第一篇：極限計(jì)算方法總結(jié)(簡潔版)

極限計(jì)算方法總結(jié)（簡潔版）

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim?0，當(dāng)|q|?1時(shí)b?0(a,b為常數(shù)且a?0)；lim(3x?1)?5；limqn??；

x?2n??ann??不存在，當(dāng)|q|?1時(shí)?等等

（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。

2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時(shí)需B?0成立)g(x)B

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3．兩個(gè)重要極限（1）limsinx?

1x?0x1x（2）

(1?1)x?e

lim(1?x)?e ； limxx??x?0說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。

1?2x例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x3?e，lim(1?)?e；等等。

x??xx

34．等價(jià)無窮小

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià)

關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，定理4 如果函數(shù)

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，則當(dāng)limx?x0f1(x)f1(x)f(x)存在時(shí)，lim也存在且等于f(x)lim，即

x?xx?x00g(x)g1(x)g1(x)x?x0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)x?x0g1(x)5．洛比達(dá)法則

定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； ?g(x)f(x)f?(x)f(x)f?(x)

則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g?(x)g(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“

0?”型或“”型；條件0?（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imx?x0f(x)?f(x0)。

7．極限存在準(zhǔn)則

定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

n??

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxnn???a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限 例1 limx?13x?1?2

x?1(3x?1)2?223x?33?lim?。解：原式=limx?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

例2 limn(n?2?n?1)

n??n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以?解：原式=limn??n?2?n?1(?1)n?3n例3 lim

n??2n?3n上下同除以3nnlimn??31?21?1?nn?3。2解：原式?1(?)n?1lim3?1。n??2n()?132． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限 例4 limx2ex?21x

12x解：因?yàn)閤0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以

原式=2e?4e。123． 利用兩個(gè)重要極限求極限 例5 lim1?cosx

x?03x2xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6 2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結(jié)果）。

5． 利用等價(jià)無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)2

2解：?x?0時(shí)，ln1(?3x)～3x，arctaxn)(～x，? 原式=limx?0x?3x?3。x2ex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。33x?0x?0xx例11 1tan(xsin)x limx?0sinx22xsin解：?當(dāng)x?0時(shí)，2111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價(jià)，xxx1xsin1x?limxsin?0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x?0x?0xx6． 利用洛比達(dá)法則求極限

說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。

例12 limx?01?cosx（例4）

3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）

x?06x6解：原式=limcos例13 ?xlimx?12 x?14 ?解：原式=limx?1?2sin?x2???。12例14 limx?0x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）2x?0x?06x63x解：原式=lim例15 limsinx?xcosx 2x?0xsinx原式?lim解：sinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2 xsinx1?lim?x?033x2例18 11lim[?] x?0xln(1?x)11lim[?]?0。解：錯誤解法：原式=x?0xx

正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2x?2sinx

3x?cosx1?2cosx0”型，但用洛比達(dá)法則后得到：lim，此極限

x??3?sinx0應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??解：易見：該極限是“不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同時(shí)除以x）=（利用定理1和定理2）

x??cosx33?x1?7． 利用極限存在準(zhǔn)則求極限 例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0

xn存在，設(shè) limxn?a。

n??對已知的遞推公式

xn?1?2?xn兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）。所以 limxn?2。

n??1n?1nn?n22n??例21 lim(?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?12?n?22????nn?12

因?yàn)?limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準(zhǔn)則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。

第二篇：高數(shù)_第1章_極限計(jì)算方法總結(jié)

極限計(jì)算方法總結(jié)

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果 1．定義：

數(shù)列極限、函數(shù)極限，課本42頁的表格必須認(rèn)真填寫并掌握。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim?1?0；lim(3x?1)?5；limqn?0,當(dāng)q?1等。2x?2n??(n?1)n??定義證明按著總結(jié)的四個(gè)步驟來，缺一不可?。?）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時(shí)需B?0成立)

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同g(x)B時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3．兩個(gè)重要極限

sinx(1?1)x?e

?1（2）lim(1?x)x?e ； lim（1）limxx??x?0x?0x說明：（1）不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式。

（2）一定注意兩個(gè)重要極限成立的條件。

例如：lim1sin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x1?2x?e，lim(1?3)?e；等等。

x??xx34．等價(jià)無窮小

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià) 關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，定理4 如果函數(shù)

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無窮小，且f(x)～f1(x)，f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，則當(dāng)lim存在時(shí)，lim也存在且等于lim。

x?x0g(x)x?x0g(x)x?x0g(x)115．連續(xù)性

定理5 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi) 的一點(diǎn)，則有l(wèi)imx?xf(x)?f(x0)。求極限的一個(gè)方法。

06．極限存在準(zhǔn)則

定理6（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理7（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)（2）limy??n?a，limzn??n?an

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limx?an??n??n。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限

例1 lim3x?1?2x?1x?1

解：原式=lim(3x?1)2?22x?1(x?1)(3x?1?2)?lim3x?3x?1(x?1)(3x?1?2)?34。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2 limn??n(n?2?n?1)

n解：原式=limn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以n??n?2?n?1?lim3n???31?2?1?12nn例3 lim(?1)n?3nn??2n?3n

上下同除以3n(?1)n?1解：原式?lim3n???1(2。3)n?12． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限 1例4 limx2exx?2

1解：因?yàn)閤是函數(shù)f(x)?x2ex0?2的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以

原式=22e2?4e。

3． 利用兩個(gè)重要極限求極限 例5 lim1?cosxx?03x2。

xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達(dá)法則(第三章)例6

2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結(jié)果）。

5． 利用等價(jià)無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)22x?0

解：?x?0時(shí)，ln(1?3x)～3x，arctan(x)～x，? 原式=limx?3x?3。2xex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。

