?bn}是等差數(shù)列

2、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式： Sn?a1?an?n?nn?

2?na?1?

1?2

d?pn2?qn等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)：

???S偶?S奇?nd

?若項(xiàng)數(shù)為2n?n??*

?，則S?2n?n?an?an?1?，?S奇an（1）?

???

?S?偶an?1

?

?S奇?S偶?an??若項(xiàng)數(shù)為2n?1?n??*?，則S1?a?2n?1??2n?n，S奇?nanS偶??n?1?an，?S奇n??

???S偶n?1

?Sm，S2m?Sm,S3m?S2m（2）?成等差數(shù)列??S

?{n

n

是等差數(shù)列若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,Tn?1

n，則

anS2b?

nT2n?1

（3）等差數(shù)列的求和最值問題：（二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法）

①若??a1?0

?ak?0?d?0，則Sn有最大值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足??ak?1

?0

②若??a1?0，則?ak?0?d?0Sn有最小值，當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿足?

?ak?1

?0

三、等比數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．

1、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)

?a?1n?a1qn?an?mmq若等比數(shù)列?a，公比是q，則?

n?的首項(xiàng)是a1?n?1ann?man．

??

q?a,q?1a

m??a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a與b的等比中項(xiàng)?G2?ab

性質(zhì)：若??{a是等比數(shù)列，則??2n?p?q?a2

n?ap?aq

?n}?

?m?n?p?q?am?an?ap?aq??

?ak

m、am?k、am?2k、am?3k、成公比q的等比數(shù)列

2、前n項(xiàng)和及其性質(zhì)

?na1?q?1?,(S?

q?1)n???

a1?1?qn?． ?

1?q?a1?anq1?q?a1?a1

qn

1?q??a11?qqn?a11?q??Aqn?A,?q?1??Sn?

n?m?Sn?q?Sm

?Sn、S2n?Sn、S3性質(zhì)?

n?S2n成等比數(shù)列?S． ?若項(xiàng)數(shù)為2n，則偶

?

S?q

奇??Sm，S2m?Sm,S3m?S2m成等比數(shù)列

四、(1)a??S1

?n?1?n與Sn的關(guān)系：an??

??Sn

?S;（檢驗(yàn)a1是否滿足an?Sn?Sn?1）n?1?n?2??

?1?2?3??n?n(n?1)?

2(2)??12?22?32??n2

?n(n?1)(n?2)

?

6?2?333n?1?2?3??n3?(n?1)24

第 1 頁(yè)

第五篇：數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

必修⑤ 第二章 數(shù)列知識(shí)總結(jié)

一、等

?1．等差數(shù)列定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N(或它的有限子集{1,2,?,n}的函數(shù)當(dāng)

自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.它的圖像是一群孤立的點(diǎn).它具有如下特征：

an?1?an?d, 或an?2?an?1?an?1?an(n?N?)

注意：

（1）證明數(shù)列{an} 是等差數(shù)列的五種基本方法（③④⑤大多用在客觀題上）：

①利用定義：證明an?1?an?d（常數(shù)）

②利用中項(xiàng)性質(zhì)：證明2an?an?1?an?2(n?N?)

③通項(xiàng)公式法：an?pn?q（p、q為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列

④前n項(xiàng)和公式法：Sn?An2?Bn（A、B為常數(shù)）?{an}為等差數(shù)列

（2）證明數(shù)列?an?不是等差數(shù)列的常用方法：找反例.(如驗(yàn)證前三項(xiàng)不成等差數(shù)列).（3）若an?1?an?n,a1?a,n?N?，則{an}不是等差數(shù)列,求an可用累加法

an?(an?a??n1)?(a?n1?a?n2)?

2．通項(xiàng)公式及其變式 ⑤{an}成等比數(shù)列且an?0?{lgan}為等差數(shù)列 ?(a?a,n 2.21)?a1≥

an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)

變式：①an?am?(n?m)d②a1?a(n?1)dn?

a?aa?a ③d?nm④d?nm（聯(lián)想點(diǎn)列(n,an)所在直線的斜率）n?mn?m

3．前n項(xiàng)和公式及其變式

n(a1?an)?na1?n(n?1)d； 2

2變式: ①Sn?ann?n(n?1)d 聯(lián)想:?an?是以an為首項(xiàng), ?d為公差的等差數(shù)列.2②Sn?n?(a1?)n S?S?③n?(n?1)?a1聯(lián)想：?n? 是以a1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列 2??

