第一篇：極限總結

概念整理

一、證明極限

二、求極限

三、定理概念，證明，用途。

四、等價利用，證明

一：無窮小：對于任意數(shù)，必存在使≤該任意數(shù)成立。改變依他（反3）形式。二：利用等價，先想清楚化簡的目的，看清趨向。

三：

1、收斂數(shù)列的唯

一、有界性，與子數(shù)列的關系（同號性）。

2、唯一，函數(shù)極限的局部有界性（|…|≤M），局部保號性。

3、limf（x）=A←→f（x）=A+α，其中l(wèi)imα=04、無窮大：對任意數(shù)，必存在使≥該任意數(shù)，垂直漸近線。

5、無窮小±*無窮小=無窮小，無窮小*有界函數(shù)（或常數(shù)）=無窮小。

6、某函數(shù)有極限，則一定領域內(nèi)，_1___有界（本來是由無窮大到某個數(shù)，倒過來之后是某個數(shù)到無窮?。ゝ（x）

7、無窮小/以非零常數(shù)為極限的函數(shù)=無窮?。ㄓ?,5得）。

8、limf（x），則lim【Cf（x）】=Climf（x）、so does “n次方”。

9、limsinx/x=1P22.P23有好多等價（有證明）。

10、lim（1+1/x）^x=eP2411、趨向更快，則為高階。相除為常數(shù)，同階。與K次相除為常數(shù)，K階無窮小。相除為1，等價無窮小。

12、連續(xù)的定義：該點存在極限且等于該點函數(shù)值；在|x-xo|≤δ中存在|f（x）-f（xo）|≤ε；Δx→0，Δy→0.13、可去間斷點，跳躍間斷點，無窮間斷點，震蕩間斷點（f（x）=1/sinx）。

14、連續(xù)函數(shù)的四則運算，與常數(shù)一致。

15、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)：有界，介值（A>C>B，A、B為端點函數(shù)值），零點定理。

習題整理

第二篇：求極限總結

首先 對 極限的總結 如下

極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致極限分為 一般極限，還有個數(shù)列極限，（區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的，是一般極限的一種）

2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了?。?！你還能有補充么？？？）等價無窮小的轉(zhuǎn)化，（只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等價于Ax 等等。全部熟記

（x趨近無窮的時候還原成無窮?。?/p>

2落筆他 法則（大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）

首先他的使用有嚴格的使用前提?。。?/p>

必須是 X趨近而不是N趨近?。。。。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件

（還有一點 數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮?。?/p>

必須是 函數(shù)的導數(shù)要存在！?。。。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導，直接用無疑于找死！）

必須是 0比0 無窮大比無窮大?。。。?！

當然還要注意分母不能為0

落筆他 法則分為3中情況0比0 無窮比無窮 時候 直接用0乘以無窮 無窮減去無窮（應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方

對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，（這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意?。。〦的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則 最大項除分子分母?。。。。。?/p>

看上去復雜處理很簡單?。。。?！

5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法

面對復雜函數(shù)時候，尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。

面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！！

6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限?。?/p>

這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。

7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限）（q絕對值符號要小于1）

8各項的拆分相加（來消掉中間的大多數(shù)）（對付的還是數(shù)列極限）

可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)

9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限）例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化 10 2 個重要極限的應用。這兩個很重要?。?！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x

比值。地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都有對有對應的形式

（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）還有個方法，非常方便的方法

就是當趨近于無窮大時候

不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。?！

x的x次方 快于 x！快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù)（畫圖也能看出速率的快慢）?。?！

當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。

15單調(diào)有界的性質(zhì)

對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性?。?！

16直接使用求導數(shù)的定義來求極限，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式，看見了有特別注意）

（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導數(shù)定義！?。?/p>

(0)

回復

1樓2014-03-19 20:22舉報 |來自Android客戶端

張806788364

舉人5

函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分 微分中

例如他的奇偶性質(zhì) 他的周期性。還有復合函數(shù)的性質(zhì)

1奇偶性，奇函數(shù)關于原點對稱 偶函數(shù)關于軸對稱 偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣（奇函數(shù)相加為0）

2周期性也可用在導數(shù)中 在定積分中也有應用 定積分中的函數(shù)是周期函數(shù) 積分的周期和他的一致復合函數(shù)之間是 自變量與應變量互換 的 關系

4還有個單調(diào)性。(再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)！）

（可以導的函數(shù)的單調(diào)性和他的導數(shù)正負相關）

:o 再就是總結一下間斷點的問題（應為一般函數(shù)都是連續(xù)的 所以 間斷點 是對于間斷函數(shù)而言的）

間斷點分為第一類 和第二類剪斷點第一類是左右極限都存在的（左右極限存在但是不等 跳躍的的間斷點 或者 左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值 可取的間斷點

地二類 間斷點是 震蕩間斷點 或者是 無窮極端點

（這也說明極限即是 不存在也有可能是有界的）

:o 下面總結一下

求極限的一般題型求分段函數(shù)的極限

當函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了?。。?！

當X趨近無窮時候 存在e的x次方的時候，就要分情況討論 應為 E的x次方的函數(shù)正負無窮的結果是不一樣的！?。?！極限中含有變上下限的積分 如何解決類？？？？

說白了 就是說 函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了 你要想辦法把它搞掉！?。。。。。?！

解決辦法 ：

1求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了 這不是很容易么？

但是?。。∮?個問題要注意??！

問題1 積分函數(shù)能否求導？ 題目沒說積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的??！問題2 被積分函數(shù)中 既含有T又含有x的情況下如何解決？？？？？？

解決1的方法： 就是方法2 微分中值定理?。。。。?/p>

微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系！更重要的是他能去掉積分符號?。?！

解決2的方法 ： 當x與t的函數(shù)是相互乘的關系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導數(shù)！??！

第三篇：高等數(shù)學極限總結

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個?？?，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么海口，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

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這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第四篇：高等數(shù)學極限總結

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。

【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個?？?，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？?，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。

此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特

別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。

（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：

這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式。

”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第五篇：極限定義的總結

極限定義的總結

極限主要包括兩個方面，即自變量的變化趨勢和函數(shù)的變化趨勢。我們就這兩個變化趨勢來總結極限的定義：

自變量變化趨勢limf(x)?函數(shù)的變化趨勢

自變量的變化趨勢主要有六種：

??x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0

函數(shù)的變化趨勢主要有四種：

f(x)?A,f(x)??,f(x)???,f(x)??? 自變量的描述格式如下：

?X?0,當|x|?X時；（x??）

?X?0,當x?X時；（x???）

?X?0,當x?-X時；（x???）

???0,當0?|x-x0|??時；（x?x0）

???0,???0, 當0?x-x0??時；（x?x0?）當0?|x-x0|??時；（x?x0?）

函數(shù)的描述格式如下：

???0, ?,?

???0, ?,?

???0, ?,? 恒時：|f(x)?A|??（f(x)?A）恒時：|f(x)|?M（f(x)??）恒時：f(x)?M（f(x)???）

恒時：f(x)??M（f(x)???）???0, ?,?

那么函數(shù)極限的定義可以是這C61?C41?24種中的任意一種。當然還有一種最特殊的函數(shù)極限，即數(shù)列的極限。它是一種自

變量的變化不連續(xù)的特殊情形。