33x?0x?0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx?0sinx2xsin解：?當(dāng)x?0時(shí)，111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價(jià)，xxxx2sin

所以，原式=limx?01x?limxsin1?0。

（最后一步用到定理2）

x?0xx5． 利用極限存在準(zhǔn)則求極限

例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0

xn存在，limxn?a。對已知的遞推公式 xn?1?2?xnn??兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

所以 limxn?2。

n??例21 lim(n??1n?1n2?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?n2n?12?n?22????nn?12

因?yàn)?limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準(zhǔn)則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對求第一章極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用洛必達(dá)、定積分求極限等，后面再作介紹。

第三篇：二重極限的計(jì)算方法(學(xué)年論文)

二重極限的計(jì)算方法小結(jié)

內(nèi) 容 摘 要

本文在二元函數(shù)定義基礎(chǔ)上通過求對數(shù)，變量代換等方式總結(jié)了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關(guān)例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。

關(guān)鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明

目 錄

序言???????????????????????????

1一、利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證………??????1(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以確定???????? 1(二)由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證??????????2(三)采用對數(shù)法求極限?????????????????2(四)利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限???3(五)等價(jià)無窮小代換??????????????????3(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量??????4(七)多元函數(shù)收斂判別方法???????????????4(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限????5(九)極坐標(biāo)代換法???????????????????6(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法?????????????7

二、證明二重極限不存在的幾種方法………………………………… 7 總結(jié)??????????????????????????10 參考文獻(xiàn)????????????????????????11 I

序言

二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。對一元函數(shù)而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數(shù)可以有無數(shù)種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區(qū)別。雖然二元函數(shù)的極限較為復(fù)雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。

對于二元函數(shù)的二重極限，重點(diǎn)是極限的存在性及其求解方法。二重極限實(shí)質(zhì)上是包含任意方向的逼近過程，是一個(gè)較為復(fù)雜的極限，只要有兩個(gè)方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復(fù)雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據(jù)變量(x,y)的不同變化趨勢和函數(shù)f(x,y)的不同類型，探索得出一些計(jì)算方法，采用恰當(dāng)?shù)那蠼夥椒ê?，對?fù)雜的二重極限計(jì)算，就能簡便，快捷地獲得結(jié)果，本文將對二重極限的幾種計(jì)算方法做一下小結(jié)。一、二重極限的計(jì)算方法小結(jié)

(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以驗(yàn)證

利用二元函數(shù)極限定義求極限：根據(jù)定義解題時(shí)只需找出?來。

x3y例1 討論f(x,y)?2，在點(diǎn)的極限。

x?y2[1]解 令y?mx

x?0y?mxlimx3ymx4m2?lim?limx?0

x2?y2x?0y?mx(1?m2)x?01?m2x3y應(yīng)為此路徑為特殊路徑，故不能說明lim?0.可以猜測值為0。

x?0y?0x2?y2下面再利用定義法證明：???0，取??2?

當(dāng)0?(x?0)2?(y?0)2?? 有x2?x2?y2?2?

x3yx3y12x3y12由于2 即有?0??x?x?? 2222xy22x?yx?yx3y故lim?0.x?0y?0x2?y2注意（1）?的任意性

（2）?一般隨而變化

（3）若函數(shù)以A為極限，則對函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有范圍（A+?，A-?）。

(二)由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證

先求出一個(gè)累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗(yàn)證 例2[2] 設(shè)f(x,y)?(x?y)sin221(x2?y2?0)。求limf(x,y)22x?0y?0x?y解 ?limlimf(x,y)?0可以猜測有極限值為0.事實(shí)上對任意的(x,y)?(0,0)

x?0y?0有f(x,y)?0?(x?y)sin2212222?x?y?x?y，22x?y???0 取???，當(dāng)x??，y??，(x,y)?(0,0)時(shí)，2就有(x2?y2)sin1?0??，即有l(wèi)imf(x,y)?0 22x?0y?0x?y(三)采用對數(shù)法求極限

利用初等變形，特別是指數(shù)形式常?？梢韵惹笃饘?shù)的極限?；驑O限是等未定型，往往通過取對數(shù)的辦法求得結(jié)果。

例3 求 解

1sinxyx?0?y?0?lim(1?xy)(1?xy)

1sinxy1xyxysinxyx?0?y?0?lim1sinxy?x?0?y?0?limeln(1?xy)?x?0?y?0?limeln(1?xy)

1xy 因?yàn)?/p>

xyxyln(1?xy)?lne?1 ?1而且limx?0?y?0?sinxy1x?0?y?0?lim 所以

1sinxyx?0y?0lim(1?xy)???e

(四)利用一元函數(shù)中重要極限的推廣求兩個(gè)重要極限

1? lim?1??lim(1?x)x?e ??x??x?0?x?sinx?