Sa?ana1?a2???an④n?1聯(lián)想：算術(shù)平均數(shù) ?Sn?

4．等差中項(xiàng)

若 a, b, c成等差數(shù)列，則b 稱a與c的等差中項(xiàng)，且b?．

5．重要性質(zhì)(等差數(shù)列?an?中)

?（1）對(duì)稱性質(zhì)：若m+n=p+q(m.、n、p、q?N), 則am?an?ap?aq；

特別地：當(dāng)m+n=2p時(shí)am?an?2ap;

(2）若d為{an}的公差，則其子數(shù)列ak,ak?m,ak?2m,?,也成等差數(shù)列，且公差為md；（3）片段和性質(zhì)：Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等差數(shù)列，且公差為md；（4）若?an?,?bn?都是等差數(shù)列,則?kan?,?kan?p?,?kan?pbn?都為等差數(shù)列；

S奇a

?n；S2n?n(an?an?1);S偶an?

1S*

若項(xiàng)數(shù)為2n-1(n?N)則S奇?S偶?an；奇?；S2n?1?(2n?1)an.S偶n?1

（5）若項(xiàng)數(shù)為2n(n)則S偶?S奇?nd；

評(píng)注:有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”－“奇數(shù)項(xiàng)和”＝總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”－“偶數(shù)項(xiàng)和”＝此數(shù)列的中項(xiàng).6．常用結(jié)論、技巧，減少運(yùn)算量（注意對(duì)稱設(shè)元，整體消參，設(shè)而不求）（1）設(shè)元技巧：如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?d,a,a?d；

四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a?3d,a?d,a?d,a?3d.（2）在等差數(shù)列中，求Sn最值：

方法一：建立Sn的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為n的二次函數(shù)求； 方法二：若a1?0,d?0時(shí),Sn有最大值，這時(shí)可由不等式組?

?an≥0

來(lái)確定n；

?an?1≤0

?an≤0

若a1?0,d?0時(shí),Sn有最小值，這時(shí)可由不等式組?來(lái)確定n.a≥0?n?

1（3）基本量計(jì)算：等差數(shù)列中有五量(a1,n,d,an,Sn)、三式（一個(gè)通項(xiàng)公式，兩個(gè)求和公式），一般可以“知三求二”通過列方程（組）求關(guān)鍵量a1和d，問題可迎刃而解.（4）幾個(gè)重要結(jié)論

①ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0 ②Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q)③Sp?Sq(p?q)?Sp?q?0 ④Sm?n?Sm?Sn?mnd

二、等比數(shù)列

１．定義與特征：

定義：______________________________________________.它具有如下特征：

an?1aa

?q(q為不為零常數(shù))或者n?2?n?1（n?N*）nn?1nan?

1?q(q為不為零常數(shù))an

注：（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法：

①利用定義：

②利用等比中項(xiàng)：an?1?an?an?

2③通項(xiàng)公式法: an?cqn(c?0)④前n項(xiàng)和法:Sn?kqn?k

a

(k?0)

（2）證明數(shù)列?an?不是等比數(shù)列的常用方法：找特例.2．通項(xiàng)公式：an?a1qn?1；

變式：an?amqn?m； q

3．前n項(xiàng)和公式：

n?m

⑤{an}成等差數(shù)列?{cn}為等比數(shù)列

?

an?

（n>m;m、n?N）m

a1(1?qn)a1?anq

sn?；?(q?1)

（1）注意：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)分類討論.Sn1?qn

（2）當(dāng)公比q?1時(shí)，?

m1?qm

4．等比中項(xiàng)

若a，G , b成等比數(shù)列，則G為a, b的等比中項(xiàng)，即G??ab,ab?0.5．性質(zhì)

在等比數(shù)列?an?中，有

（1）若m+n=p+q，m ,n, p ,q?N, 則aman?apaq；

當(dāng)m+n=2p時(shí)，aman?ap；

?