1limx?0x類似于一元函數(shù)，我們可以充分利用所熟知的結(jié)論。通過構(gòu)造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進(jìn)而利用已有的結(jié)論而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1?x)x?0y?01x(x?y)（2）limsinxy

x?0y?ax解（1）因?yàn)?/p>

lim(1?x)?e，limx?01x11?

x?0y?2x?y2 所以

1x(x?y)1x?yx?0y?2lim(1?x)???lim?(1?x)?x?0y?2??1x?e（2）由于

又因?yàn)?/p>

sinxysinxy??y,y?0, xxysinxysint?lin?1(xy?t,x?0)

x?0y?at?0txylim 所以

sinxysint?linliny?a

x?0y?at?0yxt?alim(五)等價(jià)無窮小代換

利用一元函數(shù)中已有的結(jié)論對式子進(jìn)行必要的代換以達(dá)到簡化的目的，進(jìn)而求出所要求的極限

33例5 求limsin(x?y)

x?0y?0x?y33 解 因?yàn)閤?0,y?0,故有x?y?0

所以sin(x3?y3)等價(jià)于x3?y3

3333故原式為limsin(x?y)?limx?y?lim(x2?xy?y2)?0

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?yx?y注 無窮小替代求極限時(shí)要理解替換過程的本質(zhì)，不可隨意替換。利用等價(jià)無窮小替代求極限其實(shí)質(zhì)就是在極限運(yùn)算中同時(shí)乘一個(gè)或是除一個(gè)等價(jià)無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時(shí)可以替換，加減時(shí)不可隨意替換”

(六)利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量

充分利用無窮小的性質(zhì)，與一元函數(shù)類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關(guān)無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到多元函數(shù)中。

例6[4]2?x?3??y?2? 求 lim

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2 解 因?yàn)?/p>

2?x?3??y?2?limx?3,y?2?x?3?2??y?2?2?lim?x?3??y?2??x?3?

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2而

?x?3??y?2??x?3?2??y?2?2又 limx?3,y?2?1為有界變量 2?x?3??0 故有 原式=0(七)多元函數(shù)收斂判別方法

當(dāng)一個(gè)二重極限不易直接求出時(shí)，可以考慮通過放縮法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，且兩端的極限值相等，則原函數(shù)的極限值存在且等于它們的公共值。

例7[5] 求 lim?xx?0y?0?y2

x?y2?解 因?yàn)?/p>

?x0?而

?y2x2y2x2y2?????x?y

x?yx?yx?yxy2?x?0y?0lim?x?y??0，故

x?0y?0lim?x?y2

x?y2?

(八)變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限

有時(shí)為了將所求的極限化簡，轉(zhuǎn)化為已知的極限，可以根據(jù)極限式子的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復(fù)雜的極限過程轉(zhuǎn)化為更簡化的極限過程。

1、討論當(dāng)x?0,y?0，二元函數(shù)f(x,y)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數(shù)中已知的極限轉(zhuǎn)化，相應(yīng)有t?0從而求得結(jié)果。

ln(1?x2?y2)例8 求 lim 22x?0,y?0x?y解 令x2?y2??, 則當(dāng)x?0,y?0時(shí) ??0，22ln(1?x?y)ln(1??)于是lim?lim?1 22x?0,y?0??0?x?y2、討論當(dāng)x??,y?aa?0常數(shù)時(shí)，二元函數(shù)f(x,y)的極限，作變量代換，相應(yīng)有t??，利用已知一元函數(shù)的極限公式。

例9 求 lim?1???x??y?a??xy?解 因?yàn)?/p>

x2x?y???1?其中a?0

?1??1??xy????x2x?y?1???1??xy????xxy(x?y)y

當(dāng) x??,y?a時(shí)，令xy=t,相應(yīng)有t?? 則

?1??lim?1??x??y?a??xy?

所以

xy?1??lim?1???e t???t?t?1???lim1?x??y?a?xy???x2x?y?x??y?alimex1xyln(1?)(x?y)yxy?e1a

3、討論x??,y??時(shí)二元函數(shù)f(x,y)的極限

例10 求 解 因?yàn)?x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)

(x?y)e22?(x?y)(x2?y2)(x?y)2xy???2(x?y)(x?y)(x?y)eee當(dāng) x??,y??時(shí)，令x+y=t,相應(yīng)有t??

(x?y)2t2則 lim?limt?0

x??,y??e(x?y)t??ex??,y??lim2xyxy??2lim?lim?0 xyxyx??,y??x??,y??eeee所以

x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)?0

(九)極坐標(biāo)代換法

討論當(dāng)?x,y???0,0?時(shí)，二元函數(shù)f(x,y)的極限，必要時(shí)可以用極坐標(biāo)變換

?x?rcos?,y?rsin?，即將求f(x,y)當(dāng)極限問題變換為f(rcos?,rsin?)求r?0的極

?限問題。但必須要求在r?0的過程中與?的取值無關(guān)。注意這里不僅對任何固定的?在r?0?時(shí)的極限與?無關(guān)，而且要求在r?0?過程中?可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關(guān)，才能說明lim[6]x?0,y?0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2解 令

?x?rcos?，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，有r?0? ??y?rsin?令

x2y2r4cos2?sin2???r2cos2?sin2? 222x?xr22因?yàn)?cos?sin??1

所以

x2y2222lim?limrcos?sin?0(x,y)?(0,0)x2?y2r?0?

(十)用多元函數(shù)收斂判別的方法

通過縮放法使二元函數(shù)夾在兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間，再利用兩邊夾定理來推出結(jié)果。

x2?y2例12 求 lim

x?0y?0x?y 解 因?yàn)?/p>

x2?y2?x?y?0???x?y x?yx?y2而 limx?0y?0?x?y??0

22x?y 所以 lim?0

x?0y?0x?y

二、證明二重極限不存在

若二元函數(shù)f(p)在區(qū)域D有定義，p0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)。當(dāng)動點(diǎn)p(x,y)沿著兩條不同的曲線（或點(diǎn)列）誣陷趨近于點(diǎn)p0(x0,y0)，二元函數(shù)f(p)，有不同的“極限”，則二元函數(shù)f(p)在點(diǎn)p0(x0,y0)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明f(p)在區(qū)域D上當(dāng)p?p0時(shí)極限不存在。

例1[7] 證明x?0y?0limln(x?ey)x2?y2不存在

y22證明 函數(shù)的定義域?yàn)镈?(x,y)x??e,x?y?0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著y

??軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有x=0，而

x?0y?0limln(x?ey)x2?y2?limy?0y不存在，y所以

x?0y?0limln(x?ey)x?y22

當(dāng)P沿著D中某一連續(xù)曲線趨近于點(diǎn)p0(x0,y0)時(shí)，二元函數(shù)f(p)的極限不存在，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 證明x?0y?0limx4?y4不存在

x?y證明 函數(shù)的定義域?yàn)镈?(x,y)x?y?0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著x軸趨于點(diǎn)（0，x4?y40）時(shí)，lim=0，當(dāng)點(diǎn)p(x,y)沿著y?x(x3?1)趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)x?0y?0x?yx4?y4x4?x4(x3?1)lim?lim?2 4x?0x?0x?yx所以

x?0y?0??limx4?y4不存在

x?y當(dāng)P沿著D中兩條不同的連續(xù)曲線趨近于p0(x0,y0)時(shí)，二元函數(shù)f(p)的極限都存在，但不相等，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33x?y例3 證明

x?0y?0lim證明 設(shè)x?rcos?,y?rsin?函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

D?(r,?)r?0,cos??sin??0,?0,2??

??

x?0y?0limx2y2?x3?y3xlim(r,?)?D?0?rcos2?sin2? cos3??sin3?rcos2?sin2?當(dāng)??0時(shí)，sin??0得lim?0 33x?0?cos??sin?(r,?)?D當(dāng)??(33??1)時(shí)cos3??sin3??0?,cos2?sin2??443令cos??sin??r有

x?0?cos3??sin3??rlimrcos2?sin2?1??0

cos3??sin3?4所以

x?0y?0limx2y2 不存在

x3?y3對于一些難以找到的路線，可以利用極坐標(biāo)來證明 例4[8] 證明 limx?0y?0x2?y2不存在 22x?2yx2?y2x3證明 limlimf(x,y)?limlim2?lim2?limx?0

x?0y?0x?0y?0xx?0xx?0?2y2x2?y2y211 limlimf(x,y)?limlim2?lim?lim?x?0y?0x?0y?0x?2y2y?02y2y?022

即得

x?0y?0limx2?y2x2?y2 ?limlim2222x?0y?0x?2yx?2yx?0y?0因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限不想等，所以

limx2?y2 不存在 22x?2y總結(jié)

函數(shù)極限是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數(shù)的極限，但二元函數(shù)在多元函數(shù)微積分學(xué)中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進(jìn)一步學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分有關(guān)概念和方法的基礎(chǔ)。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗(yàn)證、采用對數(shù)法求極限、利用一元函數(shù)中重要的極限的推廣求兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小代換、利用無窮小量與有界函數(shù)的積仍為無窮小量、多元函數(shù)收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數(shù)中的已知極限、極坐標(biāo)代換法、用多元函數(shù)收斂判別的方法等始終二重極限的計(jì)算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實(shí)際解決二重極限問題時(shí)要根據(jù)題型不同選擇最優(yōu)的解題方式，不但能提高正確率也可以節(jié)省時(shí)間和工作量，達(dá)到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)

［1］孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］張貴文,汪明凡.關(guān)于多元函數(shù)的極限[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),1983.［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］閻家灝.正項(xiàng)級數(shù)斂散性的一種審斂[J].蘭州工業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004.［6］閻家灝.用極坐標(biāo)變換確定二重極限的技巧及實(shí)例[J].蘭州工業(yè)高等專科學(xué)校學(xué) 報(bào),2006.［7］劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，（2）..10

第四篇：極限計(jì)算方法及例題

極限計(jì)算方法總結(jié)

《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校最重要的基礎(chǔ)課之一，極限是《高等數(shù)學(xué)》的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到《高等數(shù)學(xué)》后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對極限概念和一些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好地掌握這部分知識。

一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的b?0(a,b為常數(shù)且a?0)；極限嚴(yán)格定義證明，例如：lim

n?當(dāng)?an0，|q|?1時(shí)?nlim(3x?1)?5；limq??；等等 n??x?2?不存在，當(dāng)|q|?1時(shí)（2）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需

再用極限嚴(yán)格定義證明。

2．極限運(yùn)算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

f(x)

g(x)AB（3）lim?,(此時(shí)需B?0成立)

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。

3．兩個(gè)重要極限

（1）limsinx

xx?0?1

11xxlim(1?)?elim(1?x)?e（2）；xx??x?0

說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx?0?1，lim(1?2x)x?0?2x?e，lim(1?x??3)3?e；等等。xx

4．等價(jià)無窮小

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。

定理3 當(dāng)x?0時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)（g(x)?0），仍有上面的等價(jià)

關(guān)系成立，例如：當(dāng)x?0時(shí)，e

3x

?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時(shí)的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當(dāng)lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

x?x0

存在時(shí)，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

x?x0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

x?x0，即lim

f(x)g(x)

x?x0

=lim

x?x0。

5．洛比達(dá)法則

定理5 假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：

（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）lim

f?(x)g?(x)

存在（或是無窮大）；

則極限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f?(x)g?(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f?(x)g?(x)。

說明：定理5稱為洛比達(dá)法則，用該法則求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不

滿足，洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“

00

”型或“

??

”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢

后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注

意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間

內(nèi)的一點(diǎn)，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x0

7．極限存在準(zhǔn)則

定理7（準(zhǔn)則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準(zhǔn)則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個(gè)數(shù)列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??

n??

則極限limxn??

n一定存在，且極限值也是a，即limxn??

n?a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限

例1lim

3x?1?2x?1

x?

1)2

?

2解：原式=lim

(3x?1?lim

3x?3

?