???an??b,???,??也成等比數(shù)列； nn

?n??n?

m

（3）若q為{an}的公比，則其子序列ak,ak?m,ak?2m,?也成等比數(shù)列,公比為q；

()

（4）片段和:Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等比數(shù)列，且公比為qm.（2）若{an},{bn}成等比數(shù)列, 則{|an|}?kan?,an

???a

6．常用結(jié)論、技巧：

（1）①Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm ②S3n?Sn?qnS2n?S2n?q2nSn（2）前n項(xiàng)和公式，一定要分q=1或q?1兩種情況．(3)設(shè)元技巧：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為,a,aq；

四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能設(shè)為3，aq,aq，只有當(dāng)q>0時(shí)才可以．

qq

(4)等比數(shù)列?an?的單調(diào)性

①當(dāng)a1?0,q?1或 a1<0,0?q?1時(shí)，等比數(shù)列?an?為遞增數(shù)列； ②當(dāng)a1?0,0?q?1或 a1<0,q?1時(shí)，等比數(shù)列?an?為遞減數(shù)列； ③當(dāng)q?1時(shí)，等比數(shù)列?an?為常數(shù)列;

④當(dāng)q?0時(shí)，等比數(shù)列?an?為擺動(dòng)數(shù)列.(5)有限項(xiàng)等比數(shù)列中，設(shè)“偶數(shù)項(xiàng)和”為S偶，“奇數(shù)項(xiàng)和”為S奇

①若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S偶?qS奇； ②若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n?1，S奇?a1?qS偶.三、數(shù)列求和的方法：

１．公式法

(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式（三種形式）;

(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式（三種形式）;(3)幾個(gè)重要公式

①1?3?5???(2n?1)?(n?1)

2②12?22?32???n2?n(n?1)(n?2)

n2(n?1)2333

3③1?2?3???n?

２．倒序相加法:在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）． 如: 在和n?1之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積． 3．錯(cuò)位相減法：適用于?bn?cn?的數(shù)列；其中?bn?成等差數(shù)列,?Cn?成等比數(shù)列.n

記Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn；則qSn?b1c2???bn?1cn?bncn?1.（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法之一）

4．裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

??②?(?)③?[?] ④an?Sn?Sn?1(n≥2)

5.分組求和：適用于cn?an?bn，而?an?、?bn?的和易求得.四、求一般數(shù)列通項(xiàng)公式的類型及方法：

①

1．應(yīng)用公式（等差、等比數(shù)列）；

??S1(n?1)2．已知Sn求an可用an??,是否分段,需要驗(yàn)證.S?S(n≥2)?n?1?n

(數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的關(guān)系)

3．累加法：適用于差后等差或差后等比的數(shù)列；

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；

如：①已知數(shù)列?an?滿足an?1?an?2n,a1?3,求an；

②已知數(shù)列?an?滿足an?1?an?2n,a1?3,求an.4．累積法：適用于分式給出的遞推式，累積后可以消去中間項(xiàng)，aaa

an?n?n?1???2?a1,n≥2.n?1n?

21如：① 已知數(shù)列?an?滿足

an?1?,a1=1,求an； nan

② 已知數(shù)列?an?滿足n?1?2,a1=1,求an.n

5．構(gòu)造特殊數(shù)列法：

（1）利用遞推關(guān)系寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)觀察、歸納猜想出an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.（2）將遞推關(guān)系式進(jìn)行變形,然后運(yùn)用累加、累積、迭代、換元轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列（等差、等比數(shù)列）；

如：已知數(shù)列?an?滿足an?1?3an?2,a1?1,求an；

五、數(shù)列的應(yīng)用(三個(gè)模型)

已知數(shù)列?an?滿足an?an?1?2n?1,a1?1,求an.凡涉及到利息、產(chǎn)量、降價(jià)、繁殖增長(zhǎng)率以及分期付款等問題時(shí)都可以用數(shù)列解決.(1)復(fù)利公式:按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利

和y?a(1?r)

（2）單利公式:利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和

x

y?a(1?xr)

（3）產(chǎn)值模型:原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長(zhǎng)率為p，對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y?N(1?p)

x