3x?1

(x?1)(3x?1?2)

x?1

(x?1)(3x?1?2)。

注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2lim

n(n?2?

n?1)n??

n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以

n

解：原式=limn??

n?2?

n?1

?lim

3?

3n??

1?

212

n?

?

n

例3 lim

(?1)n?3n

n??

2n

?3

n

(?1上下同除以3

n)n

?1解：原式

?

lim3

?1n??(2。3)n

?12． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限

例4 limx2

ex

x?2

解：因?yàn)閤2

x

0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以原式=22

e2?4e。3． 利用兩個(gè)重要極限求極限

例5 lim

1?cosxx?0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=lim22?1

x?0

3x

?lim

x?012?(x6。

22)。

注：本題也可以用洛比達(dá)法則。

例6 lim(1?3sinx)x

x?0

1?6sinx

?6sinx

解：原式=lim(1?3sinx)

?3sinx?

x

?lim[(1?3sinx)?3sinx]

x?0

x?0

例7 lim（n?2n

n??

n?1)

?3n?1?3n

n?1

?3n解：原式=lim(1?

?3?

n?1

?

?33

]n?1

?e

?3

n??

n?1)?lim[(1n??

n?1)

?4． 利用定理2求極限

例8 limx2

sin

1x?0

x

解：原式=0（定理2的結(jié)果）。5． 利用等價(jià)無窮小代換（定理4）求極限例9 lim

xln(1?3x)x?0

arctan（x2)

解：?x?0時(shí)，ln(1?3x)～3x，arctan(x2)～x2，? 原式=lim

x?3xx

?3。

x?0

x例10 lim

e?e

sinx

x?0

x?sinx

sinx

(ex?sinx

?1)

sinx

解：原式=lim

e

x?sinx)

x?0

x?sinx

?lim

e(x?0

x?sinx

?1。

注：下面的解法是錯誤的： xsinx

原式=lim

(e?1)?(e

?1)

?lim

x?sinx?1x?0

x?sinx

x?0

x?sinx。

正如下面例題解法錯誤一樣：lim

tanx?sinx

x

?lim

x?x?0x?0

x?0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x?0

sinx

?e

?6。

解：?當(dāng)x?0時(shí)，x2sin

1x

是無窮小，?tan(xsin

1x)與xsin

1x

等價(jià)，xsin

所以，原式=lim

x?0

x?limxsin1?0

。（最后一步用到定理2）

x?0xx

6． 利用洛比達(dá)法則求極限

說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12 lim

1?cosx3x

x?0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x?0

?

。（最后一步用到了重要極限）

cos

例13 lim

x?1

?x

x?1?

?

sin

1?x

???

。2

解：原式=lim

x?1

例14 lim

x?sinxx

x?0

解：原式=lim

1?cosx3x

x?0

=lim

sinx6x

x?0

?

。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）

例15 lim解：

sinx?xcosx

xsinx

x?0

原式?lim

?lim

sinx?xcosx

x?xxsinx3x

x?0

?lim

cosx?(cosx?xsinx)

3x

x?0

x?0

?

3例18 lim[

x?0

1x

?

1ln(1?x)

]

1x

1x

解：錯誤解法：原式=lim[

x?0

?

]?0。

正確解法：

原式?lim

ln(1?x)?xxln(1?x)11?x2x

?1

x?0

?lim

x?0

ln(1?x)?x

x?x

?lim

x?0

?lim

x2x(1?x)

x?0

?

12。

應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以用，如下例。例19 lim

x?2sinx3x?cosx

x??

解：易見：該極限是“

00

”型，但用洛比達(dá)法則后得到：lim

1?2cosx3?sinx

x??，此極限

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

1?

原式=lim

x??

2sinx

x

（分子、分母同時(shí)除以x）cosxx

3?

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用極限存在準(zhǔn)則求極限

例20 已知x1?

2,xn?1?

2?xn,(n?1,2,?)，求limxn

n??

解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0<設(shè)

xn<2），由準(zhǔn)則1極限limxn存在，n??

limxn?a。對已知的遞推公式 xn?1?

n??

2?xn兩邊求極限，得：

a?所以

2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

limxn?2。n??

1n?1nn?n

n??

例21 lim(?

1n?2?

???

1n?n)

1n?n

解： 易見：

n?1

?

1n?2

????

nn?1

因?yàn)?limn??

nn?n

?1，lim

nn?1

?

n??

?1

1n?n

所以由準(zhǔn)則2得：lim（n??

n?1

n?2

???)?1。

第五篇：個(gè)人所得稅的計(jì)算方法(最簡潔)

個(gè)人所得稅的計(jì)算方法（最簡潔）

我國個(gè)人所得稅的特點(diǎn)是以個(gè)人為納稅主體，按分類所得設(shè)置稅率，實(shí)行自行申報(bào)和 代扣代繳兩種征稅方法。隨著社會各階層個(gè)人收入的提高，個(gè)人所得稅的稅源增長顯著，在沿海開放地區(qū)，個(gè)人所得稅在地方稅收中已占據(jù)相當(dāng)大的比重。

一、工資、薪金所得應(yīng)納所得稅額的計(jì)算工資、薪金所得應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅可以由納稅人直接繳納，也可以由扣繳義務(wù)人扣 繳。從2011年9月1日起，它以納稅人每月取得的工資、薪金收入扣除費(fèi)用3500元(或 4800元)后的余額為應(yīng)稅所得，根據(jù)七級超額累進(jìn)稅率，計(jì)算其應(yīng)納所得稅額。例：某外商投資企業(yè)的中方財(cái)務(wù)經(jīng)理2014年3月取得月薪收入5000元，取 得2013一次性獎金30000元。該經(jīng)理3月份應(yīng)繳納的個(gè)人所得稅計(jì)算如下：(1)3月份工資收入應(yīng)納個(gè)人所得稅為：(5000-3500)x3% =45(元）(2)3月份取得的2013年終獎應(yīng)納個(gè)人所得稅為：3_0 + 12 = 2500(元）先確定適用稅率為10%，速算扣除數(shù)為105。30000 x 10%-105 = 2895(元）(3)3月份應(yīng)繳個(gè)人所得稅合計(jì)：45 +2895 =2940(元）

二、勞務(wù)報(bào)酬所得應(yīng)納所得稅的計(jì)算勞務(wù)報(bào)酬所得個(gè)人所得稅應(yīng)納稅額的計(jì)算公式為：(1)每次收入不足4000元的：應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅所得額x適用稅率=(每次收入額-800)x 20%(2)每次收入在4000元以上的：應(yīng)納稅額=應(yīng)納稅所得額x適用稅率==每次收入額x(120%)x適用稅率-速算扣除數(shù) 值得注意的是，對勞務(wù)報(bào)酬所得一次收入畸高，即個(gè)人一次取得的應(yīng)納稅所得額超過 20000?50000元部分，依稅法規(guī)定計(jì)算應(yīng)納稅額后再按照應(yīng)納稅額加征五成，超過50000元的部分，加征十成。例：2013年8月歌星劉某應(yīng)邀參加C公司慶典活動的演出。按照協(xié)議劉某 演出四場，每場出場費(fèi)為15000元。劉某演出收入應(yīng)納個(gè)人所得稅為：應(yīng)稅所得額=1500(^4父（1-20%)=48000(元）應(yīng)納稅額=48000 x30%-2000 = 12400(元）

三、在中國境內(nèi)無住所的個(gè)人未滿一月工資薪金所得應(yīng)納稅額的計(jì)算應(yīng)納稅額=(當(dāng)月工資薪金應(yīng)納稅所得額*適用稅率—速算扣除數(shù)）*（當(dāng)月實(shí)際在中國天數(shù)/當(dāng)月天數(shù)）如果外籍個(gè)人取得的是日工資薪金，應(yīng)以日工資薪金乘以當(dāng)月天數(shù)換算成月工資薪金 后，按上述公式計(jì)算應(yīng)納稅額。例：—外籍個(gè)人擔(dān)任我國境內(nèi)一家外商投資企業(yè)財(cái)務(wù)總監(jiān)，每月工資由該企 業(yè)支付15000元，由外方公司支付6000美元(折合人民幣40000元），該個(gè)人20131月 至6月在我國境內(nèi)工作，其余時(shí)間在境外履行職務(wù)。根據(jù)稅法規(guī)定，其2013在我國的 納稅義務(wù)確定為：(1)由于其系企業(yè)的高層管理人員，因此，根據(jù)稅法規(guī)定，該人員于2013年1月1日起 至6月30日止在華任職期間，由該企業(yè)支付的15000元工資薪金所得，應(yīng)按月依照稅法規(guī) 定的期限申報(bào)繳納個(gè)人所得稅。(2)由于其2013來華工作時(shí)間未超過183天，根據(jù)稅收協(xié)定的規(guī)定，其由外方公 司支付的工資、薪金所得，在我國可免于申報(bào)納稅（如果該個(gè)人屬于與我國未簽訂稅收協(xié)定 國家的居民，則其由境外公司按每月6000美元標(biāo)準(zhǔn)支付的工資薪金，凡屬于在我國境內(nèi) 180天工作期間取得的部分，應(yīng)與我國境內(nèi)企業(yè)每月支付的15000元工資合并計(jì)算繳納個(gè) 人所得稅）。2013該人員應(yīng)納個(gè)人所得稅為：(1)若該人員屬于與我國簽訂稅收協(xié)定國家的居民，則月薪應(yīng)納稅所得額=15000-4800 = 10200(元）任職期間應(yīng)納稅額=(10200x25%-1005)xl2 =18540(元）(2)若該人員屬于與我國未簽訂稅收協(xié)定國家的居民境內(nèi)工作期間月薪應(yīng)納稅所得額=(15000 +40000)-4800 =50200(元）境內(nèi)工作期間應(yīng)納稅額=(50200 x30%-2755)x6 +(50200 x30%-2755)x [1-40000 +(15000 +40000)] x6 =93965.45(元）

四、境外所得的已納稅款的扣除根據(jù)《個(gè)人所得稅法》規(guī)定，納稅義務(wù)人從中國境外取得的所得，準(zhǔn)予其在應(yīng)納稅額中 扣除已在境外繳納的個(gè)人所得稅稅款。但扣除額不得超過該納稅義務(wù)人境外所得依照我 國稅法規(guī)定計(jì)算的應(yīng)納稅額。

例:王某2013年1月至12月從中國境內(nèi)取得工資、薪金收入66000元，從A 國取得特許權(quán)使用費(fèi)收入8000元，已按A國稅法規(guī)定繳納了個(gè)人所得稅1400元，則王某 2013年應(yīng)申報(bào)繳納個(gè)人所得稅額為：(1)月工薪收入=66000 + 12 = 5500(元）(2)月應(yīng)納稅額=(5500-3500)xlO%-105 =95(元(3)A國收入按我國稅法規(guī)定計(jì)算的應(yīng)納稅額(抵扣限額）= 8000x(l-20%)x20% =1280(元）該納稅人在A國實(shí)際繳納的稅款超出了抵扣限額，只能在抵扣限額內(nèi)抵扣1280元。剩余部分可在以后5個(gè)納稅的A國扣除限額的余額中補(bǔ)扣。(4)應(yīng)納所得稅額合計(jì)=95 x 12 = 1140(元）

五、個(gè)人獨(dú)資企業(yè)和合伙企業(yè)投資者個(gè)人所得稅的計(jì)算自2000年1月1日起，個(gè)人獨(dú)資企業(yè)和合伙企業(yè)（以下簡稱企業(yè)）每一納稅的收 入總額減除成本、費(fèi)用以及損失后的余額，作為投資者個(gè)人的生產(chǎn)經(jīng)營所得，比照《個(gè)人所 得稅法》的“個(gè)體工商戶的生產(chǎn)、經(jīng)營所得”應(yīng)稅項(xiàng)目，適用5%?35%的五級超額累進(jìn)稅率，計(jì)算征收個(gè)人所得稅。個(gè)人獨(dú)資企業(yè)的投資者以全部生產(chǎn)經(jīng)營所得為納稅所得額;合伙企業(yè)的投資者按照合 伙企業(yè)的全部生產(chǎn)經(jīng)營所得和合伙協(xié)議約定的分配比例確定應(yīng)納稅所得額，合伙協(xié)議沒有 約定分配比例的，以全部生產(chǎn)經(jīng)營所得和合伙人數(shù)量平均計(jì)算每個(gè)投資者的應(yīng)納稅所 得額。凡實(shí)行查賬征稅辦法的，生產(chǎn)經(jīng)營所得比照《個(gè)體工商戶個(gè)人所得稅計(jì)稅辦法》（國家 稅務(wù)總局令第35號）的規(guī)定確定。(1)個(gè)體工商戶實(shí)際支付給從業(yè)人員的、合理的工資薪金支出，準(zhǔn)予扣除。個(gè)體工商戶 業(yè)主的費(fèi)用扣除標(biāo)準(zhǔn)，自2011年9月1日起，為4200元/年(3500元/月）。個(gè)體工商戶業(yè) 主的工資薪金支出不得稅前扣除。(2)個(gè)體工商戶按照國務(wù)院有關(guān)主管部門或者省級人民政府規(guī)定的范圍和標(biāo)準(zhǔn)為其業(yè) 主和從業(yè)人員繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)、失業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)、生育保險(xiǎn)費(fèi)、工傷保 險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金，準(zhǔn)予扣除。個(gè)體工商戶為從業(yè)人員繳納的補(bǔ)充養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)、補(bǔ)充醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)，分別在不超過從業(yè) 人員工資總額5%標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的部分據(jù)實(shí)扣除;超過部分，不得扣除。個(gè)體工商戶業(yè)主本人繳納的補(bǔ)充養(yǎng)老保險(xiǎn)費(fèi)、補(bǔ)充醫(yī)療保險(xiǎn)費(fèi)，以當(dāng)?shù)兀ǖ丶壥校┥夏?度社會平均工資的3倍為計(jì)算基數(shù)，分別在不超過該計(jì)算基數(shù)5%標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)的部分據(jù)實(shí)扣除； 超過部分，不得扣除。(3)除個(gè)體工商戶依照國家有關(guān)規(guī)定為特殊工種從業(yè)人員支付的人身安全保險(xiǎn)費(fèi)和財(cái)政部、國家稅務(wù)總局規(guī)定可以扣除的其他商業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)外，個(gè)體工商戶業(yè)主本人或者為從業(yè) 人員支付的商業(yè)保險(xiǎn)費(fèi)，不得扣除。(4)個(gè)體工商戶在生產(chǎn)經(jīng)營活動中發(fā)生的合理的不需要資本化的借款費(fèi)用，準(zhǔn)予扣除。個(gè)體工商戶為購置、建造固定資產(chǎn)、無形資產(chǎn)和經(jīng)過12個(gè)月以上的建造才能達(dá)到預(yù)定可銷售狀態(tài)的存貨發(fā)生借款的，在有關(guān)資產(chǎn)購置、建造期間發(fā)生的合理的借款費(fèi)用，應(yīng)當(dāng)作 為資本性支出計(jì)入有關(guān)資產(chǎn)的成本，并依照本辦法的規(guī)定扣除。(5)個(gè)體工商戶在生產(chǎn)經(jīng)營活動中發(fā)生的下列利息支出，準(zhǔn)予扣除：向金融企業(yè)借款的 利息支出；向非金融企業(yè)和個(gè)人借款的利息支出，不超過按照金融企業(yè)同期同類貸款利率 計(jì)算的數(shù)額的部分。(6)個(gè)體工商戶在貨幣交易中，以及納稅終了時(shí)將人民幣以外的貨幣性資產(chǎn)、負(fù)債 按照期末即期人民幣匯率中間價(jià)折算為人民幣時(shí)產(chǎn)生的匯兌損失，除已經(jīng)計(jì)入有關(guān)資產(chǎn)成本部分外，準(zhǔn)予扣除。(7)個(gè)體工商戶向當(dāng)?shù)毓M織撥繳的工會經(jīng)費(fèi)、實(shí)際發(fā)生的職工福利費(fèi)支出、職工教 育經(jīng)費(fèi)支出分別在工資薪金總額的2%、14%、2.5%的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)據(jù)實(shí)扣除。工資薪金總額是指允許在當(dāng)期稅前扣除的工資薪金支出數(shù)額。職工教育經(jīng)費(fèi)的實(shí)際發(fā)生數(shù)額超出規(guī)定比例當(dāng)期不能扣除的數(shù)額，準(zhǔn)予在以后納稅年 度結(jié)轉(zhuǎn)扣除。個(gè)體工商戶業(yè)主本人向當(dāng)?shù)毓M織繳納的工會經(jīng)費(fèi)、實(shí)際發(fā)生的職工福利費(fèi)支出、職工教育經(jīng)費(fèi)支出，以當(dāng)?shù)?地級市）上社會平均工資的3倍為計(jì)算基數(shù)，在本條第一 款規(guī)定比例內(nèi)據(jù)實(shí)扣除。(8)個(gè)體工商戶發(fā)生的與生產(chǎn)經(jīng)營活動有關(guān)的業(yè)務(wù)招待費(fèi)，按照實(shí)際發(fā)生額的60%扣 除，但最高不得超過當(dāng)年銷售（營業(yè)）收入的5%。業(yè)主自申請營業(yè)執(zhí)照之日起至開始生產(chǎn)經(jīng)營之日止所發(fā)生的業(yè)務(wù)招待費(fèi)，按照實(shí)際發(fā) 生額的60%計(jì)入個(gè)體工商戶的開辦費(fèi)。(9)個(gè)體工商戶每一納稅發(fā)生的與其生產(chǎn)經(jīng)營活動直接相關(guān)的廣告費(fèi)和業(yè)務(wù)宣傳 費(fèi)不超過當(dāng)年銷售（營業(yè)）收入15%的部分，可以據(jù)實(shí)扣除;超過部分，準(zhǔn)予在以后納稅 結(jié)轉(zhuǎn)扣除。(10)個(gè)體工商戶代其從業(yè)人員或者他人負(fù)擔(dān)的稅款，不得稅前扣除。(11)個(gè)體工商戶按照規(guī)定繳納的攤位費(fèi)、行政性收費(fèi)、協(xié)會會費(fèi)等，按實(shí)際發(fā)生數(shù)額 扣除。(12)個(gè)體工商戶根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)營活動的需要租入固定資產(chǎn)支付的租賃費(fèi)，按照以下方法 扣除:以經(jīng)營租賃方式租入固定資產(chǎn)發(fā)生的租賃費(fèi)支出，按照租賃期限均勻扣除；以融資租 賃方式租入固定資產(chǎn)發(fā)生的租賃費(fèi)支出，按照規(guī)定構(gòu)成融資租入固定資產(chǎn)價(jià)值的部分應(yīng)當(dāng) 提取折舊費(fèi)用，分期扣除。(13)個(gè)體工商戶參加財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，按照規(guī)定繳納的保險(xiǎn)費(fèi)，準(zhǔn)予扣除。(14)個(gè)體工商戶發(fā)生的合理的勞動保護(hù)支出，準(zhǔn)予扣除。(15)個(gè)體工商戶自申請營業(yè)執(zhí)照之日起至開始生產(chǎn)經(jīng)營之日止所發(fā)生符合本辦法規(guī) 定的費(fèi)用，除為取得固定資產(chǎn)、無形資產(chǎn)的支出，以及應(yīng)計(jì)入資產(chǎn)價(jià)值的匯兌損益、利息支 出外，作為開辦費(fèi)，個(gè)體工商戶可以選擇在開始生產(chǎn)經(jīng)營的當(dāng)年一次性扣除，也可自生產(chǎn)經(jīng) 營月份起在不短于3年期限內(nèi)攤銷扣除，但一經(jīng)選定，不得改變。開始生產(chǎn)經(jīng)營之日為個(gè)體工商戶取得第一筆銷售（營業(yè)）收人的日期。(16)個(gè)體工商戶通過公益性社會團(tuán)體或者縣級以上人民政府及其部門，用于《中華人 民共和國公益事業(yè)捐贈法》規(guī)定的公益事業(yè)的捐贈，捐贈額不超過其應(yīng)納稅所得額30%的 部分可以據(jù)實(shí)扣除。財(cái)政部、國家稅務(wù)總局規(guī)定可以全額在稅前扣除的捐贈支出項(xiàng)目，按有關(guān)規(guī)定執(zhí)行。個(gè)體工商戶直接對受益人的捐贈不得扣除。公益性社會團(tuán)體的認(rèn)定，按照財(cái)政部、國家稅務(wù)總局、民政部有關(guān)規(guī)定執(zhí)行。(17)個(gè)體工商戶研究開發(fā)新產(chǎn)品、新技術(shù)、新工藝所發(fā)生的開發(fā)費(fèi)用，以及研究開發(fā)新 產(chǎn)品、新技術(shù)而購置單臺價(jià)值在10萬元以下的測試儀器和試驗(yàn)性裝置的購置費(fèi)準(zhǔn)予直接扣 除;單臺價(jià)值在10萬元以上（含10萬元）的測試儀器和試驗(yàn)性裝置，按固定資產(chǎn)管理，不得在當(dāng)期直接扣除。有下列情形之一的，則采取核定征收方式征收個(gè)人所得稅：(1)企業(yè)依照國家有關(guān)規(guī)定應(yīng)當(dāng)設(shè)置但未設(shè)置賬簿的；(2)企業(yè)雖設(shè)置賬簿，但賬目混亂或者成本資料、收入憑證、費(fèi)用憑證殘缺不全，難以查 賬的；(3)納稅人發(fā)生納稅義務(wù)，未按照規(guī)定期限辦理納稅申報(bào)，經(jīng)稅務(wù)機(jī)關(guān)責(zé)令限期申報(bào)，逾期仍不申報(bào)的。實(shí)行核定應(yīng)稅所得率征收方式的，應(yīng)納所得稅額的計(jì)算公式如下：應(yīng)納所得稅額=應(yīng)納稅所得額x適用稅率 應(yīng)納稅所得額=收入總額x應(yīng)稅所得率 或 =成本費(fèi)用支出額+(1-應(yīng)稅所得率）x應(yīng)稅所得率。87.75%關(guān)心財(cái)稅動態(tài)的年輕人，都在看「解稅寶」。各大App商店搜索「解稅寶」，新生代最新財(cái)稅消息交流平臺。